Теорема Байеса против инопланетян

[Track-Dbf]

OMI
то есть, вероятность того, что поезд - это поезд, есть меньше процента!

Вот и Анна Коренина так считала...

А повстречайся ей инопланетянин конкретный пацан? Сдались бы ей эти паровозы... 

Но, судьбу не выбирают и она встретила именно поезд. Как тут быть?

1. На время встречи, объявить неверие своим глазам, ушам, рукам и т.п, чтобы спасти математическую теорию?
2. Доверить своим органам чувств, тем самым предав математическую теорию?
3. Найти соломоново решение: объявить встречу исключением из теории, сохранив таким образом, доверие к своим органам чувств и к истинности математической теории?

 

[Quest]

Если факты противоречат моей теории, тем хуже для фактов.
якобы это сказал Гегель

Допустим, что случилось такое несчастье, как встреча человека, математически отрицающего сам факт существования инопланетян, с ими самими.

Как тут быть?

1. На время встречи, объявить неверие своим глазам, ушам, рукам и т.п, чтобы спасти математическую теорию?
2. Доверить своим органам чувств, тем самым предав математическую теорию?
3. Найти соломоново решение: объявить встречу исключением из теории, сохранив таким образом, доверие к своим органам чувств и к истинности математической теории?

Тут стоить вспомнить, что теория редко когда существует в единственном экземпляре, а появление инопланетян... ну если и ниспровергнёт что-то, то уж точно не всю систему знаний.

[OMI]

Лично я не являюсь уфологом и никогда им не был, хотя пару раз встречался и слушал их лекции.
С другой стороны, я также не являюсь ярым противником уфологии и яростно не доказываю их наивность, глупость и т.п.

P.S. Просто анекдот.
***
Урок природоведения на открытом воздухе.
Учительница рассказала детям о постулатах научного атеизма, а после и говорит:
-Дети, а теперь все дружно поднимем головы в небо и крикнем: "Бога нет!".
Дети подняли головы и дружно стали кричать... Все, кроме одного.
-О! Изя, а ты почему не кричишь вместе со всеми: "Бога нет!".
-А зачем? Если его нет, то к кому тогда кричать? А если он таки есть, то зачем с ним портить отношения?

[taurus]

Не бойтесь поезда, ходите по рельсам!

Смешно, конечно. Думаю, ошибка рассуждений в том, что критерий поезд / не поезд гораздо выше 0.1%. Я, например, встречал в жизни поезд несколько тысяч раз (каждый день в метро) и не разу не ошибся.

[Quest]

Лично я не являюсь уфологом и никогда им не был, хотя пару раз встречался и слушал их лекции.
С другой стороны, я также не являюсь ярым противником уфологии и яростно не доказываю их наивность, глупость и т.п.

Так вопрос не в том, что "они есть" или "их нет". (По идее, правда, должны быть).
Просто для того, чтобы ниспровегрнуть "Теорию вообще" нужно нечто куда большее. На "просто теории" - так на то они и гипотезы.

[dims]

А что теорема, согласно Вашему мнению, скажет о достоверности мнений, противоположных Вашему?

Если известны все входные параметры формулы, то скажет.

[dims]

Далеко не всё в этом Мире можно описать теорией вероятности.

Если применять теорию правильно, то можно описать всё, к чему её можно применить.

[dims]

Начинаю трассировку логики:

1. в 999 из 1000 любитель гулять по рельсам точно скажет, что поезд - это поезд.
2. из 1000000 смертей 999999 происходят от старости, болезней, войн и каких-то других причин, и только 1 смерть действительно происходит под колесами поезда.

В пункте 2 у вас условная вероятность того, что человек столкнулся с поездом, при условии, что он умер. Если Вы хотите протрассировать именно логику, а не что-то противоположное, то тут у Вас должна быть как минимум безусловная вероятность встретиться с поездом (вообще, а не только при условии последующей смерти). А если уж быть совсем точным, то это должна быть вероятность встретиться с поездом на рельсах, раз уж Вы рассматриваете "любителя гулять по рельсам".

