Помогите найти ошибку в рассуждениях о сохр. энергии при орбитальном движении

[avior]

Думаю у каждого иногда бывает заскок, когда что-то на первый взгляд простое, ставит в ступор. У меня сейчас, такое же.
В общем, я решил рассмотреть ряд задач, на изменение некоторых параметров орбиты, в зависимости от изменения другого какого-либо параметра. Естественно на простом уровне, не вдаваясь в сложный математический язык. По основе, составляются два уравнения, для сохранения момента импульса по второму закону Кеплера, что мне как суть понятно, и вот закон сохранения энергии вызвал трудность.
Мне в целом понятно, как можно рассуждать, для того чтобы получить, собственно вот:

где индексами обозначены, скорости в афелии, перигелии, радиусы-векторы в данных точках и кинетические/потенциальные энергии для них же.
Как я понимаю, полная энергия const. Это первый способ рассуждения. Т.е. откуда по логике должно получатся, что там приведено.
С другой стороны, мне кажется тоже правильным, что изменение кинетической энергии, равно изменению потенциальной энергии, что вроде бы тоже является следствием первого, но результат несколько иной. Но именно он указывается в литературе, как верный. В чем я согласен. Т.к. если обратить внимание на величины, можно увидеть что в первом, не сохраняется условие знаков, в одной части от большего отнимается меньшее , а вот за знаком равно, наоборот.
С одной стороны мне хочется этим и объяснить, то, почему нужен второй результат, для сохранения знаков. Но с другой стороны отчасти меня это вводит немного в непонимание. Я конечно могу просто запомнить, то, какой результат верный, и в дальнейшем его использовать. Но мне хочется именно понять. Хотелось бы услышать, если видны то какие ошибки, и если в целом, можно ли попросить знающих людей, объяснить гармонично, что и как нужно сперва принимать во внимание, как строить рассуждения, дабы получить однозначный верный результат.
P.S.  Мне почему-то кажется, что ответ должен быть на поверхности, но я видимо тупею.

[lebevad]

Во-первых, потенциальная энергия должна быть отрицательной.

изменение кинетической энергии, равно изменению потенциальной энергии

Равно по модулю, а знак д.б. разный. Иначе бы энергия не сохранялась

[Stepa]

Не надо никаких знаков. Голова об этом болеть не должна.

Мы знаем, что E = K + П.

E = const без неконсервативных сил. - закон сохранения энергии.

Все!

П - энергия, которую надо затратить, чтобы кинуть тело на бесконечность из заданной точки. Это определение :-)

Чем ближе к центру, тем она меньше, потому что нас тянет к центру,

K - кинетическая энергия - существенно неотрицательная величина - опять же из ее определения.

Отсюда можно понять, что при:

K + П < 0 - эллипс - не можем улететь на бесконечность;

Так как K >= 0, то П < 0.
В вашем случае центральной силы П ~ -1 / r, потенциальная энергия растет, сл-но кинетическая уменьшается с удалением от тела;

K + П = 0 - парабола - улетим, да только с нулевой скоростью будем;
K + П > 0 - гипербола - улетим, да еще останется что-то на бесконечности.

[avior]

Stepa спасибо, кое что объяснилось.
Мне не было понятно почему П<0. Т.е. это не оговаривалось нигде отдельным моментом.

Во-первых, потенциальная энергия должна быть отрицательной.
Цитировать
изменение кинетической энергии, равно изменению потенциальной энергии
Равно по модулю, а знак д.б. разный. Иначе бы энергия не сохранялась

Почему отрицательная? Напишите. Я просил с объяснением. Поподробнее. Тем более не по делу придрались к неточности. У меня сейчас голова не об том, чтобы "идеально" с точки зрения правильности изложить каждый нюанс. Я же попросил, объяснить. У меня и так голова пухнет от всего, мне не с кем это все проходить, а один на один с книгой, гораздо сложнее чем разговор со знающим человеком, которого "нету под боком".
------
Извините, если не получилось объяснить, что именно меня беспокоит.

[Stepa]

Не зацикливайтесь на знаке П.  Принципиально он не важен. П определяется только до константы.

Откуда там знак минус?  Мы устанавливаем естественное условие, что на бесконечном удалении от тяготеющего центра П = 0. А так как при приближении П должно уменьшаться - это притягивающий центр! - П может быть только меньше 0.

***

Так как сила притяжения определяется как F = -dU / dr  в потенциальных полях, а закон Ньютона говорит нам о

F = a / r^2, то U(r) = -a / r + C

Если выбрать очень большое C, то на протяжении большого участка r от бесконечности до некоторой данной точки U(r)  будет положительным.

Главное, что П убывает к центру. Это сила притяжения.

[avior]

Вы круты, спасибо!   

[Александр Хороших]

П - энергия, которую надо затратить, чтобы кинуть тело на бесконечность из заданной точки. Это определение :-)

Чем ближе к центру, тем она меньше, потому что нас тянет к центру,

Ой! А не больше? Т. е. логика: чем ближе, тем сильнее взаимодействие, а, значит, тем большую работу против сил притяжения мы должны совершить...

