A A A A Автор Тема: Задача из книги о Фейнмане  (Прочитано 23837 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Задача из книги о Фейнмане
« : 21 Фев 2009 [16:48:12] »
     Недавно я с удовольствием прочитал книгу "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!" и обратил внимание на одну некорректность. Я далек от мысли считать, что Фейнман заблуждался - скорее, в популярную книгу попало упрощенное изложение задачи. Однако я неоднократно встречал в сети и здесь на форуме со стороны некоторых участников подобные некорректные рассуждения, которые в других случаях приводили авторов к неверным выводам. Речь идет о следующем фрагменте книги:

     Ту же самую шутку я проделал четыре года спустя в Принстоне, разговаривая с опытным физиком, ассистентом Эйнштейна, который все время работал с гравитацией. Я дал ему такую задачу:  вы взлетаете в ракете с часами на борту, а другие часы остаются на земле. Задача состоит в том, что вы должны вернуться, когда по земным часам пройдет ровно один час. Кроме того, вы хотите, чтобы ваши часы за время полета ушли вперед как можно больше. Согласно Эйнштейну, если взлететь очень высоко, часы пойдут быстрее, потому что, чем выше находишься в гравитационном поле, тем быстрее идут часы. Однако если вы попытаетесь лететь слишком быстро, а у вас только час в запасе и вы должны двигаться быстро, чтобы успеть вернуться, то ваши часы из-за большой скорости замедлятся. Поэтому вы не можете лететь слишком высоко. Вопрос сводится к следующему: по какой программе должны меняться скорость и высота, чтобы обеспечить максимальный уход вперед ваших часов?
     Ассистент Эйнштейна довольно долго работал над этой задачей, прежде чем понял, что ответ - это просто свободное движение материи. Если вы выстрелите вверх так, что время, необходимое снаряду, чтобы  пролететь и упасть, составляет ровно час, это и будет правильное движение. Это - фундаментальный принцип эйнштейновский гравитации, гласящий, что для свободного движения собственное время максимально. Но когда я поставил задачу в такой форме - ракета с часами - физик не узнал этого закона. Все произошло так же, как с парнями в кабинете черчения, но на этот раз это не был оробевший новичок. Значит, такой вид непрочных знаний может быть достаточно распространенным даже у весьма образованных людей.


     Здесь я постараюсь изложить правильное решение наглядным геометрическим способом. Тех же, кто захочет подробно ознакомиться с математической стороной вопроса, отсылаю к двум книгам:

     [1] Ландау-Лифшиц т.2 "Теория поля" - п.97 "Синхронная система отсчета".

     [2] П.К.Рашевский "Риманова геометрия и тензорный анализ" - п.102 "Геодезически параллельные гиперповерхности" и п.103 "Полугеодезические координатные системы".
« Последнее редактирование: 22 Фев 2009 [15:43:26] от Хартиков Сергей »

Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #1 : 21 Фев 2009 [17:05:12] »
     Аналогом прямых линий в римановой геометрии являются геодезические - линии стационарной длины, т.е. такие линии, вариация длины которых (при условии закрепленных концов) равна нулю: δs = 0. При некоторых условиях геодезические становятся линиями экстремальной длины, т.е. локально минимальной или локально максимальной длины.
     Рассмотрим пример собственно римановой геометрии - геометрию на обычной сфере. Геодезическими здесь являются окружности больших кругов (т.е. сечения сферы плоскостями, проходящими через ее центр). Однако две произвольные точки A и B соединяет две дуги: малая (< 180 градусов) и большая (> 180 градусов), как показано на рисунке. Про малую дугу можно сказать, что она действительно является линией минимальной длины (кратчайшее расстояние), но большая дуга не является не только линией максимальной длины, но и не является линией минимальной длины в любой окрестности этой дуги. В левой части рисунка показана альтернативная линия, которая имеет длину меньше, чем длина большой дуги, а в правой части - волнистая линия, которая имеет длину больше.

Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #2 : 21 Фев 2009 [17:32:12] »
     В ОТО 4-мерное пространство-время обладает псевдоримановой геометрией. В ней геодезическая линия локально является линией максимальной длины (как и в подмножестве ОТО - в СТО). Так как здесь длина отрезка геодезической совпадает с промежутком собственного времени тела, мировой линией которой является данная геодезическая, то отсюда и получается известный вывод о том, что максимальное время покажут часы тела, которое движется свободно, по сравнению с телом, мировая линия которого сначала ответвляется от этой геодезической, а затем снова с ней пересекается. Данный вывод верен как в СТО, так и в ОТО.
     Цель настоящего изложения - обратить внимание на аккуратность при использовании этого утверждения, а именно: на существенную локальность экстремальности геодезической линии. В 4-мерном пространстве-времени рассмотрим произвольную пространственноподобную 3-мерную гиперповерхность, которая всюду имеет времениподобную нормаль (см.рисунок). Из каждой точки этой гиперповерхности проведем геодезическую в направлении нормали. Параметром на этих геодезических будем считать собственное время т. Откладывая одинаковое значение т на всех геодезических, получим множество точек, которое тоже является 3-мерной гиперповерхностью, обладающую всеми теми же свойствами, что и исходная гиперповерхность (в том числе и тем, что геодезические будут ей нормальны). Эта гиперповерхность называется геодезически параллельной исходной гиперповерхности (см.рисунок). Таким образом, выделенность исходной гиперповерхности теряет смысл - вместо нее можно было взять любую другую из параллельных ей.
     Если одной координатой считать параметр т геодезических, а еще тремя координатами - координаты на построенных 3-мерных гиперповерхностях (т=const), то мы получаем так называемую полугеодезическую координатную систему (в Ландау-Лифшице она называется синхронной). В терминах ОТО рассматриваемые 3-мерные гиперповерхности соответствуют одновременным событиям в системе отсчета, в которой мировое время совпадает с собственным временем каждой точки.
     Очень важно, что построение полугеодезической системы возможно лишь в ограниченной области пространства-времени, так как геодезические могут пересекаться друг с другом - и тогда потеряется однозначность нумерации точек. Пример - в геометрии на сфере: дуги больших окружностей начинают дважды пересекаться с другими дугами, если их длины больше 180 градусов.

