A A A A Автор Тема: Почему сфера Дайсона не падает? (Прочитано 7406 раз)

Прохожий · « **Ответ #20 :** 09 Июн 2011 [21:48:50] »

Цитата: olenellus от 09 Июн 2011 [19:04:41]

Прошу прощения за "археологию".

А почему вообще сфера Дайсона должна падать? Часто встречал утверждения о неустойчивости сферы Дайсона, но всегда было лень считать. Может, у кого-нибудь есть готовый ответ...

А текст решения просто в виде фотоформул выложить нельзя. Не у всех самые современные компьютеры.....

olenellus · « **Ответ #21 :** 09 Июн 2011 [22:32:04] »

Тогда, прошу Вас, выложите формулы в LaTeX, но обрамив при этом тэгами

Код: [Выделить]

\[ \] А те, у кого есть самые современные компьютеры, посмотрят их в обычном виде.

Добавил:
Или Вы имели в виду численные решения?

Добавил ещё:
Отсыл к специальной литературе по теме тоже приветствуется.

АстроСаня · « **Ответ #22 :** 12 Июн 2011 [20:52:56] »

А почему сфера Дайсона должна быть именно сферой? Если же её сделать из колец и раскрутить? Экватор будет двигаться медленне чем полюса, думаю таким образом, уже не сфера Дайсона, не упадёт.

Прохожий · « **Ответ #23 :** 12 Апр 2013 [22:58:28] »

Если ,конечно, у нас очень большое колличество вещества, то мы можем создать сферу Дайсона с очень толстой оболочкой, так что на внутренней поверхности Сферы тяжесть к сфере будет больше тяжести к Солнцу.

Получается СуперПлутония(по Обручеву).

В силу законов тяготения задачу в первом приближении можно заменить на тяжесть на неком спутнике, неподвижном относительно Солнца.

Расчет этой задачи в случае воды дает диаметр подобного спутника(толщину сферы дайсона) около 500 км, в случае стали -- 60 км...

Прохожий · « **Ответ #24 :** 13 Апр 2013 [00:00:05] »

масса подобного тела равняется 4*pi*плотность тела на куб радиуса деленная на 3.
ускорение на поверхности --- постоянная тяготения на масса и деленную на квадрат радиуса, так что
ускорения имеем 4*pi*плотность тела на радиус деленная на 3.

Для Солнца имеем аналогичную формулу.

Приравняв их и преоброзовав, получим, что радиус данного объекта равен 3 на массу солнца и деленную на знаменатель --- 4 pi плотность квадрат расстояния до Солнца.
Приняв известные данные
Радиус Сферы Дайсона -- 150 млн км.
Масса Солнца --- 2* 10⁺³⁰ кг
Плотность тела --- 10⁺³ кг/м3
Получим радиус около 250 км....

Примерный подсчет массы подобной Сферы Дайсона дает её массу примерно в 75 масс Солнца.....

равлик · « **Ответ #25 :** 02 Авг 2022 [14:40:25] »

Сфера состоит из тонких неподвижных зеркал, удерживаемых давлением света, а не летающих по своим орбитам или закреплённых на силовой конструкции. Поэтому между зеркалами нет контактного взаимодействия, а только отслеживание их взаимного расположения. Сила F гравитационного притяжения обратно пропорциональна расстоянию r до центра звезды и точно также мощность P света и соответственно его давление p обратно пропорциональны расстоянию до центра звезды. В результате поверхностная плотность ρ зеркал с коэффициентом отражения k_отр однозначно определяется массой m и температурой T звезды.

