Математика в физике

[Тать]

Зашел разговор о математике в физике. Я считаю, что все математические выкладки в физике имют смысл, если имеют физическое толкование. Вот пример простой, на школьном уровне, математики:

m = m₀ / √(1-V²/C²)      и      т = т₀ / √(1-V²/C²      после простых преобразований получаем:

m₀= m√(1-V²/C²)        ;  m²= m₀²*(1-V²/C²)  ;  m²= m₀²*(С²-V²)/C²   ;  m² С²= m₀²*С²- m₀²*V²

(mС)² +( m₀V)² =(m₀C)²    знакомое со школы выражение а² + в² = с² сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Раз так, нарисуем треугольник с катетами mC и m₀V, гипотенузой m₀C
 
Второй треугольник – время(формулы одинаковые). Вот и первый вопрос: имеют ли эти построения физический смысл? Что значат эти треугольники? Используем свои школьные знания до дна: что можно узнать о треугольнике? Его площадь! Вперед! Обозначим Sm  - тр. массы и St – тр. времени.
Sm= mС* m₀V  и  St = tС* t₀V
Вот и второй вопрос: имеют ли эти площади какой либо физический смысл?
Выразим t и m через t₀ и m₀ 
Sm= С* m₀V* m₀ /√(1-V²/C²)         St=   С* t₀V* t₀ /√(1-V²/C²)        после некоторых преобразований получаем:
m₀² C²V / 2 Sm = t₀² C²V / 2 St   сократив все, что можно, получим:

St / Sm  = t₀² / m₀²  получилось, что площади треугольников относятся, как площади квадратов со сторонами t₀ и m₀ и не зависят от скорости V.
Вот и третий вопрос: есть ли в этом какой либо физический смысл?
В запасе еще треугольник длины. 
Играть с математикой забавно, но не все, что там получается, имеет отношение к реальности. Тем более в такой математике, что применяется в ТО, где сплошь и рядом вводятся искуственные ограничения, чтобы избавится от сингулярностей и бесконечностей.

[jiminy]

В авторе этой темы узнаЮ себя, только моложе. В такого рода спекуляциях Вас, sas, кроме меня на форуме никто не поддержит.

[Тать]

Видно я недостаточно объяснил свою мысль а именно: не все, что появляется на бумаге в результате манипуляций имеет физический смысл, даже если все выкладки безошибочны. Что происходит? Выбором подходящей математики можно объяснить существующую реальность совершенно по разному. Пример: ТО Эйнштейна и РТГ Логунова. И плюс множество  "альтернативщиков". Корпускулярщики и волновики. Мир с эфиром и без него.
Из этих соображений я и привел эти "выкладки": чем не повод делать выводы о новых закономерностях и взаимосвязях?

[Rangelov]

 Уважаемые колеги, когда вы исследуетя что-то, то сначало описываете какие силы действуют, какие энергии перераспределяются. Так получаются несколько уравнении. И для того, чтобы узнать какая сила и ли какая энергия до чего доведеть, то вам необходимо использовать математический аппарат. дело в том, что математика есть формализованная логика, которая необходимо использовать, чтобы получить необходимые вывады.
 Как видите, математика есть помошное средство для бизического исследования.Однако математика никогда не должна играть водещую роль, так как ошибочная математика может привести нас в заблуждению. Именно поэтому теоретическая физика сейчась в тупике, потому что многие физики развивают математику, с целю найти физические зависимости без познания физической сущности изучаемого явления. Так де Бройл используя неправильной анналогии предсказал существование волны-пилота, которая управляет квантованную частицу; Хайзенберг написал соотношение неопределенности незная его физического объяснения, Фейнман использовал математический аппарат классической диффузии для описания поведения квантованной частицы скрыв стохастический смысл квантового поведения микро частиц. Дирак написал уравнение релятивистской квантованной частицы не понимая какова роль матрицы и почему число компонент волновой функции равно 4. и т.д.
  Все это показывает, что всегда водещой в исследованиях должна быть физическая идея, а математика должна помогать для получения необходимых физических выводов.

[Тать]

То: Rangelov водещой в исследованиях должна быть физическая идея, а математика должна помогать для получения необходимых физических выводов. об этом Вы уже говорили и я с Вами полностью согласен.
"Именно поэтому теоретическая физика сейчась в тупике, потому что многие физики развивают математику, с целю найти физические зависимости без познания физической сущности изучаемого явления." вот поэтому я и начал эту важную, на мой взгляд, тему. Математика - это язык, средство описания физических свойств объектов и их взаимодействия(в физике). В математике, как таковой, есть много разделов к физике отношения не имеющих.

