Без нее ПТ не вывести, по ней один из коэффициентов обнуляется.
Воспроизведу вывод преобразований СЭТ на базе изложенного вывода в ФМР №3-2001, но в более подробном изложении, из которого видно, что постулат об абсолютной одновременности, о необходимости которого
говорил А.М. Чепик в начале темы, действительно требуется для окончательного вида преобразований.
В ИСО’ свет проходит оптическую линию O'A' длиной L’ сначала в прямом, а затем в обратном направлении, поэтому, в силу второго постулата СЭТ об инвариантности двусторонней скорости света, можем записать:
\( 2L’ = c(t’_+ + t’_-) \) (1)
Оптическая линия движется со скоростью V относительно эфира. Свет распространяется в эфире, а в ИСО’ он лишь наблюдается. В АСО, связанной с эфиром, он пройдет пути S1 и S2 и в силу изотропии скорости света в среде его распространения, можно написать
\( S_1 + S_2 = c(t_+ + t_-) \) (2)
Что и показано на рисунке
Пусть у нас есть преобразования координат и времени от АСО к ИСО. Выразим (1) через координаты и время в АСО с помощью таких преобразований и вычислим отсюда \(c(t_+ + t_-)\).
Найдем также \(c(t_+ + t_-)\) из (2).
Выразим L' в (1) через разности координат оптической линии в собственной ИСО’ и возведем в квадрат
\((x’_1 – x’_0)^2 + (y’_1 – y’_0)^2 = c^2 (t’_+ + t’_-)^2/4 \) (3)
В АСО величину \((сt_+ +сt_-)\) будем искать из рассмотрения геометрии движения отрезка OA (O'A' в движущейся системе отсчета) и луча света в абсолютной системе отсчета (OXY), выведем связь абсолютных времен распространения света вдоль направлений \(OA_1 (t_+)\) и \(A_1O_2 (t_-) \) при произвольном угле ориентации отрезка \(\alpha \) в OXY относительно вектора скорости V. Из треугольников \(OA_1O_1\) и \(O_1A_1O_2\) (см. рис.), учитывая
\( ( OO_1 = Vt_+)\; ( O_1O_2 = Vt_-) \) (4)
\( ( OA_1 = ct_+ )\; ( A_1O_2 = ct_- )\) (5)
Получаем
\( (ct_+)^2 = L^2+(Vt_+)^2+2L(Vt_+)cos\alpha \) (6)
\( (ct_-)^2 = L^2+(Vt_-)^2 - 2L(Vt_-)cos\alpha \) (7)
Откуда находим
\(t_+ , t_- = \Large\frac{ \pm LVcos\alpha+Lc\sqrt{[1-(V^2/c^2)sin^2\alpha}}{(c^2 - V^2)} \) (8 )
\((t_+ + t_-) = \Large\frac{ 2Lc\sqrt{[1-(V^2/c^2)sin^2\alpha}}{(c^2 - V^2)} \) (9)
\( t_+ = (t_+ + t_-)/2 + \Large\frac{ LVcos\alpha}{(c^2 - V^2)} \) (10)
C учетом \(L_x=(x_1-x_0) - Vt_+\) имеем:
\( (t_+ + t_-)/2 = \Large\frac{t_+ - V(x_1-x_0)/c^2}{(1 – V^2/c^2)} \) (11)
Соответственно квадрат этого выражения будет
\( c^2 (t_+ + t_-)^2 /4 = \Large\frac{с^2 t_+^2 + V^2 (x_1-x_0) ^2 /c^2 - 2V t_+(x_1-x_0) }{(1 – V^2/c^2)^2 } \) (12)
