О разрешении в планетной фотографии

[genmih]

волнует вопрос, что должно получиться на выходе?
Как я понимаю на стадии записи надо будет увеличить число пикселей на единицу релеевского разрешения, на стадии обработки можно использовать наши привычные программы типа Регистакса?
И должна появиться программа постобработки, устраняющая влияние дифракции и тем самым повышающая четкость изображения или реальное разрешение?

 - на выходе – синтезированное без дифракционное изображение высокого разрешения. Все правильно поняли, увеличение числа пикселей на радиус, увеличение разрядности АЦП, снижение шума. Планирую далее в первую очередь рассмотреть разрешение с учетом шума, это даст более реальные оценки. На стадии обработки: пока ничего сказать не могу, возможно и привычные программы – достаточно хороши, возможно, что разборки влияния шума на разрешение дадут какие-либо подсказки.

   Постепенно до всего дойдем, предполагаю, что на все вопросы, перечисленные в сообщении 1306 этой темы, мне удастся ответить с единой предлагаемой позиции, которая теперь достаточно ясна (надеюсь) из изложенного.

[genmih]

   Точечные источники (отражатели) с не одинаковой яркостью.

   Пусть один из источников ярче другого и они расположены на малом угловом расстоянии. Это разные самостоятельные источники, реальное расстояние между ними в направлении на комплекс-телескоп огромно. Интерферировать между собой и создавать дифракционную картинку на изображении могут пучки света, принадлежащие одному и тому же источнику. Вероятность того чтобы самостоятельные источники оказались когерентными и создавали одно общее дифракционное изображение очень мала. Аналогичные рассуждения можно провести и по отношению к точечным отражателям, расположенным на малом угловом расстоянии. Не когерентность отраженных от точечных отражателей пучков связана с малой вероятностью когерентного освещения: как ни мало угловое расстояние между отражателями, соответствующая ему разность хода лучей до сенсора гораздо больше длины когерентности волн источника освещения. Поэтому нет никакого запрета для того, чтобы оптическая система телескопа сформировала отдельные дифракционные изображения от как угодно близко расположенных по углу источников или отражателей с одинаковой или различающейся яркостью. Ограничением для регистрации «слабого» источника может быть только чувствительность сенсора и высокий уровень шума. Продолжим рассмотрение в отсутствие шумов.

В случае источников с различающейся яркостью суммарное пятно на первичном изображении связано с наиболее ярким источником. При сравнении суммарного пятна-изображения от двух источников с не одинаковой яркостью с изображением одного источника (с ФРТ) (при поиске суммы квадратов разностей) имеет смысл совмещать с этой ФРТ «центр тяжести» суммарного пятна. То есть нужно располагать «центр тяжести» в начале координат, так же как и центр ФРТ. Это обеспечивает наименьшее различие изображений и позволяет избежать неоправданно больших сумм квадратов разностей.

Если обозначим яркость одного источника как i_1 , то яркость второго = 1 - i_1 (в сумме яркость = 1). Расстояние между источниками L, и для совмещения «центра тяжести» с началом координат надо, чтобы расстояния и яркости были в соотношениях:
   i_1 * L1 = i_2 * L2
        i_1 + i_2 = 1
        L1 + L2 = L
откуда расстояние первого и второго источника до начала координат
   L1=L(1 – i_1),    L2 = i_1 * L
Например, при уменьшении расстояния между источниками от Релеевского до нуля источник с интенсивностью i_1 будет смещаться от L1 до начала координат.

   Например, пусть i_1 = 0.05. При визуальном рассматривании зарегистрированного изображения обнаружить такой слабый источник рядом с сильным, даже на расстоянии Релея, скорее всего - не реально, см. рис. 121010_1, слева. Обнаружение возможно на «слегка» обработанном изображении с умышленным сжатием динамического диапазона логарифмированием, см. рис. 121010_1, справа, масштаб по x,y - тот же.