[Хартиков Сергей]

По-моему, роль математики в физике лучше всего описана в книге известного американского математика Морриса Клайна "Математика: утрата определенности" (Москва, "Мир", 1984). Там подробно рассмотрено развитие математики и физики с древних времен до наших дней. Клайн показывает, что так называемая "наглядность" первых физических теорий, является всего лишь обычной человеческой привычкой, воспитанной повседневным (бытовым) опытом. Вспомним, что даже опыты Галлилея (когда он бросал тяжелые и легкие предметы с башни) противоречили этому повседневному опыту. Когда-же физика вторглась в области, не доступные непосредственному человеческому восприятию (макрокосмос, микромир), то вовсю стали появляться совершенно "не наглядные" теории. В этом нет ничего страшного - более того, по-другому и не может быть.
Лично для меня смена "бытового" мировоззрения началась, когда я прочитал высказывание Фейнмана: "Истинное величие науки состоит в том, чтобы найти такой способ рассуждения, при котором закон становится очевидным". То есть физических теорий, "объясняющих" эксперименты, может существовать бесчисленное множество. И пока они дают одинаковые предсказания экспериментов, ни одна из них ничем не лучше другой (разве что, можно выбирать более стройную с чьей-либо точки зрения теорию).
Физики прекрасно это понимают, хотя некоторым их них "посчастливилось" критиковать чужие мнения. Ферма еще в 1650 году предложил "принцип Ферма" для объяснения поведения света ("принцип наименьшего времени"), который трудно назвать "наглядным" (что заставляет свет так себя вести?). Но принцип Ферма прекрасно работает! Когда знаешь о таких кардинальных отходах от "наглядности" в физике, сделанных несколько столетий назад, становится совершенно непонятно, почему до сих пор попадаются те, кто критикует современную физику за отсутствие "наглядности". Большинству из таких людей кажется, что существует некая "физическая сущность явления", которую мы познаем, строя наши теории. На самом деле, достаточно понять, что никакой сущности такого вида не существует в том смысле, что совокупность экспериментов может "объясняться" миллионами разных теорий, провозглашающих совершенно разные "сущности".
Аналогичную "ломку" бытовых представлений претерпели и "чистые" математики в начале 20-го века, когда возникли известные парадоксы в канторовской Теории множеств. Преодоление этих парадоксов породило новые направления в математике. А когда усилиями Гильберта, Геделя, фон Неймана, Коэна и др. были доказаны замечательные теоремы (в частности, касающиеся и знаменитой континуум-гипотезы), то стало понятно, что и математики вышли за пределы "бытовых" представлений, и бессмысленно искать правых и неправых в новейших математических теориях (хочу заметить, что каждому увлкающемуся математикой полезно изучить доказательство теоремы Геделя о неполноте формальной арифметики и теорию доказательств Гильберта, чтобы изменить свое мировоззрение на математику).
Практика показала, что даже самые абстрактные математические теории могут найти неожиданное применение в физике. Напомню некоторые из таких:
- теория групп (основы которой были положены работами Галуа) - без нее вообще невозможно представить физику,
- теория чисел - на этих "чистых" теоремах основана современная криптография,
- метаматическая логика - в своих недрах породила кибернетику (можно вспомнить, как знаменитый фон Нейман перешел в компьютерные науки, хотя в молодости работал в группе Гильберта и доказал много важных теорем).
Что касается способа построения новых теорий, то, как мне кажется, они могут начинаться с самых простых случайностей (как часто это и бывало в истории). Из последних: теория суперструн возникла благодаря случайному открытию, что бета-функция Эйлера обладает нужными требованиями - то есть ни о каком "глубоком внутреннем смысле" речь и не шла!
Вполне возможно, что кому-нибудь так же посчастливится стать автором новой теории, когда он будет просто комбинировать различные физические величины и случайно получит красивый результат. Но в любом случае самым важным остается следующее: эта теория должна быть не только красивой (с чьей-либо точки зрения), но и описывать всю совокупность экспериментальных данных, а также давать и новые предсказания. На мой взгляд, проблема современной физики не в том, что "физики ударились в математику", а в том, что современные теории "соревнуются" в предсказании тех экспериментов, которые еще неизвестно когда и поставят! В предсказании же существующих экспериментов эти теории неотличимы (в пределах погрешности измерения).
Не хочу огульно ругать "альтернативщиков", но зачастую их теории хорошо описывают лишь небольшую часть экспериментов, тогда когда современная физика описывает основную массу экспериментальных данных. В этом фрагменте я вряд ли смогу описать свой взгляд на роль математики лучше, чем это сделал М.Клайн. Если кто не читал его книгу, то ее можно "скачать" с сайта alelib.amillo.net (в разделе "математика").

