A A A A Автор Тема: Теоремы Гёделя о неполноте  (Прочитано 9150 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн VallavАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 4 472
  • Рейтинг: +25/-2
    • Show only replies by Vallav
Темы выделена из обсуждения Большого Взрыва. ДВ

Цитата
Цитата: Vallav от вчера в 16:42:18
Покажите, к каким измеримым ( обнаружимым ) последствиям приводит то, что пришедшая
гравиволна изменила этот тензор.

dims
Цитировать
Я вообще-то говорил не о тензоре кривизны, а о метрическом тензоре. В таком случае, гравиволна -- это и есть изменение в метрическиом тензоре.

Дык я спрашивал - к каким измеримым последствиям это приводит.
Например, находясь внутри свободнопадающего лифта, нельзя
измерить, чему равна напряженность гравиполя, тем более, потенциал.
Можно измерить только производные от напряженности гравиполя по координатам.
С производной гравиполя по времени - непонятно, вроде тоже нельзя
измерить.

Кстати, это существенное отличие от ЭМ.
Где напряженности поля локально измеримы.
И связано это с тем, что у гравитации все заряды одного знака.
В гравитации нет дипольных источников и нет дипольных приемников.

dims
Цитировать
Нет. В чукотском языке, как я слышал (поверим этому), существует около 100 слов, обозначающих состояние снега. Вы никак не можете описать эти состояния на русском языке, даже, если вы напишите описание с километр. Вам может казаться, что вы передали слово, но это будет не так. Всё равно, образ, который будет рождаться в мозгу читателя от вашего текста, не будет соответствовать по богатству и точности образу в голове чукчи. Чтобы его понять, вам надо (1) пожить в тундре, чтобы хотя бы осознать, что эти состояния снега существуют и научиться их различать и (2) изучить чукотский язык, чтобы освоить соответствующую символику.

Так же и с математическими формулами.

Конечно. Соответствующий язык нужно учить.
И, чтобы понимать все ньюансы разных слов "снег" надо чукотский
учить с детства, язык математики - тоже с детства.

dims
Цитировать
Вы можете проговорить формулу, используя слова "производная", "сумма", "коэффициент", но человеку, не знакомому с соответствующими образами, они ничего не скажут. А если человек будет знакомиться с этими образами, то это он уже будет изучать математику и лучше ему будет и язык изучать тоже математический, как уже готовый и хорошо разработанный для этого.

Слово "производная" - это тоже сокращение от длинного высказывания, которое называют - определение производной.
В определении производной тоже есть много слов и символов, являющихся
сокращениями других высказываний.
И так далее...
Но процесс этот конечный.
Или Вы полагаете, бесконечный?

dims
Цитировать
Переобозначений может не быть. В каждом языке возникают выразительные средства, подходящие для той предметной области, в которой язык используется. Хорошо это или плохо, но в обыденной жизни, для которой предназначен русский язык, не используются физические и математические понятия.

Вы хотели сказать - могут быть символы, не имеющие определений?
Не, это в естественном языке допустимо.
В математике - все должно быть определено.
Кроме аксиом. Которые должны быть явно приведены в виде высказываний.
И логики. Которая тоже сводится к высказываниям.
« Последнее редактирование: 14.07.2009 [01:07:25] от Дмитрий Вибе »

Оффлайн dims

  • *****
  • Сообщений: 11 776
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Show only replies by dims
    • Мой блог
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #1 : 09.07.2009 [13:46:14] »
Дык я спрашивал - к каким измеримым последствиям это приводит.
Я не знаю точно -- нужно посмотреть, как пытаются ловить гравитационные волны. Моя мысль заключалась в том, что метрический тензор есть математический образ объективной реальности. То есть, используя означенный мной выше подход (когда образы трактуются как синонимы своих прообразов), можно сказать, что метрический тензор объективно существует.

Цитировать
Слово "производная" - это тоже сокращение от длинного высказывания, которое называют - определение производной.
В определении производной тоже есть много слов и символов, являющихся
сокращениями других высказываний.
И так далее...
Но процесс этот конечный.
Или Вы полагаете, бесконечный?
Я считаю, что не все понятия определимы. Некоторые приходится объяснять на примерах (и на пальцах). Например, право и лево, "правая тройка" и так далее. Многие глубокие математические понятия тоже можно лишь обнаружить на примерах (решая примеры), явно их не увидишь. Например, такие понятия, как "собственные векторы". Откуда видно, что у каждой матрицы существуют направления, по которым умножение на матрицу эквивалентно умножению на число?

Цитировать
Вы хотели сказать - могут быть символы, не имеющие определений?
Не, это в естественном языке допустимо.
В математике - все должно быть определено.
Кроме аксиом. Которые должны быть явно приведены в виде высказываний.
И логики. Которая тоже сводится к высказываниям.
Ну я не знаю. А как же теорема Геделя? Могут быть утверждения, несводимые к аксиомам.
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

Оффлайн VallavАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 4 472
  • Рейтинг: +25/-2
    • Show only replies by Vallav
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #2 : 09.07.2009 [15:49:09] »
dims
Цитировать
Я не знаю точно -- нужно посмотреть, как пытаются ловить гравитационные волны. Моя мысль заключалась в том, что метрический тензор есть математический образ объективной реальности. То есть, используя означенный мной выше подход (когда образы трактуются как синонимы своих прообразов), можно сказать, что метрический тензор объективно существует.

