Как провести статистическую проверку гипотезы?

[Крупин]

Вопрос:  Я обнаружил ряд взаимосвязей в расположении планетных орбит, который, иллюстрируется следующими примерами:
Запустим к Венере космический аппарат по эллипсу с афелием на земной и перигелием на венерианской орбитах. Оказывается, через 4 земных года, сделав 5 оборотов он снова вернётся на Землю. Если подобный аппарат запустить к орбите Венеры с Юпитера, он вернётся через 7 оборотов (Юпитер при этом сделает 3). Если Сатурняне пошлют подобным образом космический зонд к Нептуну, зонд вернётся назад, сделав всего один оборот, а Сатурн успеет провернуться трижды.
Являются ли эти соотношения чистой случайностью или же это проявление какой-то закономерности? Крупин

Ответ: Любопытные соотношения. И весьма точные: от целочисленных отличаются не более чем на 1%.
Как проверить, игра это случая или новая закономерность? Давайте рассуждать так:
У нас есть 8 планет, между которыми возможны перелеты по гомоновским (эллиптическим) орбитам; всего 28 вариантов перелета между парами планет. Нас интересуют целочисленные соотношения орбитальных периодов (1:1, 1:2, 2:3 и т.п.) В обнаруженных Вами соотношениях наибольшее целое число 7. Значит, Вам показались бы одинаково интересными, как минимум, 7х7 = 49 подобных соотношений для любого из перелетов, а их 28 вариантов. Следовательно, мы имеем 49х28 = 1372 возможных исхода эксперимента (говоря языком теории вероятностей), и при этом только 3 благоприятных. Вероятность случайного попадания 3/1372 = 0,2%.
А теперь посмотрим, с какой точностью найденные Вами орбитальные периоды действительно соотносятся целочисленно. Перелет Венера-Земля дает 0,1%, Венера-Юпитер 0,3% и Сатурн-Нептун 1%. В среднем расхождение 0,5%. Это больше чем ожидаемое случайное 0,2%. Так что пока рано говорить о закономерности. Вот если бы нашлось еще 8-10 подобных совпадений, то это бы потребовало поиска физических причин, объясняющих подобные резонансы. А пока можно считать это случайными совпадениями.

В.Г.Сурдин

    Когда-то я задал этот вопрос, но ответа долго не было и я о нём уже забыл. Случайно при поиске по какой то фразе этот фрагмент обнаружился на сайте http://www.astronomy2009.ru/faq.html . И конечно, спасибо за то, что мой вопрос вообще признали заслуживающим внимания. Но вот с методом оценки вероятности я совершенно не согласен. Какие будут предложения о методах оценки?

[dims]

Я не совсем понял метод оценки В. Г. Сурдина. Цифра 3/1372 означает, что он проинтерпретировал Ваши расчёты как то, что из всех возможных удивительных перелётов Вам попалось лишь три штуки, а остальные 1372-3 -- не попались. Мне кажется, это неправильно.

Возьмём две любые планеты.

Я взял Excel составил таблицу 7х7, в клетках которой расположил частные строка делить на столбец. Это у нас получилась таблица небольших соотношений, которые мы будем считать "удивительными". Эти числа рассеяны на отрезке от 1/7 до 7/1.

Ясно, что если бы я составил таблицу 100х100, то числа были бы рассеяны на отрезке от 1/100 до 100 и были бы распределены более плотно. То есть, чем больше таблица, чем более глупо называть соотношения оттуда "удивительными". В пределе бесконечной таблице в ней были бы все возможные рациональные числа и любое из чисел была бы совершенно неудивительным.

Затем я взял все эти 49 чисел, записал их в столбик, отсортировал и убрал повторы. Получилась колонка из 35 чисел.

Это -- "удивительные" точки, распределённые на участке от 0,14 до 7.

Теперь, снабдим каждую точку окрестностью, равной погрешности вычислений. Это у нас, судя по сообщению, 1%. Получилась таблица с тремя колонками: точка, минимум окрестности, максимум окрестности. Например, для точки 0,5 минимум и максимум составили 0,495 и 0,505 соответственно.

В этой таблице не нашлось окрестностей, пересекшихся друг с другом...

Ну вот. Теперь мы получили таблицу "зон". И задача превращается у нас в следующую: какова вероятность того, что если орбитальное соотношение случайно, оно попадёт в одну из этих зон?

Для этого, естественно, надо соотнести суммарную длину зон с отрезком от 0 до 7. У меня получилось 1,122/7, то есть, примерно 16%.