Такой 5% источник, находящийся рядом с 95% источником на расстоянии Релея, можно обнаружить на картинке-графике (рис. 121008_2). Здесь на графиках справа – сечение изображения по оси, соединяющей источники, внизу справа – в логарифмическом масштабе. Естественно, это идеализированный пример, для зарегистрированного изображения от реального объекта такой способ обнаружения «врукопашную» мало приемлем.

   Результаты расчетов.

Как и в предыдущем рассмотрении «без шума и пыли» различием изображений считал ту же самую идеализацию: один уровень АЦП в одном пикселе. Как и прежде, подсчитывал суммы квадратов разностей. Результаты отличаются от случая с источниками равных яркостей только количественно, значения сумм становятся меньше, разрешаемые расстояния в принятой идеализации соответственно увеличиваются. Качественно результаты схожи со случаем равных по яркости источников (рис. 121008_4).

[genmih]

Результаты оценок минимального расстояния между источниками с одинаковой и не одинаковой яркостью – см в таблице (рис. 121008_11.jpg).

   Качественное совпадение результатов оценок для случаев равных и не равных по яркости источников проявляется и еще в одной особенности. «Разностное изображение» (это квадрат разности двух изображений, на одном из которых – два источника на некотором расстоянии друг от друга, на втором – один источник, то есть ФРТ) – сохраняет свою форму примерно постоянной при любых расстояниях (меньше Релеевского) между источниками и соотношениях яркости. Поначалу представлялось, что положение и величины как минимумов, так и максимумов на разностном изображении будут изменяться, так же как и на суммарном изображении двух источников при их сближении. То есть - посмотреть на такое изображение можно было бы только ради любопытства, и я не ожидал обнаружить в нем хоть какую-то закономерность. Но оказалось совсем не так. При сближении источников до очень малых расстояний в сравнении с Релеевским, форма разностного изображения сохраняется, изменяются только числовые значения.
Вот как выглядят графики квадратов разностей двух изображений, рис. 121008_9.jpg и собственно изображение-разность, рис. 121008_10.jpg, справа – негатив.

[genmih]

   Что можно извлечь из выполненных расчетов.

   Снова приведу формулу для расстояния между точечными источниками в зависимости от сумм квадратов разностей двух изображений, зарегистрированных комплексом-телескопом.

   Rii = 1.22*λ*D^(-1) * (BS(L) / BS(100))^ ¼         (14)

Попытаемся теперь выделить в «зрительных возможностях» комплекса-телескопа зависимость от разрядности АЦП и количества пикселей, приходящихся на радиус Релея.

Как видно из таблиц с результатами расчетов, с увеличением количества разрядов АЦП на 2 (например, с 8 до 10 или с 12 до 14) разрешаемое расстояние может быть уменьшено в два раза – это наблюдается для всех вариантов. Поэтому можно записать

Rii = 1.22*λ*D^(-1)* (2^(4–0.5*Radc)) *(BS(L, 8 )/BS(100, 8 ))^¼   (15)

где (BS(L, 8 )/BS(100, 8 )) – суммы квадратов разностей, которые могли бы быть получены с 8-разрядным АЦП. Почему именно с 8-разрядным? Выбор любого, с еще большей разрядностью вызвал бы точно такой же вопрос, более логичным был бы выбор 1-разрядного АЦП (всего два уровня – либо 0, либо 1). Но такие АЦП не выжили среди наших задач, да и оценки были бы достаточно грубыми. То есть полный произвол, но от произвольного выбора «опорной точки» результаты расчетов по ф-ле (15) не изменяются. Пример: при использовании 16-разрядного АЦП вместо 8 разрядного разрешаемое расстояние уменьшится в

k(ADC8 заменяем на ADC16) = 2^(4-0.5*8 ) / 2^(4-0.5*16) = 2^0 / 2^-4 = 16 раз

   Теперь зависимость от количества пикселей, приходящихся на радиус Релея. Обозначим это отношение для краткости Pics. Из таблиц видно, что при количестве пикселей более двух на радиус Релея, дальнейшее увеличение, каждый раз в 4 раза - уменьшает разрешаемое расстояние в два раза. Для наглядности привожу эту зависимость в лог_лог масштабе, рис 121011_1, откуда видно, что в таких координатах это - прямая линия в области Pics>2. На основании этого можно записать:

Rii = 1.22*λ*D^(-1)*(2^(4–0.5*Radc)) * (2/Pics)^0.5 * (BS(L, Radc=8, Pics=2)/BS(100, Radc=8, Pics=2))^¼                       (16)

Зависимость (16) привожу на рис. 121011_2 - пунктирная линия, вместе с исходными вычисленными значениями - сплошная линия. Видно, что формула (16) соответствует таблице рассчитанных значений разрешаемых расстояний для диапазона Pics>=2.

Здесь опять отношение BS(L)/BS(100) – для конкретно выбранных Radc=8 и Pics=2. Разрешаемое расстояние обратно пропорционально корню квадратному из количества пикселей на радиус Релея, то есть это - достаточно слабая зависимость. Надо приложить немало усилий для увеличения изображения в 8 раз с целью уменьшения разрешаемого расстояния в 2 раза, но возможно это будет оправдано, если все другие способы исчерпаны. Некоторое сожаление по поводу слабой зависимости исчезает, если посмотреть в «другую сторону»: разрешаемое расстояние не увеличивается катастрофически при значительном снижении количества пикселей на радиус Релея. Скорее всего, это связано с тем, что использованная во всех расчетах ФРТ типа (sin(x)/x)^2 хоть и достаточно быстро затухающая функция, но она не ограничена по площади радиусом первого темного кольца.

Зависимость разрешаемого расстояния от «не одинаковости» источников по яркости.

При большом различи в яркости источников суммы квадратов разностей изображений получаются гораздо меньшими, чем в случае одинаковых источников, а разрешаемое расстояние – естественно увеличивается. Наихудшие оценки соответствуют малому количеству разрядов АЦП и малому увеличению. В целом же оценки достаточно оптимистичны и для источников (и отражателей) с не равной яркостью.

[Виниту]

Давно хотел продолжить эту тему, но не доходили руки, чтобы был конкретный материал для разбора. Наконец, материал есть и можно приступать)

Итак, я взял свой ED100, задиафрагмировал его до 31 мм и снял Вегу и эпсилон Лиры. Снимал на камеру ASI120MM через фильтр Baader CCD red (полоса пропускания 595-680 нм. Ролики по 2 минуты, на Веге был fps =  50, gain = 45. По эпсилону fps=10, gain = 100. Ролики обработал в AS!3, получил стеки. Потом взял программу деконволюции (плагин DeconvolutionLab2 для Imagej) и сделал деконволюцию стека Эпсилона-2 по стеку Веги, который использовался как PSF. При этом сначала масштабировал в 6-кратном размере оба стека. Использовалась деконволюция по Ричардсон-Люси, сделано 20000 итераций.

Результаты ниже. Критерий Рэлея для 31 мм на волне 635 нм дает разрешение 5,15 секунд. Между компонентами Эпсилона-2 угловое расстояние 2,2 угловых секунды.

Первый файл - стек Веги, второй - стек Эпсилона-2, третий - результат деконволюции. Все увеличено в 6 раз относительно исходного масштаба съемки.

[Виниту]

А теперь попробуем это дело оцифровать. Для этого построим профили получившихся изображений. Для сравнения также приведена теоретическая дифракционная картина, которая была бы видна по Эпсилон-2 в том же диапазоне волн для объектива 72 мм, для которого расстояние между компонентами Эпсилон-2 соответствовало бы критерию Рэлея.

Во-первых, расстояние между компонентами на деконволюции равно 14 пикселов. Для фокусного расстояния ED100, равного 900 мм и размеру пиксела ASI120MM, равного 3,75 микрона, это соответствует угловому расстоянию 2,0 секунд дуги (с учетом 6-кратного масштабирования картинок). Погрешность пикселизации плюс-минус 1 пиксель, т.е. около 0,15 секунд дуги. Итого получаем, что съемка на 31 мм объектив с последующей деконволюцией позволила оценить расстояние между компонентами Эпсилон-2 в 2,0 +- 0,15 секунд дуги. По факту, расстояние между ними равно 2,2 секунды дуги.

