Kepler - космический телескоп для поиска планет

[Malev]

Обращения к фанатам экзопланет
-- сбор пожертвований на поиски искусственных сигналов с Kepler-миров:

https://www.seti.org/sslpage.aspx?pid=1573

[Mihail Sedyh]

Потихоньку добираюсь до интересных вещей.
Для оценки распространенности определенного типа планет неплохо бы вывести общую формулу вероятности регистрации Кеплером вполне конкретной планеты (заданной параметрами).
Напрашивается произведение неких коэффициентов (значением от 0 до 1 каждый). Вполне логично остановиться на 3:
Vрег=Кнал*Ктр*Кобн, где Кнал - вероятность физического существования планеты там, где мы ее ищем (собственно вычисление именно этого коэффициента из данной формулы нас и будет в конечном счете интересовать); Ктр - если планета есть, то какова геометрическая вероятность наблюдаемости транзита с Земли); Кобн - если планета есть и транзит в принципе наблюдаем, то какова вероятность, что Кеплер его заметит.

Итак, вываливаю формулы. Заменим в цитируемой формуле К на V - так логичнее будет.

Vрег=Vсущ*Vтр*Vобн, где Vсущ - вероятность физического существования планеты; Vтр - геометрическая вероятность транзита; Vобн - вероятность обнаружения Кеплером.

Vтр=2arctg(R_s/a)/pi, Vтр=R_s/a, где R_s - радиус звезды; a - большая полуось орбиты планеты (учитываются полные транзиты и частичные с глубиной >=50%).
Дабы уменьшить количество параметров, которыми задается планета, логичнее выразить большую полуось через период обращения планеты - T_p, т.к. массу звезды можно оценить косвенными методами:
a=корень³(G*M_s*T_p^{^2}/4/pi^{^2}), где G - гравитационная постоянная; M_s - масса звезды (принимаем массу планеты << массы звезды).
UPD Более удобно пользоваться формулой, приведенной Olweg:

а=a_З*(T_p²*M_s)^1/3, где M_s выражено в массах Солнца, T_p - в годах, а a_З - большая полуось орбиты Земли в км.

Также ovz напомнил, что если время наблюдений меньше периода обращения планеты, то формулу для Vтр надо домножить на Т_набл/T_p.

И наконец,
Vобн=Ф_{нр(мат.ож.=20, сигма=5,2)}(SNR)=Ф_{нр(мат.ож.=20, сигма=5,2)}(Depth*корень(N)/Std), где Ф_{нр(мат.ож.=20, сигма=5,2)} - интегральная функция нормального распределения с указанными параметрами; SNR - отношение сигнал/шум; Depth - относительная глубина транзита; N - суммарное количество измерений внутри всех наблюдаемых транзитов; Std - среднее квадратичное отклонение сигнала вне транзита.

Небольшое отступление касательно вида функции. Формула является эмпирической. Подобрана по оценке плотности кандидатов по значению SNR. Подробнее было тут: https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,51690.msg1484127.html#msg1484127 . Относительно того сообщения я изменил параметр сигма, отбросив часть значений с большим SNR и увеличив таким образом оценочную вероятность обнаружения при низких SNR. В текущем варианте Ф_{нр(20; 5,2)}(8 )=1% (было 0,3%). Касательно информации:

Borucki et al пишут, что "the probability of a recognized detection event is then computed from the value of the total SNR and a threshold level of 7σ. In particular, if the total SNR is 7.0, then it would be recognized 50% of the time while if the total SNR was estimated to be 8.0, then the transit pattern would be recognized 84% of the time."

могу сказать, что скорее всего тут имелось в виду что-то другое, иначе наибольшее количество кандидатов имело бы SNR=7...9, а явный пик наблюдается на 20. Скажем так, это вероятность попадания кандидата в отчет с учетом степени уверенности исследователей в достоверности регистрации.

