Вопрос по классической механике и теории гравитации

[ALexpert]

Я не являюсь специалистом ни в физике, ни в математике, поэтому прошу сильно не критиковать меня за дилетантство.

Как известно, в  механике есть два вида движения: равномерное и равноускоренное (равнопеременное).

Для равномерного движения имеем следующие формулы:
a=0
v=v0=const
x=x0+v*t     , где а-ускорение, v-скорость, x-координата материальной точки.

Для равноускоренного движения имеем следующие формулы:
a=a0=const
v=v0+a*t
x=x0+v0*t+(a*t^2)/2

Как известно, ускорение является производной от скорости по времени t, а скорость - это производная координаты по времени t.

Следуя данной логике, можно ввести некоторую величину b  - производную ускорения по времени t, являющуюся ускорением кскорения, тогда формула для координаты примет вид:
x=x0+v0*t+(a0*t^2)/2+(b*t^3)/6

Экстраполируя так до бесконечности можно увидеть, что данная формула имеет вид ряда: Sum((xi*t^i)/i!), где i изменяется от 1 до бесконечности.
Интересно, чему равна сумма этого ряда???
Насколько я знаю, сумма ряда  - Sum(x^i/i!), где i изменяется от 1 до бесконечности равна e^x.

Мне интересно, имеет ли данная формула какой-либо физический смысл??? Возможно, в силу своей неполноты знаний в области физики, я просто не знаю о существовании ничего подобного, но прошу вас воздержаться от резкой критики, лучше дайте какую-нибудь ссылку по данному вопросу.

Заранее благодарю.

[falconet]

В конечном случае, Вы приходитете у дифференциальному уравнению n-го порядка относительно координаты:
x^(n)=f(t, x, x', ..., x^(n-1)).
Это уравнение на самом эквивалентно системе уравнений содержащих одну производную

x'=x_1;
x_1'=x_2;
....;
x_(n-2)'=x_(n-1);
x_(n-1)'=f(t,x,x_1,x_2,...x_(n-1));

Так что физический смысл здесь тот же, но только в моделях со многими степенями свободы.

В бесконечном случае, координата должна быть бесконечно дифференцируемой, и Вы, тем же методом придете к системе бесконечного числа уравнений. Физический смысл в этом случае уже какой-то полевой. Точно не знаю.  


 

[ALexpert]

В технике, как правило, исользуют уравнения с производными 2-го порядка, видимо потому что учет производных боле высокого порядка необходим только для очень точных рассчетов, да и в обыденной жизни, мы практически не имеем дело с равноускоренно-ускоренными движениями.
Но по-моему, в гравитационном взаимодействии этот вид движения является единственно возможным!
Рассмотрим случай, когда некое тело отвесно падает на Землю с высоты, скажем 1000 км (для простоты, влияние атмосферы исключим). На такой высоте ускорение свободного падения равно приблизительно 7,3 м/с^2. Тело начинает падать вниз имеено с таким ускорением и с нулевой начальной скоростью , но, по мере приближения к поверхности Земли, ускорение свободного падения возрастает (увеличивается гравитационный потенциал), и у самой поверхности оно составит привычные нам 9,8 м/с^2. Следовательно тело падало вниз со всё возрастающим ускорением!!!

Немогли бы вы привести формулы, описывающие данный случай. Я имею ввиду, в частности, формулу зависимости ускорения свободно падающего тела от времени, начиная с момента падения (с учетом всех начальных условий)

И еще вопрос: если ускорение вызывается действием силы, то тогда в данном случае мы имеем дело с переменной во времени силой
как в таком случае будет выглядеть закон Ньютона F=ma???

Заранее благодарю.

[falconet]

В технике, как правило, исользуют уравнения с производными 2-го порядка, видимо потому что учет производных боле высокого порядка необходим только для очень точных рассчетов, да и в обыденной жизни, мы практически не имеем дело с равноускоренно-ускоренными движениями.

Дело не в точности расчетов, а в том, что производные выше второго порядка не имеют фундаментального смысла, так как так или иначе сводятся к скорости и ускорению. То есть, если уравнение включает три производные от ускорения, это уравнение эквивалентно системе уранений просто со скоростью и ускорением. Проще говоря, ускоренное ускорение это опять ускорение.

[ALexpert]

Как я уже писал, если на тело будет действовать переменная по времени сила, то тело будет двигаться с переменным во времени ускорением, что имеет место, к примеру, при увеличении мощности двигателя автомобиля, пока она (мощность) не достигнет максимума. Следовательно в этом есть хоть какой-то технический смысл.

И все таки, если не сводить одно уравнение к системе, то как это самое уравнение будет выглядеть??? (Меня интересует уравнение, описывающее свободно падающее тело)

И как, в случае с автомобилем, будет выглядеть уравнение F=ma??