[Rangelov]

  Вы написали слишком много,  скажу толко, что физическая наука не делается комбинации нескольких величин.Для создания новых теории необходимо познавать большую область в физике и переносить знания из одной знакомый в другой, пока незнакомой. Вы Фейнмана в пример не давайте, потому что он в 1948 г списал с Неймана метод континуальных интегралов,развитый Нейманом в 1923 , для описания классической дифузии.В действительности применил континуальные интегралы с целю описать квантовую стохастику квантованных частиц.Теория струн вообще не верна.Теоретики запутались так глубоко, хотя объяснения находятся на поверхности. Дирак тоже решил математическое разложения корня, однако так и не понял физики релятивистского електрона.
 А то, что нет наглядности для незрачих теоретиков никто им не виноват. Просто они смотрят на другое место и поэтому не видят очевадные вещи.  Йосиф
 Относно Фейнмана хочу сказать, что если он понял Нейман и признал своего воровства, тогда люди 50 лет тому назад поняли бы стохастическую природу квантового поведения микро частиц. То, что развил он в своих диаграмах вполне достаточно признать как его вклад в физику. Такое же и поведение Дирака. Своим вкладом в релятивистскую квантовую мехьанику он показал, что  при описании релятивистского поведения микро частиц необходимо учитывать и внутренное фермионное движение электрического заряда электрона. Однако именно это непонимание закрыло двер поиска физического смысла  4-компонентной полной волновой функции фермионов. Вы наверника хорошо знаете приглашение молодых гениев  не обращать внимания физики, лучше развивать математический аппарат, потому что мир  микро частиц нельзя описать словами макро мира. Именно поэтому сейчас  физики не понимают что делают, когда пишут и решают математические задаюи, стараясь понять непонятную для них физику.

[Хартиков Сергей]

Цитата (Rangelov): физическая наука не делается комбинации нескольких величин.Для создания новэх теории необходимо познават большую область в физике и переносить знания из одной знакомый в другой, пока незнакомой

Совершенно с Вами согласен, Йосиф! Когда я говорил о комбинации величин, то имел в виду лишь то, что иногда это может немного подсказать направление дальнейших исследований.
Кроме того, я в основном делал упор на то, что математика не является самостоятельным знанием, а воплощает в себе физический опыт (хотя в свое время мне было трудно это признать, так как я большой любитель математики). Думаю, что "страницы" форума - не место для обсуждения различных научных теорий, так как любая современная теория требует прекрасного знания больших разделов математики и физики. Поэтому я и не буду обсуждать является верной или нет Теория суперструн, а также понял ли Дирак физику релятивистского электрона. Тем более, что "верность теории" я понимаю лишь как соответствие экспериментам (я знаю, что Теория суперструн окончательно не построена и неизвестно - будет ли закончена когда-либо).
Также я не очень понимаю, когда "ругают" различных ученых (по поводу Вашего замечания: Вы Фейнмана в пример не давайте, потому что он в 1948 г списал с Неймана метод континуальных интегралов,развитый эээээнейманом в 1923 , для описания классической дифузии). Я восхищаюсь его фейнмановским курсом лекций - даже если бы он больше ничего и не сделал в науке! Вообще, наука - это не область авторского права. Иначе бы она не развивалась! Так что каждый ученый волей-неволей использует опыт и разработки предшествующих ученых - и это прекрасно - в этом преимущество науки как коллективного труда.

[dims]

Я совершенно не согласен с тезисами Сергея относительно так называемой наглядности.

Во-первых, эти тезисы внутренне-противоречивы. Сперва Сергей сказал, что назлядность в физике была заменена математикой. Мы знаем, что нагладность и природа образуют между собой отношение, подобное отношению между оригиналом и его отражением. Точно так же, математика в физике является отражением природы, объективной реальности. На этом этапе в тезисе был смысл: утверждалось, что первый вариант отражения "плох", а второй - "хорош".

Но после того, как было сказано, что и в математике нет наглядности, то встаёт вопрос: а что есть?

