Вопрос по классической механике и теории гравитации

[ALexpert]

На рисунке изображены расчетные зависимости ускорения тела от времени. Черная линия – для начальной высоты 1000 км, красная – 500км.

На приведенных вами графиках давольно четко просматривается экспоненциальная зависимость ускорения от времени падения.
Интересно, есть ли возможность вывести эту зависимость, или она чистая иллюзия??

[Che]

Иллюзия, так как должна быть периодичность

[Che]

Думаю, что характер движения будет несколько иным, чем по эллиптической орбите. Периодичность (колебания) конечно сохранятся, но их вид и период будет несколько другим.
При движении внутри Земли зависимость ускорения от координаты имеет другой вид. В центре Земли ускорение вообще должно быть равным нулю. Если учитывать, что начальная высота тела в нашем случае 1000км, движение внутри Земли будет занимать большую часть периода, что сильно повлияет на параметры траектории.

При чем тут центр Земли. Представьте, что имеется небольшая начальная скорость пробного тела, перпендикулярная направлению на тяжелое тело. А сами эти тела имеют крошечные размеры. Все это не противоречит условию задачи, а первое - вообще начальное условие для дифура. При падении на тело с неизмеримо малыми размерами, несложно и промахнуться, хотя движене будет практически по прямой. Ускорение же в некорый момент тоже будет нулевым, так как оно непрерывно, и меняет знак.

[Pluto]

>>При чем тут центр Земли.

Ну вроде задача была конкретная, про Землю. Учитывая, что радиус Земли сопоставим с заданной начальной высотой падения тела, движением внутри Земли пренебречь нельзя.

Тот пример, который Вы привели (с начальной скоростью и промахиванием мимо тела) есть простой случай движения тела по сильно вытянутой эллиптической орбите, который подчиняется законам Кеплера.

>>Ускорение же в некорый момент тоже будет нулевым, так как оно непрерывно, и меняет знак.

Вектор ускорения в этом случае (движение по элл. обите) НИКОГДА не будет нулевым, он меняет не просто знак а направление. Нулевой вектор ускорения будет означать, что на орбите есть точка где на тело не действует сила притяжения.

[Che]

Дело не в Земле.  
Когда пробное тело притягивается, оно не знает, упадет оно на второе тело, или продетит мимо (например,  из-за того, что второе тело включит двигатель и улетит   ). А до того момента движение пробного тела должно удовлеторять общему уравнению движения, независимому от возможности их столкновения. А в общее решение периодическое движение должно входить. Следовательно - периодичность !

[ALexpert]

Заметьте, что если пробить канал через центр притягивающего тела, то движение вниз-вверх пробного тела будет стольже периодично, как и его же движение по эллиптической орбите (с тем же периодом !? ).

Представьте, что имеется небольшая начальная скорость пробного тела, перпендикулярная направлению на тяжелое тело.

Это два совершенно разных случая!! В первом вы говорите об отвесном падении тела сквозь канал пробитый через центр притягивающего тела, а во втором случае вы полагаете что тело имеет некоторую скорость, перпендикулярную направлению на тело, что не одно и то же. В первом случае тело двигалось бы циклически вдоль прямой, проходящей через центр масс гравитирующего тела, а во втором случае оно, скорее всего будет двигаться по эллипсу, но никак не по прямой!

При падении на тело с неизмеримо малыми размерами, несложно и промахнуться, хотя движене будет практически по прямой. Ускорение же в некорый момент тоже будет нулевым, так как оно непрерывно, и меняет знак.

Во-первых при отвесном падении промахнуться вам никак не удастся, а во вторых, из предположения, что тело имеет неизмеримо малые размеры следует, что ускорение при приближении к телу,  будет постоянно увеличиваться (стремиться к бесконечности), более того, если масса тела достаточно велика (сравнима с массой Земли), а размеры исчезающе малы, то это тело представляет собой ничто иное, как черную дыру!!! И пробная частица, пролетающая мимо, просто будет поглащена ею, если зайдет за сферу Шварцшильда.