Возвращая энергию на звезду она будет нагреваться, стремясь сохранить мощность. В результате будет уменьшать плотность, а значит увеличиваться размеры, площадь и ещё сильнее полная мощность излучения. Но с увеличением размера одновременно будет уменьшать давление и температура в центре, а значит замедляться реакции и уменьшаться их мощность. Которая пропорциональна 4(маленькие звёзды с pp-циклом)…18(большие звёзды с CNO-циклом) степени от температуры^{[Гл.5. Курс общей астрофизики. Засов А.В., Постнов К.А. 2005]}. И плюс ещё 2 степени, так как концентрация пропорциональна давлению и обратно температуре. Лучше всего алюминий отражает видимый и ближний свет с общим коэффициентом 0,9, значит мощность звезды должна уменьшиться в ~10 раз, что означает изменение температуры в центре и общего размера в 1,58(маленькие звёзды с pp-циклом)…1,12(большие звёзды с CNO-циклом) раза.
Для Солнца, предполагая нагрев его фотосферы и увеличение радиуса в 1,5 раза, поверхностная плотность зеркальной оболочки составляет 15,7 г/м². Которая при радиусе 2 земных орбиты будет 0,00148 земных масс, что на 2 порядка больше массы алюминия в поясе астероидов. Но с учётом Марса, Луны и спутников Юпитера, материалоёмкость становиться доступной. Если у другой звезды также есть каменные планеты, то и материал для зеркальной оболочки будет.

Проходящий Кот · « **Ответ #26 :** 02 Авг 2022 [15:46:59] »

Цитата: olenellus от 09 Июн 2011 [17:27:47]

Скопирую сюда свой пост с другого форума (с небольшим редактированием).

Сначала рассмотрим случай одиночного неподвижного паруса, затерянного в Солнечной системе. На него действует гравитационная сила Солнца (радиальная, и единственная ненулевая компонента):
$F_g=-GM_{\ast}M_p\frac{1}{r^2}$
где $M_{\ast}$ - масса центральной звезды (Солнца, в нашем случае),
$M_p$ - масса паруса.
Помимо этого на него действует давление излучения. Пусть нормаль паруса направлена на Солнце. Если парус идеально отражает, то каждый фотон отдаёт ему импульс 2E/c, где E - энергия фотона. Поэтому на парус со стороны света будет действовать сила (опять пишем радиальную компонентау, а другие равны нулю):
$F_\gamma=\frac{dp_\gamma}{dt}=\frac{L_{\ast}S_p}{2{\pi}c}\frac{1}{r^2}$
где $L_{\ast}$ - светимость центральной звезды,
$S_p$ - площадь паруса.
Теперь очевидно, что подбирая соответствующую поверхностную плотность паруса, можно занулить равнодействующую сил, причём, сила будет равна нулю на любом расстоянии от светила. Нужная нам поверхностная плотность:
$\Sigma_p{\equiv}\frac{M_p}{S_p}=\frac{L_\ast}{2{\pi}cGM_\ast}$

Всё хорошо, но только нас такой парус совершенно не устраивает. Мы же сферу Дайсона строим, нам нужна энергия звезды, а наш парус её всю отражает. Поэтму рассмотрим другой идеальный случай - абсолютно чёрный парус. Он поглощает всё падающее излучение (и использует выделенную из него энергию по цивилизованному назначению), и излучает согласно своей температуре по Стефану-Больцману. Если парус в равновесии, то излучает он столько же, сколько поглощает. Излучает он в две стороны (к звезде и от звезды), поэтому результирующая реактивная сила зануляется. Остаётся только сила давления звёздного света. В этом случае у нас столкновение неупругое, поэтому мы получаем только половину импульса. Тогда нам нужен парус с в 2 раза лучшими характеристиками:
$\Sigma_p=\frac{L_\ast}{4{\pi}cGM_\ast}$

В общем случае парус - это ни то, ни сё. У него есть какой-то коэффициент отражения $\alpha<1$ , коэффициент излучения $\epsilon<1$ и коэффициент пропускания $\tau<1$ (парус-то тонкий), причём $\alpha+\tau<1$ .
При этом сила, действующая на парус, необходимая поверхностная площадь паруса и равновесная температура будут, соответственно:
$F_\gamma=\frac{L_{\ast}S_p}{4{\pi}c}\frac{1}{r^2}(1+\alpha-\tau)$
$\Sigma_p{\equiv}\frac{M_p}{S_p}=\frac{L_{\ast}(1+\alpha-\tau)}{4{\pi}cGM_\ast}$
$T_p=\sqrt[4]{\frac{L_\ast(1-\alpha-\tau)}{2\pi\epsilon{\sigma}r^2}}$

