Формула парада планет

[Shandrik]

Для синодического периода формула известна:
1/S = (1/P) – (1/ Po)

Сломал голову, но не могу вывести даже для трех планет

Другой вариант - вывести формулу, по которой можно посчитать, когда часовая, минутная и секундная стрелки пересекаются.

[Kedr]

Как-то тоже пытался вывести формулу для соединения планет, ничего не получилось.
Даже сомневаюсь что такая формула существует в явном виде.

[lebevad]

Нужно приблизить периоды целыми числами и считать наибольшее общее кратное

[sektorich]

Данная формула справедлива лишь для нижних планет! Для верхних планет дроби меняются местами

[sektorich]

Например, промежуток времени между двумя противостояниями Марса.

Угловая скорость движения планет тем больше, чем они ближе к Солнцу. Поэтому после противостояния Марса Земля станет его обгонять. С каждым днем она будет отходить от него все дальше. Когда она обгонит его на полный оборот, то снова произойдет противостояние. Значит, синодический период внешней планеты — это промежуток времени, по истечении которого Земля обгоняет планету на 360° в их движении вокруг Солнца. Например, синодический период Марса 780, Юпитера 399 суток. Для Венеры синодический период составляет 584 дня.

http://skywatching.net/astro/sinod.php

[Mars]

А в чём её смысл?

[sektorich]

Сегодня 15 января 2010 года, к примеру, Марс и Земля находяться в таком вот положении http://space.jpl.nasa.gov/cgi-bin/wspace?tbody=-226&vbody=1002&month=1&day=15&year=2010&hour=00&minute=00&fovmul=1&rfov=120&bfov=30&porbs=1&showsc=1
Для Марса синодический период равен 780 суток. То бишь, через этот промежуток времени 5 марта 2012 года мы будем наблюдать аналогичное по отношению друг к другу расположение планет:  http://space.jpl.nasa.gov/cgi-bin/wspace?tbody=-226&vbody=1002&month=3&day=5&year=2012&hour=00&minute=00&fovmul=1&rfov=45&bfov=30&porbs=1&showsc=1 

[Parmion]

С планетами все реально будет горааааздо сложнее чем с часами. А задача с часами вполне нехитрая.
Для часовой и минутной стрелок она (численно) решается так:
Пусть минутная стрелка совершает 12 полных оборотов, т.е. t := от 0 до 24pi
За это время часовая стрелка совершает 1 оборот, и ее угол поворота (в радианах) равен t/12
Угол поворота минутной стрелки - это дробная часть от деления t на 2pi, снова умноженная на 2pi: {t/2pi}*2pi
Таким образом, критерий совпадения: |t/12 - {t/2pi}*2pi|<e
Нетрудно добавить и секундную стрелку, если вспомнить что она за 1 полный оборот часовой стрелки сделает 12х60 = 720 оборотов, т.е. 1440pi и т.д.

[SWN]

Как-то тоже пытался вывести формулу для соединения планет, ничего не получилось.
Даже сомневаюсь что такая формула существует в явном виде.

    И надо еще учитывать возможность расположения планет в каком-то секторе.

[Shandrik]

С планетами все реально будет горааааздо сложнее чем с часами. А задача с часами вполне нехитрая.
Для часовой и минутной стрелок она (численно) решается так:
Пусть минутная стрелка совершает 12 полных оборотов, т.е. t := от 0 до 24pi
За это время часовая стрелка совершает 1 оборот, и ее угол поворота (в радианах) равен t/12
Угол поворота минутной стрелки - это дробная часть от деления t на 2pi, снова умноженная на 2pi: {t/2pi}*2pi
Таким образом, критерий совпадения: |t/12 - {t/2pi}*2pi|<e
Нетрудно добавить и секундную стрелку, если вспомнить что она за 1 полный оборот часовой стрелки сделает 12х60 = 720 оборотов, т.е. 1440pi и т.д.

Зачем так сложно? Решаем через синодический период:
Часовая-минутная: 1/S=1/1-1/12, откуда S=12/11=1,0909=1ч 5м 27с - через каждый такой период стрелки пересекутся
Минутная-секундная: 1/S=1/1-1/60, откуда S=60/59=1,01695=1м 1с - через каждый такой период стрелки пересекутся


Хотелось бы получить аналитическую формулу для пересечения N стрелок, период обращения которых P1, P2, P3,... Pn 
Она одинаково подойдет и для часов, и для планет.

