Теоремы Гёделя о неполноте

[dims]

Моё предположение состояло в том, что теорема Ферма И не доказана И недоказуема.

Вы в курсе, что из неверного утверждения можно вывести все что угодно?
Так вот, Ваше утверждение - теорема Ферма недоказуема - неверно.
Так что вывести Вы из этого можите все что угодно.

Я из этого ничего не выводил, а просто использовал теорему Ферма как наглядный пример. Вместо теоремы Ферма можно взять любую аналогичную теорему, только чтобы она была недоказуема.

Например, как в теореме Ферма: ни одно целое число не удовлетворяет формуле, но доказать этого нельзя.

Это доказано, что доказать нельзя?

Я уже говорил, что недоказуемость нельзя доказать. Это 2-я теорема Гёделя. Так что если бы теорема Ферма была бы недоказуема, доказать этого было бы нельзя. Люди бы просто бились над ней, не в силах найти доказательство.

Ну вот смотрите. Нет ни одного числа, которое удовлетворяет формуле. НЕТ, НА САМОМ ДЕЛЕ, хотя это и недоказуемо. А тут Вы добавляется аксиому, что такое число есть. Вы просто добавляете неправду!

Откуда Вам это известно?

Я говорил, что мне это известно? Мне этого неизвестно. Просто это ТАК вне зависимости от того, известно это мне, или нет.

Правда. В этом и заключается "неполнота", что теория оказывается не в состоянии объять свой предмет во всех подробностях. В частности, арифметика не в состоянии объять все свойства чисел.

Неполнота заключается в другом.
В том, что добавление как утверждения так и его отрицания не приводит к противоречию.

Это Вы уже говорили. Но, поскольку Вы не в силах осознать другую возможность, то Ваше мнение нельзя считать взвешенным: Вы просто принимаете единственную точку зрения, которую понимаете.

Вам достаточно разделить у себя в сознании истинность и доказуемость. И хорошим примером, как я по-прежнему считаю, является теорема Ферма, если представить, что она недоказуема.

Истинность - это когда доказана истинность.
Но доказать можно так же ложность.
Так что истинность и доказуемость - разные понятия.

Нет, Вам надо разделить эти понятия не так. Вам надо понять, что существуют истинные утверждения, которые нельзя доказать.

Представьте, вот формула, вот числа. Разве Вы не чувствуете, что истинность или ложность теоремы как бы объективна. Но при этом универсального доказательства может и не быть.

Я много чего чуствую. И даже иногда - как бы правильно.
Но ведь речь не о том, что я или Вы чуствуете.

Но если чувства мешают Вам понять принцип, то речь именно о том, что Вы чувствуете.

Именно чувство "здравого смысла" мешает Вам понять, что теорема может быть истинна, но недоказуема. Вам кажется, что раз теорема недоказуема, то Вы имеете право по своему усмотрению считать её либо истинной, либо ложной. А это не так. Чувства мешают Вам, значит речь идёт о чувствах.

Ваше ложное предположение - теорема Ферма недоказуема - было
правильным?

Вы считаете, что подобные реплики хоть сколько-нибудь походят на серьёзную дискуссию? :|

[dims]

Нашёл книжку: В. А. Успенский, Теорема Гёделя о неполноте (серия "Популярные лекции по математике", Москва, Наука, 1982).

На странице 7 сразу же идёт утверждение теоремы, которое автор планирует разъяснять: "(при определённых условиях) в языке существует недоказуемое истинное утверждение".

Обратите внимание на слово "истинное".

[Vallav]

Цитата: Vallav от сегодня в 08:49:39
Вы в курсе, что из неверного утверждения можно вывести все что угодно?
Так вот, Ваше утверждение - теорема Ферма недоказуема - неверно.
Так что вывести Вы из этого можите все что угодно.

dims

Я из этого ничего не выводил, а просто использовал теорему Ферма как наглядный пример. Вместо теоремы Ферма можно взять любую аналогичную теорему, только чтобы она была недоказуема.

Нельзя в качестве примера истинного утверждения использовать
ложное утверждение.

Цитировать
Это доказано, что доказать нельзя?

dims

Я уже говорил, что недоказуемость нельзя доказать. Это 2-я теорема Гёделя. Так что если бы теорема Ферма была бы недоказуема, доказать этого было бы нельзя. Люди бы просто бились над ней, не в силах найти доказательство.

