Почему прецессирует плоскость колебаний маятника

[Незнайка-1]

Неидеальный может вертеться как угодно.

Нет. Все вертятся одинаково.

[VBR]

Я вот тут подумал - если амплитуда суммы перпендикулярных колебаний физического маятника очень велика, то главной силой, действующей на него, уже является сила реакции нити. А сила гравитации, ввиду относительной малости, является возмущающей.
Так что тело на нити уже можно и нужно рассматривать не как маятник, а как вращающееся вокруг подвеса.
Это уже ближе к движению планет. Поэтому эллипс в прямую не вырождается. А поворот - всё равно прежде всего следствие разности фаз перпендикулярных колебаний, нежели влияние возмущающей гравитации.
Так что некоторая истина в Вашем вопросе есть.

[VBR]

А вращение эллипса в ту же сторону, что движется груз - ничего удивительного, энергия на это вращение черпается от первоначального толчка, вот и направление совпадает.

[VBR]

Вот тут есть немного по теме
 http://www.nkj.ru/fun/konkurs/691/17568
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/1646/%D0%9C%D0%90%D0%AF%D0%A2%D0%9D%D0%98%D0%9A

Теория физ. и мат. маятников, сложение колебаний:
 http://window.edu.ru/window_catalog/files/r22756/021.pdf
http://www.tstu.ru/education/elib/pdf/2007/molotkov_lomak-k.pdf

[Крупин]

   Сколько абстрактных словесных рассуждений, что этого не может быть, потому что не может быть никогда. Я взял гайку, подвесил на нитке, продёрнутой через игольное ушко на игле, вбитой вертикально. Эффект есть. Эллипс, не меняя формы поворачивается именно в направлении, указанном Незнайкой.
   Думаю, дело здесь в некоторой разнице периодов колебаний по взаимно перпендикулярным осям. Период колебаний маятника несколько увеличивается с ростом амплипуды колебаний. Но полное обоснование, конечно посложнее.

[Незнайка-1]

    Думаю, дело здесь в некоторой разнице периодов колебаний по взаимно перпендикулярным осям. Период колебаний маятника несколько увеличивается с ростом амплипуды колебаний. Но полное обоснование, конечно посложнее.

Математическое выражение для фигур Лиссажу (википедия)
X(t)= A * sin(a*t +d)
Y(t)= B * sin(b*t)
Где: A,B – амплитуды; a,b – частоты;  d – сдвиг фаз

 Если A>B и считать, что b меньше a (колебание с меньшей амплитудой имеет меньший период) то будем иметь, что поворот эллипса будет тем быстрее, чем больше разность a-b, то есть A-B. На деле наоборот: чем ближе эллипс к кругу (и меньше разность A-B) тем больше прецессия. Теория разности периодов в двух направлениях в рамках выражения для фигур Лиссажу не проходит

[Крупин]

Маятник - груз, подвешеный на нити.
Если его качнуть так, чтобы он не проходил через точку отвеса, а описывал эллипсы, то увидими, что большая ось эллипса быстро поворачивается в ту же сторону, что движется груз.
  Прецессия будет тем больше, чем ближе эллипс к кругу, и практически исчезает при вырождении эллипса в отрезок прямой.
   В чём причина? Есть ли связь с вращеним линии апсид планет?
   

      Не знаю, знал ли Незнайка-1 заранее, что правильный ответ утвердительный, но действительно, оба явления - вращение осей эллипса маятника и орбит планет - одного поля ягода.
     Как было разобрано в теме https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,77318.0/all.html , при движении в центрально-симметричном поле гравитации с законами обратных квадратов (планеты) и линейного возрастания поля (движение внутри Земли) траекториями движения являются замкнутые кривые, причём в обоих случаях эллипсы. Для планет с одним из фокусов на Солнце, для движения внутри Земли - с центром эллипса в центре Земли. При прочих законах зависимости поля от расстояния до центра гравитации замкнутых кривых в общем случае не получается.
    Но если закон изменения поля слегка исказить, немного ослабив гравитацию в более дальней зоне, то оси эллипсов как раз начнут вращаться в направлении движения. Качественно объяснить явление просто. Допустим, в точке афелия мы чуть-чуть задержим планету, чтобы она прошла некоторый угол, а затем продолжим движение как прежде. На этот дополнительный уголок ось и провернётся.

[Fredagar]

А вращение эллипса в ту же сторону, что движется груз - ничего удивительного, энергия на это вращение черпается от первоначального толчка, вот и направление совпадает.