Во-вторых, соотношение пиков интенсивности, полученное при деконволюции, равно 1,33. ПО факту компоненты имеют блеск 5,4 и 5,1, что соответствует соотношению светимостей 1,31

В-третьих, профиль, показываемый в полученном деконволюцией изображении на объективе 31 мм, имеет лучший контраст между компонентами, чем "первичный" (видимый глазом) профиль, соответствующий 72 мм объективу, который для этой пары и этой длины волны в точности соответствовал бы критерию Рэлея.

[Smirnov Andrey]

Очень убедительно!

[Виниту]

Теперь посмотрим чуть подробнее на то, как отрабатывает метод деконволюции.

В этом эксперименте я перебрал их несколько штук. В программе Imagej есть плагины, я использовал два: DeconvolutionLab2 и Iterative Parallel Deconvolution. В каждом плагине есть набор методов. В общей сложности, я их перебрал около десятка. И разделение Эпсилона-2 дал только Ричадсон-Люси в DeconvolutionLab2, и то только после 3000 итераций. Даже при том, что PSF и сама картинка были только в градациях серого и размером 256 на 256 точек, это на вполне неплохом процессоре Ryzen5 заняло примерно 7 минут, что немало. При увеличении размера изображений время на расчет быстро растет. Все остальные методы деконволюции, которые я перепробовал, в лучшем случае давали вместо двух звезд одну тонкую полосочку в направлении, соединяющем их центры.

В приложенных картинках приведены профили изображения в разрезах поперек и вдоль оси, соединяющей компоненты Эпсилона-2, для различного числа итераций в методе Ричардсона-Люси. Видно, что поперечный профиль "сходится" довольно быстро, результаты не сильно меняются с ростом числа итераций. Если исходная PSF имела ширину центрального пика, измеренную на половины высоты, равную 31 точке (4,4 секунды дуги), то поперечный разрез деконволюции после 1000 итераций имел ширину примерно 7 точек (примерно 1 секунду дуги). После 20000 итераций он имел ширину примерно 6 точек, что совсем немногим меньше. Видимо, это уже предел метода или скорее данной конкретной его реализации с учетом имеющихся шумов камеры, атмосферы, методов стекинга и проч.

Намного интереснее посмотреть продольный профиль. Тут ситуация сильно изменяется. Если при 1000 итераций еще нет никакого провала между компонентами, то при 5000 он уже есть, отчетливый, причем он лучше, чем провал для 72 мм инструмента без деконволюции. Если же увеличить число итераций до 20000, то провал между компонентами возрастает, однако посередине появляется горбинка, которой тут быть не должно: мы знаем, что звезда - двойная и кроме двух компонент там ничего сопоставимого по яркости нет. Значит, при 20000 итераций уже шум становится слишком высок и мы его можем принять за детали. Скорее всего, если бы я дольше снимал Эпсилон-2 т повысил соотношение сигнал/шум, при 20000 итераций еще не появлялось бы горба.

Важно отметить, что расстояние между пиками в продольном разрезе и соотношение высоты их пиков не зависит от числа итераций.

Какие выводы можно из этого сделать:
1) Почти все методы деконволюции без особого труда сделают более тонкой разбухшую от дифракции линию (хорошо работают в поперечном направлении, где разрешать попросту нечего).
2) Разрешить две точки (и, я так понимаю, ряд близко отстоящих друг от друга линий) довольно сложно.
3) У всякого метода есть предел, до которого он может работать. Применяя метод к известным по структуре объектам (например, таким, как двойные звезды), можно понять степень его применимости для конкретных параметров сигнала и шума. И потом, зная соотношение сигнал/шум для конкретного неизвестного объекта, применить к нему этот метод с зависящими от имеющегося соотношения сигнал-шум параметрами. Скажем, если снимать объект с яркостью Эпсилон-2 на камеру ASI120MM в течение 2 минут, то чтобы не появилось никаких артефактов, нельзя делать более 10000 итераций. И тогда появившиеся на деконволюции детали будут именно деталями, а не шумом.