Но она ведь оказалась доказуемой. Поэтому годится только в качестве
примера не доказанной. В качестве примера недоказуемой - не годится.
А то, что есть утверждения, для которых нельзя доказать истинность,
так же, как нельзя доказать истинность отрицания этого утверждения -
я ворде с самого начала про это говорил.
Так о чем тогда речь?

Цитировать
Неполнота заключается в другом.
В том, что добавление как утверждения так и его отрицания не приводит к противоречию.

dims

Это Вы уже говорили. Но, поскольку Вы не в силах осознать другую возможность, то Ваше мнение нельзя считать взвешенным: Вы просто принимаете единственную точку зрения, которую понимаете.

Возможностей всего четыре
1. Утверждение приводит к противоречию. Отрицание утверждения
приводит к противоречию - система противоречива.
2. Утверждение не приводит к противоречию. Отрицание утверждения
приводит к противоречию - для непротиворечивой системы - утверждение истинно.
3. Утверждение  приводит к противоречию. Отрицание утверждения
не приводит к противоречию - для непротиворечивой системы - утвержление ложно.
4. Утверждение  не приводит к противоречию. Отрицание утверждения
не приводит к противоречию - для непротиворечивой системы -
утверждение невыводимо, система неполна.

Есть другие возможности?

Рассмотрена четвертая возможность.
Какую из трех оставшихся предлагаете рассмотреть?

Цитировать
Истинность - это когда доказана истинность.
Но доказать можно так же ложность.
Так что истинность и доказуемость - разные понятия.

dims

Нет, Вам надо разделить эти понятия не так. Вам надо понять, что существуют истинные утверждения, которые нельзя доказать.

Вам на слово поверить?
Что их истинность хоть и недоказуема но есть?
И как быть с конкретным утверждением?
Если про него может быть известно, что его истинность толи еще
не доказана, толи недоказуема толи ложна?
Считать недоказуемым?

Цитировать
Я много чего чуствую. И даже иногда - как бы правильно.
Но ведь речь не о том, что я или Вы чуствуете.

dims

Но если чувства мешают Вам понять принцип, то речь именно о том, что Вы чувствуете.

Чувства - вещь воспитуемая, субъективная.
А истинность - увы, нет.

dims

Именно чувство "здравого смысла" мешает Вам понять, что теорема может быть истинна, но недоказуема. Вам кажется, что раз теорема недоказуема, то Вы имеете право по своему усмотрению считать её либо истинной, либо ложной. А это не так. Чувства мешают Вам, значит речь идёт о чувствах.

Не, я считаю ее недоказуемой.
Но теория может быть расширена так, чтобы в расширенной теории
данная теорема стала доказуемо истинной.
А может быть расширена так, что данная теорема станет доказуемо ложной.

Цитировать
Ваше ложное предположение - теорема Ферма недоказуема - было
правильным?

dims

Вы считаете, что подобные реплики хоть сколько-нибудь походят на серьёзную дискуссию? :|

Нет. Но Вы почему то настаиваете на удачности этого Вашего
примера. По моему, объявлять для примера ложное утверждение
истинным - плохое начало примера.
Если это не начало доказательства от противного.

dims

На странице 7 сразу же идёт утверждение теоремы, которое автор планирует разъяснять: "(при определённых условиях) в языке существует недоказуемое истинное утверждение".
Обратите внимание на слово "истинное".

Там не написано, что именно автор понимает под словами - истинное утверждение? То есть, описана процедура установления - что данное
утверждение истинное?
Или - для данного конкретного утверждения - предпологается, что такое может быть...
А может и не быть...

 

[dims]

А то, что есть утверждения, для которых нельзя доказать истинность,
так же, как нельзя доказать истинность отрицания этого утверждения -
я ворде с самого начала про это говорил.
Так о чем тогда речь?

Я не верю, что Вы хотите это понять.

Нет, Вам надо разделить эти понятия не так. Вам надо понять, что существуют истинные утверждения, которые нельзя доказать.

Вам на слово поверить?
Что их истинность хоть и недоказуема но есть?

Не надо мне верить. Вы сначала просто поймите смысл. А потом сможете уже верить или не верить. Вы уже скачали книжку Успенского?

И как быть с конкретным утверждением?
Если про него может быть известно, что его истинность толи еще
не доказана, толи недоказуема толи ложна?
Считать недоказуемым?

Я думаю, что пока не будет создана другая, более полная теория, истинность и доказуемость этого утверждения будет неизвестна. Когда будет создана более полная теория, то в ней может быть доказана истинность и, одновременно, недоказуемость средствами предыдущей теории.