Продолжим.
Depth=(R_p/R_s)^{^2}*10^{^6}[ppm], где R_p - радиус планеты. (Множитель 10^{^6} введен для согласованности размерности с глубиной транзита по данным Кеплера, выраженой в [ppm]. Формула предполагает, что все транзиты полные, и яркость диска звезды - равномерная).
N=Т_набл*t_{тр.макс.}/T_p/t_дискр, где Т_набл - общее время проведения наблюдений, скорее всего можно принять =132суткам (предполагается, что наблюдения непрерывны); t_{тр.макс.} - максимальная продолжительность транзита (Предполагаем, что все транзиты - диаметральные. Не очень корректно, конечно, но во-первых, диапазон незначительного уменьшения продолжительности транзита довольно велик, во-вторых, погрешность значительно ослабится корнем, а в-третьих, см. примечание к следующей переменной); t_дискр - период измерений. (Для режима LC этот параметр =30мин, для режима SC =1мин. В среднем, по анализу данных тут: https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,51690.msg1483153.html#msg1483153 , получается значение около 10мин для Т_набл=132дня. Для компенсации допущения по максимальной продолжительности транзита можно принять это значение, скажем =15мин.)
В связи с коррекцией формулы для вероятности транзита при совместном использовании формул V_тр и  и при T_набл<T_p, надо принять в формуле для N отношение T_набл/T_p=1. При использовании формулы для V_обн отдельно, все остается в первоначальном виде.
Std=0,0175*exp(0,671*K_p)+84,4[ppm], где К_р - видимый (Кеплером) блеск звезды. Формула эмпирическая, подобрана из анализа данных Кеплера (см. график средней Std тут: https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,51690.msg1476923.html#msg1476923 ), размерность - [ppm] для корреляции с данными Кеплера, для получения абсолютного значения надо разделить на 10^{^6}.

Объединять в одну формулу не стал - очень громоздко и непрозрачно будет, но вроде все, что надо, расписал. Получается всего 6 внешних переменных:
- звезда: M_s, R_s, K_p;
- планета: T_p, R_p;
- Кеплер: T_набл.
Пока больше ничего не делал. Вообще, планируется оценить из более-менее известной Vрег собственно Vсущ. Подумал, что может еще кто захочет поковыряться, поэтому выложил... Понятно, что допущений довольно много (не хотел вводить дополнительные параметры), но на мой взгляд какая-то корреляция должна прослеживаться...

ЗЫ

Planet Occurrence within 0.25 AU of Solar-type Stars from Kepler

Очень интересно. Вот, будет с чем сравнивать....

UPD поправил сообщение по результатам обсуждения.

[ovz]

Всем привет.
Долго читал форум и данную тему и наконец то решил зарегистрироваться и написать.

Для того, что бы неискушенные в математике, но очень интересующиеся люди понимали сложность обнаружения планет транзитным методом провел небольшой мысленный эксперимент.

Что бы обнаружил кеплер, если бы все наблюдаемые им звездные системы (около 100 тыс) были бы точными копиями солнечной системы?

Во первых необходимо, что бы плоскость орбит планет была под очень маленьким наклоном
Так для меркурия с радиусом орбиты 58 млн км необходимо что бы орбита пересекала диск солнца, т.е. по направлению вгляда отклонялась от центра не более чем на 0,695 млн км (радиус солнца)
Отношение радиуса орбиты и радиуса солнца составляет как раз тангенс максимального угла наклона.

Для орбиты меркурия этот угол составит 0,0119821851492876  радиан. Учитывая, что орбита может быть наклонена от 0 градусов до 90 с равной вероятностью мы получим вероятность что орбита наклонена так, что планета будет закрывать солнце. Достаточно разделить эту величину на (пи/4).
С учетом того что, наклон может быть и в противоположную сторону, результат еще надо умножить на 2.

Для меркурия получим вероятность наблюдаемого транзита в районе 0,7%. Таблица для всех планет выглядит так:
Меркурий   0,007628096
Венера   0,00409671
Земля    0,002949651
Марс           0,001940567
Юпитер   0,000568703
Сатурн   0,000309623
Уран           0,00015411
Нептун   9,82351E-05

Но это еще не все. Транзит случается только один раз за период. Значит в течении года наблюдения вероятность увидеть это явления состаляет отношение 365сут/период обращения.

