Четвертый момент.
Вот здесь мне не все понятно и до конца не разобрался. Но тем не менее, проблему надо хотя бы сформулировать.
Это вопрос, к какому типу дифференциальных уравнений относятся уравнения Гильберта-Эйнштейна?
И как там ставить корректно задачу Коши?
Уравнения РТГ в динамической задаче относятся к гиперболическому типу. Вот тут определение:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперболические_уравненияЭто значит, что корни характеристического уравнения - вещественны. Что это значит опять же лучше к учебникам по
матану. Уравнения РТГ сводятся к волновым и существует глобально поверхность Коши, где задаются данные и
при этом задача решается корректно - решается и однозначно .
В случае уравнений ОТО при добавлении произвольных координатных условий,
тип уравнений определяется плохо. Скажем математик А.Н. Темчин в книге "Уравнения Эйнштейна на многообразии" утверждает, что
для условий Эйнштейна
\[ |g|=-1 \quad , g_{0i}=0 \]
решение Коши всюду некорректно. В других условиях , тип может зависеть от точки на многообразии - часть характеристик
может быть комплексным и вообще меняться от точки к точке. Он написал несколько статей по нахождению характеристик для
разных координатных условий. Но вообще по этой теме не так много пояснений в литературе.
Тут начинаются математические дебри и без серьезных математиков не разобраться. Скажем мне не удалось проверить
утверждения Темчина, потому что забыл (или не проходили) как составляется характеристическое уравнение для системы 10 уравнений от 10 функция от 4 переменных.
В общем случае теорема о единственности Ковалевской или Коши не работает.
Оказывается уравнения могут быть сильно гиперболические и слабо и еще всякие градации.
Теорема Пенроуза о единственности задачи с начальными данными доказывается именно в гармонической
системе координат, что уже вызывает подозрение.
Также в некоторых статьях видел утверждение, что в синхронной системе координат возможна неоднозначность.
Казалось бы наоборот.
\[ ds^2=d{\tau}^2-{\gamma}_{ik}dx^idx^k \]
Логично поставить данные на поверхности \( \tau=0 \) .
В этом случае система решает однозначно. Одна из распространенных задач - это коллапс пылевого облака, когда
пыль покоится на бесконечности. В этом случае Оппенгеймеру и Снайдеру удалось сшить уравнения с вакуумными и
получить точное решение (без численных методов).
Однако Тревер Маршалл проанализировал статью и нашел некий изъян.
https://docviewer.yandex.ru/view/5822186/?page=4&*=LMh1vCcNI8GWMQw0Fmf0TTOsqXl7InVybCI6InlhLW1haWw6Ly8xNTg0NzA0MTE4ODgxMTM2NjcvMS4yIiwidGl0bGUiOiJBU1Nub0JsYWNrSG9sZXMgT2N0JzEyLnBkZiIsIm5vaWZyYW1lIjpmYWxzZSwidWlkIjoiNTgyMjE4NiIsInRzIjoxNjA3MDA1MTQyNTI2LCJ5dSI6IjMxNjY5NjI4MzE1MTY2MTY5MTIifQ%3D%3DЭто для нелюбителей архива. Astrophys Space Sci (2012) 342:329–332
Когда они сшивают метрику внутреннего решения с вакуумным, то переходят к стандартным координатам, но при этом
требуют условие : \( g_{tr}=0 \) .
Аналогичное решение приводится у Вайнберга.
Если от него отказаться , то возникает еще одно решение с перекрестным
членом \( g_{tr} \) , и сшивка также проводится нормально и задача Коши также ставится великолепно
на той же поверхности с теми же данными. Одно решение не переходит во второе не нарушив условие сшивки или поверхности коши.
По ссылке это метрики (10) и (12)
Таким образом утверждение Вайнберга , что можно поставить задачу с начальными данными и численно решить и это будет единственное решение, вызывает некие сомнения.