Чувства - вещь воспитуемая, субъективная.
А истинность - увы, нет.

Про что я и говорю. А Вы не хотите этого понять, не хотите воспитать свои чувства

Именно чувство "здравого смысла" мешает Вам понять, что теорема может быть истинна, но недоказуема. Вам кажется, что раз теорема недоказуема, то Вы имеете право по своему усмотрению считать её либо истинной, либо ложной. А это не так. Чувства мешают Вам, значит речь идёт о чувствах.

Не, я считаю ее недоказуемой.

Я знаю. Но Вы неправы.

А может быть расширена так, что данная теорема станет доказуемо ложной.

Расскажите, как можно расширить теорию, чтобы теорема типа теоремы Ферма оказалась бы ложной. Вы утвердите в своей новой теории, что целые числа, удовлетворяющие формуле, есть. Но найти их никогда не сможете. Что же тогда значит, что они "есть"?

Но Вы почему то настаиваете на удачности этого Вашего
примера. По моему, объявлять для примера ложное утверждение
истинным - плохое начало примера.

Я беру в качестве примера теоремы, недоказуемой вообще, теорему, доказуемую очень трудно. Её доказывали более трёхсот лет! Вы просто можете представить, что мы разговариваем с Вами до 1995 года.

На странице 7 сразу же идёт утверждение теоремы, которое автор планирует разъяснять: "(при определённых условиях) в языке существует недоказуемое истинное утверждение".
Обратите внимание на слово "истинное".

Там не написано, что именно автор понимает под словами - истинное утверждение?

Описано. Скачайте книжку и прочтите.

То есть, описана процедура установления - что данное
утверждение истинное?

Процедура установления -- это доказательство. А истинность -- это принадлежность ко множеству истин. Множество -- это хорошо известное в математике понятие, оно может быть любым, и вовсе не обязательно должна быть процедура его генерации. И уж во всяком случае, процедура генерации не обязана состоять из правил вывода рассматриваемой системы.

[Хартиков Сергей]

     Цитата Vallav: "Но Вы почему то уверены, что Сергей сам понял правильно то, что он излагает."

     Некоторое время назад я досконально разобрался с этими вопросами не на основании популярных пересказов, а лично изучив необходимую специальную литературу по теории доказательств (с индивидуальным разбором каждого доказательства "от и до"). Конечно, мне тоже приходится упрощать при пересказе.
     Вообще-то, вступая в дискуссию, я преследовал цель прекратить ненужные перепалки, слабо относящиеся к теме, просто предоставив необходимую информацию "от первоисточников".

     Цитата Vallav: "Непонятно. То есть, есть доказательство, что для любого напередзаданного числа формула справедлива. Но несправедлива для любого числа? Или несправедлива для всех чисел? Что то вроде равномерной сходимости? Но разве бывает равномерное равенство?"

     Непонятно, потому что Вы незнакомы с методами теории доказательств. Там выводимость (верность) формулы для любого наперед заданного конкретного числа не эквивалентна выводимости (верности) формулы для любого числа вообще.

     Цитата Vallav: "И - теорема Геделя относится только к таким случаям?"

     Она не к этим случаям относится. Просто утверждает существование именно такой "хитрой" формулы (причем с указанием детального способа ее построения).

     Цитата Vallav: "А ее трактовка - существует утверждение со свойством - к системе аксиом можно добавить как само утверждение так и его отрицание. Полученная система утверждений будет непротиворечивой - неверна?"

     Неправильно связывается с теоремой Геделя.

[Хартиков Сергей]

     Цитата dims: "А как записать оба утверждения на формальном языке?"

     Я уже это показывал. В теории доказательств договариваются использовать одни буквы для обозначения цифр (чисел), а другие - для свободных переменных. Здесь я буквой "а" обозначил цифры (числа), а буквой "x" - свободную переменную. В одном случае мы имеем дедуктивную цепочку с формулой F(a)=0 в конце, в другом - с формулой F(x)=0 в конце. Из первой вторая не следует. Это и есть та самая нерешаемая проблема дедуктивных теорий.

     Цитата dims: "И ещё: в каких книжках можно найти окончательную версию доказательства?"