Теперь рассмотрим сферический парус в вакууме, то есть, нашу сферу Дайсона из таких парусов. Начнём со случая абсолютно чёрной сферы. Тут задача получается немного другая. Дело в том, что теперь сфера представляет собой замкнутую полость со стенкой из парусов. Во-первых, испущенное от какого-нибудь паруса во внутренную сторону тепловое излучение будет компенсироваться приходящим на этот парус тепловым излучением от остальных парусов, причём это будет микроравновесие, так как выполняется по любому направлению (из соображений симметрии). Поэтому терять энергию сфера может только в открытый космос. Это хорошо, так как теперь падающее изнутри тепловое излучение будет давать дополнительную силу силу. Для её вычисления надо посчитать импульс, излучаемый парусом по нормали в сторону космоса (или внутрь, по модулю эти величины равны). Весь импульс, испущеный в еиницу времени в "космическую" полусферу будет пропорционален, с одной стороны, поступающемой в единицу времени энергии от звезды, с другой - интегралу проекции радиус-вектора на нормаль по полусфере. Пространственная плотность потока излучения для поверхности пропорциональна $\cos{\theta}$ (в сферических координатах, где угол $\theta$ отсчитывается от внешней нормали). Поэтому полная излучаемая мощность будет пропорциональна интегралу:
$\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos{\theta}\sin{\theta}d\theta=\pi$
Фактически, этому пропорционален интеграл от модуля импульса, излучаемого в единицу времени в единицу телесного угла, по полусфере.
Тогда как интеграл по полусфере от проекции на нормаль импульса, излучаемого в единицу времени в единицу телесного угла, будет пропорционален интегралу:
$\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos^2{\theta}\sin{\theta}d\theta=\frac{2}{3}\pi$

Тогда на отдельный парус со стороны теплового излучения сферы будет действовать сила:
$F_{bb}=\frac{2}{3}\frac{L_{bb}S_p}{4{\pi}cr^2}=\frac{L_{bb}S_p}{6{\pi}cr^2}$
где $L_{bb}$ - чернотельная светимость (мощность чернотельного излучения со всей внешней или внутренней поверхности).
Из условия сохранения энергии имеем:
$L_{bb}=L_\ast$
и, соответсвенно, полная сила излучения будет:
$F_\gamma=\frac{5}{3}\frac{L_{\ast}S_p}{4{\pi}c}\frac{1}{r^2}$
Соответственно, и материал можно брать в 5/3 раз "толще", чем в случае одиночного паруса (ну, или увеличивать полезную нагрузку).

Теперь рассмотрим общий случай. Свет от звезды попадает на паруса, там часть поглощается, часть проходит насквозь, а часть отражается обратно и потом попадает на другие паруса. Сами паруса нагреваются и начинают излучать как серое тело, и с этим излучением происходит то же самое.