Получаем для планет подобных соленчной системе вероятность прохождения:
Меркурий   4,147727273
Венера   1,629464286
Земля    1
Марс   0,531295488
Юпитер   0,083333333
Сатурн   0,034482759
Уран   0,011904762
Нептун   0,006060606

Цифры больше единицы означают, что загод наблюдалось бы несколько транзитов.

Таким образом вероятность обнаружения планет с "солнечными" характеристиками будет равна произведению этих двух вычесленных выше вероятностй (все что больше единицы берем за единицу)
Меркурий   0,007628096
Венера   0,00409671
Земля    0,002949651
Марс   0,001031015
Юпитер   4,73919E-05
Сатурн   1,06766E-05
Уран   1,83465E-06
Нептун   5,95364E-07

Т.е. кеплер из 100 000 наблюдаемых точных копий солнечных систем за год смог бы обнаружить 762 меркурия, 409 венер, 294 земель, 103 марса, около 5 юпитеров, 1 сатурн.
Вероятность увидеть хотя бы один уран составила бы 18%, а нептун около 6%.

Подчеркиваю, что речь идет не о размерах или типах планет, а только о их расположениях по орбитам. "Классовый состав" - это отдельная тема.

Сравнивая эти данные с получаемыми можно косвенно судить о похожести других звездных систем на нашу родную солнечную систему.

[indigoroman]

Всем привет.
Долго читал форум и данную тему и наконец то решил зарегистрироваться и написать.

Привет. Добро пожаловать 
Не забывайте, что Ваши раскладки во многом идеальны. Вы не учитываете различного рода шумы, а потому вероятность обнаружения еще зависит и от количества наблюденных транзитов - для того чтобы четко идентифицировать маленькие планеты нужно больше транзитов. С меркуриями и плутонами дела будут еще хуже.

Сравнивая эти данные с получаемыми можно косвенно судить о похожести других звездных систем на нашу родную солнечную систему.

Да, многие очень даже и не похожи. Но это было известно и до Кеплера. Он обнаружил еще более экзотичные случаи.

[ovz]

Не забывайте, что Ваши раскладки во многом идеальны. Вы не учитываете различного рода шумы, а потому вероятность обнаружения еще зависит и от количества наблюденных транзитов - для того чтобы четко идентифицировать маленькие планеты нужно больше транзитов. С меркуриями и плутонами дела будут еще хуже.

И не думал забывать про идеальность раскладки. И не только шумы влияют на вероятность. В большей степени влияет еще и сами параметры звезды. У маленьких звезд угол меньше (правда и планеты там похоже ближе располагаются) и вероятность обнаружить дальние планеты с параметрами земной орбиты гораздо труднее. Кроме от массы звезды сильно зависит скорость вращения, а следовательно этот параметр тоже сильно влияет на вероятность возможности обнаружения.


То, что приведено выше всего лишь иллюстрация к масштабу открытия. Картина иллюстрирует не столько "что открыто", сколько то "что реально существует но принципиально не может быть зафиксировано".

Вот я долго смотрел на количество открытых зведных систем и никак не мог понять, много это или мало, пока не проделал этот весьма примитивный анализ. Теперь я понимаю, что открыто Очень! много планет. Получается что звезды без планет очень редкое явления. Кроме того очень много планет пытаются "потеснее" прижаться к звезде и фактически влезть в промежуток между меркурием и звездой. Иначе бы звездных систем было бы открыто гораздо меньше (около 700) А значит есть огромное число удаленных планет, которых мы просто не видим.

С этой точки зрения получается, что солнце еще и бедная на планеты звезда. В среднем их у звезд гораздо больше.

Да, многие очень даже и не похожи. Но это было известно и до Кеплера. Он обнаружил еще более экзотичные случаи.

Против этого факта и не поспоришь. Думается мне что каждая звездная система по своему уникальна.

[vsevolodson]

Кроме того очень много планет пытаются "потеснее" прижаться к звезде и фактически влезть в промежуток между меркурием и звездой.