     Вы уже правильно нашли книгу Успенского. Я сам с нее начинал. Там доказательство изложено предельно просто за счет выделения его из контекста теории доказательств (но в этом же проявляется и некоторый "минус"). Более полно ознакомиться с вопросом и с проблематикой можно в двухтомной монографии Гильберта-Бернайса "Основания математики".

[dims]

В одном случае мы имеем дедуктивную цепочку с формулой F(a)=0 в конце, в другом - с формулой F(x)=0 в конце.

А разве во второй формуле переменная не должна быть квантифицирована? Иначе получается что-то непонятное.

[petrowich]

А как в теорию доказательств вводится понятие числа? Интуитивно?

[Vallav]

     Цитата Vallav: "Непонятно. То есть, есть доказательство, что для любого напередзаданного числа формула справедлива. Но несправедлива для любого числа? Или несправедлива для всех чисел? Что то вроде равномерной сходимости? Но разве бывает равномерное равенство?"

Хартиков Сергей

     Непонятно, потому что Вы незнакомы с методами теории доказательств. Там выводимость (верность) формулы для любого наперед заданного конкретного числа не эквивалентна выводимости (верности) формулы для любого числа вообще.

Как там - не в курсе.
А вот методом от противного - это доказывается.
Отрицание Вашего утверждения выглядит так - найдется такое x0,
для которого F(x0)!=0 - правильно?
Покажем, что получается противоречие.
Доказано, что для любого напередзаданного числа x0 F(x0)=0.
Получили противоречие.
То есть, исходное утверждение - истинно, если теория непротиворечива.


     Цитата Vallav: "И - теорема Геделя относится только к таким случаям?"

Хартиков Сергей

     Она не к этим случаям относится. Просто утверждает существование именно такой "хитрой" формулы (причем с указанием детального способа ее построения).

Тогда причем тут это?
Речь вроде про теорему Геделя.

     Цитата Vallav: "А ее трактовка - существует утверждение со свойством - к системе аксиом можно добавить как само утверждение так и его отрицание. Полученная система утверждений будет непротиворечивой - неверна?"

Хартиков Сергей

     Неправильно связывается с теоремой Геделя.

Почему? Разве теорема Геделя не имеет отношения к неполноте?

[Vallav]

Цитировать
И как быть с конкретным утверждением?
Если про него может быть известно, что его истинность толи еще
не доказана, толи недоказуема толи ложна?
Считать недоказуемым?

dims

Я думаю, что пока не будет создана другая, более полная теория, истинность и доказуемость этого утверждения будет неизвестна. Когда будет создана более полная теория, то в ней может быть доказана истинность и, одновременно, недоказуемость средствами предыдущей теории.

Ну да.
Возможны две разные более полные теории, если утверждение
относится к 4 пункту ( непротиворечивы и утверждение и его отрицание ).
В одной утверждение доказуемо истинно, в другой - доказуемо ложно.


Цитировать
Чувства - вещь воспитуемая, субъективная.
А истинность - увы, нет.

dims

Про что я и говорю. А Вы не хотите этого понять, не хотите воспитать свои чувства

Дык направление воспитания надо задать.
Ведь вещь - субъективная.



Цитировать
Не, я считаю ее недоказуемой.

dims

Я знаю. Но Вы неправы.

В чем? В том, что недоказуемая теорема - недоказуема?
А как правильно?
Все недоказуемые теоремы считать истинными?
В том числе и отрицание теоремы?
Или у Вас спрашивать - что истинно - сама недоказуемая теорема или
ее отрицание?


Цитировать
А может быть расширена так, что данная теорема станет доказуемо ложной.

dims

Расскажите, как можно расширить теорию, чтобы теорема типа теоремы Ферма оказалась бы ложной. Вы утвердите в своей новой теории, что целые числа, удовлетворяющие формуле, есть. Но найти их никогда не сможете. Что же тогда значит, что они "есть"?

Рассказываю.
Для утверждения относящегося к пункту 4 ( непротиворечивы как
само утверждение, так и его отрицание ).

Добавляем отрицание утверждения к системе аксиом теории.
Получаем непротиворечивую тееорию.
В ней наше исходное утверждение ложно - противоречит одной из
аксиом.

Цитировать
Но Вы почему то настаиваете на удачности этого Вашего
примера. По моему, объявлять для примера ложное утверждение
истинным - плохое начало примера.

dims

Я беру в качестве примера теоремы, недоказуемой вообще, теорему, доказуемую очень трудно. Её доказывали более трёхсот лет! Вы просто можете представить, что мы разговариваем с Вами до 1995 года.

