Просверлить Землю

[Хотелбытькосмонавтом]

Слушайте, люди! С детства интересуюсь космосом. И до сих пор задаюсь простым на первый взгляд вопросом (наверное, больше физическим, чем астрономическим): Если просверлить насквозь нашу планету через центр (гипотетически, конечно) и бросить в это отверстие какой-либо предмет, то что с ним произойдет: пролетит насквозь, зависнет в центре, упадет на что-нибудь или еще что? Хорошо, если ответит спец, обоснует, только не слишком заумно.

[Крупин]

   Если не учитывать осевое (суточное) вращение Земли, то брошенный в сквозной колодец камень пролетит через центр Земли и вылетит наружу с другого конца до такой же высоты, с какой его бросили. Затем опять полетит к центру и вернётся в исходную точку. И так до бесконечности, если не будет потерь энергии на сопротивление воздуха.
   Причём период колебаний будет таким же, как период обращения спутника у поверхности Земли (но это при условии, что плотность Земли не зависит от глубины, что на самом деле не так).

[Хотелбытькосмонавтом]

Спасибо! Получается нечто вроде вечного двигателя!

[Крупин]

Спасибо! Получается нечто вроде вечного двигателя!

    Скорее вечного прыгателя. Если взять идеальный мячик в вакууме, то он тоже будет вечно скакать. Но только в идеале. Реально всегда есть трение и прочие диссипативные процессы. Но даже если их не будет (например в сверхпроводнике), это всё равно не вечный двигатель, который должен не только крутиться (или прыгать) вхолостую, но и полезную работу давать.

[Маринер-9]

     Причём период колебаний будет таким же, как период обращения спутника у поверхности Земли (но это при условии, что плотность Земли не зависит от глубины, что на самом деле не так).

  А расчёты, плиз, можно? Силы, действующие на такое тело будут другими - в центре Земли гравитации не будет...
    А вообще, интересно. Висим, допустим, в центре Земли, чудовищное давление, а.. Невесомость! Спрашивается, как узнать, откуда давление? (для жителя центра Земли, никогда нигде не бывавшего?)

[Elentirmo]

Читаем Перельмана, "Занимательную физику". Там все написано. Эх, забывать стали классиков, вот и пошли вопросы...

[AstroNick]

Или читаем форум: Занимательные задачи
Там эта задача подробно разбиралась!

[Крупин]

Читаем Перельмана, "Занимательную физику". Там все написано. Эх, забывать стали классиков, вот и пошли вопросы...

  Да, у Перельмана об этом есть. Можно прочитать, например, http://lib.rus.ec/b/76907/read - раздел "В бездонном колодце". Однако, чисто качественно.

     Причём период колебаний будет таким же, как период обращения спутника у поверхности Земли (но это при условии, что плотность Земли не зависит от глубины, что на самом деле не так).

  А расчёты, плиз, можно? Силы, действующие на такое тело будут другими - в центре Земли гравитации не будет...
    А вообще, интересно. Висим, допустим, в центре Земли, чудовищное давление, а.. Невесомость! Спрашивается, как узнать, откуда давление? (для жителя центра Земли, никогда нигде не бывавшего?)

   Можно было бы и расчёты привести. Но можно и "на пальцах" сообразить. Разрежем Землю по экватору. И эту плоскость разреза совместим с плоскостью экрана. Пусть сквозной тоннель прорыт по вертикали - по оси Y. В верхней точке одновременно запустим спутник - горизонтально и отпустим в колодец булыжник - будет падать вертикально. Оказывается, спутник и булыжник всё время будут находиться на одной высоте (у них будут всё время равные Y-координаты). Объясняется это тем, что сила тяжести булыжника прямо пропорциональна расстоянию до центра Земли. А это расстояние равно смещению по оси Y.  И проекция силы тяжести спутника на ось Y также прямо пропорциональна тому же смещению. Т.е. и спутник и камень движутся по оси Y совершенно одинаково.
    Конечно, это верно для невращающейся Земли.

[Крупин]

   Но плотность Земли не постоянна, а возрастает к центру. И чем больше неоднородность, тем меньше период колебаний. А каков будет период в предельном случае - когда вся Земля сожмётся практически в точку в центре Земли, а плотность Земли во всех других уменьшится до нуля? (только не будем привлекать теорию чёрных дыр). Можно, конечно применить интегралы, но можно и попроще решить.

[Маринер-9]

Для равноплотной Земли можно объяснить попроще. Маятник (шарик на нити) движется по окружности (постоянная сила) и через центр (сила пропорциональна расстоянию) с одним периодом (период зависит только от длины маятника).
  Для неравноплотной нужно интегрирование.
А всё-таки, как объяснить огромное давление наблюдателю в центре Земли? Ведь про силу тяжести он не сможет узнать...

[serega2007]

           Не по теме , но
    С приятелем решили копать ход в Америку . Даже не подозревали , что попадем в район Новой Зеландии . Интересно , чем бы все кончилось , но вмешались взрослые и объяснили сложность задачи . Ну а в выкопаной яме потом зарывали картошку .
  В предложеной задаче теже качели - переход потенц. энергии в кинетическую , и так до бесконечности , при отсутствии потерь .
  Если Земля вращается , то траектория камня будет довольно  сложной ( если , разумеется , земля будет расступаться пред ним )
    Сначала это будет эллипс ( как у камня брошеного под углом к горизонту ) затем эксцентриситет будет расти , а радиус уменьшаться . После прохождения нижней точки , все повторится в обратном порядке . На поверхность выскочит, таким образом не в " антиподной " точке ,, и по новой кривой снова начнет " сверлить "" Землю .