метрический тензор объективно существует - в виде понятия в сознании субъекта или в виде текста, после прочтения которого
подготовленным субъектом в сознании субъекта возникнет понятие
метирического тензора.
В чем другой субъект может убедиться путем опроса данного субъекта. ( например - на экзамене по ОТО ).
Или Вы про существование независимо от сознания всех субъектов?

А по поводу детекторов гравиволн - вот как раз и зародилось сомнение - а правильно ли их ловят?

dims
Цитировать
Я считаю, что не все понятия определимы. Некоторые приходится объяснять на примерах (и на пальцах). Например, право и лево, "правая тройка" и так далее. Многие глубокие математические понятия тоже можно лишь обнаружить на примерах (решая примеры), явно их не увидишь. Например, такие понятия, как "собственные векторы". Откуда видно, что у каждой матрицы существуют направления, по которым умножение на матрицу эквивалентно умножению на число?

Право и лево сртого определены.
Лево - это сторона, на которой сердце у подавляющего большинства людей.
"Собственные векторы' - строго определенное понятие.
Вот с понятием "множество", "живое", - есть проблемы.
Эти понятия определены не строго. Но тоже определены.
Но определения довольно длинноваты.
После первого курса мехмата МГУ любой студент просекает, множестово это или нет - в момент.
А биофака - живое или нет.

dims
Цитировать
Ну я не знаю. А как же теорема Геделя? Могут быть утверждения, несводимые к аксиомам.

А что теорема Геделя?
Она утверждает, что к системе аксиом любой теории может быть
непротиворечиво добавлена аксиома.
Причем, если теория не проще арифметики, существует такое
утверждение, что в качестве аксиомы можно добавить как само
утверждение, так и его отрицание.

То есть развитие математики без опоры на практику - невозможно.
Так как логика допускает оба варианта развития.
И только практика может выбрать правильный вариант.

Оффлайн dims

  • *****
  • Сообщений: 11 776
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Show only replies by dims
    • Мой блог
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #3 : 09.07.2009 [17:32:11] »
Или Вы про существование независимо от сознания всех субъектов?
Конечно. Я же сказал "объективен". Существует нечто, что отображается в математическом понятии "метрический тензор".

Цитировать
Право и лево сртого определены.
Лево - это сторона, на которой сердце у подавляющего большинства людей.
Ну это Вы сами придумали :) Этим определением никто не пользуется. Детям просто объясняют на пальцах, где право, а где лево. А уж потом они могут узнать, что сердце у большинства слева.

Цитировать
"Собственные векторы' - строго определенное понятие.
Напоминаю его определение: собственным вектором v оператора A назвается такой вектор, что Av = av, где a -- число.

Мой к Вам вопрос: если бы таких векторов не существовало бы, был бы толк от этого "определения"?

Цитировать
После первого курса мехмата МГУ любой студент просекает, множестово это или нет - в момент.
А биофака - живое или нет.
Про то и речь. Студенты обучаются на примерах, то есть, делают "индукцию".

dims
Цитировать
Ну я не знаю. А как же теорема Геделя? Могут быть утверждения, несводимые к аксиомам.

Цитировать
А что теорема Геделя?
Она утверждает, что к системе аксиом любой теории может быть
непротиворечиво добавлена аксиома.
По-моему, нет. Это не аксиома (которая произвольна), а утверждение, которое верно (то есть, не произвольно), но недоказуемо. Суть теоремы Геделя именно в том, что "доказуемость" и "истинность" -- не одно и то же. Поэтому, теорема называется теоремой о "неполноте".
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

Оффлайн VallavАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 4 472
  • Рейтинг: +25/-2
    • Show only replies by Vallav
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #4 : 09.07.2009 [17:56:19] »
dims
Цитировать
Конечно. Я же сказал "объективен". Существует нечто, что отображается в математическом понятии "метрический тензор".

Так Вы про другое?
Про то, что модель в сознании - тензор - не просто так, а часть
теории, которая подтверждается практикой?
В этом смысле конечно, "метрическому тензору" нечто соответствует.
Пока эту теорию не сменит другая, более продвинутая.
В которой просто может не быть такого понятия, как "метрический
тензор". Куда при этом денется нечто? Будет соответствовать чему то
другому?

dims
Цитировать
Ну это Вы сами придумали  Этим определением никто не пользуется. Детям просто объясняют на пальцах, где право, а где лево. А уж потом они могут узнать, что сердце у большинства слева.

Полагаете, определение, мной приведенное - неверно?
Или - впервые про такое определение услышали?

dims
Цитировать
Напоминаю его определение: собственным вектором v оператора A назвается такой вектор, что Av = av, где a -- число.

Мой к Вам вопрос: если бы таких векторов не существовало бы, был бы толк от этого "определения"?

Вы о чем?
Вроде речь шла о существовании определения, а не о толковости
определения.

dims
Цитировать
Про то и речь. Студенты обучаются на примерах, то есть, делают "индукцию".

И каким способом обучаются?
Слушая лекции, то есть высказывания других людей?
Или смотрят пляски, акробатические номера, занимаются медитацией?

dims
Цитировать
По-моему, нет. Это не аксиома (которая произвольна), а утверждение, которое верно (то есть, не произвольно), но недоказуемо. Суть теоремы Геделя именно в том, что "доказуемость" и "истинность" -- не одно и то же. Поэтому, теорема называется теоремой о "неполноте".