Начнём, пожалуй, с рассмотрения внутрисферного теплового изучения (то, что не является переотражённым излучением звезды), приходящего и уходящего от одного из парусов по одному из направлений. Заметим, что, из-за симметрии, пространственная плотность такого излучения, во-первых, в обе стороны одинаково, во-вторых, совпадает с оным в "зекракльно отражённом" направлении (относительно поверхности паруса). Ну и вообще, во всём конусе с осью симметрии, совпадающей с нормалью. Тогда имеем соотношение:
${\epsilon}I_{bb}+{\alpha}I_i=I_i$
Где $I_i$ - интенсивность падающего излучения (по такому-то направлению), а $I_{bb}$ - интенсивность, которую выдало бы абсолютно чёрное тело c температурой паруса по этому же направлению. Отсюда видимо, что:
$I_i=I_{bb}\frac{\epsilon}{1-\alpha}$
Видим, что распределено оно по углам точно так же, как и чернотельное излучение с поверхности паруса, отличаясь только численным коэффициентом. Значит, можно использовать тот же самый интеграл для нахождения силы. (А вообще, для каждой длины волны и для каждого направления выполняется условие $\epsilon_\lambda=1-\alpha_\lambda$ , а в нашем случае эти величины даже от длины волны не зависят, в общем, в любом случае получаем, что $I_i=I_{bb}$ ).
При этом отражается и поглощается, соответственно:
$I_{refl}={\epsilon}I_{bb}\frac{\alpha}{1-\alpha};\;I_{abs}={\epsilon}I_{bb}\frac{1-\alpha-\tau}{1-\alpha}$
Тогда это нескомпенсированное снаружи излучение создаст силу:
$F_{bb}=\frac{2}{3}\frac{L_{bb}S_p\epsilon}{4{\pi}cr^2}\left(1-1+\frac{2\alpha}{1-\alpha}+\frac{1-\alpha-\tau}{1-\alpha}\right)=\frac{{\epsilon}L_{bb}S_p}{6{\pi}cr^2}\frac{1+\alpha-\tau}{1-\alpha}$

Теперь разберёмся с остальным излучением. Из сохранения энергии для внешнего излучения имеем:
$L_\ast={\tau}L_{eff}+{\epsilon}L_{bb}$
где $L_{eff}$ - эффективная светимость под сферой Дайсона, то есть, мощность, падающая на сферу изнутри. Она включает в себя всё: и свет звезды, и переотражённый свет звезды, и тепловое излучение сферы.
С другой стороны, из теплового баланса на сфере имеем:
$2{\epsilon}L_{bb}=(1-\alpha-\tau)L_{eff}$
Из этих двух соотношений получаем, что:
$L_{eff}=\frac{2}{1-\alpha+\tau}L_\ast;\;L_{bb}=\frac{1-\alpha-\tau}{1-\alpha+\tau}\frac{L_\ast}{\epsilon}$
Найдём долю излучения (включая переотражённое) самой звезды в эффективной светимости:
$L_\ast^{eff}=L_{eff}-L_{bb}\frac{\epsilon}{1-\alpha}=\frac{L_\ast}{1-\alpha}$
Впрочем, можно было это вычислить и прямо через многократные отражения и сумму получившегося ряда. Итак, получаем, что сила, с которой звёздное излучение действует на парус, равна:
$F_\ast=\frac{L_{\ast}S_p}{4{\pi}cr^2}\frac{1+\alpha-\tau}{1-\alpha}$
Сила, с которым тепловое излучение действует на парус, после подстановки получается:
$F_{bb}=\frac{2}{3}\frac{L_{\ast}S_p}{4{\pi}cr^2}\frac{(1+\alpha-\tau)(1-\alpha-\tau)}{(1-\alpha)(1-\alpha+\tau)}$
Тогда суммарная сила давления излучения будет:

$F_\gamma=\frac{L_{\ast}S_p}{4{\pi}cr^2}\frac{1+\alpha-\tau}{1-\alpha}\left(1+\frac{2}{3}\frac{1-\alpha-\tau}{1-\alpha+\tau}\right)=\frac{L_{\ast}S_p}{12{\pi}cr^2}\frac{(1+\alpha-\tau)(5-5\alpha+\tau)}{(1-\alpha)(1-\alpha+\tau)}$

Соответственно, требуемая поверхностная плотность парусов:
$\Sigma_p=\frac{L_\ast}{12{\pi}cGM_\ast}\frac{(1+\alpha-\tau)(5-5\alpha+\tau)}{(1-\alpha)(1-\alpha+\tau)}$

Температура сферы при этом будет:
$T=\sqrt[4]{\frac{L_\ast(1-\alpha-\tau)}{4\pi\epsilon{\sigma}r^2(1-\alpha+\tau)}}$

Вполне возможно, что где-нибудь запутался.