Ускорение не меняет знак!!! Оно меняет только свое направление в пространстве. Взгляните на формулу g=Gm/R², что бы ускорение поменяло знак, надо чтобы масса притягивающего тела стала отрицательной.

P.S. В предложенном мною примере я рассматривал случай отвесного падения тела на гравитирующую массу, полагая, что начальная скорость тела равна нулю, и падение происходит строго вертикольно, без дополнительных скоростей перпендикулярных направлению на гр. тело. В идеальном случае, если представить оба тела в виде материальных точек, то падение первого тела на второе закончится при совпадении их центров масс. r=0, V - стремится к c, g - стремится к бесконечности.

[Pluto]

Хотел было ответить уважаемому Che, но Alexpert меня опередил и очень грамотно все объяснил.  
 
Действительно, случай пролета тела через гравитирующую массу конечных размеров (Земля) и движение по эллиптической орбите вокруг нее это разные (принципиально) случаи.

[Che]

Продолжим решение уравнения
(2)  V = sqrt ( 2*k*M/X - 2*k*M/Xo )
 заметив, что начальное расположение пробного тела Xo>0. Так как V=dX/dt, поэтому
sqrt ( 2*k*M)dt=dX/ sqrt ( 1/X - 1/Xo )
Заменим 1/X=u. Получим
t*sqrt ( 2*k*M)+C=-du/(u²sqrt(u-1/Xo))
 
обратившись к таблицам интегралов
http://mportal.narod.ru/Math/integr2.htm
увидим нужный интеграл №25, который делает ссылку на нижний интеграл №24, так как a=1, b=-1/Xo <0.

Заменив обратно u=1/X, получаем

t*sqrt ( 2*k*M)+C=  Xo X sqrt( 1/X - 1/Xo ) + Xo ^3/2 arctg (sqrt( Xo/X - 1 ))

откуда в наших условиях (при t=0    X=Xo) получаем С=0

[Pluto]

Т.е., как и предполагалось, получилось довольно неудобоваримое выражение.
Чтобы проверить полученную формулу, можно попробовать подставить в нее результаты численного решения.

P.S. Неплохо бы формулу преобразовать к виду  X=F(t)

[ALexpert]

У меня возник еще один вопрос, касающийся гравитации.

Рассмотрим взаимодействие двух массивных тела (двойная звезда) одинаковой массы. Для простоты, будем считать их материальными точками. Расстояние между телами - R, массы тел - M₁=M₂=M. Как известно, двойные звезды вращаются вокруг общего центра масс. В нашем случае расстояние до общего центра масс - r₁=r₂=R/2=r.
Сила гравитационного взаимодействия между ними F_g=GM²/R², а центростремительная сила F_цс=MV²/r=2MV²/R, где V - скорость движения по окружности, откуда следует, что V=sqrt(GM/2R). Видно, что V в sqrt(2) раз меньше первой космической скорости. Как такое может быть?? Или в формуле центростремительной силы нужно брать не расстояние до общего центра масс, а все то же расстояние между телами??

[Che]

А причем здесь первая космическая? Её определение - скорость пробного тела, масса которого намного меньше основного тела...

[ALexpert]

А причем здесь первая космическая? Её определение - скорость пробного тела, масса которого намного меньше основного тела...

Как в таком случае назвать эту скорость?? Получается закон тяготения Ньютона не применим к телам соизмеримым по массе?? Что-то с трудом верится.  

[ALexpert]

У меня еще один вопрос, касаемый гравитационного взаимодействия тел, соизмеримых по массе.

Предположим, что тело М₁ притягивает тело М₂ с ускорением свободного падения 10 м/с², а тело М₂ в свою очередь притягивает тело М₁ с таким же ускорением 10 м/с².

Вопрос, с каким ускорением они будут притягиваться друг к другу, и в какой системе отсчета его надо измерять??

[Che]

Получается закон тяготения Ньютона не применим к телам соизмеримым по массе?? Что-то с трудом верится.

Выполняется или нет - это зависит от того, как Вы к этому относителсь.  
Но вот соизмеримые по массе тела ОБА не будут неподвижны относительно общего центра тяжести. Отсюда и их относительная скорость....