Не, это утверждение, которое не противоречит аксиомам.
Но и отрицание этого утверждения не противоречит аксиомам.
То есть, это утверждение, невыводимое из аксиом.
И может быть добавлено к системе аксиом, развивая теорию.
А может быть добавлено его отрицание.
Развивая теорию в другом направлении.
Что именно добавлять - решать не математике, ей - одинаково правильно.
Решать - практике.

Оффлайн dims

  • *****
  • Сообщений: 11 776
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Show only replies by dims
    • Мой блог
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #5 : 09.07.2009 [19:52:33] »
В этом смысле конечно, "метрическому тензору" нечто соответствует.
Пока эту теорию не сменит другая, более продвинутая.
В которой просто может не быть такого понятия, как "метрический
тензор". Куда при этом денется нечто? Будет соответствовать чему то
другому?
Оно и метрическому тензору будет продолжать соответствовать. А то другое, что будет в новой теории, будет либо точно, либо приблизительно эквивалентно метрическому тензору.

Цитировать
Полагаете, определение, мной приведенное - неверно?
Это не определение, а просто верное утверждение. Оно не лежит в основе обычной системы миропонимания.

Не любое верное утверждение может служить определением. Например, "прямой угол -- это тот, который равен 90 градусам" -- верно. Другое утверждение -- "градус -- это 1/90 часть прямого угла" -- тоже верно. Но мы не можем оба утверждения иметь в качестве определения градуса и прямого угла, так как получится тавтология.

Цитировать
Цитировать
Напоминаю его определение: собственным вектором v оператора A назвается такой вектор, что Av = av, где a -- число.

Мой к Вам вопрос: если бы таких векторов не существовало бы, был бы толк от этого "определения"?

Вы о чем?
Вроде речь шла о существовании определения, а не о толковости
определения.
Это не ответ на вопрос.

Цитировать
Цитировать
Про то и речь. Студенты обучаются на примерах, то есть, делают "индукцию".

И каким способом обучаются?
Слушая лекции, то есть высказывания других людей?
Не только слушая, но и общаясь, занимаясь, смотря примеры и занимаясь с ними. Пассивное созерцание (или слушание) не приводит к обучению, это доказанный психологический факт.

Цитировать
Не, это утверждение, которое не противоречит аксиомам.
Но и отрицание этого утверждения не противоречит аксиомам.
То есть, это утверждение, невыводимое из аксиом.
И может быть добавлено к системе аксиом, развивая теорию.
А может быть добавлено его отрицание.
Развивая теорию в другом направлении.
Что именно добавлять - решать не математике, ей - одинаково правильно.
Решать - практике.
Я Вас понимаю, но не уверен, что это так.

Вспомним теорему Ферма. Она говорит, что сумма кубов целых чисел не может быть равна кубу целого числа. И, кроме того, то же самое верно и для четвёртых и более высоких степеней.

Я знаю, что теорема Ферма доказана. Но, допустим, что она бы не была доказана и относилась бы к таким недоказуемым утверждениям.

Вот вы перебираете целые числа одно за другим. И не находите ни одной тройки, которая бы нарушала Теорему. Всех чисел вы перебрать не можете (их бесконечность). Но и доказать, что таких чисел нет -- тоже не можете (по моему предположению).

Что делать?

По-Вашему, мы имеем право взять за аксиому как теорему Ферма, так и её отрицание? Ну допустим, мы внесём в нашу систему аксиому: "существуют числа, нарушающие теорему Ферма".

Противоречия мы не найдём, но и чисел, которые существуют по новой аксиоме -- тоже не найдём.

Может такое быть? На мой взгляд, такое возможно. То есть, теорема Ферма верна (свободы у нас нет, мы не можем добавить её отрицание к аксиомам), но и доказать мы её не можем.
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

Оффлайн dims

  • *****
  • Сообщений: 11 776
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Show only replies by dims
    • Мой блог
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #6 : 10.07.2009 [18:12:54] »
Кстати, не исключено, что система геометрических аксиом вообще не удовлетворяет условиям, в которых работает теорема Гёделя. В геометрии всё конечно. Я не помню в ней таких захватывающих доказательств с бесконечностями, как, например, доказательство несчётности вещественных чисел. По-моему, доказательство теоремы Гёделя связано как раз доказательством недостаточной мощности множества возможных доказательств с множеством возможных истинных теорем.
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

petrowich

  • Гость
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #7 : 10.07.2009 [18:19:12] »
...или на менее мощное множество нельзя однозначно отобразить более мощное. Поэтому и возникают утверждения ни за, ни против.

Оффлайн аФон+

  • *****
  • Сообщений: 3 977
  • Рейтинг: +31/-12
    • Show only replies by аФон+
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #8 : 10.07.2009 [18:24:34] »
В этом смысле конечно, "метрическому тензору" нечто соответствует.
Пока эту теорию не сменит другая, более продвинутая.
В которой просто может не быть такого понятия, как "метрический
тензор". Куда при этом денется нечто? Будет соответствовать чему то
другому?


Нечто никуда не денется, просто  ОТО "схватывает" это нечто с помощью метрического тензора, а другая теория будет схватывать это нечто с помощью своих инструментов.

Например, с помощью тензора плотности потока виртуальных частиц физического вакуума, который характеризует плотность рождения виртуальных частиц в заданном направлении (это просто демо-пример, я неберусь утверждать, что так оно и есть на самом деле).