Эти вероятности будут довольно большими и, подставив их в формулу, Вы увидите, что критерия 999:1000 для определения поезда вполне достаточно, как обычному человеку, так и, тем более, любителю гулять по рельсам, который, если уж и встретит что-то, то, скорее всего, это будет именно поезд.

[dims]

P.S. Иными словами, для любителя гулять по рельсам подойдёт и очень плохой критерий. Например, "что-то гудящее и грохочущее". Этот критерий путает поезд с самолётом, пароходом, телевизором и кофемолкой, то есть, его эффективность при определении поезда, наверное, процентов 10.

Но, если подставить цифры в ту же формулу Байеса, то можно увидеть, что итоговая эффективность этого критерия для любителя гулять по рельсам вполне себе ничего.

Иными словами, любитель гулять по рельсам должен шарахаться от любого "грохочущего и гудящего", потому что в его случае это, скорее всего, будет поезд.

И формула Байеса подтвердит этот интуитивно-понятный вывод.

[dims]

Смешно, конечно. Думаю, ошибка рассуждений в том, что критерий поезд / не поезд гораздо выше 0.1%.

Ошибка рассуждений в неправильном применении понятия условной вероятности. Одни вероятности завышаются, при помощи использования условия "любитель гулять по рельсам", а другие вероятности занижаются, при помощи условия "летальный исход". И делается это тогда и там, где нужно автору "ошибки" (а на самом деле, подтасовки). Например, если хотя бы не забывать условия "любитель гулять по рельсам", то, наверняка, даже вероятность других причин при условии смерти будет выше (любители гулять по рельсам чаще гибнут от поездов, чем другие люди).

Я, например, встречал в жизни поезд несколько тысяч раз (каждый день в метро) и не разу не ошибся.

Мозг использует теорему Байеса. Находясь в метро, Вы распознаёте поезд не только по внешним признакам машины, но и по условию, что Вы в метро.

Вообще, "сети Байеса" -- один из способов моделирования интеллекта при распознавании образов. Теорема позволяет численно-корректно учесть и признак сам по себе и вероятность распознаваемой ситуации, как таковой.

[dims]

Если у нас есть 1 миллион регистраций НЛО, из которых, на самом деле, только один корабль пришельцев, то "срабатывание уфолога" на этот корабль потонет в тысяче его ложных срабатываний, поскольку согласно условия, вероятность ложного срабатывания равна 0.001.

Именно так!

[КотКот2]

***
Правитель одной страны выдал закон, согласно которому, все иностранцы, входящие в его страну на лошади, обязаны платить налог с лошади.
И вот границу пересекает человек на лошади. Пограничник остановил его и потребовал заплатить налог с лошади.
Он не знал, что перед ним софист 
Софист сказал:
-Как видишь, я еду на чёрной лошади?
-Да, вижу.
-Как видишь, моя лошадь не белой масти.
-Да, вижу.
-Согласись, что чёрный цвет - это не белый цвет. Согласен?
-Да, согласен.
-Ну вот! Раз чёрный цвет - это не белый цвет, а моя лошадь чёрного цвета, а не белого цвета, то из этого следует, что моя лошадь - это не лошадь! Так что платить мне не за что.
... У пограничника "ку-ку" заклинило и он молча пропустил софиста с лошадью.

Мне кажется , пограничник, выслушав такую тираду , просто бы сказал --- Плати таньга, Плати таньга --- и все... Есть сомнения в том, что пограничник среагировал бы на этот софизм....

[dims]

Допустим, какой-то умерший любитель прогулок по рельсам был уверен, что если он , прогуливаясь по рельсам, увидит похожее на поезд явление, то у него есть критерий, по которому в каких-то случаях он сможет точно судить, является ли это явление в действительности поездом, или нет.