Каким образом математики преобразуют свои формулы и приходят к каким-то открытиями? Получается, что если ничего нет, кроме математики, то они занимаются простым случайным перебором. То есть математики - это хорошо обученные алгебре обезьяны, которые шлёпая по клавишам пишущей машинки, пытаются напечатать Британскую энциклопедию.

Допустим, что это так. В чём же тогда причина того, что компьютеры до сих пор не научились доказывать математические теоремы? Уже существуют среды (наподобие COQ), которые основаны на теории множеств и которые способны "понять" любую математическую формулу или выкладку. Кроме того, такие среды позволяют проверить доказательство теоремы. Но почему-то они не позволяют его найти. Снабжение таких систем случаным генератором формул приводит к довольно скромным результатам.

Я думаю, что всё это свидетельствует о существовании какого-то умственного явления, которое-таки находится ещё выше математики. Возможно, ошибка Сергея заключается в том, что он с самого начала отождествил наглядность с повседневным опытом. На самом деле, я думаю, математик имеет в голове некоторые наглядные образы, просто они не соответствуют (или не всегда соответствуют) бытовой действительности.

[Rangelov]

  Димс, я не согласен с вашими тезисами, так как они слишком крайные. Если Сергей ушел в одну сторону маятника, то вы ушли в другую. Просто физика изучает одни стороны явлении в природе, а натематика изучает их развития. Математики никогда не доказывают, что а = а  !?. Они доказывают что а + б = б + а  ?!, т.е. процес развития. Мы физики пишем уравнения на основе неких принципов, например сохранения импулцса, энергии, тока, электромагнитного поля и т.д. А потом при помощи математикой мы ищем что произойдет в результате этих принципов. Так что формальная логика в математике помогает нам логически найти результат данного процеса.Одна явление, а другое его развитие. Вы правы когда пишете, что обе они помогают нам понять природу, однако физика разбирается в процессах, которые развиваются, а математика помогает нам понять каков будет логический результат этого развития. Однако нельзя получить правильного результата если не поняли и записали влияния каждого процесса, участвующего в развития изучаемого явления.э Так что никто против применения математики ничего не поднимает, однако прежде чем применять матемастику, необходимо понять физику и потом только необходимо решать математическую задачу. А в противном случае мы похожы на обезяну, играющую на пиано, пробуем случайно найти что-то, не зная где оно находится. Таким же случайным образом мы можем найти новое открытие пустив компутор решать случайно изменяя значение и величины параметров в определенной математической задаче. Например зная уравнение гидродинамики меняя его параметров мы можем получить все его возможные решения. Возможно там получиться и что-то новое?! Вот ыто вклад математики. Однако если мы не учтем новые процесы, которые получаются во время изменения параметров, то тогда мы получим ошибку. Так стоит и вопрос с черной дырой, где не учитывается, что сжатие вещества приводит к соединению нескольких легких ядер в более тяжелое ядро и тогда все изменило бы развитие черной дыры. Такой же ошибкой можно объяснить почему ученые не приняли правильный путь развития КЭД, а пошли искать перенормировку там, где она лишняя.

[bob]

Я занял бы другую крайность: где-то я уже писал, что математика непогрешима только потому, что она должна быть такой. На самом деле она состоит из обрывков старых физических и дофизических схем, которые допустимо развивать только по установленным авторами этих схем внутренним правилам.
Детсадовский пример. Папа, профессор кафедры, раскладывает перед Вовочкой яблоки и говорит:
- Видишь одно яблоко? Это тебе интуитивно ясно?
- Ясно...
- Видишь ещё одно яблоко?
- Ага.
- Так вот одно и ещё одно это = ДВА яблока.
- Угу.
- Так вот, сколько бы ты ни брал яблок, это правило будет работать всегда. Добавь к ним два яблока, это будет ДВА раза по ДВА яблока, то есть = четыре. Не может оказаться так, что их будет пять или шесть. Чувствуешь универсализм и величие математики?
- ....!
- Тебе всё ясно?
- ...?
Здесь происходит неприятность. Одно из яблок, гнилое изнутри, разваливается на две части.
- Папа, а их стало пять.
- А это не область теории множеств, это нелинейная поправка, исходящая... Что ты сказал? Сейчас ремня всыплю!
- Папа, не сердись. А что такое "интуитивно" и "универсально"?