Оффлайн VallavАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 4 472
  • Рейтинг: +25/-2
    • Show only replies by Vallav
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #9 : 10.07.2009 [19:03:01] »
dims
Цитировать
Вкратце идея -- "истинность" и "доказуемость" -- это не одно и то же. То есть, возможно существование теорем, которые истинны, но которые недоказуемы. Их истинность означает, что мы не имеем право добавлять их отрицания в качестве аксиом. И одновременно это отличается от пятого постулата Евклида, который является просто независимым утверждением (то есть, ни истинным, ни ложным).

Я привёл пример про теорему Ферма. Для моего математического воображения это очень наглядно. Я могу себе представить, что некоторые утверждения о несуществовании целых чисел недоказуемы. И в то же время, я понимаю, что их истинность не произвольна. То есть, какая-нибудь "диофантова теорема" вполне может быть одновременно и истинной, и недоказуемой.

Извините, но при чем тут математика?
В математике все это точно определено.
Если аксиомам теории противоречит и утверждение и его отрицание -
теория противоречива.
Если аксиомам теории не противоречит ни утверждение ни его отрицание -
теория неполна.

Для непротиворечивой теории:
Утверждение истинно, если оно не противоречит аксиомам теории а его
отрицание - противоречит.
Утверждение ложно, если противоречит аксиомам теории а его отрицание
не противоречит.
Вроде так.
Что такое противоречие - нужно пояснять?

Теорема Геделя утверждает, что для теорий не проще арифметики
найдется утверждение со свойством - системе аксиом теории не противоречит ни само утверждение ни его отрицание. То есть такая
теория - неполна. И ее можно дополнить.

Что по Вашему утверждает теорема Геделя - мне увы, непонятно.

Но - что она утверждает - найдется утверждение, для которого пока не доказано, что оно не противоречит аксиомам теории - извините,
глупо. В силу того, что утверждений - бесконечно много.

Так же непонятно, что значит - истинно, но недоказуемо.
"Их истинность означает, что мы не имеем право добавлять их отрицания в качестве аксиом."
То есть, доказано, что отрицание утверждения - ложно? При добавлении к аксиомам приводит к противоречию?
Дык - это метод доказательства от противного. Вы конструктивист?
Метод доказательства от противного не признаете?

"от пятого постулата Евклида, который является просто независимым утверждением (то есть, ни истинным, ни ложным)." -
Это и есть то самое утверждение, которому посвещена теорема Геделя -
утверждение и его отрицание - оба  не противоречат набору
аксиом. Или по другому - утверждение не выводится из набора аксиом.
Поэтому чем пример с пятым постулатом Вам не понравился - непонятно.

Оффлайн dims

  • *****
  • Сообщений: 11 776
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Show only replies by dims
    • Мой блог
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #10 : 10.07.2009 [22:58:30] »
Что по Вашему утверждает теорема Геделя - мне увы, непонятно.

Но - что она утверждает - найдется утверждение, для которого пока не доказано, что оно не противоречит аксиомам теории - извините,
глупо.
Но этой глупости я и не говорил. Её авторство -- Ваше.

Я, конечно, могу повторить то, что я уже говорил несколько раз, но пока не вижу смысла.

Цитировать
Так же непонятно, что значит - истинно, но недоказуемо.
Я это объяснил на примере теоремы Ферма, если бы она была недоказуема. Вы не захотели вникать.

Цитировать
"Их истинность означает, что мы не имеем право добавлять их отрицания в качестве аксиом."
То есть, доказано, что отрицание утверждения - ложно?
Вы решительно не хотите разделять "доказуемо" и "истинно"! Нет, не ДОКАЗАНО, что ложно, а ЕСТЬ ложно, понимаете? Ложно, но не доказано и недоказуемо.

Цитировать
При добавлении к аксиомам приводит к противоречию?
Не приводит, потому что тогда это было бы доказуемо. А оно НЕ доказуемо.

Цитировать
Дык - это метод доказательства от противного. Вы конструктивист?
Метод доказательства от противного не признаете?
Здесь нету доказательства от противного.

Цитировать
"от пятого постулата Евклида, который является просто независимым утверждением (то есть, ни истинным, ни ложным)." -
Это и есть то самое утверждение, которому посвещена теорема Геделя -
Вы это повторяли уже многократно и я Вас понял. Однако я с этим не согласен. Аргументов против моей точки зрения Вы не приводите (поскольку даже пока её не поняли).

Цитировать
Поэтому чем пример с пятым постулатом Вам не понравился - непонятно.
Потому что этот пример избегает того вопроса, который затрагиваю я.
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

Оффлайн Хартиков Сергей

  • *****
  • Сообщений: 7 404
  • Рейтинг: +34/-2
  • Мне нравится этот форум!
    • Show only replies by Хартиков Сергей
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #11 : 11.07.2009 [03:38:27] »
     Цитата dims: "Суть теоремы Геделя именно в том, что "доказуемость" и "истинность" -- не одно и то же... То есть, возможно существование теорем, которые истинны, но которые недоказуемы. Их истинность означает, что мы не имеем право добавлять их отрицания в качестве аксиом. И одновременно это отличается от пятого постулата Евклида, который является просто независимым утверждением (то есть, ни истинным, ни ложным)..."

     Цитата Vallav: "А что теорема Геделя? Она утверждает, что к системе аксиом любой теории может быть непротиворечиво добавлена аксиома. Причем, если теория не проще арифметики, существует такое утверждение, что в качестве аксиомы можно добавить как само утверждение, так и его отрицание... Правильный пример - пятый постулат Эвклида..."