Вот. Запуская груз по эллипсу (кругу), мы тем самым придаём системе момент импульса, отличный от нуля, которому свойственно сохраняться. В тоже время, у маятника, просто колеблющегося во взаимно перпендикулярных направлениях, средний момент импульса равен нулю.

[Крупин]

А вращение эллипса в ту же сторону, что движется груз - ничего удивительного, энергия на это вращение черпается от первоначального толчка, вот и направление совпадает.

Вот. Запуская груз по эллипсу (кругу), мы тем самым придаём системе момент импульса, отличный от нуля, которому свойственно сохраняться. В тоже время, у маятника, просто колеблющегося во взаимно перпендикулярных направлениях, средний момент импульса равен нулю.

    Ничего подобного. Момент импульса равен нулю, только если в обоих взаимно-перпендикулярных направлениях колебания происходят в одной и той же фазе. Но это прямолинейное колебание. В случае же фазового сдвига (эллиптическое движение) момент ненулевой.

[Fredagar]

А вращение эллипса в ту же сторону, что движется груз - ничего удивительного, энергия на это вращение черпается от первоначального толчка, вот и направление совпадает.

Вот. Запуская груз по эллипсу (кругу), мы тем самым придаём системе момент импульса, отличный от нуля, которому свойственно сохраняться. В тоже время, у маятника, просто колеблющегося во взаимно перпендикулярных направлениях, средний момент импульса равен нулю.

    Ничего подобного. Момент импульса равен нулю, только если в обоих взаимно-перпендикулярных направлениях колебания происходят в одной и той же фазе. Но это прямолинейное колебание. В случае же фазового сдвига (эллиптическое движение) момент ненулевой.

Верно, не нулевой, это я ерунду спорол.

[Fredagar]

Но всё же... В эллипсе он не будет равен исходному. Короче, как пишет Ландавшиц для сферического маятника, а мы таковой имеем:

ml²sin²tettadfi/dt=M_z=const

а это совсем не эллипс. Вообще траектория получается сложной, между двумя окружностями, что и наблюдается на опыте.

[Крупин]

    Почему происходит поворот планетных или астероидных осей? Он происходит вследствие гравитационного воздействия других планет. Из-за малости масс планет относительно солнечной массы эффект накапливается длительное время, так что можно рассматривать возмущающую планету как бы равномерно размазанным по орбите кольцом. К примеру рассмотрим воздействие размазанного Юпитера на Марс. Размазанное кольцо оттягивает Марс от Солнца сильнее в афелии. Можно считать, что кольца нет, просто слегка нарушается закон обратных квадратов, а именно, в дальней зоне поле несколько слабее, чем по закону. Но тогда в этой зоне Марс задерживается дольше и проворачивается на больший угол, вследствие чего ось поворачивается в направлении движения. Для дальних планет Юпитер, усиливает гравитацию в перигелии, опять же вызывая разворот на больший угол.
   В случае же маятника возвращающая сила нелинейна, а пропорциональна sin(a*r) ? где a -некоторая константа, r - радиус-вектор. Синус тоже ослаблен вдали по сравнению с прямо пропорциональной зависимостью. Так что будет такой же эффект.

[Крупин]

Но всё же... В эллипсе он не будет равен исходному. Короче, как пишет Ландавшиц для сферического маятника, а мы таковой имеем:

ml²sin²tettadfi/dt=M_z=const

а это совсем не эллипс. Вообще траектория получается сложной, между двумя окружностями, что и наблюдается на опыте.

   Да, эллипсом для маятника он не будет, но мы сравниваем с движением внутри Земли, где зависимость строго линейная. Уже упомянутая тема https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,77318.0/all.html . Рассматривать как слегка искажённый эллипс вполне можно.

[Маринер-9]

По просьбе Незнайки, и представляя его интересы на форуме..

       В случае же маятника возвращающая сила нелинейна, а пропорциональна sin(a*r) ? где a -некоторая константа, r - радиус-вектор. Синус тоже ослаблен вдали по сравнению с прямо пропорциональной зависимостью. Так что будет такой же эффект.

  Сила, действующая на маятник, и направленная к центру (к точке отвеса):
  F = m * g * sin (Al), где m- масса, g- ускорение, Al- угол между направлениями на отвес и маятник (из точки крепления отвеса)
 Она действительно будет возрастать не совсем линейно. Но в отличии от планетных орбит, она возрастает! То есть в точке «афелия» маятник будет не задерживаться, а наоборот, сокращать там своё пребывание. Даже чисто качественно объяснить смещение эллипса в прямом направлении не удаётся!