[Виниту]

Мой доклад о разрешении на Ачтрофесте - 2021
https://drive.google.com/file/d/1KTIwAhCLp2H1l6ieS2nkhyq4vGrICacJ/view?usp=sharing


Если вкратце, то диф предел лямбда на де в астрофотографии не преодолим. Лучшие снимки Пича и Оливетти не превосходят предела разрешения 30 см телескопа. Но это не значит, что снимать на телескоп более 30 см бессмысленно

[BIG TRAIL]

Спасибо за труд,   интересно, 
   а  у меня вопрос   - принимаете л/D  предельным почему?
 
У Максутова и Михельсона  предел -  0.95л/D ,  а у л/D  контраст равен 1.5%.

А  влияние ЦЭ исключено  из  рассмотрения  специально, чтобы не перегружать ?

[4D]

Мой доклад о разрешении на Ачтрофесте - 2021
https://drive.google.com/file/d/1KTIwAhCLp2H1l6ieS2nkhyq4vGrICacJ/view?usp=sharing

Будет время — обязательно надо будет ознакомиться.

а  у меня вопрос   - принимаете л/D  предельным почему?
 
У Максутова и Михельсона  предел -  0.95л/D ,  а у л/D  контраст равен 1.5%.

А  влияние ЦЭ исключено  из  рассмотрения  специально, чтобы не перегружать ?

Наверняка из соображений практичности. 0.95 от единицы практически не отличается, а запомнить единицу всё-таки проще. Когда-то ввязывался в дискуссию по предельному разрешению в другой теме. Тоже получил 0.95, или если быть дотошным: 0.94715524. Естественно — для идеальной круглой апертуры, ничем не экранированной, иначе расчётные формулы уже не представляются в виде единственной функции Бесселя.

[BIG TRAIL]

Хорошо, есть примеры недостижения телескопами предельного разрешения.
Нет примеров достижения .  планеты в более мелкую апертуру?
Значит  все телескопы работают одинаково недостижимо?  Можно же сделать такой вывод из статьи.

[BIG TRAIL]

Еще вопрос,  для демонстрации выбраны фото Юпитера,  контраст деталей которого сравнительно низок и сами детали не резки. 
 На мелких объектах типа спутников Юпитера, Марса будет то же самое с пределом?

[a.pozharov]

Атмосфера  - Великий Уравнитель.   

[lx75]

Если вкратце, то диф предел лямбда на де в астрофотографии не преодолим.

Спасибо, очень интересный доклад. Но дифракционное разрешение зависит и от фокусного расстояния, т.е. формула LF/D

[Виниту]

Спасибо за труд,   интересно, 
   а  у меня вопрос   - принимаете л/D  предельным почему?
 
У Максутова и Михельсона  предел -  0.95л/D ,  а у л/D  контраст равен 1.5%.

А  влияние ЦЭ исключено  из  рассмотрения  специально, чтобы не перегружать ?

Честно говоря, я сам не проверил, надо будет это сделать. Обычно пишут лямбда на де, поэтому я написал. Но проверить надо. Там еще есть нюансы. Например, до функции Бесселя для PSF я сам руками досчитал, и обнаружил, что функция Бесселя в чистом виде получается только для бесконечного относительного отверстия. А так, там в подынтегральной функции есть еще один множитель, зависящий от относительного отверстия. Возможно, он также может немного сдвинуть границу разрешения. Но все-таки принципиально то, что за пределом разрешения (возможно, не в точности лямбда на де, а немного другим) ЧКХ становится в точности равной нулю. Поэтому сколько ни копи сигнал, восстановить ее за пределами лямбда на де невозможно. А равенство еулю следует из того, что сама по себе PSF является фурье-преобразованием функции, ограниченной в пространстве (ограниченной диаметром объектива).

Еще вопрос,  для демонстрации выбраны фото Юпитера,  контраст деталей которого сравнительно низок и сами детали не резки. На мелких объектах типа спутников Юпитера, Марса будет то же самое с пределом?