То есть, если бы соотношения орбитальных периодов были бы распределены равномерно, вероятность того, что одно такое соотношение показалось бы нам "удивительным", равна 16%. Иными словами, степень удивительности (невероятность) равна 84%.

Однако ясно, что соотношения периодов не распределены равномерно. Скорее всего, сами периоды распределены достаточно равномерно, а вот их соотношение -- есть частное двух равномерных распределений. Не могу сейчас сообразить, какое это получается распределение, но мне кажется, что оно сгущается к единице. Мне так кажется, что это приводит к тому, что вероятность увеличится, а удивительность уменьшится.

То есть, нужно сделать ещё этот учёт.

Если три проведённых Вами расчёта были для случайной выборки пар орбит, то вероятность уменьшается в геометрической прогрессии: 0,16^3 = <1%, а удивительность > 99%.

То есть, если при проделанном учёта, указанного выше, выяснится, что вероятность не сильно повышается от 16%, то Вы, скорее всего, действительно нашли явление. Даже при 25% одного попадания, удивительность трёх попаданий составит более 98%.

Однако, тут остаётся ещё возможность: хотя явление и существует, оно может быть следствием какой-то простой математики или небесной механики, которые мы просто не учли.

[Крупин]

Я не совсем понял метод оценки В. Г. Сурдина. Цифра 3/1372 означает, что он проинтерпретировал Ваши расчёты как то, что из всех возможных удивительных перелётов Вам попалось лишь три штуки, а остальные 1372-3 -- не попались. Мне кажется, это неправильно. 

   Кажется совершенно правильно.  Все ляпсусы перечислять не буду. Самый первый - здесь не дискретная, а распределённая случайная величина. И вариантов, соответственно, никак не сорок девять, а бесконечное множество.

Возьмём две любые планеты.

Я взял Excel составил таблицу 7х7, в клетках которой расположил частные строка делить на столбец. Это у нас получилась таблица небольших соотношений, которые мы будем считать "удивительными". Эти числа рассеяны на отрезке от 1/7 до 7/1.
- - - - - -
Затем я взял все эти 49 чисел, записал их в столбик, отсортировал и убрал повторы. Получилась колонка из 35 чисел.

Это -- "удивительные" точки, распределённые на участке от 0,14 до 7.

Теперь, снабдим каждую точку окрестностью, равной погрешности вычислений. Это у нас, судя по сообщению, 1%. Получилась таблица с тремя колонками: точка, минимум окрестности, максимум окрестности. Например, для точки 0,5 минимум и максимум составили 0,495 и 0,505 соответственно.

В этой таблице не нашлось окрестностей, пересекшихся друг с другом...

Ну вот. Теперь мы получили таблицу "зон". И задача превращается у нас в следующую: какова вероятность того, что если орбитальное соотношение случайно, оно попадёт в одну из этих зон?

Для этого, естественно, надо соотнести суммарную длину зон с отрезком от 0 до 7. У меня получилось 1,122/7, то есть, примерно 16%.
 

   Методика  правильная. Что касается числа зон, то их 34, а не 35, поскольку единицу не считаем (полагаем две планеты на одной орбите располагаться не могут). Но в расчёте размера окрестностей неточность. Для приведённого частного случая 0,5=1/2 она посчитана правильно. Но возьмём пример Земля-Венера, для которого отношение близко к 4/5=0,8 .  В этом случае значимая "однопроцентная" область будет от 3,99/5=0,798 до 4,01/5=0,802 . Если разность поделить на само число, получим 0,004/0,8=0,005=0,5%.  Для случая же 1/2 получается (0,505-0,495)/0,5=0,02=2%.
    Т.е. размер области зависит от числителя и знаменателя.

[Крупин]

    Таким образом, подсчёт длины зон не столь прост. Но дело ещё сложнее. Даже вышеприведённый расчёт "удивительной" зоны для отношения 1/2=0,5 неверен. Мы нашли, что число 0,505 в зону входит, поскольку 0,505=(1+0,01)/2 . Но недоброжелатели скажут - почему Вы берёте отношение 1/2 , а не обратное 2/1? Ведь в этом случае обратным к числу 0,505 будет 1/0,505=1,98=(2-0,02)/1 - отклонение числителя от целого числа (двойки) составляет 0,02 - вдвое больше допустимого 0,01. Поэтому нам придётся взять вдвое меньшую зону.
   Выходит, нам надо при вычислении зон варьировать на 0,01 и числитель и знаменатель, выбирая из двух зон наименьшую. В случае, если для отношения N/M , числитель N<M , то наименьшая зона находится по формуле D=0,02*N/M^2 , в противном случае N>M наименьшая зона равна D=0,02/M (0,02 появляется, поскольку отклонение на 0,01 может быть и в + и в - ).
   Подсчитав длину всех зон по этим формулам, получаем число 0,226. Поделив его на весь интервал от нуля до семи, получим 0,226/7=3,2%. Таким образом, вместо 16%, насчитанном dims, получили 3,2%.