Внесём сюда цифры. Точного, конечно, ничего не бывает. Но мы можем быть щедры к любителю прогулок по рельсам и допустить, что точность его критерия составляет 99,9%. Это означает, что из 1000 случаев, когда при прогулке по рельсам любитель увидит похожее на поезд явление, перед любителем действительно появится поезд, его критерий скажет "да" в 999 случаях. И наоборот, из 1000 случаев, когда перед любителем (тоже во время прогулки по рельсам) появится НЕ поезд (хотя явление будет похоже на поезд), в 1 случае его критерий ошибочно скажет "да". То есть, его критерий очень точный, но изредка допускает как положительные, так и отрицательные ошибки.

Но теперь наложим на эффективность критерия, вероятность самого определяемого события. Допустим, на миллион смертей любителей прогулок по рельсам, произошедших по причине их встречи с чем-то, похожим на поезд, во время прогуливания по рельсам, только одна действительно происходит под колесами поезда, а остальные 999999 -- от старости, болезней, войн и каких-то других причин.

Так вот, поставим вопрос: если любитель прогулок по рельсам со своим критерием столкнулся с похожим на поезд предметом, и его критерий сказал "да -- это поезд", то какова вероятность того, что это действительно так?

Точный ответ на это даёт теорема Байеса:

P(A|B) = (0.999 * 0.000001) / (0.999*0.000001 + 0.001*0.999999) = 0.1%

то есть, меньше процента!

Я думаю, что вывод понятен и чисто умозрительно: дело в том, что смерть под колесами поезда настолько маловероятна сама по себе (даже, если идёшь по рельсам и видишь нечто, похожее на поезд), что когда даже очень сильный критерий будет говорить "за", скорее всего, это будет ошибка критерия.

Как часто нас обманывали глаза, уши? Редко, но такое случается. Если вероятность такого обмана больше, чем вероятность реальной смерти под колесами, то даже своим глазам и ушам не следует верить в таком случае.

Не бойтесь поезда, ходите по рельсам , если и впраду считаете, что гуляя по рельсам и встретив нечто, похожее на поезд, вы скорее умрёте "от старости, болезней, войн и каких-то других причин"!

[Track-Dbf]

Теорема преподобного Байеса

[Беркли] утверждает, что Логика и Метафизика откроют математикам глаза и выведут их из всех затруднений... Но если склоки среди профессоров любой науки позорят саму науку, а Логика и Метафизика намного более склочны, нежели математика, то почему же, раз я наполовину слеп, я должен выбирать себе в проводники того, кто вообще ничего не видит?
Преподобный Томас Байес, "В защиту математиков..."
http://old.computerra.ru/online/jack/12150/

Теорема Байеса, имеющая ныне сильнейшее влияние на разработки софтверных компаний, имеет дело с расчетом вероятности верности гипотезы в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. Другими словами, по формуле Байеса можно более точно пересчитывать вероятность, беря в учет как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений. Главная, видимо, особенность теоремы Байеса в том, что для ее практического применения обычно требуется огромное количество вычислений-пересчетов, а потому расцвет методов байесовых оценок пришелся аккурат на революцию в компьютерных и сетевых инфотехнологиях. Конечно, эффективные методы статистических оценок интенсивно применяли и ранее, особенно военные в каких-нибудь экспертных или криптоаналитических системах, но по-настоящему широкая популярность и "мода на Байеса" пришла в 1990-е годы.
*
И уж коли речь зашла о дискредитации ученого, то, быть может, наихудшую услугу ему оказывают разухабистые пиаровские тексты компании Autonomy, вещающие об "эксцентричном англичанине Томасе Байесе, который с одинаковым успехом занимался как доказательством существования Бога, так и разработкой наиболее эффективных алгоритмов для игры в кости". По свидетельству историков, подобные заявления, мягко говоря, не соответствуют известным фактам из жизни этого человека.