[Shandrik]

А в чём её смысл?

Смысл в избавлении от мучений - уже лет 10 время от времени пытаюсь забодать эту задачу

[sektorich]

Выше была мысль о наименьших общих кратных. Как насчёт посчитать синодические периоды N числа планет и привести к наименьшему общему делителю. Хотя думается, что число получится очень большое!

[sektorich]

Или же пойти от противного: взять периоды между 2 парадми  одних и тех же планет и от этого времени попытаться найти
зависимость.

[Parmion]

2Shandrik: Ну, это кому что нравится. Аналитически у нас получилось 2 периода для каждой пары стрелок, однако теперь надо найти еще и моменты точного (NB!) совпадения для всех трех стрелок, т.е. совпадения двух совпадающих пар, верно? Значит, перемножаем полученные периоды. Сами понимаете, если теперь аналитически считать такой "парад планет" для 8 стрелок (уууу и огого!) - это ж нам нужно будет перебрать ВСЕ группы стрелок числом от 2 до 7, это уже комбинаторика, а потом еще и перемножать результаты... В общем, Sektorich прав - число получится не просто ОЧЕНЬ БОЛЬШОЕ, а ОЧЕНЬ-ОЧЕНЬ БОЛЬШОЕ (давно не считали биномиальные коэффициенты и все такое? ) Реально можно свихнуться Да и, собственно говоря, зачем требовать абсолютно точного расположения на одной прямой? На самом деле гораздо практичнее искать положение "стрелок" внутри определенного сектора, а это как раз требует численного решения. Задаем нужную точность (e) и вперед. Совершенно согласен, что аналитические решения выглядят на бумаге гораздо изящнее численных, но на практике они - увы - слишком часто малополезны...

[Миллиард]

Для вывода формулы парада планет нужно определить понятие "парад планет". Очевидно, что три планеты находиться строго на одной линии не могут (вероятность этого стремится к нулю). Поэтому нужно ввести параметр, показывающий отклонение одной планеты от прямой, соединяющей две другие. Это может быть например (как указал SWN) угол сектора с вершиной в центре Солнца. Для стрелок часов действительно несложно вывести формулу через наименьшее общее кратное, потому что их периоды обращения соотносятся как целые числа, в случае же планет отношение их периодов иррационально и "период парада планет" можно вычислить только с учётом параметра отклонения. И при уменьшении этого параметра "период парада планет" будет скачкообразно увеличиваться в целое число раз.

[Shandrik]

Я все же, наверное, неправильно расставил акценты. Меня в первую очередь интересует аналитическая формула, хотя бы для трех стрелок.
Существует ли она вообще?

Парады планет давайте оставим в покое - не надо прикидывать и рассчитывать размеры сектора тесного сближения и тому подобное. Просто интересна формула.

[Parmion]

Как мне кажется, Вы сами уже практически на свой вопрос ответили. Для двух пар периодов (минутная/секундная и часовая/минутная) надо найти наименьшее общее кратное, ведь так? Но для НОК, как известно, аналитических формул нет. Есть только приближенные оценки.

[Axon]

Три стрелки часов совпадают точно только тогда, когда они все указывают на 12. Кажется, читал об этом у Мартина Гарднера (там ещё была задачка о том, когда (не считая 12:00:00) стрелки встречаются наиболее близко).
Что касается трёх планет, то, как справедливо заметили выше, математически точно они не будут на одной линии никогда (на одной линии с Солнцем, я имею в виду) из-за несоизмеримости периодов обращения (даже если пренебречь тем, что их орбиты не лежат в одной плоскости).

[Миллиард]

Кстати для стрелок часов "парад планет" в общем случае не происходит. (Под общим случаем имею в виду случайное начальное расположение стрелок, т.е. часы показывают "неправильное" время). Например, часовая и минутная показывают вертикально вверх, а секундная на одно деление вправо. Очевидно, что в этом случае все три стрелки никогда не окажутся на одной линии, хотя останется периодичность, с которой стрелки часов будут оказываться в том же положении (в данном случае 12 часов).