[Rangelov]

 Наглядный пример объяснения не показывает логику вещей.Не все что необходимо объяснить так легко можно приближенно изложить одновременно  наглядно и верно.Обычно всегда что-то пропускается. Вы сами показали примером, что изложение зависит от уровней слушателя и расказчика и как наглядность может исказить правду.. Йосиф

[bob]

Наглядный пример объяснения не показывает логику вещей.Не все что необходимо объяснить так легко можно приблиенно перевести на простой наглядный пример. Вы сами показали, как приближение может разрущить наглвдность. Йосиф

Так я это и показываю. Сын с отцом в моём примере случайно превысили область применимости модели 2 х 2 = 4, основанной на априорном предположении о неделимости яблока, и потребовалось переходить к той модели, где это не так. Если модель не работает, из набора берётся другая, но "математика остаётся непогрешимой".

[jiminy]

Нет, братцы, без наглядности никак нельзя. Другое дело, что ее надо развивать, совершенствовать. Без наглядности мы заплутаем в потемках математических лабиринтов. Наглядность - это завоевание эволюции!

[Пенелопа]

Мне кажется сама постановка вопроса не верна. Можно ли говорить о ЛЮБОМ преообразовнии
как имеющем смысл? Можно отнимать от жителей столиц государств жителей всех остальных городов. Получится отрицательные числа (почти всегда) - и какой в этом будет смысл? Означает ли бессмысленость
этих преобразований  бессмысленность стсатистики и демографии - наверно НЕТ. Тоже касается и примера.
Делать выводы при этом об одинакрвости подхода Лоренца,Эйнштейна и альтернативщиков будет соверщенно не логично. Из примера следует только то,что следует    - формулы записаны в наиболее удобной форме.  Из той, что привел автор ОДНОЗНАЧНО можно вывести первоночальные формулы - в которых смысла куда  больше.

[jiminy]

Можно ли назвать математическим рассуждением следующее?

jimini, обсуждение личных качеств участников запрещено правилами форума. ДВ

[Rangelov]

 Мне кажется, что хотя Пенелопа рассуждает как женщина, кое-что из сказанного ею имеет долью истины.  Я уверен, что она не знает, мы о чем говорим, поэтому и содержание ее высказывания имеет минимальное отношение к нашей полемике. Успех Пенелопа! Желаю удачи!  Йосиф

[Тать]

Вот такой курс лекций по Общей Астрофизике для Физиков автор К.А.Постнов читался в 1998-2001 годах для студентов 3-го курса физического факультета МГУ. http://www.astronet.ru/db/msg/1176797/9lec/node3.html В главе 9.2 "Квазары и активные галактические ядра." приведены такие сведения:
Активные галактики и квазары составляют относительно немногочисленный подкласс объектов (иными словами стадия активности квазара или ядра галактики много меньше хаббловского времени  лет). Их пространственная плотность:
Обычные галактики ...........10^-2  на куб. Мпк
Сейфертовские галактики .. 10^-4на куб. Мпк
Радиогалактики .................  10^-6на куб. Мпк
Квазары ..........................     10^-8 на куб. Мпк
Очень полезные сведения! В копилку столь же полезных сведений можно добавить, что в России на 1 кв.км. приходится:
Белых медведей ..............     10^-8
Миллионеров .................     10^-9
Путан .................................   10^-3
Цифры взяты с потолка, что не умаляет ценности в сравнении с данными о пространственной плотности галактик.
Вот пример недобросовестного отношения к применению математики. То, что некоторые типы космических объектов имеют быть только начиная с каких – то больших расстояний а ближе их просто нет, автора не смущает. То же и «Обычные галактики» которые на очень больших расстояниях не видны. Распространение перечисленных объектов во Вселенной неравномерно по той простой причине, что на разных расстояниях мы наблюдаем Вселенную на разных временных этапах.

[Пенелопа]

Мне кажется, что хотя Пенелопа рассуждает как женщина, кое-что из сказанного ею имеет долью истины.  Я уверен, что она не знает, мы о чем говорим, поэтому и содержание ее высказывания имеет минимальное отношение к нашей полемике. Успех Пенелопа! Желаю удачи!
 Да, нет, мне кажется имеет прямое отношение.  Весь вопрос в том,  можно ли считать, что уравнение записанное в новой форме преобретает новый смысл, можно ли искать смысл в любых преобразованиях ?

[jiminy]

Можно ли назвать математическим рассуждением следующее?

jimini, обсуждение личных качеств участников запрещено правилами форума. ДВ

Я и не думал никого обсуждать и тем более осуждать! Это было всего лишь (квази)математическое рассуждение... И если бы оно было обо мне (якобы), то я бы не огорчился, а только порадовался.