Что же известно, так это на редкость мудрый подход Байеса к эффективности точных наук и к возможности их гармоничного сочетания с глубоким религиозным чувством.

*

Раз я наполовину слеп, я должен выбирать себе в проводники того, кто вообще ничего не видит?

Да, неееее... Воспользуемся опытом монахинь, наденем презерватив на варёную морковь, применим  на редкость мудрый подход к эффективности точных наук и к возможности их гармоничного сочетания с глубоким религиозным чувством. 

[OMI]

P.S. Иными словами, для любителя гулять по рельсам подойдёт и очень плохой критерий. Например, "что-то гудящее и грохочущее". Этот критерий путает поезд с самолётом, пароходом, телевизором и кофемолкой, то есть, его эффективность при определении поезда, наверное, процентов 10.

Но, если подставить цифры в ту же формулу Байеса, то можно увидеть, что итоговая эффективность этого критерия для любителя гулять по рельсам вполне себе ничего.

Иными словами, любитель гулять по рельсам должен шарахаться от любого "грохочущего и гудящего", потому что в его случае это, скорее всего, будет поезд.

И формула Байеса подтвердит этот интуитивно-понятный вывод.

Гм...

Что-то мне такой подход к теореме напоминает некий резиновый эталон метра, если бы такой был в палате мер и весов.

Другими словами, с помощью своего правильного применения данной теоремы, гражданин Ааа может доказать истинность утверждения [Х] а его сосед Ббб, опять же с помощью своего правильного применения данной теоремы, может доказать ложность утверждения [Х].

Как-то так выходит... 
Теорема на стыке математики и юриспруденции.

[dims]

Другими словами, с помощью своего правильного применения данной теоремы, гражданин Ааа может доказать истинность утверждения [Х] а его сосед Ббб, опять же с помощью своего правильного применения данной теоремы, может доказать ложность утверждения [Х].

Теорема Байеса не доказывает тот или иной вывод. Она -- просто инструмент работы с вероятностями. А вероятность -- это научный аналог веры. Рациональная мера доверия.

Выше я показал, как с помощью теоремы Байеса получить вывод, что можно ходить по рельсам. Для этого пришлось всего-лишь изменить исходные посылки. Теорема связывает исходные посылки с выводами. За сами исходные посылки она не отвечает.

Как-то так выходит... 
Теорема на стыке математики и юриспруденции.

На самом деле, я просто переиначил пример с тестом на наркотики: http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes_theorem#Example_1:_Drug_testing

Имеется тест на наркотики с 99% эффективностью. То есть, в 1 случае из 100 тест говорит, что наркотики употребляются, когда это не так, и в 1 случае из 100 тест говорит, что наркотики не употребляются, когда они на самом деле употребляются. В остальных случаях тест не ошибается.

То есть, казалось бы, этот тест очень хорош.

И вот предлагается провести такой тест поголовно среди студентов университета (или среди учеников школы). Чтобы посмотреть, кто употребляет наркоту.

И вот, тест показывает положительный результат у некоторого студента. Какова вероятность, что студен и вправду употребляет наркотики?

Оказывается, если среди студентов наркоманов 5 из 1000, то в данном случае это будет скорее ошибка теста, чем реальный наркоман (вероятность правды 33%).

Это реальные случаи из реальной практики, когда оказалось, что тест скорее позорит прилежных студентов, нежели разоблачает нерадивых.

Тоже самое можно сказать и о Вашей юриспруденции.

Суд можно рассматривать как тест с некоторой эффективностью. Допустим, те же 99%. Если преступников под суд попадает менее 1%, то суд будет чаще ошибочно сажать невиновных, чем заслуженно -- виновных.

[dims]

P.S. Кому показался удивительным вывод про инопланетян, тот получит ещё больший заряд удивления, ознакомившись с "парадоксом Монти-Холла"

[OMI]

Гм...