     Доказательство экстремальности (максимальности) геодезической проводится при соблюдении следующих двух условий:
     1) Рассматриваемая геодезическая является частью какой-нибудь полугеодезической системы,
     2) Рассматриваемые при вариациях альтернативные кривые полностью расположены в области применимости той же полугеодезической системы.
« Последнее редактирование: 21 Фев 2009 [17:34:53] от Хартиков Сергей »

Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #3 : 21 Фев 2009 [17:48:14] »
     Перейдем к задаче Фейнмана. При этом рассмотрим частный случай - подбрасывание тела вертикально вверх. Это означает, что нам необходимо рассмотреть такую полугеодезическую систему, в которой мировые линии свободно радиально падающих тел являются линиями времени. Эта система называется системой Крускала. На рисунке показано двумерное сечение с осью r и t. В вершине траектории тела его скорость равна нулю, поэтому геодезические имеют вид чем-то напиминающих "параболы" кривых, которые пересекают ось r перпендикулярно.
     Часы, которые остались на Земле, имеют "вертикальную" мировую линию AB, а те, которые подброшены вверх - линию ACB. Для примера я нарисовал еще две геодезических с обоих сторон. Как видно, в заштрихованной области геодезические не пересекаются. Это связано с тем интуитивно понятным фактом, что тела, сброшенные с разных высот (с нулевой начальной скоростью), по дороге к центру нигде не встречаются. Это означает, что внутри заштрихованной области верен вывод о максимальности геодезической, в частности, ACB > AB (не забывайте, что визуальная интуитивная длина кривой на этих рисунках не свопадает с римановой длиной!). То есть вертикально подброшенные свободно летящие часы покажут максимальное время по сравнению со всякими другими вариантами вертикального (радиального) движения. Именно в этом варианте верен вывод Фейнмана.
     Еще в одном варианте условий вывод Фейнмана верен всегда, причем для этого достаточно знания СТО: гравитация, вызванная релятивистским равноускоренным движением (гиперболическим движением). Здесь свободным движением тела является равномерное прямолинейное движение в исходной ИСО (где рассматривается гиперболическое движение), поэтому вывод о максимальности показаний таких часов следует непосредственно из СТО.
« Последнее редактирование: 21 Фев 2009 [17:50:26] от Хартиков Сергей »

Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #4 : 21 Фев 2009 [17:58:56] »
     Положение меняется, как только мы разрешаем бросать тело не только вверх, но и вниз. Для простоты будем считать, что в земном шаре проделано узкое отверстие, так что тело может пролететь через него и вылететь с обратной стороны, а потом вернуться в обратном порядке. Продолжим геодезические в другую сторону и обнаружим, что они начинают пересекаться друг с другом, как, например, в точке K. Теперь мировая линия AB неподвижных часов уже не может полностью находиться внутри той области, где возможно построение необходимой нам полугеодезической системы.
     В итоге, AKB < AB, то есть большее время покажут теперь неподвижные часы, а не свободно летящие. Для рассуждений "на пальцах" достаточно учесть "замедление времени" на меньшей высоте и "замедление времени", связанной с ненулевой скоростью летящих часов.

Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #5 : 21 Фев 2009 [18:05:57] »
     И еще один вариант бросания: движение тела по круговой орбите вокруг Земли. Мировые линии (геодезические) таких тел - это винтовые линии на поверхности соответствующего цилиндра. Мировая линия неподвижных на орбите часов - это "вертикальный" отрезок. Для построения требуемой нам полугеодезической системы необходимо "намотать" полоску с параллельными геодезическими на цилиндр, как показано на рисунке. Справа видно, что и здесь не удается соединить точки AB "вертикальной" прямой, не выходя за границы "полоски".
     В этом варианте неподвижные часы тоже покажут большее время, чем те, которые свободно летят по орбите (с мировой линией - геодезической). Причем этот вариант мы неоднократно разбирали в темах про спутники GPS, и я указывал точные расчетные формулы, подтверждающие данный вывод.

Оффлайн Ser100

  • *****
  • Сообщений: 757
  • Благодарностей: 14
    • Сообщения от Ser100
    • Моделирование систем
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #6 : 22 Фев 2009 [00:35:08] »
     Тема открыта для обсуждения.

     Недавно я с удовольствием прочитал книгу "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!" и обратил внимание на одну некорректность. Я далек от мысли считать, что Фейнман заблуждался - скорее, в популярную книгу попало упрощенное изложение задачи. Однако я неоднократно встречал в сети и здесь на форуме со стороны некоторых участников подобные некорректные рассуждения, которые в других случаях приводили авторов к неверным выводам. Речь идет о следующем фрагменте книги:

   

Да, я широко (на нескольких физических форумах) обсуждал эту задачу Фейнмана несколько лет назад и конечно же сделал свои выводы, но, прочитав Ваше сообщение, я так и не понял, что же конкретно Вы хотите сказать нового. Не могли бы Вы привести неверные выводы участников дискуссий, о которых Вы упоминали, и указать, почему они не верны. А то я вижу, что Вы просто толкете воду в ступе, т.е. ходите вокруг да около, но не говорите ничего конкретного, а только излагаете известные факты. Наверное, по этому, никто и не может Вам ничего возразить, т.к. тему для обсуждения Вы открыли, но никто не понимает, что Вы конкретно хотите сказать в этой теме.


С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

bob

  • Гость
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #7 : 22 Фев 2009 [00:37:19] »
Просто Сергей выложил интересную информацию. Может быть, для Вас она тривиальна. Но для большинства читателей - навряд-ли.

Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #8 : 22 Фев 2009 [00:53:12] »
     Цитата Ser100: "Да, я широко (на нескольких физических форумах) обсуждал эту задачу Фейнмана несколько лет назад и конечно же сделал свои выводы, но, прочитав Ваше сообщение, я так и не понял, что же конкретно Вы хотите сказать нового. Не могли бы Вы привести неверные выводы участников дискуссий, о которых Вы упоминали, и указать, почему они не верны. А то я вижу, что Вы просто толкете воду в ступе, т.е. ходите вокруг да около, но не говорите ничего конкретного, а только излагаете известные факты. Наверное, по этому, никто и не может Вам ничего возразить, т.к. тему для обсуждения Вы открыли, но никто не понимает, что Вы конкретно хотите сказать в этой теме."

     Возражать мне можно, как и в любой другой дискуссии - по существу темы. Свою цель я предельно ясно изложил в начальных сообщениях: обратить внимание участников форума на типичные ошибки, связанные с неаккуратностью применения принципа экстремальности геодезических.
     Пример типичной ошибки: сравнивают показания часов, неподвижных относительно Земли, с показаниями часов, установленных на вращающемся по круговой орбите спутнике, после того как часы снова "встретятся", при этом ошибочно полагают, будто часы на спутнике должны показать большее время, чем неподвижные, неверно используя тот аргумент, что мировая линия спутника - геодезическая, а значит, имеет максимальную длину, большую, чем длина мировой линии неподвижных часов.