На самом деле, это далеко не общий случай. Здесь молчаливо предполагалось, что коэффициенты $\alpha,\tau,\epsilon$ одинаковы для всех длин волн. Плюс, использовано допущение, что имеет место только зеркальное отражение (дело может осложниться ещё диффузным и обратным, плюс всякая дифракция). Потом, предполагалось, что звезда точечная, и поэтому можно считать, что свет она практически не поглощает. На деле же на неё будет падать некоторое излучение, которое будет полностью поглощено (звезда в этом смысле ведёт себя как абсолютно чёрное тело). Наверняка при этом звезда перейдёт в другое равновесное состояние, и её светимость (и температура) повысятся, а время жизни, соотвественно, снизится. Но насколько этот эффект важен, считать лень.

Ну а теперь немного повеселимся. Возмём звезду по имени Солнце, а сферу поместим на растоянии 1 а.е. от него. Светимость Солнца - 3,8х10²⁶ Вт, масса - 2х10³⁰ кг. Тогда получим, что для абсолютно чёрной сферы Дайсона нам надо добиться поверхностной плотности - 0,0013 кг/м². У меня две новости: хорошая и плохая. Хорошая состоит в том, что нам при этом понадобится всего около 3,7х10²⁰ кг вещества - хватит половины Цереры. Плохая же заключается в том, что если паруса делаем из углерода, то это 1 моль/м² или 600 атомов на квадратный ангстрем. Грубо говоря, получаем парус толщиной порядка тысяч атомов. Опять таки, если это что-то графитоподобное, то толщина паруса должна быть полмикрона... И это на всё: на сам парус, на энергопреобразовывающу подсистему, на гомеостатическую и репарационную подситсемы, на, наконец, вычислительные подсистемы, где, собственно, будет обитать сознание.

Положение можно улучшить, если сделать сферу отражающей. Если она отражает половину падающего света, то, согласно формуле, сила давления света вырастет в 3 раза, и во столько же раз можно сделать толще саму сферу. Если она отражает девять десятых от падающего света, то сферу можно сделать в 19 раз толще. При этом, в завершённой сфере вся энергия звезды всё равно будет утилизироваться. Однако пробемы будут на этапе строительства, когда такие прауса будут очень неэффективны в качестве приёмников излучения.

И на последок взглянем на всё это с перспектив галактической экспансии. Из теоретичеких звёздных моделей для карликов главной последовательности (как Солнце или меньше) имеется соотношение:
$L\,\sim\,M^2$
Отсюда получается, что чем меньше масса звезды, тем (во столько же раз) тоньше надо делать парус. А ведь красные карлики составляют подавляющее большинство звёзд галактики...

Перевёл все формулы (по следам Семёнова) с форумного скрипта на внешний генератор формул. Исправил неточности в комментариях к интегралам, связаным с вычислениеми для теплового излучения.

И в чём отличие от канонического решения....

EmperioAf · « **Ответ #27 :** 17 Авг 2022 [21:18:07] »

Цитата: dims от 21 Фев 2005 [14:34:36]

Никогда не мог понять, почему сфера Дайсона не должна падать? Ведь в полярных областях центробежной силы нет и она должна обрушиться на звезду.

Может быть именно поэтому в космосе и наблюдаются джеты из полярных областей объектов

(шутка)

Новости:

A A A A Автор Тема: Почему сфера Дайсона не падает? (Прочитано 7406 раз)

Прохожий

Re: Почему сфера Дайсона вообще должна падать?

olenellus

Re: Почему сфера Дайсона не падает?

АстроСаня

Re: Почему сфера Дайсона не падает?

Прохожий

Re: Почему сфера Дайсона не падает?

Прохожий

Re: Почему сфера Дайсона не падает?

равлик

Звёздная сферическая оболочка зеркал не падает и центрально устойчива

Проходящий Кот

Re: Почему сфера Дайсона не падает?

EmperioAf

Re: Почему сфера Дайсона не падает?