Да, то же самое. Это является следствием теоремы о свертки. Контраст конечного изображения (в пространстве частот) равен просто произведению контраста начального изображения на ЧКХ. Если ЧКХ в какой-то области равен нулю, то каким бы не был контраст начального изображения, контраст конечного будет равен нулю.

Хорошо, есть примеры недостижения телескопами предельного разрешения.
Нет примеров достижения .  планеты в более мелкую апертуру?
Значит  все телескопы работают одинаково недостижимо?  Можно же сделать такой вывод из статьи.

Почему нет? Я же в 31 мм дудку разрешил Эпсилон 2 Лиры))) Сейчас понимаю, что ни фига я там конечно не разрешил, а результат является только одним из возможных решений задачи деконволюции. Ну то есть можно что-то разрешить, если знаешь, что именно разрешаешь))

Более важным является другой вывод, я его по-моему не успел записать в презентации. Несмотря на то, что разрешение даже в лучших примерах любительской астрофотографии не превосходит предела разрешения 300 мм телескопа, использование телескопа с большой апертурой все-таки крайне полезно. Потому что помимо дифракции, есть атмосфера, которая замыливает изображение. И опять же, по теореме о свертке ЧКХ системы телескоп-небо является произведением ЧКХ телескопа и ЧКХ неба. И если в области высоких частот ЧКХ телескопа еще не ноль, но уже очень близко к нему, то ЧКХ неба может запросто задавить это до уровня шума и уже не вытянешь оттуда сигнал. А если телескоп имеет бОльшую апертуру, ее ЧКХ на тех же частотах еще довольно большая и можно вытянуть детали.
Правда, там есть другая проблема, что с ростом апертуры ЧКХ неба снижается (есть формула Татарского). И получается, что в зависимости от состояния неба, будет оптимальная апертура (о чем много говорил VD). Правда, эта размер этой апертуры будет зависеть от того, какая именно частота в ЧКХ нам наиболее интересна.

Тоже получил 0.95, или если быть дотошным: 0.94715524. Естественно — для идеальной круглой апертуры, ничем не экранированной, иначе расчётные формулы уже не представляются в виде единственной функции Бесселя.

Спасибо! Надо будет тоже посчитать, интересно что получится.

Спасибо, очень интересный доклад. Но дифракционное разрешение зависит и от фокусного расстояния, т.е. формула LF/D

LF/D - в единицах длины (например, размер на матрице). L/D - это в угловой мере

[BIG TRAIL]

Да, то же самое. Это является следствием теоремы о свертки. Контраст конечного изображения (в пространстве частот) равен просто произведению контраста начального изображения на ЧКХ. Если ЧКХ в какой-то области равен нулю, то каким бы не был контраст начального изображения, контраст конечного будет равен нулю.

 Ниже  0.95л/D  вопрос закрыт давно,    когда Максутов  написал свою работу или еще раньше (не знаю кто первым  бесселей считал ), может сам Бессель).

 Вот программный анализ фотографий Юпитера обнаружил   разрешение   такое -то,
    но с тех же самых телескопов на мелких и контрастных объектах    может обнаружится разрешение гораздо ближе к предельному  0.95/D.    Или нет?

[a.pozharov]

Правда, там есть другая проблема, что с ростом апертуры ЧКХ неба снижается (есть формула Татарского). И получается, что в зависимости от состояния неба, будет оптимальная апертура (о чем много говорил VD). Правда, эта размер этой апертуры будет зависеть от того, какая именно частота в ЧКХ нам наиболее интересна.

Ну немного не так по моему. Это скорее для визуала верно. Надо помыслить, чет нет ясности у меня.

____

Вот тут собрано много, может кому интересно будет почитать, дополнить. В разделе "содержание" можно выбрать статью..
https://faculty.virginia.edu/ASTR5110/lectures/speckle/speckle.html

[a.pozharov]

Подскажите, если не трудно, что за формулу Татарского имели ввиду.