Vanik

  • Гость
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #9 : 22 Фев 2009 [01:46:09] »
     "Отсюда можно уже вычислить орбиты планет как геодезические линии этого мероопределения. Их кривизна, рассматриваемая в теории Ньютона как результат действия сил притяжения, представляется в теории Эйнштейна как следствие кривизны пространственно-временного мира, наиболее прямыми линиями которого они являются.
     Вычисление показывает, что определённые таким образом орбиты планет с большим приближением оказываются такими же самыми, как и в теории Ньютона. Этот результат поразителен, если принять во внимание совершенно различные точки зрения обеих теорий. У Ньютона - абсолютное пространство, неудовлетворительное с принципиальной точки зрения, и придуманная ad hoc отклоняющая сила с тем замечательным свойством, что она пропорциональна инертной массе; у Эйнштейна - общий принцип, удовлетворяющий критическим требованиям без всяких специальных гипотез. ...
     Но теория Эйнштейна дает больше. Как уже было сказано, она включает в себе ньютоновские законы планетных орбит лишь приближённо; точные законы - несколько иные, причем разница становится тем значительнее, чем ближе планета к солнцу... в формулу Эйнштейна не входят никакие новые произвольные постоянные, и "аномалия" Меркурия является столь же необходимым следствием теории, как и справедливость кеплеровских законов для более удалённых от Солнца планет." (М.Борн, ТО Эйнштейна и её физические основы, гл.VII, §9)*

____________________
* Сегодня М.Борн в фаворе у меня, а завтра -  Фейнман...  :)

Оффлайн yisnep

  • *****
  • Сообщений: 4 203
  • Благодарностей: 33
    • Сообщения от yisnep
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #10 : 22 Фев 2009 [06:52:17] »
Возражать мне можно, как и в любой другой дискуссии - по существу темы.  Свою цель я предельно ясно изложил в начальных сообщениях: обратить внимание участников форума на типичные ошибки, связанные с неаккуратностью применения принципа экстремальности геодезических.
Тема интересная. Но пример с "меридиальной" геодезической на сфере кажется не очень удачным, в силу замкнутости этой геодезической, чего в природных движениях не наблюдается.
Цитата
Пример типичной ошибки: сравнивают показания часов, неподвижных относительно Земли, с показаниями часов, установленных на вращающемся по круговой орбите спутнике, после того как часы снова "встретятся", при этом ошибочно полагают, будто часы на спутнике должны показать большее время, чем неподвижные, неверно используя тот аргумент, что мировая линия спутника - геодезическая, а значит, имеет максимальную длину, большую, чем длина мировой линии неподвижных часов.
Когда-то, мы тут с Вами  немного обсуждали (в режиме спора) похожую  ситуацию  и Вы тогда придерживались (насколько помнится, можно поискать) "типичной" точки зрения. Я это припоминаю не в укор Вам и я, еще по-хорошему не вник в "некорректность" фейнмановской задачки и в вашу аргументацию, которой Вы обосновываете критику "типичной" точки зрения на поведение спутниковых часов, но то, что благодаря этой "некорректности"  наши точки зрения на поведение спутниковых часов сблизились, меня, естественно, радует.   

Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #11 : 22 Фев 2009 [15:01:14] »
     Цитата yisnep: "Но пример с "меридиальной" геодезической на сфере кажется не очень удачным, в силу замкнутости этой геодезической, чего в природных движениях не наблюдается."

     Я там нигде не пользуюсь замкнутостью этой геодезической. Наоборот, я рассматриваю лишь незамкнутые фрагменты AB.

     Цитата yisnep: "Когда-то, мы тут с Вами  немного обсуждали (в режиме спора) похожую  ситуацию  и Вы тогда придерживались (насколько помнится, можно поискать) "типичной" точки зрения. Я это припоминаю не в укор Вам и я, еще по-хорошему не вник в "некорректность" фейнмановской задачки и в вашу аргументацию, которой Вы обосновываете критику "типичной" точки зрения на поведение спутниковых часов..."

     Мы это обсуждали в Вашей теме "В чем прав eugeni" https://astronomy.ru/forum/index.php?PHPSESSID=rcv03uk9nhcp8uu9i21n0otq67&topic=32822.0

     Однако я не мог придерживаться "типичной" точки зрения (и в этом легко убедиться, прочитав тему), потому что я не люблю указанную аргументацию насчет экстремальности геодезических. А причина проста (именно поэтому я и создал эту тему): эта аргументация легко может привести к ошибке, а чтобы не ошибиться, сначала надо доказать, что в рассматриваемой области возможно введение соответствующей полугеодезической системы, а это далеко не всегда тривиально. То есть корректное решение фейнмановской задачи должно начинаться с доказательства последнего пункта и лишь после этого может использоваться аргументация насчет максимальности геодезической. В итоге, фейнмановская задача имеет тот ответ, который указал Фейнман в книге, лишь при следующих строгих условиях:
     1) либо разрешается двигаться вертикально и обязательно не ниже уровня неподвижных часов,
     2) либо рассматривается постоянное поле тяжести, вызванное релятивистским равноускоренным движением.

     Цитата yisnep: "...но то, что благодаря этой "некорректности"  наши точки зрения на поведение спутниковых часов сблизились, меня, естественно, радует."

     Тут трудно говорить о сближении наших точек зрения, потому что я свою точку зрения вообще не менял. В той теме Вы несколько раз зачем-то подчеркивали, что спутниковые часы движутся по геодезической, а неподвижные - нет. В той задаче движение спутника по геодезической вообще не играет никакой роли: указанный мною ответ верен независимо от того, движется спутник по орбите свободно или он просто привязан веревкой к центру Земли и движется по орбите с произвольной скоростью.

Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #12 : 22 Фев 2009 [18:47:13] »
     Кстати, принцип максимальности геодезических можно правомерно использовать в задаче о близнецах во фридмановской Вселенной. Напомню, что общеизвестный вариант задачи о близнецах рассматривается в СТО, то есть там нет гравитации, и землянин неподвижен в некоторой ИСО. Если мы поменяем условия, считая, что землянин неподвижен относительно сопутствующей системы отсчета (движется вместе с "космологической жидкостью"), а космонавту предложим куда-нибудь слетать, то известный вывод сохранится, а именно: по возвращении космонавт окажется моложе землянина (не надо забывать, что в реальности Земля имеет пекулярную скорость). Интересно также и то, что координатное время здесь является синхронным, как и в СТО-шном варианте задачи (т.е. одинаковые моменты времени отвечают одновременным событиям).
     В этом легко убедиться: мировой линией землянина является геодезическая - линия координатного времени, которое совпадает с собственным временем землянина - эта линия ортогональна 3-мерному пространству, а мировые линии разных точек 3-мерного пространства (геодезические) на всем протяжении времени существования такой Вселенной не пересекаются (кроме точки начала и точки конца). То есть рассматриваемая в космологии сопутствующая система отсчета является необходимой нам полугеодезической системой отсчета, а мировая линия землянина - геодезической, которая совпадает с координатной линией этой системы. Значит, можно применять принцип максимальности геодезической землянина - он обязательно окажется старше космонавта.

Оффлайн yisnep

  • *****
  • Сообщений: 4 203
  • Благодарностей: 33
    • Сообщения от yisnep
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #13 : 23 Фев 2009 [02:25:04] »
     Цитата yisnep: "Но пример с "меридиальной" геодезической на сфере кажется не очень удачным, в силу замкнутости этой геодезической, чего в природных движениях не наблюдается."