[Крупин]

     Однако, сам по себе суммарный размер зон ни о чём не говорит. Важно какой процент соотношений в зону попадёт. Если именно 3% от общего числа соотношений попадут в "удивительную" трёхпроцентную зону - ничего удивительного в этом не будет . Но если зоне окажутся, например, 5% от общего числа, это уже признак неслучайности явления.
    Сколько же у нас есть соотношений? Имеется 8 планет, но одна из них -Меркурий - движется по очень вытянутой и наклонённой орбите. Её происхождение до сих пор вызывает споры. И непонятно, стоит ли проводить гомановский эллипс к усреднённой её орбите. Меркурий из рассмотрения исключим.
     В таком случае имеется 7 планет. И от каждой можно провести промежуточную гомановскую орбиту к 6 другим планетам и найти отношения периодов движений по гоманам к планетному орбитальному периоду. Таким образом общее число вариантов - 42. Из них благоприятных - 3. В процентном отношении 3/42 =7.14%, что явно выходит за рамки 3.22%.

[Крупин]

В недавно опубликованной системе Кеплер-11 можно усмотреть следующую закономерность. Рассмотрим гипотетические астероиды, обращающиеся по Гоману между орбитой крупнейшей - самой удалённой планеты и орбитами 4-х нижележащих планет. Эти астероиды окажутся с внешней планетой в следующих орбитальных резонансах:
2,03/3 =2 : 3 ; 2,99/5 = 3 : 5 ; 4,96/9 = 5 : 9 ; 0,96/2 = 1 : 2 .
Возьмём первые три члена этой последовательности: 2 : 3 , 3 : 5 , 5 : 9. Знаменатели у них нечётные, а числитель = (знаменатель + 1)/2. Последующий резонанс 1 : 2 можно рассматривать как предельный случай при стремящемся в бесконечность знаменателе. Есть пропуск 4 : 7. Может там тоже есть планета, только немного не в плоскости остальных?

[armadillo]

Внутренняя планета не в плоскости той эклиптики маловероятна. Вот пояс астероидов возможен)).  И та система вообще выбивается из ряда вон, скорее всего данные по ней будут сильно корректироваться.

"Статистическая" проверка такой гипотезы на мой взгляд не нужна. Даже пара совпадений примечательно.
Другое дело, что такие резонансы наверняка не единственный возможный устойчивый вариант, поэтому не надо требовать 100% попадания.

Лучше брать другие известные системы для поиска совпадений.

[Иван С. Брюханов]

Очень интересная тема ...

[Крупин]

  Возьмём в системе 55 Cancri планеты D и F. Большие их полуоси равны 5,74 и 0,781, соответственно. Деля первое на второе, получаем 7,350 .Возьмём в этой же системе планеты B и E, полуоси которых 0,1148 и 0,0156. Отношение их равно 7,358. Возьмём в нашей Солнечной системе Юпитер и Венеру, полуоси которых 5,203 и 0,723. Поделим, получим 7,196.

   Казалось бы простое бессмысленное случайное совпадение. Но совпадения на этом не кончаются. Если между орбитами этих пар по гомону движется астероид, то его период составляет почти точно 3/7 периода дальнего тела. И подобные соотношения во множестве встречаются как в Солнечной системе, так и в спутниковых системах Юпитера, Сатурна, Урана, а также в системах Кеплер-11 и 55 Cancri.

[KBOB]

  Возьмём в системе 55 Cancri планеты D и F. Большие их полуоси равны 5,74 и 0,781, соответственно. Деля первое на второе, получаем 7,350 .Возьмём в этой же системе планеты B и E, полуоси которых 0,1148 и 0,0156. Отношение их равно 7,358. Возьмём в нашей Солнечной системе Юпитер и Венеру, полуоси которых 5,203 и 0,723. Поделим, получим 7,196.