[Stepa]

C-300, спасибо! Был нечеток.

Потенциальная энергия(П) уменьшается к центру, а энергия на отрыв, т.е. кинетическая энергия, которой должно обладать тело для ухода на бесконечность(Котр) (Котр + П = 0 - условие отрыва) - растет.

P.S.
Наоборот, если сила имеет уменьшающийся с расстоянием потенциал, как например фиктивная центробежная сила (~ 1/r^2), перед телом, которое хотело бы попасть ближе к центру, она организует очень высокий барьер. Ее как бы отталкивает оттуда.

[avior]

В любом случае я понял следующее. Если брать за определение, что пот. энергия это та энергия, которая нужна для того, чтобы выкинуть тело из влияние массивного гравитационного соседа на бесконечно расстояние, то т. к. тело находится в связи с ним, оно не обладает этой энергией, и ему ее надо сообщить, поэтому берем знак минус, т. к. телу она наоборот нужна бы была, а оно ей не обладает. И чем ближе к центру, тем эта энергия на отброс выше, а значит и пот. энергия имеет все меньшее значение. Согласно формуле -GM/R, дробь по модулю увеличивается, а знак то отриц. поэтому уменьшается, но при этом видно, что сама энергия отрыва становится больше, т.к. модуль силы, которая даст пинок, тоже должен возрасти.
Просто у меня были примитивные ассоциации с пот. энергией, что дается в определениях в консервативных полях. Однородных и не уменьшающихся от расстояния, и там дается определение что оно бы совершило работу, падая с такого-то расстояния.

[Quest]

В любом случае я понял следующее. Если брать за определение, что пот. энергия это та энергия, которая нужна для того, чтобы выкинуть тело из влияние массивного гравитационного соседа на бесконечно расстояние, то т. к. тело находится в связи с ним, оно не обладает этой энергией, и ему ее надо сообщить, поэтому берем знак минус, т. к. телу она наоборот нужна бы была, а оно ей не обладает. И чем ближе к центру, тем эта энергия на отброс выше, а значит и пот. энергия имеет все меньшее значение. Согласно формуле -GM/R, дробь по модулю увеличивается, а знак то отриц. поэтому уменьшается, но при этом видно, что сама энергия отрыва становится больше, т.к. модуль силы, которая даст пинок, тоже должен возрасти.

Не совсем.
Stepa всё сказал правильно. Но не стоит забывать, что потенциальная энергия всегда отсчитывается от некоторого уровня. В случае, когда мы считаем "потенциальную энергии вообще" - по сути мы считаем её относительно бесконечности. А отрицательной она получается потому, что Е пот. = E полная - E кин., а E полная (при падении из бесконечности при V₀ = 0) - равна нулю.
В тоже время, если потенциальную энергию отсчитывать от другого уровня (например - поверхность Земли), то её значение вполне может быть болше нуля.

[Алеkсей]

П - энергия, которую надо затратить, чтобы кинуть тело на бесконечность из заданной точки. Это определение :-)

C-300, спасибо! Был нечеток

Неточность в определении. Надо либо наоборот, П - энергия, которую надо затратить, чтобы перевести тело из бесконечности в данную точку. Либо по-другому, П - энергия, которую должны затратить силы поля при переводе тела из данной точки в бесконечность.

Мне не было понятно почему П<0. Т.е. это не оговаривалось нигде отдельным моментом.

П - это энергия взаимодействия тел. Знак может быть разный, поскольку П зависит от взаимного расположения тел и вида взаимодействия. Общее определение такое: П - работа, которую произведут силы поля для перемещения тела из данной точки в начало отсчета. В качестве начала отсчета в вашей задаче удобно взять бесконечность, причем там П=0 (из-за 1/r). Для перевода тела на бесконечность в случае поля притяжения работу нам надо затратить (а поле совершает отрицательную работу, значит П<0), а в случае отталкивания, например кулоновского, положительную работу совершит поле, тогда будет П>0.

Просто у меня были примитивные ассоциации с пот. энергией, что дается в определениях в консервативных полях. Однородных и не уменьшающихся от расстояния, и там дается определение что оно бы совершило работу, падая с такого-то расстояния.

Речь, вероятно, про формулу mgh? Там в качестве начала отсчета взята поверхность Земли. Поэтому при перемещении тела с высоты h на поверхность поле совершит положительную работу, значит в точке h имеем П>0.

[Quest]

Кот~баюн Верно! Спасибо за напоминание!

[avior]

Вообще, мне в этом случае раздражает один факт, это система общего образования. Механики как таковой у нас к примеру было очень мало. Вполне возможно отсюда такие вопросы.
Кот~баюн и Quest  спасибо за акцент на том, что достаточно пользоваться определением п. э. для начала системы отсчета. Как-то в голову не шло мне это, говорил же - бзик.