[serega2007]

(только не будем привлекать теорию чёрных дыр

       А чего мелочится ? Из алгебры и будет в этом случае сингулярность .

[Крупин]

Для равноплотной Земли можно объяснить попроще. Маятник (шарик на нити) движется по окружности (постоянная сила) и через центр (сила пропорциональна расстоянию) с одним периодом (период зависит только от длины маятника).
 

Хорошая аналогия.

  Для неравноплотной нужно интегрирование.
 

    В общем случае, конечно, да - нужно. Но в самом предельном, когда вся масса Земли сосредоточена в точечном ядре, а прочая Земля невесома можно просто воспользоваться третьим законом Кеплера.
   Рассмотрим такую и невращающуюся Землю. Если Земля вращается самую малость и камень падает не совсем отвесно, то камень движется по кеплерову эллипсу. Длина большой оси этого эллипса почти равна земному радиусу. В пределе (при невращающейся Земле) она в точности ему равна. Отношение больших осей приземного спутника и камня в этом случае равно двум. Тогда по 3-му закону Кеплера отношение  периодов равно двум корням из двух. Время сквозного пролёта камня равно периоду предельно эллиптического движения, т.е. в два корня из двух меньше периода спутника. Период колебания туда-сюда вдвое больше, т.е. в корень из двух меньше периода спутника больше периода спутника.

[StAlex]

Если просверлить насквозь нашу планету через центр (гипотетически, конечно) и бросить в это отверстие какой-либо предмет, то что с ним произойдет: пролетит насквозь, зависнет в центре, упадет на что-нибудь или еще что?

А если не бросать, а "идти туда пешком" (спускаться по лестнице)?

[Крупин]

    В общем, с невращающейся Землёй вопрос ясен в обоих предельных случаях - как равноплотной Земли, так и Земли, вся масса которой сосредоточена в центре. В случае же вращающейся Земли возникает вопрос как условие задачи понимать?
   Трактовка первая - прорыт прямолинейный сквозной канал через центр. Но в этом случае камень уже не падает свободно, а существует сила со стороны стенок. Однако, если стенки будут идеально скользкими (без трения), то как и с невращающейся Землёй камень будет бесконечно колебаться туда-сюда. Его движение проще рассматривать во вращающейся системе, вводя центробежную силу. В такой системе возникнет ещё и сила Кориолиса, однако она для прямолинейного диаметрального канала скомпенсируется давлением стенок и её можно не учитывать.
   Если в случае равноплотной Земли сквозной канал прорыт между экваториальными точками, то из силы тяжести вычитается центробежная сила. А обе силы прямо пропорциональны расстоянию до центра. Следовательно ситуация будет аналогичной движению в равноплотной Земле с уменьшенной (из-за вращения) плотностью.

[Александр К.]

только как Землю просверлить, если под корой мантия

[taurus]

  Если Земля вращается , то траектория камня будет довольно  сложной ( если , разумеется , земля будет расступаться пред ним )
    Сначала это будет эллипс ( как у камня брошеного под углом к горизонту ) затем эксцентриситет будет расти , а радиус уменьшаться . После прохождения нижней точки , все повторится в обратном порядке . На поверхность выскочит, таким образом не в " антиподной " точке ,, и по новой кривой снова начнет " сверлить "" Землю .

Вопрос подробно исследовался в упомянутой уже ветке "Занимательные задачи". Для равноплотной Земли траектория будет эллипс. Для неравноплотной - сложная кривая, но по-моему, симметричная, то есть "выход" будет все равно в "антиподной" точке.

[Крупин]

  Если Земля вращается , то траектория камня будет довольно  сложной ( если , разумеется , земля будет расступаться пред ним )
    Сначала это будет эллипс ( как у камня брошеного под углом к горизонту ) затем эксцентриситет будет расти , а радиус уменьшаться . После прохождения нижней точки , все повторится в обратном порядке . На поверхность выскочит, таким образом не в " антиподной " точке ,, и по новой кривой снова начнет " сверлить "" Землю .

Вопрос подробно исследовался в упомянутой уже ветке "Занимательные задачи". Для равноплотной Земли траектория будет эллипс. Для неравноплотной - сложная кривая, но по-моему, симметричная, то есть "выход" будет все равно в "антиподной" точке.

   В этом рассмотрении щшибка ошибку погоняет. Эллипс будет в случае точечной Земли, вся масса которой сосредоточена в центре. В случае равноплотности никаким эллипсом не пахнет.

[taurus]

   В этом рассмотрении щшибка ошибку погоняет. Эллипс будет в случае точечной Земли, вся масса которой сосредоточена в центре. В случае равноплотности никаким эллипсом не пахнет.

Почитайте, пожалуйста, внимательно анализ ситуации. Там подробно и понятно описано. Точечная Земля - случай банальный, известный со школы; мы его не обсуждаем.

[Крупин]

   В этом рассмотрении щшибка ошибку погоняет. Эллипс будет в случае точечной Земли, вся масса которой сосредоточена в центре. В случае равноплотности никаким эллипсом не пахнет.

Почитайте, пожалуйста, внимательно анализ ситуации. Там подробно и понятно описано. Точечная Земля - случай банальный, известный со школы; мы его не обсуждаем.

   Но камень движется по эллипсу как раз только в этом банальном случае, когда гравитационное поле обратно пропорционально квадрату расстояния. В случае же движения внутри Земли, поле не уменьшается, а наоборот, увеличивается с возрастанием радиуса (прямо пропорционально ему). При движении в таком поле никаких эллипсов не наблюдается.