   Казалось бы простое бессмысленное случайное совпадение. Но совпадения на этом не кончаются. Если между орбитами этих пар по гомону движется астероид, то его период составляет почти точно 3/7 периода дальнего тела. И подобные соотношения во множестве встречаются как в Солнечной системе, так и в спутниковых системах Юпитера, Сатурна, Урана, а также в системах Кеплер-11 и 55 Cancri.

Все очень просто. Когда метагалактианцы строили звездные системы, самой сложной была доставка строительного материала с планет гигантов на внутренние планеты земного типа. Грузовые корабли курсировали по гомановским траекториям и должны были всегда попадать с одной планеты на другу, поэтому периоды планет и были выбраны кратными. В недостроенный планетных системах часть строительного мусора вываливалась по дороге - так образовались планетарные диски.

[Крупин]

   Привожу сравнительную таблицу следующих систем: Gliese 581, Солнечная, Сатурнова, Уранова, Юпитерова, Gliese 876 в области ниже орбиты первоспутников, которыми в этих системах являются: Gliese 581 d, Юпитер, Титан, Титания, Ганимед, Gliese 876 e, соответственно графам таблицы сверху вниз. Орбитальные радиусы первоспутников приняты за единицу расстояния в соответствующей системе.



    В небесной механике нет квантования. Однако, взаимное расположение планет (либо спутников планет) очень странное. Зачастую они группируются в окрестностях некоторых значений относительных (относительно крупнейшего тела) орбитальных радиусов (3,4,5,7,9,11 строки таблицы). Чем можно объяснить такую аномалию?

[Крупин]

    Подсказку даёт следующее обстоятельство. Обратим внимание на третью строку таблицы, где располагаются Умбриэль (спутник Урана), Европа (Юпитера) и экзопланета b системы Gliese876. Уже несколько столетий известно, что спутники Юпитера обращаются не независимо друг от друга, а согласованно, так что за один оборот Ганимеда (первоспутник) Европа обращается дважды, а Ио - четырежды. В системе Gliese 876 обнаружился тот же самый синхронизм планет e,b,c . И хотя период Умбриэля не совсем точно равен полупериоду Титании, мы вправе предположить, что близость всё-таки не случайна.
   
   Действительно, как среди планет Солнечной системы, так и в системах спутников её планет имеется множество подобных соизмеримостей, получивших название орбитальный резонанс (http://ru.wikipedia.org/wiki/%CE%F0%E1%E8%F2%E0%EB%FC%ED%FB%E9_%F0%E5%E7%EE%ED%E0%ED%F1 ). И хотя явление до сих пор обоснования не получило, наличие де-факто большого числа орбитальных резонансов в Солнечной системе заставляет предположить, что и в экзопланетных системах они не редкость.

[Крупин]

    Вот таблица относительных резонансных орбит:

 

    Числа в её ячейках находятся в соответствии с третьим законом Кеплера по формуле:



где n -номер столбца, m - номер строки. Обратим внимание, что числа в 3,4,5,7 строках сравнительной таблицы шести систем весьма близки к выделенным жирным шрифтом числам в таблице резонансов. Числа в 9 строке сравнительной таблицы также близки к резонансу 1/12. Действительно:



    Таким образом, казалось бы, инцидент исчерпан. В экзопланетных системах просто-напросто проявляется та же самая закономерность орбитальных резонансов, что и в Солнечной системе. Хотя объяснения её нет, но она встречается достаточно часто,  чтобы быть простой случайностью.

    Как солнечные планеты, так и их спутники, а также и экзопланеты формировались случайным образом на различных орбитах, но впоследствии некоторые из них каким-то образом были затянуты в орбитальные резонансы с крупнейшим телом, что, вроде бы, и неудивительно - ведь его гравитационное влияние и, соответственно способность к затягиванию в резонанс наибольшие. Поскольку разные резонансные типы имеют разную устойчивость, резонансный захват осуществился в немногие избранные резонансы.

   Поэтому-то совершенно естественно и образовалось подобие сходства планетных/спутниковых систем относительно наикрупнейшего тела. Зато имеются тела, расположенные в индивидуальных строках таблицы. Эти-то тела в резонанс не захватились и их наличие показывает, что все системы формировались особым, специфическим образом, а внешнее сходство чисто иллюзорное.