Доказуема, но очень трудно - то есть, почти не доказуема вообше?
И это Вы называете математикой?

Цитировать
Там не написано, что именно автор понимает под словами - истинное утверждение?

dims

Описано. Скачайте книжку и прочтите.

То есть, Вы пока непрочли?

Цитировать
То есть, описана процедура установления - что данное
утверждение истинное?

dims

Процедура установления -- это доказательство.

Ага. Вот и интересует, как смогли без нее обойтись.

dims

А истинность -- это принадлежность ко множеству истин. Множество -- это хорошо известное в математике понятие, оно может быть любым, и вовсе не обязательно должна быть процедура его генерации. И уж во всяком случае, процедура генерации не обязана состоять из правил вывода рассматриваемой системы.

Конечно не обязательно.
Но только не в случае, когда заявляется - данное утверждение - истинное. Тут уж - извольте это доказать.
Или полагаете, можно на слово поверить?

[dims]

А как правильно?
Все недоказуемые теоремы считать истинными?

Истинность недоказуемых теорем неизвестна.

В том числе и отрицание теоремы?

Отрицание недоказуемой теоремы тоже недоказуемо, поэтому его истинность тоже неизвестна.

Расскажите, как можно расширить теорию, чтобы теорема типа теоремы Ферма оказалась бы ложной. Вы утвердите в своей новой теории, что целые числа, удовлетворяющие формуле, есть. Но найти их никогда не сможете. Что же тогда значит, что они "есть"?

Рассказываю.
Для утверждения относящегося к пункту 4 ( непротиворечивы как
само утверждение, так и его отрицание ).

Добавляем отрицание утверждения к системе аксиом теории.
Получаем непротиворечивую тееорию.
В ней наше исходное утверждение ложно - противоречит одной из
аксиом.

Но ведь чисел-то, которые постулирует аксиома, найти будет нельзя!

Я беру в качестве примера теоремы, недоказуемой вообще, теорему, доказуемую очень трудно. Её доказывали более трёхсот лет! Вы просто можете представить, что мы разговариваем с Вами до 1995 года.

Доказуема, но очень трудно - то есть, почти не доказуема вообше?
И это Вы называете математикой?

Мы же воспитываем чувства, Вы забыли?

А истинность -- это принадлежность ко множеству истин. Множество -- это хорошо известное в математике понятие, оно может быть любым, и вовсе не обязательно должна быть процедура его генерации. И уж во всяком случае, процедура генерации не обязана состоять из правил вывода рассматриваемой системы.

Конечно не обязательно.
Но только не в случае, когда заявляется - данное утверждение - истинное. Тут уж - извольте это доказать.
Или полагаете, можно на слово поверить?

Это абстрактное мышление. Оно используется уже в школьной математике: берётся неизвестное число, обозначается за "х", а потом с ним работается, как с известным.

Так же и тут. Известно, что есть множество утверждений теории, известно, что у него есть подмножество истинных утверждений. Неизвестно, как их доказать и в чём они состоят -- тоже неизвестно. Просто известно, что они есть. На уровне понятия множества. И после этого доказывается, что доказательств может попросту не хватать для всех элементов истинного множества.

[Vallav]

Цитата
Цитата: Vallav от сегодня в 08:15:07
А как правильно?
Все недоказуемые теоремы считать истинными?

dims

Истинность недоказуемых теорем неизвестна.

Вы отказываетесь от своих слов?
Истинно но недоказуемо - это не Ваше?

Цитата: Vallav
Рассказываю.
Для утверждения относящегося к пункту 4 ( непротиворечивы как
само утверждение, так и его отрицание ).

Добавляем отрицание утверждения к системе аксиом теории.
Получаем непротиворечивую тееорию.
В ней наше исходное утверждение ложно - противоречит одной из
аксиом.

dims

Но ведь чисел-то, которые постулирует аксиома, найти будет нельзя!

И что? Утверждение ложно и это доказано.
А поиск чисел - это другая история.

Цитировать
Доказуема, но очень трудно - то есть, почти не доказуема вообше?
И это Вы называете математикой?

dims

Мы же воспитываем чувства, Вы забыли?

Но не так. И в воспитании чуств нужно знать меру.

Цитировать
Конечно не обязательно.
Но только не в случае, когда заявляется - данное утверждение - истинное. Тут уж - извольте это доказать.
Или полагаете, можно на слово поверить?

dims

Это абстрактное мышление. Оно используется уже в школьной математике: берётся неизвестное число, обозначается за "х", а потом с ним работается, как с известным.