     Раз уж зашла речь о теоремах Геделя, то дам необходимые пояснения, чтобы не было путаницы.

     1. Теоремы Геделя относятся сугубо к формальным системам. Это означает, что в этих системах формализованы не только аксиомы и правила вывода, но и все доказательства. Скажем, обычная геометрия или обычная арифметика таковыми не являются, потому что доказательства в них не полностью формализованы (они используют понятия, не принадлежащие системе), хотя и могут быть сделаны таковыми (кроме как в теории доказательств это, естественно, не используется в виду громоздкости).

     2. Сам Гедель получил свою первую теорему о неполноте в следующей формулировке (многоточиями я опускаю слова об условиях, которые слишком долго перечислять): "Для всякого w-неопротиворечивого формализма, удовлетворяющего..., можно указать такую формулу без свободных переменных, что ни она, ни ее отрицание не будут выводимы в этом формализме". Очень важно, что указанная формула строится конструктивно.

     3. Гильберт и пр. обобщили это еще более интересным образом (обычно это и принято называть первой теоремой Геделя о неполноте): "Для любого непротиворечивого дедуктивного формализма, удовлетворяющего..., можно указать такую одноместную рекурсивную функцию F, что формула F(x)=0 невыводима в нем, хотя она и является верифицируемой (истинной)". Здесь под "x" понимается свободная переменная, а под верифицируемостью (истинностью) понимается тот факт, что для любой конкретной цифры (числа) "a" формула F(a)=0 выводима в формализме.
     Поразительным является тот факт, что выводимы все формулы F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, F(3)=0..., но формула F(x)=0, которая словесно обозначает высказывание "формула F(x)=0 верна для любого числа x", невыводима. Другими словами, формула F(x)=0 является содержательно истинной, но она в формализме невыводима. Поэтому любой дедуктивный формализм, для которого удается провести доказательство его непротиворечивости, не может содержать в себе запас всех возможных доказательств арифметических предложений.

     4. Вторая теорема Геделя о неполноте: "В непротиворечивом формализме, удовлетворяющем условиям..., не может быть выведена формула..., представляющая собой формализацию утверждения о непротиворечивости этого формализма" Собственно, это уничтожило исходную программу Гильберта формального обоснования арифметики. После этого доказательство непротиворечивости арифметики стали искать в другом направлении и вскоре нашли.

     5. Сам по себе пятый постулат Евклида к теореме Геделя прямого отношения не имеет, хотя наряду, например, с континуум-гипотезой и имеет отношение к теории доказательств (основаниям математики).

     6. Истинность и ложность понимается в разных смыслах. Например, в первой теореме Геделя о неполноте истинность понимается в смысле содержательной истинности (то есть, неформальной, как я указал в п.3 - истинность формулы для свободной переменной x, если выводима формула для каждой конкретной цифры). С другой стороны в дедуктивных теориях обычно слова об истинности и ложности понимаются так: если выводима формула F (выражающая некоторое высказывание F), то F истинна, если выводима формула ^F (выражающая отрицание высказывания F), то F ложна.
« Последнее редактирование: 11.07.2009 [04:23:13] от Хартиков Сергей »

Оффлайн VallavАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 4 472
  • Рейтинг: +25/-2
    • Show only replies by Vallav
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #12 : 12.07.2009 [15:17:55] »
Цитата
Цитата: Vallav от 10.07.2009 [18:03:01]
Что по Вашему утверждает теорема Геделя - мне увы, непонятно.

Но - что она утверждает - найдется утверждение, для которого пока не доказано, что оно не противоречит аксиомам теории - извините,
глупо.

dims
Цитировать
Но этой глупости я и не говорил. Её авторство -- Ваше.
Я, конечно, могу повторить то, что я уже говорил несколько раз, но пока не вижу смысла.

Так это не Ваше - предположим, что теорема Ферма пока еще не
доказана?
И не Ваше -  после этого предположения попытки применить теорему
Геделя к утверждению из теоремы Ферма?
Вроде автрство этой глупости - Ваше.

Цитировать
Так же непонятно, что значит - истинно, но недоказуемо.

dims
Цитировать
Я это объяснил на примере теоремы Ферма, если бы она была недоказуема. Вы не захотели вникать.

Не, у Вас было - если она еще не доказана.
Вы так и не поняли разницы между - еще не доказана и - доказано,
что недоказуема?

dims
Цитировать
Вы решительно не хотите разделять "доказуемо" и "истинно"! Нет, не ДОКАЗАНО, что ложно, а ЕСТЬ ложно, понимаете? Ложно, но не доказано и недоказуемо.

Не понимаю. Что значит - ЕСТЬ ложно?
Это когда интуиция или здравый смысл подсказывает, что ложно?
Если недоказано - так в последствии могут доказать.
Если доказано, что недоказуемо - откуда вывод, что ложно?

Цитировать
При добавлении к аксиомам приводит к противоречию?

dims
Цитировать
Не приводит, потому что тогда это было бы доказуемо. А оно НЕ доказуемо.

Тогда почему нельзя добавлять к аксиомам теории?
Из эстетических соображений? Из соображений здравого смысла?

Цитировать
Дык - это метод доказательства от противного. Вы конструктивист?
Метод доказательства от противного не признаете?

dims
Цитировать
Здесь нету доказательства от противного.