состояние с меньшей потенциальной энергией, к которому стремится система
это, в общем, не так уж и удивительно

[bigol]

"А значит есть огромное число удаленных планет, которых мы просто не видим."
Интересно, есть ли некий "стандарт" на массу\размер протопланетного облака и на последующее соотношение между массой звезды и массой вещества, "отошедшего" планетам...
То есть понятно, что экспериментально ничего из этого пока не определено, но может быть есть какие-то теоретические обоснования?

[Olweg]

Отношение радиуса орбиты и радиуса солнца составляет как раз тангенс максимального угла наклона.

Для орбиты меркурия этот угол составит 0,0119821851492876  радиан. Учитывая, что орбита может быть наклонена от 0 градусов до 90 с равной вероятностью мы получим вероятность что орбита наклонена так, что планета будет закрывать солнце. Достаточно разделить эту величину на (пи/4).
С учетом того что, наклон может быть и в противоположную сторону, результат еще надо умножить на 2.

Не понял этого момента. Вероятность и будет равна (приближённо) отношению радиуса солнца к радиусу орбиты.

Т.е. кеплер из 100 000 наблюдаемых точных копий солнечных систем за год смог бы обнаружить 762 меркурия, 409 венер, 294 земель, 103 марса, около 5 юпитеров, 1 сатурн.

Учитывая, что одиночные транзиты юпитеров "Кеплер" вполне надёжно фиксирует и по их форме и длительности просчитывается период обращения, в конце миссии можно будет оценить и распространённость долгопериодичных планет-гигантов. Правда, неопределённости тут очень велики: помимо неизвестного эксцентриситета, ещё и неопределённость по массе в пределах от нескольких десятков земных до 10-20% солнечной - у самых тусклых красных карликов радиус практически такой же, как и у Юпитера.

[KBOB]

Всем привет.
Долго читал форум и данную тему и наконец то решил зарегистрироваться и написать.

Для того, что бы неискушенные в математике, но очень интересующиеся люди понимали сложность обнаружения планет транзитным методом провел небольшой мысленный эксперимент.

Что бы обнаружил кеплер, если бы все наблюдаемые им звездные системы (около 100 тыс) были бы точными копиями солнечной системы?

Во первых необходимо, что бы плоскость орбит планет была под очень маленьким наклоном
Так для меркурия с радиусом орбиты 58 млн км необходимо что бы орбита пересекала диск солнца, т.е. по направлению вгляда отклонялась от центра не более чем на 0,695 млн км (радиус солнца)
Отношение радиуса орбиты и радиуса солнца составляет как раз тангенс максимального угла наклона.

Для орбиты меркурия этот угол составит 0,0119821851492876  радиан. Учитывая, что орбита может быть наклонена от 0 градусов до 90 с равной вероятностью мы получим вероятность что орбита наклонена так, что планета будет закрывать солнце. Достаточно разделить эту величину на (пи/4).
С учетом того что, наклон может быть и в противоположную сторону, результат еще надо умножить на 2.

Для меркурия получим вероятность наблюдаемого транзита в районе 0,7%. Таблица для всех планет выглядит так:
Меркурий   0,007628096
Венера   0,00409671
Земля    0,002949651
Марс           0,001940567
Юпитер   0,000568703
Сатурн   0,000309623
Уран           0,00015411
Нептун   9,82351E-05

Но это еще не все. Транзит случается только один раз за период. Значит в течении года наблюдения вероятность увидеть это явления состаляет отношение 365сут/период обращения.

Получаем для планет подобных соленчной системе вероятность прохождения:
Меркурий   4,147727273
Венера   1,629464286
Земля    1
Марс   0,531295488
Юпитер   0,083333333
Сатурн   0,034482759
Уран   0,011904762
Нептун   0,006060606

Цифры больше единицы означают, что загод наблюдалось бы несколько транзитов.

