ВНИМАНИЕ! На форуме начался конкурс - астрофотография месяца АПРЕЛЬ!
0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.
Я вообще-то говорил не о тензоре кривизны, а о метрическом тензоре. В таком случае, гравиволна -- это и есть изменение в метрическиом тензоре.
Нет. В чукотском языке, как я слышал (поверим этому), существует около 100 слов, обозначающих состояние снега. Вы никак не можете описать эти состояния на русском языке, даже, если вы напишите описание с километр. Вам может казаться, что вы передали слово, но это будет не так. Всё равно, образ, который будет рождаться в мозгу читателя от вашего текста, не будет соответствовать по богатству и точности образу в голове чукчи. Чтобы его понять, вам надо (1) пожить в тундре, чтобы хотя бы осознать, что эти состояния снега существуют и научиться их различать и (2) изучить чукотский язык, чтобы освоить соответствующую символику.Так же и с математическими формулами.
Вы можете проговорить формулу, используя слова "производная", "сумма", "коэффициент", но человеку, не знакомому с соответствующими образами, они ничего не скажут. А если человек будет знакомиться с этими образами, то это он уже будет изучать математику и лучше ему будет и язык изучать тоже математический, как уже готовый и хорошо разработанный для этого.
Переобозначений может не быть. В каждом языке возникают выразительные средства, подходящие для той предметной области, в которой язык используется. Хорошо это или плохо, но в обыденной жизни, для которой предназначен русский язык, не используются физические и математические понятия.
Дык я спрашивал - к каким измеримым последствиям это приводит.
Слово "производная" - это тоже сокращение от длинного высказывания, которое называют - определение производной.В определении производной тоже есть много слов и символов, являющихсясокращениями других высказываний. И так далее...Но процесс этот конечный.Или Вы полагаете, бесконечный?
Вы хотели сказать - могут быть символы, не имеющие определений?Не, это в естественном языке допустимо.В математике - все должно быть определено.Кроме аксиом. Которые должны быть явно приведены в виде высказываний.И логики. Которая тоже сводится к высказываниям.
Я не знаю точно -- нужно посмотреть, как пытаются ловить гравитационные волны. Моя мысль заключалась в том, что метрический тензор есть математический образ объективной реальности. То есть, используя означенный мной выше подход (когда образы трактуются как синонимы своих прообразов), можно сказать, что метрический тензор объективно существует.
Я считаю, что не все понятия определимы. Некоторые приходится объяснять на примерах (и на пальцах). Например, право и лево, "правая тройка" и так далее. Многие глубокие математические понятия тоже можно лишь обнаружить на примерах (решая примеры), явно их не увидишь. Например, такие понятия, как "собственные векторы". Откуда видно, что у каждой матрицы существуют направления, по которым умножение на матрицу эквивалентно умножению на число?
Ну я не знаю. А как же теорема Геделя? Могут быть утверждения, несводимые к аксиомам.
Или Вы про существование независимо от сознания всех субъектов?
Право и лево сртого определены.Лево - это сторона, на которой сердце у подавляющего большинства людей.
"Собственные векторы' - строго определенное понятие.
После первого курса мехмата МГУ любой студент просекает, множестово это или нет - в момент.А биофака - живое или нет.
А что теорема Геделя?Она утверждает, что к системе аксиом любой теории может бытьнепротиворечиво добавлена аксиома.
Конечно. Я же сказал "объективен". Существует нечто, что отображается в математическом понятии "метрический тензор".
Ну это Вы сами придумали Этим определением никто не пользуется. Детям просто объясняют на пальцах, где право, а где лево. А уж потом они могут узнать, что сердце у большинства слева.
Напоминаю его определение: собственным вектором v оператора A назвается такой вектор, что Av = av, где a -- число.Мой к Вам вопрос: если бы таких векторов не существовало бы, был бы толк от этого "определения"?
Про то и речь. Студенты обучаются на примерах, то есть, делают "индукцию".