Тогда я совсем запутался.
К противоречию добавление не приводит, но добавлять все равно
нельзя.
А что ( или кто ) определяет, что нельзя?

Цитировать
"от пятого постулата Евклида, который является просто независимым утверждением (то есть, ни истинным, ни ложным)." -
Это и есть то самое утверждение, которому посвещена теорема Геделя -

dims
Цитировать
Вы это повторяли уже многократно и я Вас понял. Однако я с этим не согласен. Аргументов против моей точки зрения Вы не приводите (поскольку даже пока её не поняли).

Так я и хочу понять, чем вызвано Ваше несогласие?
Против Вашей точки зрения ( как я ее понял ) я аргументы привел.
Если неправильно понял Вашу точку зрения - поясните.

Цитировать
Поэтому чем пример с пятым постулатом Вам не понравился - непонятно.

dims
Цитировать
Потому что этот пример избегает того вопроса, который затрагиваю я.

И что из этого?
Разве из этого следует, что он ( пятый постулат ) не имеет отношения
к теореме Геделя?

Хартиков Сергей
Цитировать
1. Теоремы Геделя относятся сугубо к формальным системам. Это означает, что в этих системах формализованы не только аксиомы и правила вывода, но и все доказательства. Скажем, обычная геометрия или обычная арифметика таковыми не являются, потому что доказательства в них не полностью формализованы (они используют понятия, не принадлежащие системе), хотя и могут быть сделаны таковыми (кроме как в теории доказательств это, естественно, не используется в виду громоздкости).

Я что то не понял. Так обычная арифметика - является формальной
системой или нет?
То, что формальная система иногда излагается неформально ( в виду
громоэдскости формального изложения ) не делает ее неформальной.

Хартиков Сергей
Цитировать
Поразительным является тот факт, что выводимы все формулы F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, F(3)=0..., но формула F(x)=0, которая словесно обозначает высказывание "формула F(x)=0 верна для любого числа x", невыводима. Другими словами, формула F(x)=0 является содержательно истинной, но она в формализме невыводима. Поэтому любой дедуктивный формализм, для которого удается провести доказательство его непротиворечивости, не может содержать в себе запас всех возможных доказательств арифметических предложений.

А что в этом особо поразительно?
Такая ситуация была недавно с теоремой Ферма.

Что значит - формула F(x)=0 является содержательно истинной?
Откула то известно, что она истинна?
Или Вы про уверенность, возникшую после перебора конечного числа
значений?

Хартиков Сергей
Цитировать
5. Сам по себе пятый постулат Евклида к теореме Геделя прямого отношения не имеет, хотя наряду, например, с континуум-гипотезой и имеет отношение к теории доказательств (основаниям математики).

А какое отношение имеет?
Это разве не факт, что к системе аксиом геометрии с исключенным
пятым постулатом можно добавить как сам пятый постулат так и
его отрицание.
И обе новые системы аксиом получатся непротиворечивые ( вернее,
их противоречивость пока не доказана ).

« Последнее редактирование: 12.07.2009 [16:27:48] от Vallav »

Оффлайн Хартиков Сергей

  • *****
  • Сообщений: 7 404
  • Рейтинг: +34/-2
  • Мне нравится этот форум!
    • Show only replies by Хартиков Сергей
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #13 : 12.07.2009 [17:59:57] »
     Цитата Vallav: "Я что то не понял. Так обычная арифметика - является формальной системой или нет? То, что формальная система иногда излагается неформально ( в виду громоэдскости формального изложения ) не делает ее неформальной."

     Нет, обычная арифметика не является формальной дедуктивной теорией. И неформальное изложение не дает никакого права называться формальной. Это не придирки. В формальной арифметике невозможно проведение доказательства ее непротиворечивости, а в неформальной - возможно.
     Если Вам интересно, то для этого существует специальный раздел математики "Теория доказательств". В нем теория подразделяется на формализм самой теории и метаматематику (это рассуждения о теории, о доказательствах теории). Как правило, метаматематика теории выходит за рамки самой теории - именно поэтому удалось, в частности доказать непротиворечивость арифметики без противоречия со второй теоремой Геделя о неполноте.

     Цитата Vallav: "Что значит - формула F(x)=0 является содержательно истинной? Откула то известно, что она истинна? "

     Вы все-таки внимательнее читайте сообщения. Я подробно объяснил, что понимается под содержательной истинностью. Ниже повторяю.

     Цитата Vallav: "А что в этом особо поразительно? Такая ситуация была недавно с теоремой Ферма. Что значит - формула F(x)=0 является содержательно истинной? Откула то известно, что она истинна? Или Вы про уверенность, возникшую после перебора конечного числа
значений?
"

      Нет, ситация вообще не похожа на ситацию с Великой теоремой Ферма. В случае с теоремой Ферма до 1994 года она была подтверждена для большого, но конечного числа значений показателей. Здесь ситация иная: содержательная истинность означает в точности, что формула F(a)=0 выводима (т.е. истинна в прямом смысле) для каждой цифры (числа) "а". И этот факт устанавливается не последовательным перебором, а методами строгих метаматематических рассуждений. Здесь буквой "а" обозначена цифра (=число). Если буквой "х" обозначить свободную переменную (в противовес цифре), то формула F(x)=0 по правилам дедуктивных теорий означает выводимость (прямую истинность) этой формулы для любой цифры, подставляемой вместо "x". Поразительным же является тот факт, что не выводима эта формула и все! Но при этом содержательно истинна, т.е. верна для каждой цифры! Очень красивый результат.