     Я там нигде не пользуюсь замкнутостью этой геодезической. Наоборот, я рассматриваю лишь незамкнутые фрагменты AB.
Я бы не рискнул утверждать, что пользуясь персональным компьютером я нигде не пользуюсь его персональностью.
Цитата
Однако я не мог придерживаться "типичной" точки зрения (и в этом легко убедиться, прочитав тему), потому что я не люблю указанную аргументацию насчет экстремальности геодезических. А причина проста (именно поэтому я и создал эту тему): эта аргументация легко может привести к ошибке...
Против экстремальности геодезической соединяющей два события Вы, как я понимаю, не возражаете, а возражаете против забивания гвоздей рубанком?
Цитата
В итоге, фейнмановская задача имеет тот ответ, который указал Фейнман в книге, лишь при следующих строгих условиях:
     1) либо разрешается двигаться вертикально и обязательно не ниже уровня неподвижных часов,
         ...
Но в задаче Фейнмана не только разрешено, но и предписано так двигаться, насколько я понял. И мотив апелляции в теме к этой задаче становится, в итоге, совсем невнятным, мне кажется.

Оффлайн yisnep

  • *****
  • Сообщений: 4 203
  • Благодарностей: 33
    • Сообщения от yisnep
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #14 : 23 Фев 2009 [02:36:41] »
     Кстати, принцип максимальности геодезических можно правомерно использовать в задаче о близнецах во фридмановской Вселенной.
Было бы интересно и поучительно, если бы Вы привели пример применения "принципа геодезической" там, где его применять никак не следует.




Оффлайн Ser100

  • *****
  • Сообщений: 757
  • Благодарностей: 14
    • Сообщения от Ser100
    • Моделирование систем
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #15 : 23 Фев 2009 [18:34:01] »
Но в задаче Фейнмана не только разрешено, но и предписано так двигаться, насколько я понял. И мотив апелляции в теме к этой задаче становится, в итоге, совсем невнятным, мне кажется.

Попробую за Сергея Хартикова объяснить, что он хотел сказать (или наоборот очень не хотел), рассматривая именно эту задачу, т.к., как мне кажется, интуитивно он понял, что здесь не все чисто и по этому решил показать условия при которых эта задача соответствует ОТО. Вот только сделал он это как-то очень специфически, т.е. не объясняя в чем суть проблемы, а только указывая условия применимости решения задачи. Попробую объяснить в чем суть проблемы при решение этой задачи. Так уж случилось, что года три назад (в том числе и на форуме физфака МГУ http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=7f9669ceb1bb4b883b55936152ecd863&showtopic=4122 ) я открыл тему по обсуждению принципа наименьшего действия (ПНД) в классической форме в его второй редакции, т.е. редакции Гамильтона-Остроградского (первую редакцию использовали Эйлер и Лагранж), т.к. у меня получились результаты, которые опровергали справедливость этого принципа. И тогда некто seggah в доказательство справедливости ПНД (в релятивистской форме) предложил мне решить как раз эту самую задачу Фейнмана, т.к. верный ответ в ней можно получить только применив ПНД (в релятивистской форме). Что я и сделал, и получил результат опровергающий ПНД, как ЗАКОН Природы, и в релятивистской форме, т.е. еще раз доказав, что ПНД является локальным (чисто математическим) геометрическим законом (принципом ) и при этом еще и в очень локальных условиях. Так вот, если мы все эти геодезические линии, о которых пишет Сергей Хартиков, рассмотрим в свете применения ПНД, то все станет ясно и понятно. Ведь родились эти геодезические не из римановой геометрии и ОТО, а из ПНД и по этому рассматривать их надо именно в свете применения ПНД. Вот, например, Сергей Хартиков пишет

//В ОТО 4-мерное пространство-время обладает псевдоримановой геометрией. В ней геодезическая линия локально является линией максимальной длины (как и в подмножестве ОТО - в СТО). Так как здесь длина отрезка геодезической совпадает с промежутком собственного времени тела, мировой линией которой является данная геодезическая, то отсюда и получается известный вывод о том, что максимальное время покажут часы тела, которое движется свободно, по сравнению с телом, мировая линия которого сначала ответвляется от этой геодезической, а затем снова с ней пересекается. Данный вывод верен как в СТО, так и в ОТО.

Цель настоящего изложения - обратить внимание на аккуратность при использовании этого утверждения, а именно: на существенную локальность экстремальности геодезической линии.//

//Рассмотрим пример собственно римановой геометрии - геометрию на обычной сфере. Геодезическими здесь являются окружности больших кругов (т.е. сечения сферы плоскостями, проходящими через ее центр). Однако две произвольные точки A и B соединяет две дуги: малая (< 180 градусов) и большая (> 180 градусов), как показано на рисунке. Про малую дугу можно сказать, что она действительно является линией минимальной длины (кратчайшее расстояние), но большая дуга не является не только линией максимальной длины, но и не является линией минимальной длины в любой окрестности этой дуги.//

Но ведь именно об этом писали еще Эйлер и потом Лагранж при нахождении геодезических линий на шаре, когда конечная точка от начальной точки будет находиться на другой стороне шара. Конкретно они писали, что если мы рассматриваем путь, длина которого меньше pi*R, то на действительном пути длина дуги будет действительно минимальной, а если больше pi*R, то о том, будет ли этот путь действительным или нет, ничего сказать нельзя. А, чтобы было совсем понятно о чем писали Эйлер и Лагранж, коротко напомню суть ПНД. Согласно этому принципу утверждается, что при свободном движение любого тела в каком то поле (гравитационном или электростатическом), т.е. если на него не будут действовать больше никакие силы, величина, называемая действием, будет иметь минимальное значение по сравнению с действием полученным при движение по любому другому пути, когда тело будет двигаться по какой то направляющей (можно сказать имеется уравнение удерживающей связи) или на тело будут действовать еще какие то силы (кроме сил притяжения создаваемых этим полем). При этом сравниваемые движения должны начинаться и кончаться в одних и тех же точках и время движения от начальной точки до конечной должно быть одно и тоже.

При этом, первоначально ПНД звучал так – Все движения в Природе из множества возможных траекторий происходят по истинным траекториям, где действие минимально. Далее, когда вариационное исчисление (опираясь на принцип минимума времени у Ферма и Бернулли и потом на ПНД) стало бурно развиваться и оформляться в отдельную дисциплину, заметили, что с математической точки зрения более корректно говорить не о минимуме действия, а о его экстремальности (хотя таких процессов, где бы оно было максимально на истинном пути я не видел). Затем и эта формулировка претерпела изменения и стали говорить более загадочно, т.е. о том, что на истинном пути первая вариация от функционала, т.е. в нашем случае действия, равна нулю (вот только это не означает, что при этом действие будет минимально или экстремально).

При этом, действие во второй редакции ПНД, вычисляется, как интеграл по времени движения от лагранжиана L=T-U, т.е. от разности кинетической (T) и потенциальной (U) энергии движущегося тела. Кинетическая энергия вычисляется как всегда T=m1*V^2/2, где m1 это масса тела, а V его скорость. А вот потенциальную энергию вычисляют по разному, хотя по одной и той же формуле, например, для гравитационного поля U=gamma*m1*m2*(1/R0-1/R), где R- это расстояние от движущейся массы до центра притяжения, но численные значения действия будут разные если взять разные R0. По этому я, на всякий случай, подсчитал действие не только, когда за нулевой уровень потенциальной энергии принята поверхность сферы, центр которой совпадает с центром второго тела (центра притяжения), а радиус R0 принят произвольно (действие будет Sser), но и по формуле, когда за нулевой уровень потенциальной энергии принято расстояние до сферы, когда R0 равно бесконечности (действие будет Sseg).