Будем искать преобразования в линейном виде
\(x' = a_1 x + b_1 t\) или c учетом x=Vt при x'=0 получим
\(x' = a_1(x - Vt)\) (13)
\(t' = b_2 t + a_2 x \) (14)
\(y' = y\) (15 )
Теперь проведем замену координат в (3) в соответствии с этими преобразованиями:
\( \Big(a_1(x_1 – x_0) – a_1Vt_+\Big)^2 + (y_1 – y_0)^2 =c^2 \Big (b_2 t_+ + a_2 (x_1 – x_0) + b_2 t_- + a_2 (x_2 – x_1)\Big )^2/4 \) (16)
Из прямоугольного треугольника \( ОА_1О_1 \) выразим \((y_1 – y_0) ^2\) через \( ct_+ \) и \((x_1-x_0)\)
\((y_1 – y_0) ^2 = c^2t_+^2 - (x_1 – x_0)^2 \) (17)
Кроме того учтем (см. рисунок), что
\((x_2 – x_1) = V(t_+ + t_-) - (x_1 – x_0)\) (18)
В результате получим
\( \Big(a_1(x_1 – x_0) – a_1Vt_+\Big)^2 + c^2t_+^2 - (x_1 – x_0)^2 = c^2 \Bigg (b_2( t_+ + t_-) + a_2 (x_1 – x_0) + a_2 \bigg( V(t_+ + t_-) - (x_1 – x_0)\bigg)\Bigg)^2/4 \) (19)
Возводим в квадрат слагаемые в левой части уравнения
\( a_1^2 (x_1 – x_0) ^2 + a_1^2V^2t_+^2 – 2a_1^2Vt_+(x_1 – x_0) + c^2t_+^2 - (x_1 – x_0)^2 = c^2 \Big ( (b_2+ a_2 V)( t_+ + t_-) \Big)^2/4 \) (20)
Собираем подобные
\( (a_1^2 – 1) (x_1 – x_0) ^2 + (a_1^2 V^2 + c^2)t_+^2 – 2a_1^2Vt_+(x_1 – x_0) = c^2 (b_2+ a_2V)^2 ( t_+ + t_-)^2/4 \) (21)
Разделим обе части равенства на коэффициент \( (b_2+ a_2V)^2\)
\( c^2 ( t_+ + t_-)^2/4 =\Large\frac {(a_1^2 – 1) (x_1 – x_0) ^2} {(b_2+ a_2V)^2 } + \frac{(a_1^2 V^2 + c^2)t_+^2} {(b_2+ a_2V)^2 } \: – \frac{2a_1^2Vt_+(x_1 – x_0)}{ (b_2+ a_2V)^2 } \) (22)
Для сравнения перепишем выражение (12)
\( c^2 (t_+ + t_-)^2 /4 = \Large\frac{ V^2 (x_1-x_0) ^2 /c^2 }{(1 – V^2/c^2)^2 }+ \frac{с^2 t_+^2}{(1 – V^2/c^2)^2 } - \frac{2V t_+(x_1-x_0) }{(1 – V^2/c^2)^2 } \) (23)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых переменных
\( (x_1 – x_0)^2 \Rrightarrow (a_1^2 – 1) /(b_2+ a_2V)^2 = (V^2/c^2) /(1 – V^2/c^2)^2 \) (24)
\(t_+^2 \Rrightarrow (a_1^2 V^2 + c^2) /(b_2+ a_2V)^2 = c^2/(1 – V^2/c^2)^2 \) (25)
\( t_+(x_1-x_0) \Rrightarrow \: – 2a_1^2V/(b_2 + a_2V)^2 = - 2V/(1 – V^2/c^2)^2 \) (26)
Из (26) и (24) находим
\( a_1^2 = 1/(1 – V^2/c^2) \) (27)
Далее
\( (b_2+ a_2V) = \sqrt{1 – V^2/c^2} \) (28)
Как видим, коэффициенты для преобразования времени невозможно разделить без дополнительного условия.
Если же потребовать абсолютную одновременность
\(\Delta t’ = \Delta t = 0\) (30)
Тогда появится недостающее уравнение
\(\Delta t' = b_2 \Delta t + a_2 \Delta x = 0 \) (31)
Откуда получим
\( a_2 = 0 \) (32)
Что и позволяет закрыть этот гештальт
\( x' =\Large\frac{x - Vt}{\sqrt{1-V^2/c^2} } \) (33)
\(\ t' = t\sqrt{1-V^2/c^2} \) (34)