     Цитата Vallav: "А какое отношение имеет? Это разве не факт, что к системе аксиом геометрии с исключенным пятым постулатом можно добавить как сам пятый постулат так и его отрицание. И обе новые системы аксиом получатся непротиворечивые ( вернее, их противоречивость пока не доказана )."

     Да, действительно можно без противоречия добавить и пятый постулат и его отрицание. В теории доказательств это обычно рассматривается, как один из примеров. И непротиворечивость (с этим постулатом и его отрицанием) все-таки доказывается в теории доказательств: есть строгий такой метод - доказательство на модели, включающей конечную область индивидов, когда доказательство состоит из конечного числа шагов по подсчету логических комбинационных формул (после этого, по соответствующей теореме, результат переносится на произвольную область индивидов).

Оффлайн dims

  • *****
  • Сообщений: 11 776
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Show only replies by dims
    • Мой блог
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #14 : 12.07.2009 [21:59:52] »
Не, у Вас было - если она еще не доказана.
Вы так и не поняли разницы между - еще не доказана и - доказано,
что недоказуема?
Если бы теорема Ферма была недоказуема, то:
1) она была бы и не доказана (тоже)
2) и нельзя было бы доказать, что она недоказуема, так как по 2-й теореме Гёделя одним из недоказуемых утверждений является само утверждение о недоказуемости

Моё предположение состояло в том, что теорема Ферма И не доказана И недоказуема.

Цитировать
Не понимаю. Что значит - ЕСТЬ ложно?
Например, как в теореме Ферма: ни одно целое число не удовлетворяет формуле, но доказать этого нельзя.

Цитировать
Это когда интуиция или здравый смысл подсказывает, что ложно?
Нет, это когда оно НА САМОМ деле ложно.

Цитировать
Тогда почему нельзя добавлять к аксиомам теории?
Ну вот смотрите. Нет ни одного числа, которое удовлетворяет формуле. НЕТ, НА САМОМ ДЕЛЕ, хотя это и недоказуемо. А тут Вы добавляется аксиому, что такое число есть. Вы просто добавляете неправду!

Цитировать
Тогда я совсем запутался.
К противоречию добавление не приводит, но добавлять все равно
нельзя.
А что ( или кто ) определяет, что нельзя?
Правда. В этом и заключается "неполнота", что теория оказывается не в состоянии объять свой предмет во всех подробностях. В частности, арифметика не в состоянии объять все свойства чисел.

Цитировать
Против Вашей точки зрения ( как я ее понял ) я аргументы привел.
Если неправильно понял Вашу точку зрения - поясните.
Вам достаточно разделить у себя в сознании истинность и доказуемость. И хорошим примером, как я по-прежнему считаю, является теорема Ферма, если представить, что она недоказуема.

Представьте, вот формула, вот числа. Разве Вы не чувствуете, что истинность или ложность теоремы как бы объективна. Но при этом универсального доказательства может и не быть.

Сергей рассказывает об этом достаточно ясно: вы можете доказать теорему, но доказательство будет своё для каждого числа. Это значит, что вам нужно бесконечное количество разных доказательств для бесконечного числа чисел. Одного универсального доказательства для всех чисел вы подобрать не можете.

Цитировать
Цитировать
Потому что этот пример избегает того вопроса, который затрагиваю я.

И что из этого?
Разве из этого следует, что он ( пятый постулат ) не имеет отношения
к теореме Геделя?
Из этого следует, что Вы, выдвигая этот пример, не можете опровергнуть моего предположения. Сейчас уже, после того, как я ознакомился с вопросом и после пояснений Сергея, я уже считаю, что это предположение было правильным.

А статью в русской Вики надо исправить.
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

Оффлайн Хартиков Сергей

  • *****
  • Сообщений: 7 404
  • Рейтинг: +34/-2
  • Мне нравится этот форум!
    • Show only replies by Хартиков Сергей
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #15 : 13.07.2009 [01:54:54] »
     Цитата dims: "Это значит, что вам нужно бесконечное количество разных доказательств для бесконечного числа чисел. Одного универсального доказательства для всех чисел вы подобрать не можете."

     Может, для данного разговора это неважно, но я поясню, что дело там несколько тоньше: универсальное доказательство есть именно для всех чисел сразу, но оформлено оно так, что словесно можно выразить следующими словами "Формула верна при подстановке любого конкретного числа". На нашем неформальном (содержательном) языке это обозначает "Формула верна для любого числа". Проблема же в том, что в формальной теории этот факт записывается по-другому (с использованием свободной переменной вместо числа) - а именно такая формула и невыводима!
     Можно, конечно, сказать, что делать разницу между этими двумя формулировками - глупость, но это существенный момент финитного метода Гильберта в угоду конструктивистам. Это проблема "актуальной бесконечности", которая чревата парадоксами и противоречиями.

Оффлайн VallavАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 4 472
  • Рейтинг: +25/-2
    • Show only replies by Vallav
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #16 : 13.07.2009 [09:24:04] »
Хартиков Сергей
Цитировать
     Может, для данного разговора это неважно, но я поясню, что дело там несколько тоньше: универсальное доказательство есть именно для всех чисел сразу, но оформлено оно так, что словесно можно выразить следующими словами "Формула верна при подстановке любого конкретного числа". На нашем неформальном (содержательном) языке это обозначает "Формула верна для любого числа". Проблема же в том, что в формальной теории этот факт записывается по-другому (с использованием свободной переменной вместо числа) - а именно такая формула и невыводима!