По-моему, нет. Это не аксиома (которая произвольна), а утверждение, которое верно (то есть, не произвольно), но недоказуемо. Суть теоремы Геделя именно в том, что "доказуемость" и "истинность" -- не одно и то же. Поэтому, теорема называется теоремой о "неполноте".
В этом смысле конечно, "метрическому тензору" нечто соответствует.Пока эту теорию не сменит другая, более продвинутая.В которой просто может не быть такого понятия, как "метрическийтензор". Куда при этом денется нечто? Будет соответствовать чему тодругому?
Полагаете, определение, мной приведенное - неверно?
ЦитатаНапоминаю его определение: собственным вектором v оператора A назвается такой вектор, что Av = av, где a -- число.Мой к Вам вопрос: если бы таких векторов не существовало бы, был бы толк от этого "определения"?Вы о чем?Вроде речь шла о существовании определения, а не о толковостиопределения.
ЦитатаПро то и речь. Студенты обучаются на примерах, то есть, делают "индукцию". И каким способом обучаются?Слушая лекции, то есть высказывания других людей?
Не, это утверждение, которое не противоречит аксиомам.Но и отрицание этого утверждения не противоречит аксиомам.То есть, это утверждение, невыводимое из аксиом.И может быть добавлено к системе аксиом, развивая теорию.А может быть добавлено его отрицание.Развивая теорию в другом направлении.Что именно добавлять - решать не математике, ей - одинаково правильно.Решать - практике.
Вкратце идея -- "истинность" и "доказуемость" -- это не одно и то же. То есть, возможно существование теорем, которые истинны, но которые недоказуемы. Их истинность означает, что мы не имеем право добавлять их отрицания в качестве аксиом. И одновременно это отличается от пятого постулата Евклида, который является просто независимым утверждением (то есть, ни истинным, ни ложным). Я привёл пример про теорему Ферма. Для моего математического воображения это очень наглядно. Я могу себе представить, что некоторые утверждения о несуществовании целых чисел недоказуемы. И в то же время, я понимаю, что их истинность не произвольна. То есть, какая-нибудь "диофантова теорема" вполне может быть одновременно и истинной, и недоказуемой.
Что по Вашему утверждает теорема Геделя - мне увы, непонятно.Но - что она утверждает - найдется утверждение, для которого пока не доказано, что оно не противоречит аксиомам теории - извините,глупо.
Так же непонятно, что значит - истинно, но недоказуемо.
"Их истинность означает, что мы не имеем право добавлять их отрицания в качестве аксиом." То есть, доказано, что отрицание утверждения - ложно?
При добавлении к аксиомам приводит к противоречию?
Дык - это метод доказательства от противного. Вы конструктивист?Метод доказательства от противного не признаете?
"от пятого постулата Евклида, который является просто независимым утверждением (то есть, ни истинным, ни ложным)." -Это и есть то самое утверждение, которому посвещена теорема Геделя -
Поэтому чем пример с пятым постулатом Вам не понравился - непонятно.
Но этой глупости я и не говорил. Её авторство -- Ваше. Я, конечно, могу повторить то, что я уже говорил несколько раз, но пока не вижу смысла.
Я это объяснил на примере теоремы Ферма, если бы она была недоказуема. Вы не захотели вникать.
Вы решительно не хотите разделять "доказуемо" и "истинно"! Нет, не ДОКАЗАНО, что ложно, а ЕСТЬ ложно, понимаете? Ложно, но не доказано и недоказуемо.
Не приводит, потому что тогда это было бы доказуемо. А оно НЕ доказуемо.
Здесь нету доказательства от противного.
Вы это повторяли уже многократно и я Вас понял. Однако я с этим не согласен. Аргументов против моей точки зрения Вы не приводите (поскольку даже пока её не поняли).
Потому что этот пример избегает того вопроса, который затрагиваю я.
1. Теоремы Геделя относятся сугубо к формальным системам. Это означает, что в этих системах формализованы не только аксиомы и правила вывода, но и все доказательства. Скажем, обычная геометрия или обычная арифметика таковыми не являются, потому что доказательства в них не полностью формализованы (они используют понятия, не принадлежащие системе), хотя и могут быть сделаны таковыми (кроме как в теории доказательств это, естественно, не используется в виду громоздкости).