  Да и окончательное решение вопроса возможно только при численном описании явления. Поэтому, просьба ко всем, комментировать приводимые формулы.

[Крупин]

По просьбе Незнайки, и представляя его интересы на форуме..

       В случае же маятника возвращающая сила нелинейна, а пропорциональна sin(a*r) ? где a -некоторая константа, r - радиус-вектор. Синус тоже ослаблен вдали по сравнению с прямо пропорциональной зависимостью. Так что будет такой же эффект.

  Сила, действующая на маятник, и направленная к центру (к точке отвеса):
  F = m * g * sin (Al), где m- масса, g- ускорение, Al- угол между направлениями на отвес и маятник (из точки крепления отвеса)
 Она действительно будет возрастать не совсем линейно. Но в отличии от планетных орбит, она возрастает! То есть в точке «афелия» маятник будет не задерживаться, а наоборот, сокращать там своё пребывание. Даже чисто качественно объяснить смещение эллипса в прямом направлении не удаётся!

  Да и окончательное решение вопроса возможно только при численном описании явления. Поэтому, просьба ко всем, комментировать приводимые формулы.

    Я уже дважды приводил ссылку на тему, в которой говорится, что при линейном возрастании силы тяжести образуется замкнутая кривая - эллипс. В случае маятника возрастание в удалённой области хотя и есть, но темп возрастания слабее линейного. Поэтому и происходит как бы задержка (по сравнению с линейным случаем), а стало быть и поворот оси.
    Всё познаётся в сравнении!. Надо просто сопоставить друг с другом идеальный эллипс в случае движения внутри Земли с движением маятника. Чем ближе к центру, тем точнее синус приближается к линейному закону - фигуры почти совмещаются. В дальней области увеличиваются расхождения. И из-за недостаточно высокого темпа роста синуса в сравнении с прямой, маятниковая фигура проворачивается на больший уголок. Фигура становится незамкнутой.
    Если бы вместо синусоидального был, например, тангенциальный закон роста, более крутой, чем линейный, тогда бы , наоборот, верхнюю часть маятник проходил быстрее по сравнению с линейным маятником. И ось вращалась бы в противоположном направлении.

[Маринер-9]

    Всё познаётся в сравнении!. Надо просто сопоставить друг с другом идеальный эллипс в случае движения внутри Земли с движением маятника. Чем ближе к центру, тем точнее синус приближается к линейному закону - фигуры почти совмещаются. В дальней области увеличиваются расхождения. И из-за недостаточно высокого темпа роста синуса в сравнении с прямой, маятниковая фигура проворачивается на больший уголок. Фигура становится незамкнутой.
   

Фигура отклоняется от эллипса, возможно. Но дальнейшие рассуждения не обоснованы. Так же, как в случае с фигурами Лиссажу. Разная частота в разных направлениях должна приводить к наибольшей прецессии при наименьшем эксцентриситете. Наблюдается обратное.
  Да и с качественными рассуждениями легко впасть в ошибку. Нужно описание.

[Fredagar]

Это задача о сферическом маятнике. Она давно решена, но форма решения имеет нетривиальный вид, поэтому даже в университетском курсе она идет в дополнение к основному материалу.

А почему "прецессия" больше в случае меньшего "эксцентриситета", может быть на пальцах объяснено из формулы, которую я постил. Чем ближе траектория к окружности, тем больше исходный момент, соответственно, при том же размахе (tetta) угловая скорость (dfi/dt) больше. Но угловую скорость можно представить как сумму движения по "эллипсу" и "прецессии". В крайнем случае простого маятника нет исходного момента, нет и движения по "эллипсу" и нет "прецессии".

Только всё это неправильно.  Недаром я заковычил.

[Маринер-9]

Это задача о сферическом маятнике. Она давно решена, но форма решения имеет нетривиальный вид, поэтому даже в университетском курсе она идет в дополнение к основному материалу.

  Спасибо. Хотя бы скажите:
1. Траектория сферического маятника - всё-таки эллипс?
2. Причина поворота ("прецессии")

[VBR]

А ничего, что "прецессия" - это все же поворот плоскости осевого вращения,  а не самой орбиты?
Уж тогда лучше действительно обзывать "поворотом орбиты" (апсид там тоже никаких нет).  А то, действительно, получается уже почти совсем не маятник и уж совсем не прецессия, несмотря на название темы.

[Крупин]

   Теория сферического маятника есть в http://www.emomi.com/download/sommerfeld/117-157.pdf . (начиная со стр.129). Выражение для угла прецессии дано на стр.133.