***
Батюшку однажды спросили:
-Батюшка, а вот вы говорите, что в раю ну уж очень хорошо. А чем вы это докажите? Ведь из рая на землю ещё никто не вернулся.
-Вот-вот, сын мой. Вот как раз то, что из рая ещё никто не вернулся и доказывает, что в раю ну уж очень хорошо.

dims ,
я Вас попрошу доказать, с помощью теоремы, что меня ... нет на самом деле.

[Kweni]

Вот–вот, dims, вы переделали свой инопланетный тест из теста на наркотики, при этом нарушились необходимые условия, без которых применение теоремы Байеса стало бессмысленным.

Когда вы многократно проводите один и тот же тест на наркотики, это однородные события, и вы можете вычислить вероятность того, что тест сработает правильно, причём, если процедура проведения теста не нарушалась, эта вероятность будет всюду одинаковой и неизменной.

К данным уфологов при всём желании вы не сможете применить какой–то один тест, потому что эти данные очень разнородны. В одних случаях это расплывчатые описания, в других подробные, в третьих фотографии, причём иногда на основании данных можно вычислить координаты и путь по небу НЛО, а иногда нет, иногда это наблюдения не НЛО в небе, а инопланетян или роботов на земле. Поэтому вам придётся для определения достоверности проводить много разнородных тестов, и вероятности для разных наблюдений НЛО будут неодинаковыми, даже если бы вы смогли их вычислить. Благодаря этому фактору ваше вычисление является диким упрощением, которое не убедит ни одного уфолога, за исключением неучей, испытывающих пиетет перед непонятными вычислениями.

Дальше, вы не можете приписать большинству тестов никакой определённой вероятности того, что данный тест правильно определит предмет инопланетного происхождения. Если у вас на руках фотография НЛО и описание того, откуда и куда он летел, вы сможете провести тест на правдивость очевидцев и на точность описания явления и выяснить, было ли описываемое явление или это выдумка. Вероятность того, что вы ошиблись и приняли выдумку за реальность или наоборот, вы можете посчитать по теореме Байеса. Но вероятность того, что НЛО было кораблём инопланетян, по фото и описанию вы установить не можете. Потому что для этого надо знать, с какой вероятностью описываемые детали встречаются  на инопланетных космических кораблях, а с какой – при различных  природных явлениях, как  известных, так и неизвестных. Редкими исключениями будут лишь совпадение траектории НЛО и траектории земных ступеней ракет–носителей, самолётов, метеорологических аэростатов и прочего, и то лишь при условии, что вы примете вероятность того, что инопланетяне летели рядом с земным аппаратом, изучая его, равной нулю.

Благодаря этому фактору вычисление вероятности по теореме Байеса становится бессмысленным – у вас на руках нет обоих чисел, по которым вы вычисляете. Процент точности критерия вообще начисто отсутствует, поскольку большинство тестов, проведение которых возможно, не определяют, инопланетяне перед нами или нет. А процент инопланетян среди НЛО существует как число, но значение его неизвестно даже приблизительно. Может быть, 95% НЛО являются инопланетными космическими кораблями, изучающими земную цивилизацию. Может быть, наоборот, ни один из НЛО не имеет никакого отношения к инопланетянам. Из, того, что мы до сих пор не знаем об инопланетянах, следует малая вероятность публичного контакта с инопланетянами, вероятность же существования инопланетян из этого никак не извлечь.

[Мегаоптик]

Гм...

***
Батюшку однажды спросили:
-Батюшка, а вот вы говорите, что в раю ну уж очень хорошо. А чем вы это докажите? Ведь из рая на землю ещё никто не вернулся.
-Вот-вот, сын мой. Вот как раз то, что из рая ещё никто не вернулся и доказывает, что в раю ну уж очень хорошо.

dims ,
я Вас попрошу доказать, с помощью теоремы, что меня ... нет на самом деле.

Про ад также можно сказать то, что выход и вход сторожит Цербер. И также никто не возвращается от туда.