Таким образом вероятность обнаружения планет с "солнечными" характеристиками будет равна произведению этих двух вычесленных выше вероятностй (все что больше единицы берем за единицу)
Меркурий   0,007628096
Венера   0,00409671
Земля    0,002949651
Марс   0,001031015
Юпитер   4,73919E-05
Сатурн   1,06766E-05
Уран   1,83465E-06
Нептун   5,95364E-07

Т.е. кеплер из 100 000 наблюдаемых точных копий солнечных систем за год смог бы обнаружить 762 меркурия, 409 венер, 294 земель, 103 марса, около 5 юпитеров, 1 сатурн.
Вероятность увидеть хотя бы один уран составила бы 18%, а нептун около 6%.

Подчеркиваю, что речь идет не о размерах или типах планет, а только о их расположениях по орбитам. "Классовый состав" - это отдельная тема.

Сравнивая эти данные с получаемыми можно косвенно судить о похожести других звездных систем на нашу родную солнечную систему.

Вы не учли самого главного - глубины транзита, тоесть какую часть солнечного диска закроет Юпитер или другая планета. Кеплер не способен заметить ни одну планету солнечной системы!

[bigol]

Ну здрасьте вам! Если "положить" планету на Солнце - она, конечно, маленькая и незаметная, а вот с учетом расстояния - все совсем не так! Вы сами можете это проверить, вытянув руку и закрыв Солнце всего-лишь одним пальцем.

[AlexOrex]

Вы не учли самого главного - глубины транзита, тоесть какую часть солнечного диска закроет Юпитер или другая планета. Кеплер не способен заметить ни одну планету солнечной системы!

Насколько помню, у "Кеплера" чувствительность - 10-20 частей на миллион. Т.е. он (теоретически) сможет зарегистрировать планеты диаметром 1/200-1/300 диаметра звезды. Для нашего Солнца это размер Меркурия, Марса.

Ну здрасьте вам! Если "положить" планету на Солнце - она, конечно, маленькая и незаметная, а вот с учетом расстояния - все совсем не так! Вы сами можете это проверить, вытянув руку и закрыв Солнце всего-лишь одним пальцем.

Может, я не понял иронии, но в случае экзопланет расстояния до звезды и планеты почти одинаковые.

[bigol]

Ну этого "почти" оказывается достаточно, чтобы "небольшая" планета, проходя по диску звезды, заметно для Кеплера изменила ее блеск.

[AlexOrex]

Ну этого "почти" оказывается достаточно, чтобы "небольшая" планета, проходя по диску звезды, заметно для Кеплера изменила ее блеск.

Только за счет собственного размера. Увеличением углового диаметра, связанным с более близким положением планеты, можно пренебречь. Что там - десятки-сотни млн. км по сравнению с десятками-сотнями парсек.
Юпитер у солнцеподобной звезды закроет 1% без учета всякого эффекта приближения.

[ovz]

Вы не учли самого главного - глубины транзита, тоесть какую часть солнечного диска закроет Юпитер или другая планета. Кеплер не способен заметить ни одну планету солнечной системы!

Да не учел. Я вообще не рассматривал в своих расчетах никаких характеристик самого аппарата. В расчетах приведена только вероятность транзита как такового. Ведь если траектория планеты не пересекает лик светила, то транзита нет, и транзитным методом планету не обнаружить.

Конечно еще надо учитывать шумы, чувствительность и разрешение аппарата и другие факторы, которые снижают вероятность обнаружения и достоверность тех или иных зарегистрированных фактов.

[ovz]

Отношение радиуса орбиты и радиуса солнца составляет как раз тангенс максимального угла наклона.

Для орбиты меркурия этот угол составит 0,0119821851492876  радиан. Учитывая, что орбита может быть наклонена от 0 градусов до 90 с равной вероятностью мы получим вероятность что орбита наклонена так, что планета будет закрывать солнце. Достаточно разделить эту величину на (пи/4).
С учетом того что, наклон может быть и в противоположную сторону, результат еще надо умножить на 2.

Не понял этого момента. Вероятность и будет равна (приближённо) отношению радиуса солнца к радиусу орбиты.

Так понятней?

[ovz]

На приведенной схеме изображены плоскости орбит.
1. Дает уверенный транзит
2. Едва касается - это предельный угол наклона орбиты
3. Транзита нет. Планета не пересекает диск звезды.