О проверке ПНД в классической форме ничего писать не буду (смотрите мою статью), а сразу перехожу к задаче Фейнмана, т.е. к проверке ПНД в релятивистской форме, когда на свободном (истинном) пути должно быть не только действие минимально, но при этом и суммарное замедление времени от действия скоростного фактора и гравитационного тоже должно быть минимально (или ускорение времени максимально). Но, прежде чем перейти к ее решению, я постараюсь сейчас более корректно поставить эту задачу, т.к. в книге Фейнмана она изложена очень расплывчато, но вся ее суть должна сводиться к тому, что если у нас тело движется по истинному пути, который мы можем отличить по значению действия на этом пути, то движение по этому пути и будет ответом задачи. И, если убрать лирику, то нам предлагается найти две управляющие функции V(t) и H(t), которые обеспечат максимальное значение функционала определяющего убыстрение хода часов от двух факторов – высоты полета H и скорости полета V. А исходя из того, что есть такой принцип, как ПНД, нам предлагают эту задачу вообще не решать, а просто поверить, что при движение по действительному, т.е. свободному, т.е. прямому пути у нас будет не только экстремальное значение функционала определяющего действие, но и максимальное убыстрение хода часов.

Таким образом, Фейнман утверждал следующее. Если в течение 1 часа в поле тяготения Земли ракета (неуправляемая) или просто снаряд будет лететь по свободному (истинному) пути, то не только действие будет минимально, но и суммарное замедление времени от действия скоростного фактора и гравитационного тоже будет минимально (или ускорение времени максимально) по сравнению с любым не свободным путем, т.е. когда у нас будет или управляемая ракета, которая будет по какой то программе изменять свою скорость полета и высоту, или движение будет по какой то направляющей, когда у нас будет уравнение удерживающей связи. Я даже немного усложнил задачу Фейнмана и посчитал 2-а варианта для 1-часа и для 2-часов и добавил ее некоторыми начальными данными, чтобы задача стала более конкретной. На рисунке изображены траектории полета из точки А в точку В при свободном движение (верхние кривые при угле немного больше pi*R) и при не свободном движение, где в качестве примера несвободного движения я взял движение по одной и той же дуге окружности и для 1 часа и для 2 часов полета (нижняя кривая). При этом данные на рисунке по действию для двух часов даны предварительные (точные данные смотрите в таблице).






Если координаты центра Земли будут X2=0 и Y2= -Rземли= -6378 км (такая система координат принята в программе Hrono1R, откуда взят рисунок), то, например, при времени движения 1 час (точнее получилось 3645 сек) из точки А с координатами Xn= -6378 км и Yn= -6378 км в точку В с координатами Xk= 6165 км и Yk= -8000 км при свободном движение (по эллипсу) и при начальной скорости ракеты (снаряда) VX1= -1460 м/с и VY1= 8000 м/с действие будет S1ser= 56,8*10^9 Дж*с при R0ser= Rземли, а при не свободном движение (по дуге окружности) и при начальной скорости VX1= -1214 м/с и VY1= -6589 м/с  действие будет S1ser= 35,1*10^9 Дж*с. При этом радиус дуги окружности при не свободном движение был R40=6333 км и координаты центра окружности X40= -150 км и Y40= -7525 км. Таким образом, получается, что при глобальном решение этой задачи при времени полета 1 час Фейнман не прав, т.к. убыстрение при свободном движение будет 3,5-10,2= -6,7*10^-7 с, а при движение по управляемой траектории (дуга окружности-красная линия) 2,5-7,4= -4,8*10^-7 с, т.е. при движение по управляемой траектории замедление времени меньше. Хотя при локальном движение, т.е. вертикально вверх, а потом вниз, действие действительно будет минимальным и убыстрение времени будет максимальным. Точно также и при времени движения 2 часа (7200 сек) при свободном движение (по эллипсу) у меня получился результат подтверждающий справедливость ПНД. Впрочем, это уже не имеет никакого значения, т.к. если ПНД нарушается в первом примере при времени движения 1 час, что соответствует задаче Фейнмана, то это уже не принцип.


Полученные мною данные я представил в виде таблицы, где t- время движения,  Sser, Sseg - действие по разным формулам, где потенциальная энергия определяется, соответственно, относительно поверхности Земли и точки удаленной в бесконечность,  tt- суммарное убыстрение времени, а ttR- убыстрение времени от уменьшения гравитации согласно общей теории относительности и ttV- убыстрение (получается только замедление) времени от действия скорости согласно преобразованиям Лоренца в специальной теории относительности. Если кто-то надумает повторить эти эксперименты на программе Hrono1R (усовершенствованная версия программы Hrono1 для проверки ПНД и в релятивисткой форме), то могу сообщить, что шаг решения при свободном движение был h =1 с, а при вынужденном h =0,5 с, жесткость направляющей C1=10 н/м, а коэффициент жидкостного трения в материале направляющей был Kj1=0,1 н*с/м. При этом, не забудьте при движение по дуге поставить две галочки у надписи “дуга”. В программе ttR и ttV вычислялись на каждом шаге решения по следующим формулам
ttR=ttR+h*gamma*m2*(1/Rземли-1/R)/Vsv^2
ttV=ttV+h*(1-1/SQR(1-V^2/Vsv^2))
где Vsv= 2.998 * 10 ^ 8 м/с.

№__траектория______VX_____VY_____t_____Sser___Sseg____ttR_____ttV_____tt
1_свободное_1час__- 1460___8000__3645___56,8___284,6___3,55___- 9,86__- 6,32
2_дуга_окр__1час__- 1214__- 6589__3645___35,1___262,9___2,60___- 6,51__- 3,91
3_свободное_2час__- 3835___8157__7200___- 75,3__374,7___20,46__- 12,08__8,38 
4_дуга_окр__2час__-861,1__- 4674__7200___- 17,9__432,1___5,52___- 3,53___1,99

Я даже провел проверку правильности решения этой задачи по методике, которую предложил мой //первый заклятый оппонент по ПНД//, некто AID, вот в этом сообщение http://physics.nad.ru/rusboard/messages/46941.html //Можете себя проверить таким способом - разность времен на действительной и окольной траекториях должна быть равна разности действий, деленной на минус 9*10^16 мс^2.// Для времени движения 1 час получается, что при разности времени -2,41*10^-7 сек разность действия получается (как по Sser так и по Sseg) 21,7*10^9 Дж*с, что при деление на 9*10^16 дает тот же результат 2,41*10^-7. А  для 2-х часов при разности времени 6,39*10^-7 сек разность действия получается (как по Sser так и по Sseg) -54,4*10^9 Дж*с, что при деление на 9*10^16 дает опять же точно такой же результат 6,39*10^-7.