Поразительным является тот факт, что выводимы все формулы F(0)=0, F(1)=0, F(2)=0, F(3)=0..., но формула F(x)=0, которая словесно обозначает высказывание "формула F(x)=0 верна для любого числа x", невыводима. Другими словами, формула F(x)=0 является содержательно истинной, но она в формализме невыводима. Поэтому любой дедуктивный формализм, для которого удается провести доказательство его непротиворечивости, не может содержать в себе запас всех возможных доказательств арифметических предложений.
5. Сам по себе пятый постулат Евклида к теореме Геделя прямого отношения не имеет, хотя наряду, например, с континуум-гипотезой и имеет отношение к теории доказательств (основаниям математики).
Не, у Вас было - если она еще не доказана.Вы так и не поняли разницы между - еще не доказана и - доказано,что недоказуема?
Не понимаю. Что значит - ЕСТЬ ложно?
Это когда интуиция или здравый смысл подсказывает, что ложно?
Тогда почему нельзя добавлять к аксиомам теории?
Тогда я совсем запутался.К противоречию добавление не приводит, но добавлять все равнонельзя. А что ( или кто ) определяет, что нельзя?
Против Вашей точки зрения ( как я ее понял ) я аргументы привел.Если неправильно понял Вашу точку зрения - поясните.
ЦитатаПотому что этот пример избегает того вопроса, который затрагиваю я.И что из этого?Разве из этого следует, что он ( пятый постулат ) не имеет отношенияк теореме Геделя?
Может, для данного разговора это неважно, но я поясню, что дело там несколько тоньше: универсальное доказательство есть именно для всех чисел сразу, но оформлено оно так, что словесно можно выразить следующими словами "Формула верна при подстановке любого конкретного числа". На нашем неформальном (содержательном) языке это обозначает "Формула верна для любого числа". Проблема же в том, что в формальной теории этот факт записывается по-другому (с использованием свободной переменной вместо числа) - а именно такая формула и невыводима!
"Формула верна при подстановке любого конкретного числа". На нашем неформальном (содержательном) языке это обозначает "Формула верна для любого числа". Проблема же в том, что в формальной теории этот факт записывается по-другому (с использованием свободной переменной вместо числа) - а именно такая формула и невыводима!
Если бы теорема Ферма была недоказуема, то:1) она была бы и не доказана (тоже)2) и нельзя было бы доказать, что она недоказуема, так как по 2-й теореме Гёделя одним из недоказуемых утверждений является само утверждение о недоказуемостиМоё предположение состояло в том, что теорема Ферма И не доказана И недоказуема.
Например, как в теореме Ферма: ни одно целое число не удовлетворяет формуле, но доказать этого нельзя.
Ну вот смотрите. Нет ни одного числа, которое удовлетворяет формуле. НЕТ, НА САМОМ ДЕЛЕ, хотя это и недоказуемо. А тут Вы добавляется аксиому, что такое число есть. Вы просто добавляете неправду!
Правда. В этом и заключается "неполнота", что теория оказывается не в состоянии объять свой предмет во всех подробностях. В частности, арифметика не в состоянии объять все свойства чисел.
Вам достаточно разделить у себя в сознании истинность и доказуемость. И хорошим примером, как я по-прежнему считаю, является теорема Ферма, если представить, что она недоказуема.
Представьте, вот формула, вот числа. Разве Вы не чувствуете, что истинность или ложность теоремы как бы объективна. Но при этом универсального доказательства может и не быть.
Сергей рассказывает об этом достаточно ясно: вы можете доказать теорему, но доказательство будет своё для каждого числа. Это значит, что вам нужно бесконечное количество разных доказательств для бесконечного числа чисел. Одного универсального доказательства для всех чисел вы подобрать не можете.
Из этого следует, что Вы, выдвигая этот пример, не можете опровергнуть моего предположения. Сейчас уже, после того, как я ознакомился с вопросом и после пояснений Сергея, я уже считаю, что это предположение было правильным.