Непонятно.
То есть, есть доказательство, что для любого напередзаданного числа
формула справедлива. Но несправедлива для любого числа?
Или несправедлива для всех чисел?
Что то вроде равномерной сходимости?
Но разве бывает равномерное равенство?

И - теорема Геделя относится только к таким случаям?
А ее трактовка - существует утверждение со свойством - к системе
аксиом можно добавить как само утверждение так и его отрицание.
Полученная система утверждений будет непротиворечивой - неверна?

Оффлайн dims

  • *****
  • Сообщений: 11 776
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Show only replies by dims
    • Мой блог
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #17 : 13.07.2009 [09:42:14] »
"Формула верна при подстановке любого конкретного числа". На нашем неформальном (содержательном) языке это обозначает "Формула верна для любого числа". Проблема же в том, что в формальной теории этот факт записывается по-другому (с использованием свободной переменной вместо числа) - а именно такая формула и невыводима!
А как записать оба утверждения на формальном языке?
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

Оффлайн dims

  • *****
  • Сообщений: 11 776
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Show only replies by dims
    • Мой блог
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #18 : 13.07.2009 [09:44:09] »
И ещё: в каких книжках можно найти окончательную версию доказательства?
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

Оффлайн VallavАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 4 472
  • Рейтинг: +25/-2
    • Show only replies by Vallav
Re: Теоремы Гёделя о неполноте
« Ответ #19 : 13.07.2009 [09:49:39] »
Цитата
Цитата: Vallav от вчера в 14:17:55
Не, у Вас было - если она еще не доказана.
Вы так и не поняли разницы между - еще не доказана и - доказано,
что недоказуема?

dims
Цитировать
Если бы теорема Ферма была недоказуема, то:
1) она была бы и не доказана (тоже)
2) и нельзя было бы доказать, что она недоказуема, так как по 2-й теореме Гёделя одним из недоказуемых утверждений является само утверждение о недоказуемости

Моё предположение состояло в том, что теорема Ферма И не доказана И недоказуема.

Вы в курсе, что из неверного утверждения можно вывести все что угодно?
Так вот, Ваше утверждение - теорема Ферма недоказуема - неверно.
Так что вывести Вы из этого можите все что угодно.
А высказывание - теорема Ферма не доказана - это не утверждение.
Это константация факта.
Хотя и истина на момент до того, как доказательство
было найдено.

Цитировать
Не понимаю. Что значит - ЕСТЬ ложно?

dims
Цитировать
Например, как в теореме Ферма: ни одно целое число не удовлетворяет формуле, но доказать этого нельзя.

Это доказано, что доказать нельзя?

Цитировать
Тогда почему нельзя добавлять к аксиомам теории?

dims
Цитировать
Ну вот смотрите. Нет ни одного числа, которое удовлетворяет формуле. НЕТ, НА САМОМ ДЕЛЕ, хотя это и недоказуемо. А тут Вы добавляется аксиому, что такое число есть. Вы просто добавляете неправду!

Откуда Вам это известно?
Если это не доказано?

Цитировать
Тогда я совсем запутался.
К противоречию добавление не приводит, но добавлять все равно
нельзя.
А что ( или кто ) определяет, что нельзя?

dims
Цитировать
Правда. В этом и заключается "неполнота", что теория оказывается не в состоянии объять свой предмет во всех подробностях. В частности, арифметика не в состоянии объять все свойства чисел.

Неполнота заключается в другом.
В том, что добавление как утверждения так и его отрицания не приводит к противоречию.
А то, что в теории есть недоказанные утверждения - это еще не
неполнота.

Цитировать
Против Вашей точки зрения ( как я ее понял ) я аргументы привел.
Если неправильно понял Вашу точку зрения - поясните.

dims
Цитировать
Вам достаточно разделить у себя в сознании истинность и доказуемость. И хорошим примером, как я по-прежнему считаю, является теорема Ферма, если представить, что она недоказуема.

Истинность - это когда доказана истинность.
Но доказать можно так же ложность.
Так что истинность и доказуемость - разные понятия.

dims
Цитировать
Представьте, вот формула, вот числа. Разве Вы не чувствуете, что истинность или ложность теоремы как бы объективна. Но при этом универсального доказательства может и не быть.

Я много чего чуствую. И даже иногда - как бы правильно.
Но ведь речь не о том, что я или Вы чуствуете.

dims
Цитировать
Сергей рассказывает об этом достаточно ясно: вы можете доказать теорему, но доказательство будет своё для каждого числа. Это значит, что вам нужно бесконечное количество разных доказательств для бесконечного числа чисел. Одного универсального доказательства для всех чисел вы подобрать не можете.

Вы неправильно поняли Сергея - что он и пояснил.
Но Вы почему то уверены, что Сергей сам понял правильно то,
что он излагает.

dims
Цитировать
Из этого следует, что Вы, выдвигая этот пример, не можете опровергнуть моего предположения. Сейчас уже, после того, как я ознакомился с вопросом и после пояснений Сергея, я уже считаю, что это предположение было правильным.

Ваше ложное предположение - теорема Ферма недоказуема - было
правильным?

Знаете что получается из действия - предположим, что данное ложное
утверждение - правильно?
После этого можно доказать все, что угодно...