Так же и тут. Известно, что есть множество утверждений теории, известно, что у него есть подмножество истинных утверждений. Неизвестно, как их доказать и в чём они состоят -- тоже неизвестно. Просто известно, что они есть. На уровне понятия множества. И после этого доказывается, что доказательств может попросту не хватать для всех элементов истинного множества.

Это что то новое. Недоказуемо, потому что неxватило доказательств?
Вы поконкретнее.
Есть конкретное утверждение, про которое известно, что оно
недоказуемое. И известно, что оно истинное.
Откуда известно, что оно истинное?

[dims]

Истинность недоказуемых теорем неизвестна.

Вы отказываетесь от своих слов?
Истинно но недоказуемо - это не Ваше?

Моё с Гёделем
И мы с ним от своих слов не отказываемся: теорема может быть истинной, но это может быть недоказуемо и, как следствие, неизвестно.

Но ведь чисел-то, которые постулирует аксиома, найти будет нельзя!

И что? Утверждение ложно и это доказано.
А поиск чисел - это другая история.

Как это другая? Ваша аксиома говорит, что некоторые числа существуют. Почему же их не удаётся найти?

Известно, что есть множество утверждений теории, известно, что у него есть подмножество истинных утверждений. Неизвестно, как их доказать и в чём они состоят -- тоже неизвестно. Просто известно, что они есть. На уровне понятия множества. И после этого доказывается, что доказательств может попросту не хватать для всех элементов истинного множества.

Это что то новое. Недоказуемо, потому что неxватило доказательств?

Ну не новое, а года, наверное, с 1931-го как.

Есть конкретное утверждение, про которое известно, что оно
недоказуемое. И известно, что оно истинное.
Откуда известно, что оно истинное?

Про конкретное утверждение не может быть известно, что оно недоказуемо.

[Vallav]

Цитата: Вы отказываетесь от своих слов?
Истинно но недоказуемо - это не Ваше?

dims

Моё с Гёделем
И мы с ним от своих слов не отказываемся: теорема может быть истинной, но это может быть недоказуемо и, как следствие, неизвестно.

Геделем прикрываться не надо.
Значит получается - теорема истинная, но об этом неизвестно?
Но откуда то тем не менее известно...


Цитировать
И что? Утверждение ложно и это доказано.
А поиск чисел - это другая история.

dims

Как это другая? Ваша аксиома говорит, что некоторые числа существуют. Почему же их не удаётся найти?

Плохо искали. Чисел - континиум, искать долго.

Цитировать
Это что то новое. Недоказуемо, потому что неxватило доказательств?

dims

Ну не новое, а года, наверное, с 1931-го как.

Ну да? Вот так и заявили в 1931 году - недоказуемо, потому как все доказательства кончились ( не хватило ).
И с тех пор в математике - ни одного доказательства не было?
Или иногда немного доказательств находились, но они сразу тратились налево...

Цитировать
Есть конкретное утверждение, про которое известно, что оно
недоказуемое. И известно, что оно истинное.
Откуда известно, что оно истинное?

dims

Про конкретное утверждение не может быть известно, что оно недоказуемо.

Я же Вам пример приводил.
Конкретное утверждение - пятый постулат Эвклида.
Или у Вас есть сомнения в непротиворечиости геометрий с пятым постулатом и с его отрицанием?

То есть у Вас принцип - пока не доказано, что теория непротиворечива -
считать ее противоречивой?
И Вы всю математику считаете противоречивой...
Пользоваться математикой не боитесь?

[dims]

Значит получается - теорема истинная, но об этом неизвестно?
Но откуда то тем не менее известно...

Известно, что такое может быть. Кроме того, это может быть известно из более полной системы.

Как это другая? Ваша аксиома говорит, что некоторые числа существуют. Почему же их не удаётся найти?

Плохо искали. Чисел - континиум, искать долго.

Вы понимаете, что их может не быть совсем, несмотря на Вашу аксиому?

Это что то новое. Недоказуемо, потому что неxватило доказательств?

Ну не новое, а года, наверное, с 1931-го как.

Ну да? Вот так и заявили в 1931 году - недоказуемо, потому как все доказательства кончились ( не хватило ).

Сударь, Вы книжку хотя бы скачали? К чему это ёрничание? По-Вашему, если Вы чего-то не понимаете, то это повод для ёрничания?