Красный треугольник образуется из радиуса звезды и полуоси диаметра орбиты. Именно тангенс угла наклона предельного наклона орбиты я и расчитывал.

Даже для меркурия этот угол очень острый.

[vika vorobyeva]

Если размер планеты много меньше размера звезды и если орбита планеты круговая, вероятность транзитной конфигурации равна R_зв/a,
где R_зв - радиус звезды, a - расстояние от планеты до звезды.
Для звезды с радиусом Солнца и расстояния 0.05 а.е. (типичного для горячих юпитеров) вероятность транзитной конфигурации составляет примерно 10%, а для расстояния 1 а.е. - около 0.5%.

[Olweg]

Красный треугольник образуется из радиуса звезды и полуоси диаметра орбиты. Именно тангенс угла наклона предельного наклона орбиты я и расчитывал.

Да, Вы правы, но это верно только применительно к плоскости. Тут нужно учесть, что орбиты планет ориентированы в пространстве. Поэтому приходится иметь дело с телесными углами. Телесный угол области всех возможных ориентаций осей орбит, при которых происходит транзит, составляет 4П D_зв/2а стерадиан, а площадь полной сферы, т.е. вообще всех возможных ориентаций орбит - 4П стерадиан. Поэтому отношение - D_зв/2a, или R_зв/a.

Формулы нашёл тут:
http://jwleaf.org/docs/probability-of-planetary-transit.html

[Olweg]

Vтр=2arctg(R_s/a)/pi, где R_s - радиус звезды; a - большая полуось орбиты планеты (учитываются полные транзиты и частичные с глубиной >=50%).
Дабы уменьшить количество параметров, которыми задается планета, логичнее выразить большую полуось через период обращения планеты - T_p, т.к. массу звезды можно оценить косвенными методами:
a=корень³(G*M_s*T_p^{^2}/4/pi^{^2}), где G - гравитационная постоянная; M_s - масса звезды (принимаем массу планеты << массы звезды).

Аналогично, по вышеприведённым формулам должно быть просто Vтр=R_s/a, или Vтр=R_s/(a_З*(T_p²*M_s)^1/3), где M_s выражено в массах Солнца, T_p - в годах, а a_З - большая полуось орбиты Земли в км.

[Olweg]

Касательно информации:

Borucki et al пишут, что "the probability of a recognized detection event is then computed from the value of the total SNR and a threshold level of 7σ. In particular, if the total SNR is 7.0, then it would be recognized 50% of the time while if the total SNR was estimated to be 8.0, then the transit pattern would be recognized 84% of the time."

могу сказать, что скорее всего тут имелось в виду что-то другое, иначе наибольшее количество кандидатов имело бы SNR=7...9, а явный пик наблюдается на 20. Скажем так, это вероятность попадания кандидата в отчет с учетом степени уверенности исследователей в достоверности регистрации.

Возможно, это связано с тем, что SNR в статье Боруцки считался для кварталов Q0-Q5, в то время как надёжный поиск транзитов пока осуществим только внутри каждого квартала. Из последней статьи Planet Occurrence within 0.25 AU of Solar-type Stars from Kepler:

We set a threshold, SNR > 10, which is higher than that (SNR > 7.0) adopted by Borucki et al. (2011), lending our study an even higher standard of detection. Thus, we restrict our sample of stars so strongly that planets of a specified radius and orbital period are rarely, if ever, missed by the “Transiting Planet Search” (TPS; Jenkins et al. 2010c) pipeline. Moreover, we base our SNR criterion on just a single 90 day quarter of Kepler photometry. This conservatively demands that the photometric pipeline detect transits only during a single pointing of the telescope. (The CCD pixels that a particular star falls on change quarterly as Kepler is rolled by 90 degrees to maintain solar illumination.) As noted in Borucki et al. (2011), the photometric pipeline does not yet have the capability to stitch together multiple quarters of photometry and search for transits. In contrast, the SNR quoted in Borucki et al. (2011) was based on the totality of photometry, Q0–Q5 (approximately one year in duration). Thus we are setting a threshold that is considerably more stringent than in Borucki et al. (2011), i.e. including target stars of the quietest photometric behavior.