Таким образом, полученные мною экспериментальные данные, полностью опровергают наличие в Природе ПНД как ЗАКОНА Природы, как в классической форме, так и в релятивистской. А все, о чем нам пытается сообщить Сергей Хартиков, это попытка найти локальную область, где этот принцип выполняется, хотя он о самом ПНД не упоминает, а настойчиво ведет речь только о геодезических линиях. Я вот только не понимаю зачем нам нужен этот очень локальный принцип, если мы можем применять для решения задач принципы, которые являются глобальными, т.е. не надо, прежде чем решать задачу, выяснять можно ли использовать этот принцип для ее решения. Если кого то заинтересуют подробности, то можете скачать мои статьи и программы с моей домашней страницы http://ser.t-k.ru/  (зеркало http://modsys.narod.ru/ ). А, что касается опровержения справедливости ПНД в локальных областях, то можете почитать сообщение //второго моего заклятого оппонента по ПНД// некоего Kostya, которое я сам выложил здесь http://physics-animations.com/rusboard/messages/57318.html . Он по этому вопросу проводил исследования самостоятельно, т.к. я исследовал ПНД только на глобальный минимум и только в классической формулировке, т.е. в том виде в каком он использовался при создание классической, релятивистской и квантовой механики, а не современную его формулировку с равенством нулю вариации.


С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #16 : 23 Фев 2009 [20:29:51] »
     Цитата yisnep: "Я бы не рискнул утверждать, что пользуясь персональным компьютером я нигде не пользуюсь его персональностью."

     А я не просто рискнул сказать, но и сказал совершенно правильно. Для этого достаточно вырезать в шаре дырку (в том месте, где проходит короткая дуга AB) и продолжить края куда-нибудь на бесконечность.

     Цитата yisnep: "Против экстремальности геодезической соединяющей два события Вы, как я понимаю, не возражаете, а возражаете против забивания гвоздей рубанком?"

     Я никак не пойму: в начальных сообщениях темы недостаточно раз сказано, в чем следует проявлять осторожность?

     Цитата yisnep: "Но в задаче Фейнмана не только разрешено, но и предписано так двигаться, насколько я понял. И мотив апелляции в теме к этой задаче становится, в итоге, совсем невнятным, мне кажется."

     В задаче Фейнмана нигде не сказано про вертикальное движение.

     Цитата yisnep: "Было бы интересно и поучительно, если бы Вы привели пример применения "принципа геодезической" там, где его применять никак не следует."

     В начальных сообщениях я привел два таких примера.

Оффлайн Хартиков СергейАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 7 395
  • Благодарностей: 33
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Хартиков Сергей
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #17 : 23 Фев 2009 [20:42:51] »
     Цитата Ser100: "Попробую за Сергея Хартикова объяснить, что он хотел сказать (или наоборот очень не хотел), рассматривая именно эту задачу, т.к., как мне кажется, интуитивно он понял, что здесь не все чисто и по этому решил показать условия при которых эта задача соответствует ОТО."

     Вообще-то, я не интуитивно понял, а совершенно строго понял - и посвятил этому первые несколько сообщений со ссылками.

     Цитата Ser100: "Вот только сделал он это как-то очень специфически, т.е. не объясняя в чем суть проблемы, а только указывая условия применимости решения задачи. Попробую объяснить в чем суть проблемы при решение этой задачи. "

     Я бы попросил Вас указать, в чем же суть, с Вашей точки зрения. В цитируемом сообщении Вы произвели некоторые подсчеты, которые являются численной иллюстрацией того, о чем я написал в начальных сообщениях. В отличие от меня, причину Вы почему-то не указали.

     Цитата Ser100: "я открыл тему по обсуждению принципа наименьшего действия (ПНД) в классической форме в его второй редакции, т.е. редакции Гамильтона-Остроградского (первую редакцию использовали Эйлер и Лагранж), т.к. у меня получились результаты, которые опровергали справедливость этого принципа."

     Укажите, пожалуйста, письменные первоисточники Эйлера, Лагранжа, Остроградского, Гамильтона, в которых принцип наименьшего действия формулировался бы в форме "глобального минимума по истинной траектории".

     Цитата Ser100: "Что я и сделал, и получил результат опровергающий ПНД, как ЗАКОН Природы, и в релятивистской форме, т.е. еще раз доказав, что ПНД является локальным (чисто математическим) геометрическим законом (принципом ) и при этом еще и в очень локальных условиях."

     Вы не принцип наименьшего действия опровергли, а чьи-то неверные формулировки этого принципа.

     Цитата Ser100: "я исследовал ПНД только на глобальный минимум и только в классической формулировке, т.е. в том виде в каком он использовался при создание классической, релятивистской и квантовой механики, а не современную его формулировку с равенством нулю вариации."

     "Равенство нулю вариации" - это и есть математически строгая формулировка этого принципа, которая была всегда - и во времена Лагранжа и после него.

     Цитата Ser100: "По этому я, на всякий случай, подсчитал действие не только, когда за нулевой уровень потенциальной энергии принята поверхность сферы..."

     Это-то зачем было делать? У кого-то есть сомнения, что интеграл от константы будет отличаться, если его вычислить десять раз подряд?

Оффлайн Ser100

  • *****
  • Сообщений: 757
  • Благодарностей: 14
    • Сообщения от Ser100
    • Моделирование систем
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #18 : 24 Фев 2009 [03:01:28] »
     
     Я бы попросил Вас указать, в чем же суть, с Вашей точки зрения. В цитируемом сообщении Вы произвели некоторые подсчеты, которые являются численной иллюстрацией того, о чем я написал в начальных сообщениях. В отличие от меня, причину Вы почему-то не указали.

Да, нет причину я в отличие от Вас указал – она в том, что ПНД не является физическим ЗАКОНОМ, хотя в некоторых частных случаях монополей он чисто математически выполняется, например, в плоском поле (поле плоского конденсатора) или в центральном поле (поле притяжение Земли), но в последнем случае требуется еще дополнительное условие – путь должен быть меньше pi*R. Это, что касается конкретно применения ПНД, а, если посмотреть более широко, то я  утверждаю, что ПНД не обоснованно придается слишком большое значение в результате чего весь упор при решении задач управления переносится на функциональные связи в ущерб причинно-следственным. И как раз учебник Ландавшица [1] пропагандирует функциональный подход, т.е. применение ПНД в ущерб причинно-следственному подходу, т.е. применению законов Ньютона и я с этим не согласен, т.к. считаю, что ПНД не может справится с существующими сейчас реальными задачами, как в механике так и в экономике. А в экономике надо заметить еще со времен ее отцов основателей Парето и Маршалла разрешен только функциональный подход, т.к. они объявили причинно следственные связи в экономике вредными.