Я же Вам пример приводил.
Конкретное утверждение - пятый постулат Эвклида.

Давайте разберёмся с этим. Сформулируйте Вашу версию пятого постулата?

[Vallav]

Цитата: Значит получается - теорема истинная, но об этом неизвестно?
Но откуда то тем не менее известно...

dims

Известно, что такое может быть. Кроме того, это может быть известно из более полной системы.

Ну да, такое может быть. Вдруг повезло и мы угадали.
Поэтому мы утверждаем, что мы угадали.

Из более полной системы? В которой данное утверждение в аксиомах?

Цитировать
Плохо искали. Чисел - континиум, искать долго.

dims

Вы понимаете, что их может не быть совсем, несмотря на Вашу аксиому?

Это невозможно. Если их нет совсем, тогда отрицание утверждения
противоречит аксиомам исходной теории. А по условию - оно не противоречит.
То есть, такие числа есть - ищите лучше.

Цитировать
Ну да? Вот так и заявили в 1931 году - недоказуемо, потому как все доказательства кончились ( не хватило ).

dims

Сударь, Вы книжку хотя бы скачали? К чему это ёрничание? По-Вашему, если Вы чего-то не понимаете, то это повод для ёрничания?

Дык это не я, это Вы ерничаете.
Разве я заявил, что недоказуемо, потому как доказательств
не хватило? На это - разве можно возражать серьезно?

Цитировать
Я же Вам пример приводил.
Конкретное утверждение - пятый постулат Эвклида.

dims

Давайте разберёмся с этим. Сформулируйте Вашу версию пятого постулата?

Вы о чем?
Будем проверять, не ошибся ли в свое время Лобачевский?
И будем искать противоречия в построенной им теории в которой
одна из аксиом - отрицание пятого постулата вместо пятого постулата?
Увольте.

[dims]

Вы понимаете, что их может не быть совсем, несмотря на Вашу аксиому?

Это невозможно.

То есть, Вы считаете, что отсутствие решений уравнения F(X)=0 может быть предметом произвола?

Если их нет совсем, тогда отрицание утверждения
противоречит аксиомам исходной теории.

Необоснованное утверждение. Решений может не быть, но из этого не следует, что это можно проверить за конечное время.

То есть, такие числа есть - ищите лучше.

У Вас есть аксиома, что такие числа есть, но на самом деле их нет.

Разве я заявил, что недоказуемо, потому как доказательств
не хватило? На это - разве можно возражать серьезно?

От Вас я вообще ни одного серьёзного возражения не видел.

Я Вам цитату привёл? Привёл. Она -- от доктора физмат наук, ученика Колмогорова. Вы её не понимаете? Не понимаете. Это всё -- факты. Что бы кто ни говорил, а я пытаюсь Вам объяснить то, чего Вы не понимаете. Может быть, я делаю это неправильно или неталантливо, но к чему высмеивать мои формулировки? Не нравится -- не слушайте. Штудируйте книжку. Кто-то разве мешает?

Давайте разберёмся с этим. Сформулируйте Вашу версию пятого постулата?

Вы о чем?
Будем проверять, не ошибся ли в свое время Лобачевский?

Я ничего такого не говорил. Извините, но в роли ниспровергателя выступаете сейчас именно Вы, потому что именно Вы спорите с Гёделем и с признанными профессионалами в области математики. Я просто предложил обсуждение, в котором мы могли бы разобраться с непониманием. Не хотите -- как хотите.

[Vallav]

Цитата
Это невозможно.

dims

То есть, Вы считаете, что отсутствие решений уравнения F(X)=0 может быть предметом произвола?

Нет. Я считаю, что, если ни F(x)=0 ни F(x0)!=0 не противоречат аксиомам
теории, то точка x0 - существует.
А доказательство F(x)=0 для любого наперед заданного x -
отсутствует.
Естественно, если теория - непротиворечива.

Цитировать
Если их нет совсем, тогда отрицание утверждения
противоречит аксиомам исходной теории.

dims

Необоснованное утверждение. Решений может не быть, но из этого не следует, что это можно проверить за конечное время.

А при чем тут проверка?
У нас есть условие - ни само утверждение ни его отрицание не противоречат аксиомам теории.
Этого условия достаточно.

Цитировать
То есть, такие числа есть - ищите лучше.

dims

У Вас есть аксиома, что такие числа есть, но на самом деле их нет.