[Крупин]

     Однако, это не так. Даже те планеты и спутники, которые не находятся в обычном орбитальном резонансе связаны резонансами межорбитальными. Возьмём, например, числа 0,136 и 0,139 в 11-й строке таблицы:



    Сложив первое изних с единицей и поделив на два, получим 0,568. Но именно такое число расположено в 3-м столбце и 7-й строке таблицы




     Каков в этом физический смысл? Оказывается, астероид, обращающийся в точности посредине между Юпитером и Венерой находится в орбитальном резонансе 3/7 от Юпитера.

     Но ведь таких астероидов нет - это глубокий люк Кирквуда. Астероиды из этого люка раскачались из-за резонанса с Юпитером и переколотились. Да, переколотились, но не бессмысленно. Их осколки, соударяясь с планетезималями на орбите Венеры, активировали их, превратив в из съёжившихся компактных тел в обширные рои, гораздо эффективнее собирающие материал, подобно стрекозе, широко распахивающей мохнатые лапы, чтобы сподручнее ловить мошек на лету.

     Погибнув, астероиды люка 3/7 дали рождение планете Венера.

[Крупин]

   Случайным образом наткнулся на сообщение: Re: Открытия новых экзопланет  « Ответ #5339 : Сегодня в 05:22:46 » :

А вот сегодняшняя статья от Микко Туоми и ещё большой команды учёных: Signals embedded in the radial velocity noise. Periodic variations in the tau Ceti velocities.
Изучение полученных на спектрографах HARPS, AAPS, и HIRES радиальных скоростей звезды HD 10700 (Тау Кита), одного из самых близких жёлтых карликов к Солнцу (сп. класса G8.5 V, светимостью 0.488 солнечной), позволило обнаружить буквально на грани чувствительности вероятное присутствие пяти планет на орбитах с периодами 13.9, 35.4, 94, 168, и 640 дней. Их минимальные массы оцениваются соответственно 2.0, 3.1, 3.6, 4.3, и 6.6 М⊕!

     Решил проверить для неё «навскидку» «обычную» и «промежуточную» резонансность.   Обыкновенных орбитальных резонансов не нашёл (хотя особо тщательно не проверял). А как насчёт промежуточных?
   
     Обозначим планеты в порядке убывания периодов (соответственно орбитальных радиусов) Юп, Мар, Зем, Вен, Мер. Примем для Юп (период 640 суток) орбитальный радиус за единицу и рассчитаем радиуся остальных планет по 3-му закону Кеплера «квадраты периодов пропорциональны кубам радиусов». Получим следующий ряд чисел: 0,078  0,145  0,278  0,410 1,00000… .

     Средние радиусы «промежуточных» частиц равны: 0,539 0,573 0,639 0,705 .
Отношения периодов этих промежуточных частиц к периоду Юпа (опять же по 3-му закону Кеплера) равны:
0,396=1,98/5 (примерно 2/5), 0,434=3,04/7 (примерно 3/7), 0,511=1,02/2 (близко к 1/2), 0,592=2,96/5 (около 3/5).
Кроме того имеется ещё промежуточный резонанс Вен-Зем относительно Зем. Найдём отношение полуоси промежуточной частицы Вен-Зем  к радиусу Зем:
(0,145+0,278)/(2*0,278)=0,761 . Отношение периода такой пром. част.  к периоду Зем равно:
0,663=1,99/3 – почти 2/3 .

     Названия планет выбраны неслучайно. Юп, как все надо полагать догадались, «аналог» нашего Юпитера. Мер – Меркурия , Вен-Венеры. Это несколько символическое соответствие – на самом деле пропорциональности с Солнечной системой нет, хотя Вен относительно Юп занимает примерно то же положение, что и наша Венера относительно нашего Юпитера.

    Для Меркурия есть интересное совпадение. Мер располагается относительно Юп также, как афелий нашего Меркурия относительно нашего Юпитера. Возможно, на афелии Меркурия располагалась когда-то некая планетка - X  – аналог Мер. Когда Меркурий «раскачался» с круговой орбиты произошло столкновение с этой X. От Меркурия лишь тяжёлое ядро уцелело. Он вылетел из резонансной раскачки и застабилизировался.

[Searcher16]

Т.е. по вашей гипотезе у Тау Кита может быть планета № 6 в зоне обитаемости?

[Крупин]

     Меня не слишком волнует вопрос обитаемости , также как и конкретных абсолютных значений периодов или орбитальных радиусов. И мои закономерности не выражаются единой универсальной формулой наподобие закона Б-Т. В разных системах в зависимости от условий реализуются разные резонансные структуры. Насчёт Тау Кита  необходимости пропущенных планет не вижу.