Причем, если применение причинно-следственных связей для решения как прямой, так и обратной задачи динамики дают однозначный ответ, то применение функциональных связей не дает такого однозначного ответа в общем виде, если не считать частных случаев движения в монополях.  И нахождение траектории между двумя точками, где действие будет минимально (экстремально) или закона изменения тягой космического коробля, чтобы с минимальным расходом достичь конечной планеты или найти закон управления покупкой и продажей акций на бирже на предстоящий год, чтобы была максимальная прибыль все это задачи одного порядка и вопрос стоит так - каким образом мы будем искать решение этих задач. Я не спорю, применение функциональных связей для решения обратных задач в механике дало на начальном этапе ее развития положительный эффект, но сложность задач, которые стоят сейчас перед механикой, заставляет отказаться от этого однобокого направления, а применение ЭВМ для моделирования поведения различных систем, как с функциональными связями, так и с причинно-следственными позволяет находить удовлетворительные решения для оптимальных законов управления даже сложными системами.

    
     
     Вы не принцип наименьшего действия опровергли, а чьи-то неверные формулировки этого принципа.

   
     "Равенство нулю вариации" - это и есть математически строгая формулировка этого принципа, которая была всегда - и во времена Лагранжа и после него.

 Укажите, пожалуйста, письменные первоисточники Эйлера, Лагранжа, Остроградского, Гамильтона, в которых принцип наименьшего действия формулировался бы в форме "глобального минимума по истинной траектории".


Начнем с того, что принцип наименьшего действия один из множества различных вариационных принципов, но выделился он из общей толпы различных величин оптимизируемых при различных вариационных принципах потому, что есть квант действия да еще и имеющий официальный статус наименьшего действия в Природе. А назвали эту величину (постоянную Планка) квантом действия, т.е. отмеренной порцией механического движения, потому что размерность этой величины совпала с размерностью величины, которую надо минимизировать в принципе наименьшего действия, а не с какой то другой величиной, например, с величиной наименьшего принуждения, которую надо минимизировать в принципе Гаусса. Правда, например, Пуассон назвал этот принцип «лишь бесполезным правилом»,  а Планк [5] писал, что этот принцип «не оказал никакого существенного практического влияния на научный прогресс» (как Вы поняли, это высказывание, конечно же, относилось к прогрессу до появления его кванта действия), а М.В.Остроградский в своей статье «Дифференциальные уравнения проблемы изопериметров» об этом принципе сказал следующее «Формула (21) содержит как частный случай динамический принцип наименьшего действия, но, с нашей точки зрения, его нельзя рассматривать не только как принцип, но даже как простую теорему. Он кажется нам только простым следствием, очевидным результатом применения метода вариаций к теории maxima и minima».

Но, как бы там ни было, а сейчас вся советская (российская) наука строится на этом принципе, т.е. он положен в основу учебников Ландавшицев (хотя еще недавно в 1959 г. на конференции в Киеве Л.Д. Ландау заявил, что //лагранжиан мертв и должен быть похоронен со всеми подобающими ему почестями..//, но, как видим, для ПНД ему пришлось оживить его), по этому приходиться уделять этому принципу больше внимания, чем он заслуживает. Начнем с того, что такое название этот принцип получил еще в 1744 году, когда даже не существовало таких понятий как энергия, мощность и т.д., именно исходя из того, что подразумевалось достижение какой то цели, как, например, при игре в карты, а не исходя из физического смысла. Мопертюи дал ему это название исходя из метафизических представлений о Природе, где все должно происходить из каких то разумных соображений как будто бы Природа в своих действиях преследует какие то цели, которые сама перед собою и ставит, т.е. имеется в виду наличие Бога, который осуществляет в Природе только разумные процессы. А ведь кроме разумности поведения в этом принципе действительное движение в конкретное время приходится рассчитывать с помощью будущего движения, т.е. получается, что настоящее зависит от будущего и, следовательно, без божественного предвидения здесь никак не обойтись. И только позже в этот принцип принесли математическое содержание великие геометры (читай математики) Эйлер и Лагранж, а затем и Гамильтон, но божественное начало так и продолжает витать над этим принципом.


Правда многие ученые отвергают божественное начало в этом принципе, но как то не очень убедительно. Вот, например, Планк [5], который, естественно, после своего кванта действия, просто обязан боготворить этот принцип, уже в ХХ веке пишет о его сущности так «В связи с этим надо вспомнить о Теодице Лейбница, в которой выдвинут тезис о том, что истинным миром среди всех миров, которые могли бы быть сотворены, является тот мир, который наряду с неизбежным злом содержит в себе максимум добра. Этот тезис является не чем иным, как вариационным принципом, выраженным в такой же форме, как возникший позднее принцип наименьшего действия. Неизбежное сцепление добра и зла играет при этом роль предписанных условий, и ясно, что фактически из этого тезиса могли бы быть выведены все особенности действительного мира, если бы удалось математически точно сформулировать, с одной стороны, меру для количества добра, с другой стороны – предписанные условия». Я извиняюсь за множество не математических цитат, но вопрос действительно очень серьезный, т.к. с помощью принцип наименьшего действия и сейчас пытаются получить «все особенности действительного мира». Вначале из механики этот принцип стараниями Гельмгольца перебрался в термодинамику, а стараниями Фейнмана в квантовую механику и сейчас уже и в биологию и в экономику (даже видел диссертации по оптимизации водопровода в Воронеже и по оптимизации управления чиновниками где-то на Украине).   

Но вот в самом начале с применением принципа наименьшего действия возникла одна очень большая проблема, а именно трудность в «математической формулировке меры для количества добра». Наиболее известны формулировки Мопертюи-Лагранжа и Гамильтона-Остроградского-Якоби. В первом случае критерий оптимизации вычисляется как интеграл по пути от произведения массы на скорость, т.е. от количества движения, а во втором как интеграл по времени от Лагранжиана, т.е. разности кинетической и потенциальной энергий системы. При этом по критерию Мопертюи-Лагранжа энергии в двух движениях равны, а по критерию Гамильтона-Остроградского-Якоби, энергии могут быть разными из-за разных начальных скоростей. Как в одном, так и в другом случае размерность критерия получается джоуль умножить на секунду, но физический смысл как мы видим здесь совершенно разный. И вот как раз физический смысл всех этих изобретаемых критериев оптимизации никак ни кому и не удавалось понять.

Для Лагранжа, например, физический смысл  принципа наименьшего действия заключался именно в конкретизации закона живых сил (читай закона сохранения энергии) и он даже писал: «его можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы» [6], а Лаплас о механическом содержании этого принципа говорил так: «интеграл живой силы системы, умноженный на элемент времени, есть минимум, так что, следовательно, истинная экономия природы есть экономия живой силы» [6]. Но, как мне кажется, ближе всех к сущности этого принципа подошел Эддингтон, который очень остроумно заметил, что принцип наименьшего действия можно сравнить с утверждением «если бы законы арифметики перестали быть верными, то 2+2 было бы больше или равно (но наверное не меньше) четырем» [6]. Иначе говоря, если бы законы механики перестали быть верными, то в каком то приближении для некоторых случаев можно было бы воспользоваться принципом наименьшего действия.