Еше раз повторю - ели на самом деле их нет - моя аксиома противоречит
аксиомам теории. А по условию - не противоречит.
Вы простую логическую связку понять способны?


Цитировать
Разве я заявил, что недоказуемо, потому как доказательств
не хватило? На это - разве можно возражать серьезно?

dims

От Вас я вообще ни одного серьёзного возражения не видел.

Жаль. Я то надеялся, что Вы понимаете, о чем я речь веду.
Что, поддерживали диалог только для вида?

dims

Я Вам цитату привёл? Привёл. Она -- от доктора физмат наук, ученика Колмогорова. Вы её не понимаете? Не понимаете.

Ну да, я сразу и сказал - не понимаю, что понимается под
"верна".
Вы всем книжкам верите безусловно?

dims

Это всё -- факты. Что бы кто ни говорил, а я пытаюсь Вам объяснить то, чего Вы не понимаете. Может быть, я делаю это неправильно или неталантливо, но к чему высмеивать мои формулировки? Не нравится -- не слушайте. Штудируйте книжку. Кто-то разве мешает?

Вы кроме как штудировать книжки - что либо можите?
Например - порассуждать?
Или, если оппонент излагает нечто, отличающееся от того, что Вы
вынесли из чтения книжек - оппонент не адекватен?
А вариантов - в книжке ошибка или Вы неправильно поняли написанное
в кнжке - не рассматриваются?

Цитировать
Вы о чем?
Будем проверять, не ошибся ли в свое время Лобачевский?

dims

Я ничего такого не говорил. Извините, но в роли ниспровергателя выступаете сейчас именно Вы, потому что именно Вы спорите с Гёделем и с признанными профессионалами в области математики. Я просто предложил обсуждение, в котором мы могли бы разобраться с непониманием. Не хотите -- как хотите.

Вы уверены, что то, что Вы излагаете - это Гедель или признанные
проффесионалы в области математики?
Полагаете, что ни Вы, ни популяризатор, которго Вы читали,
не могли их неправильно понять?

У Вас аргументы похоже кончились.
Если стали напирать на - так в книжках написано.
Тогда - спасибо за обсуждение.

[dims]

Еше раз повторю - ели на самом деле их нет - моя аксиома противоречит
аксиомам теории. А по условию - не противоречит.
Вы простую логическую связку понять способны?

Здесь нет логической связки, а есть просто голословная. До того, как теорема Ферма была доказана, высказывались мнения, что она, быть может, недоказуема. Никто не думал, что истинность теоремы Ферма произвольна. Ясно было, что числа, удовлетворяющие ей либо есть, либо их нет.

Я то надеялся, что Вы понимаете, о чем я речь веду.

Вы говорите прямо, о чём ведёте речь, без риторики и высмеивания.

Я Вам цитату привёл? Привёл. Она -- от доктора физмат наук, ученика Колмогорова. Вы её не понимаете? Не понимаете.

Ну да, я сразу и сказал - не понимаю, что понимается под
"верна".
Вы всем книжкам верите безусловно?

Не всем, конечно. Но книжкам от профессионалов в своей области по теме этой области, как правило, верю.

Вы кроме как штудировать книжки - что либо можите?
Например - порассуждать?

Я-то могу. А вот Вы просите Вас уволить, когда я это предлагаю!

Вы уверены, что то, что Вы излагаете - это Гедель или признанные
проффесионалы в области математики?

Конечно, я могу ошибаться. Но цитату я привёл точную.

Полагаете, что ни Вы, ни популяризатор, которго Вы читали,
не могли их неправильно понять?

Вы книжку скачали? Не судите по названию серии, это не "Занимательная физика", а вполне нормальная математическая книжка университетского уровня. Рассматриваемая тема просто вычленена ото всего остального для того, чтобы тему можно было рассмотреть самостоятельно.

[Тать]

В математике, господа спорщики, еще далеко не все ресурсы использованы. Пример - Григорий Перельман, решивший одну из 7 задач, оцененных в 1 млн $. Фокус в том, что он решил более общую задачу и гипотеза Пуанкаре явилась частным решением. Так и с вашим спором об F(x)=0 или чему угодно: найдется более общая задача, и ваша = решена.
 Встает провокационный вопрос: возможно ли доказать, что для конкретной задачи нет более общего решения?

"Но главное в его работе – это то, что он использовал методы одной науки для задачи в другой науке", - считает академик РАН, директор Международного математического института имени Эйлера Людвиг Фадеев."