[Che]

У меня еще один вопрос, касаемый гравитационного взаимодействия тел, соизмеримых по массе.

Предположим, что тело М₁ притягивает тело М₂ с ускорением свободного падения 10 м/с², а тело М₂ в свою очередь притягивает тело М₁ с таким же ускорением 10 м/с².

Вопрос, с каким ускорением они будут притягиваться друг к другу, и в какой системе отсчета его надо измерять??

По этим условиям в рамках теори Ньютона можно сказать, что М₁ =М₂.  
На самом деле, вопрос о связи гравитации и относительности не прост.  Для ответа на этот вопрос (точнее, на вопрос о действии гравитации в условиях относительности) Эйнштейну пришлось создать ОТО и отвергнуть Ньютона. Но есть еще малоисследованный вопрос о действии относительности в условиях гравитации.
 На сегодня считается, что ускорение в Законе Ньютона абсолютно (не  подчиняется релятивизму), сумма ускорений остается математической суммой.
( Главный специалист здесь в этом вопросе - Bob.)

[ALexpert]

Получается, что тела будут сближаться с ускорением 20 м/с², но тогда наблюдатель, находящийся на первом теле, будет считать, что второе тело притягивается с ускорением в два раза большим, чем ему положено?? (второй наблюдатель будет видеть тоже самое).

Но вот соизмеримые по массе тела ОБА не будут неподвижны относительно общего центра тяжести. Отсюда и их относительная скорость....

В приводившемся мной примере тела действительно не покоились относительно общего центра масс, они вращались вокруг него.

[Che]

Получается, что тела будут сближаться с ускорением 20 м/с², но тогда наблюдатель, находящийся на первом теле, будет считать, что второе тело притягивается с ускорением в два раза большим, чем ему положено?? (второй наблюдатель будет видеть тоже самое).

Кем(чем) положено? Это ведь условие Вашей задачи. Из вопроса задачи следует, что ускорения тел 10 м/сек² берутся не относительно другого тела.

В приводившемся мной примере тела действительно не покоились относительно общего центра масс, они вращались вокруг него.

Важно не круговое движение, а "падение" тел друг на друга.
( Хотя я считаю, что в этом есть ошибка Ньютона - отсутсвие зависимости сил притяжения от вектора относительной скорости тела.)

[bob]

На сегодня считается, что ускорение в Законе Ньютона абсолютно (не  подчиняется релятивизму), сумма ускорений остается математической суммой.
( Главный специалист здесь в этом вопросе - Bob.)

Кто вызвал bob'а?.. Спасибо, Che, за высокую оценку моих скромных возможностей. Это так только в общих чертах. Всё таки в ОТО имеет место не арифметическое сложение, а операции над тензорами. Но в случае движения вдоль одной и той же прямой при бесконечно малой разности расстояния и кривизны окружающего пространства (в случае СТО, в сущности) - да.

[Pluto]

>>Получается, что тела будут сближаться с ускорением 20 м/с2, но тогда наблюдатель, находящийся на первом теле, будет считать, что второе тело притягивается с ускорением в два раза большим, чем ему положено?? (второй наблюдатель будет видеть тоже самое).

Вопрос то очень простой и совсем не требует привлечения теории относительности.
Дело в том, что оба наблюдателя будут находится в неинерциальной системе координат. Для того, чтобы перейти в инерциальную систему наблюдатель должен вычесть из наблюдаемого ускорения соседней массы ускорение собственной системы координат и все противоречия разрешатся (подобно тому, как это делается в задачах с вращательным движением тел).

[Che]

Вопрос то очень простой и совсем не требует привлечения теории относительности.
Дело в том, что оба наблюдателя будут находится в неинерциальной системе координат. Для того, чтобы перейти в инерциальную систему наблюдатель должен вычесть из наблюдаемого ускорения соседней массы ускорение собственной системы координат...

Вопрос-то очень сложный остается - как вычесть ускорение. И без ОТО пока не решающийся.