Насчет высказываний VD, то наоборот, он это отрицал, причем весьма парадоксальным образом.
С ним о сиинге беседовать все равно что с плоскоземельщиком современым о Космосе: вроде и телефон с GPS есть у него в руках и Земля у него при этом однозначно плоская. Как можно говорить что r0 - это ерунда и никакого отношения к визуалу не имеет, время когерентности тоже херння, не важно, что нет никакого оптимального для разрешения и для передачи контраста на определенном участке ЧКХ атмосфера-телескоп соотношения r0 и диаметра апертуры, (т е не понимать что такое спекл) , и при этом утверждать что есть конкретная оптимальная апертура в визуале для средних широт, равная 175 мм ? Я у него спрашивал неоднократно - так на основании чего такие выводы, в ответ тишина, что то там про личный опыт, что ни о чем ваще. При этом у негов ходу нормальное распределение     исходя из сиинга 2 сек, т е r0 при выдержках менее 0.01 сек ~ 7 см на 550 нм 
Т е отрицая что r0, t0, и общий профиль Сn2 - это ключевое, у него "вдруг" бурная реакция на утверждения о оптимуме эффективность/апертура ~2.5  по тому же Гауссу. 
175 мм делим на r0 7 см и о ужас - 2.5 в результате, это как раз максимум при нормальном распределении между г0=D (неразрушенная дифф картинка) и предела роста разрешения системы когда D>r0 =5 и далее пятно начинает постепенно расти из отдельных дифракционных изображений обьекта, разрешение которых определяется как раз не апертурой, а r0.
Короче там такой винигрет в голове, что я лично разбираться в нем давненько отказался.

[Виниту]

Подскажите, если не трудно, что за формулу Татарского имели ввиду.

См приложенный файл. Ошибка волнового фронта с удалением двух точек в плоскости, перпендикулярной фронту, растет с расстоянием между ними, как r^(5/3). Ну и соответственно начиная с какой-то апертуры ее рост не ведет к повышению разрешения, ни визуального, ни фотографического, возможно даже снижает. Правда, в отличие от дифракции, при этом ЧКХ не должна спадать до нуля. Но поскольку на практике всегда есть шум, с ростом апертуры снижение ЧКХ вследствие атмосферного размытия может (в зависимости от того, насколько атмосфера все замыливает) приводить к снижению верхних частот до уровня шума и восстановить ее уже будет невозможно.

Ниже  0.95л/D  вопрос закрыт давно,    когда Максутов  написал свою работу или еще раньше (не знаю кто первым  бесселей считал ), может сам Бессель).

Сегодня проверил. Что касается фурье-образа кружка Эйри, то он достигает нуля именно на лямбда/D. Соответствующая формула есть в Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Optical_transfer_function#Ideal_lens_system_with_circular_aperture , ее вывод можно найти там же по ссылке, http://www.opticsjournal.net/post/ifo.pdf см стр 137 и дальше. Но, что интересно, если складывать две PSF (Бесселя), разнесенные на те самые 0,95 лямбда/D, будет контраст: между двумя максимумами суммарной интенсивности, расположенными примерно на 0.4 и 0.6 лямбда/D (т.е. расстояние между ними равно примерно 0,2 лямбда/D, будет малоконтрастный, но все же локальный минимум интенсивности! Это выглядит так, будто у нас есть два объекта, разнесенные на 0,2 лямбда/D. Хотя на самом деле между ними 0.95 лямбда/D. Как именно получается этот минимум между двумя максимумами при том, что соответствующие этой частоте гармоники равны нулю, я пока не разобрался. Но, видимо, возможно как-то так подобрать коэффициенты у низших гармоник, чтобы получить колебание контраста, похожее на верхнюю гармонику. То есть визуально нам будет казаться,что разрешение высокое (хотя мы вряд ли это увидим, потому что там контраст очень мал), но частот этих там нет. Как такое получается, надо разобраться. Но надо отметить, что в практике важна именно теорема о свертке, в которую входит фурье-преобразование от PSF. И для него граничная частота именно лямбда/D (не 0.95 лямбда/D)