Со временем о физическом смысле этого принципа забыли и сосредоточились только на его математической стороне с использованием возмужавших к этому времени вариационных принципов, но даже чисто математические формулировки у разных авторов иногда существенно отличались, а термин экстремальность использовался очень не однозначно (кто-то имеет ввиду под экстремальностью равенство нулю вариации, а кто-то минимальность или максимальность, а кто-то под равенством нулю вариации понимает стационарность траектории). Вот что, например, писал о применении этого принципа Луи де Бройль  [4]   «Уравнения динамики материальной точки в поле сил, обладающих потенциалом, можно получить, исходя из принципа, который в общем виде носит название принципа Гамильтона, или принципа стационарного действия. Согласно этому принципу, из всех движений материальной точки, которые она может совершить между теми же начальной и конечной точками за тот же самый промежуток времени t2...t1 в действительности осуществляется то движение, для которого интеграл по времени от t1 до t2 от разности кинетической и потенциальной энергий этой материальной точки принимает экстремальное, т.е. минимальное или максимальное значение. Пользуясь известными методами вариационного исчисления, легко показать, что из этого принципа вытекают классические уравнения движения.

Особенно простую форму принимает принцип стационарного действия в частном, но важном случае статических силовых полей. В этом случае он совпадает с принципом наименьшего действия Мопертюи, согласно которому для действительного пути материальной точки в консервативном (т.е. не зависящем явно от времени) силовом поле интеграл от импульса частицы, взятый по отрезку траектории между какими-либо двумя ее точками A и B, минимален по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых, проведенных через точки A и B. Принцип Мопертюи может быть выведен из принципа Гамильтона. Его можно связать также с теорией Якоби».

А вот, что пишет Ваш любимец Ландавшиц [1] «Пусть в моменты времени t=t1 и t=t2 система занимала определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат q(1) и q(2). Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл (2.1) имел наименьшее возможное значение. Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2.1) действием».
Правда, там у него есть еще хитрая сноска "следует, однако указать, что в такой формулировке ПНД не всегда справедлив для всей траектории в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей траектории может оказаться, что интеграл 2.1 имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности."

Примерно то же самое мы можем прочитать и в научно-популярных статьях, например, в [2] читаем  «Однако, как известно, для однозначного определения траектории движения вместо двух начальных условий, можно задать положения материальной точки в два последовательных момента времени r1 = r(t1) и r2 = r(t2). В последнем случае II закон Ньютона допускает альтернативную формулировку, имеющую название принципа наименьшего действия. Согласно принципу наименьшего действия движение частицы в интервале t1 <= t <= t2 между двумя заданными точками r1 = r(t1) и r2 = r(t2) происходит по такой траектории r(t), которая обеспечивает минимальное (или максимальное) значение функционала S, называемого в механике действием».

А в работе [3] читаем   «Вариационные принципы позволяют выделить истинное или реальное движение (или состояние) физической системы из неограниченной совокупности кинематически возможных при тех же условиях движений (или ее состояний). Это достигается благодаря тому, что вариационные принципы указывают некоторый признак истинного движения системы: для истинного движения определенная функция, зависящая от координат и их производных, дает экстремум по сравнению со всеми остальными движениями, совместимыми с заданными условиями».

Так вот я и пишу кругом, что меня не устраивает использование для создания различных теорий старой формулировки (пусть не с минимумом, а с экстремумом – это не принципиально), а когда рассуждают о математической стороне дела, то в современных публикациях чаще всего пишут о том, что первая вариация должна быть равна нулю, а траектория не должна заходить за кинетический фокус. При этом также, совершенно забывают упомянуть о том, что о ПНД имеет хоть какой-то смысл говорить только в монополях, т.е. когда имеется только одно тело, создающее это поле, и отсутствует диссипация (не говоря уже о том, что и при соблюдение этих условий, он выполняется не во всех монополях). Таким образом, мы видим, что применять этот принцип нельзя практически никогда, т.к. в Природе практически не бывает монополей и все процессы идут с диссипацией энергии.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие в 10-ти т.Т.1. Механика. - 5-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 224 с.
2. http://www.ioffe.org/register/?doc=physica2/lect28.tex
3. http://dalaam.nm.ru/html/Conception%20of%20integriny.htm#1 .
4. http://orel.rsl.ru/nettext/foreign/broil/rev_v_physike/rf01.htm.
5. М. Планк. Принцип наименьшего действия// Вариационные принципы механики/ Под ред. Л.С. Полака, М.: Физматгиз, 1959. с. 580-588.
6. Полак Л.С. Вариационные принципы механики// Вариационные принципы механики/ Под ред. Л.С. Полака, М.: Физматгиз, 1959. с. 780-879.


 
 
     Это-то зачем было делать? У кого-то есть сомнения, что интеграл от константы будет отличаться, если его вычислить десять раз подряд?

У меня из-за этого разночтения были проблемы на форуме физфака МГУ и на других форумах иногда просили уточнить формулу (вот я на всякий случай и написал).


С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Оффлайн yisnep

  • *****
  • Сообщений: 4 203
  • Благодарностей: 33
    • Сообщения от yisnep
Re: Задача из книги о Фейнмане
« Ответ #19 : 24 Фев 2009 [03:41:44] »
     Цитата yisnep: "Я бы не рискнул утверждать, что пользуясь персональным компьютером я нигде не пользуюсь его персональностью."

     А я не просто рискнул сказать, но и сказал совершенно правильно. Для этого достаточно вырезать в шаре дырку (в том месте, где проходит короткая дуга AB) и продолжить края куда-нибудь на бесконечность.
Видимо, у Вас есть основания полагать, что в этом случае длинная дуга АВ будет неким аналогом отрезка мировой линии свободно движущегося тела? Хотелось бы услышать эти основания.

 
Цитата
   Цитата yisnep: "Против экстремальности геодезической соединяющей два события Вы, как я понимаю, не возражаете, а возражаете против забивания гвоздей рубанком?"

     Я никак не пойму: в начальных сообщениях темы недостаточно раз сказано, в чем следует проявлять осторожность?
Думаю, что имея целью темы обезопасить читателя от ошибки неосторожного применения, решение вопроса достаточности следует, тем более, оставить за читателем.

Цитата
Цитата yisnep: "Но в задаче Фейнмана не только разрешено, но и предписано так двигаться, насколько я понял. И мотив апелляции в теме к этой задаче становится, в итоге, совсем невнятным, мне кажется."

     В задаче Фейнмана нигде не сказано про вертикальное движение.
Согласен, Ф. не уточнил, что стреляли вертикально вверх. По-видимому потому, что горизонтально вверх обычно не стреляют.

Цитата
Цитата yisnep: "Было бы интересно и поучительно, если бы Вы привели пример применения "принципа геодезической" там, где его применять никак не следует."

     В начальных сообщениях я привел два таких примера.
В виде ссылок найти не удалось. Вот, только это: "Недавно я с удовольствием прочитал книгу "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!" и обратил внимание на одну некорректность." и "Однако я неоднократно встречал в сети и здесь на форуме со стороны некоторых участников подобные некорректные рассуждения, которые в других случаях приводили авторов к неверным выводам."