[Pluto]

>>Немогли бы вы привести формулы, описывающие данный случай. Я имею ввиду, в частности, формулу зависимости ускорения свободно падающего тела от времени, начиная с момента падения (с учетом всех начальных условий)

Для тела, падающего отвесно вниз это уравнение будет иметь вид (вращением и движением Земли по орбите пренебрегаем):

X”=- k*M/(R+X)^2, где k – гравитационная постоянная, M – масса Земли, R – радиус Земли,
X – текущая высота тела над поверхностью Земли.  Интегрируя его и подставляя начальные условия получим скорость и высоту в заданный момент времени.

>>как в таком случае будет выглядеть закон Ньютона F=ma???

Точно также. Нагляднее записать его в виде a=x”=F(t)/m. Интегрируя это уравнение по t (времени) можно получить скорость x’ и координату x на любой момент времени, конечно, если известны начальные условия.

[ALexpert]

To Pluto:
Спасибо большое, что помогли в этом вопросе!

>Точно также. Нагляднее записать его в виде a=x”=F(t)/m. Интегрируя это уравнение по t (времени) можно получить скорость x’ и координату x на любой момент времени, конечно, если известны начальные условия.

Извиняюсь за возможно глупый вопрос, но, если мы скорость выражаем через силу, то тогда чему равна F(t)??

[Pluto]

>>Извиняюсь за возможно глупый вопрос, но, если мы скорость выражаем через силу, то тогда чему равна F(t)??

Не скорость, а ускорение. Скорость мы получим проинтегрировав это уравнение. F(t) – это закон изменения силы от времени. В вашем примере – F(t) закон изменения силы тяги автомобиля от времени. Можно задать его аналитически, например F=a*cos(t). Если это невозможно, то задавайте его в виде таблицы F(t), тогда интегрировать придется численно.
Кстати, сила может зависеть не только от времени, но и от скорости (движение в вязкой среде), от координаты (см. первый пример, т.е. движение в центральном гравитационном поле). Масса тела тоже может быть переменной во времени (движение ракеты).

[ALexpert]

Не скорость, а ускорение. Скорость мы получим проинтегрировав это уравнение.

Признаю, допустил опечатку:)

Кстати, сила может зависеть не только от времени, но и от скорости (движение в вязкой среде), от координаты (см. первый пример, т.е. движение в центральном гравитационном поле). Масса тела тоже может быть переменной во времени (движение ракеты).

Эти примеры я так же знаю, но просто не стал их касаться, так как меня больше интересует зависимость силы от времени при свободном падении в центральном гравитационном поле.

X”=- k*M/(R+X)^2, где k – гравитационная постоянная, M – масса Земли, R – радиус Земли,
X – текущая высота тела над поверхностью Земли.  Интегрируя его и подставляя начальные условия получим скорость и высоту в заданный момент времени.

Я не силен в мат.анализе, а в приведенном уравнении отсутствует зависимость от времени - t.
Чтобы у меня не возникало подобных вопросов, не могли бы вы мне привести пример решения следующей задачи:

Некоторое тело находится на высоте 1000 км над поверхностью Земли. Оно начинает отвесно падать.
Каковы будут ускорение, скорость и координата (высота) тела, спустя 400 секунд после начала падения??

k=6.672*10^-11 м^3/кг*с^2 - гравитационная постоянная Ньютона.
Мз=6*10^24 кг - масса Земли.
Rз=6.4*10^6 м - радиус Земли.
h=10^6 м - высота над поверхностью Земли.
t=400 c - время свободного падения тела.
Начальная скорость равна нулю.
Влиянием атмосферы и др. сторонних факторов пренебрегаем.

Заранее благодарю.

P.S. Если в данном случае ускорение свободного падения тела зависит от времени, то его можно записать в виде:
a(t)=a0+b*t, где b некоторая константа.
Существует ли подобная константа в гравитационнои взаимодействии?? Если да, то чему она равна??

С уважением ALexpert.

[Pluto]

В данном случае, аналитическое решение задачи очень громоздко. Значительно удобнее решать ее численно. Но все же попробую продемонстрировать подход:

Для простоты заменим высоту над поверхностью Земли расстоянием от центра Земли, тогда уравнение примет вид:

(1)  X”=-k*M/(X^2), где X – расстояние от центра Земли, M – масса Земли, k – гравитационная постоянная.

Очевидно, что X”=dV/dt, где V – скорость движения тела.

Исключим переменную t путем преобразования:

dV/dt = dV/dX*dX/dt = dV/dX*V;

тогда уравнение (1) примет вид:

dV/dX*V = -k*M/(X^2)

Разделим переменные и получим:

V*dV = -k*M/(X^2) * dX

Проинтегрировав уравнения и используя определенные интегралы с переменным верхним пределом, получим:

V^2/2 – Vo^2/2 = k*M(1/X – 1/Xo), где Vo, Xo – начальные условия. Т.к. Vo=0,

V^2/2 = k*M (1/X – 1/Xo)

(2)  V = sqrt ( 2*k*M/X - 2*k*M/Xo ) , где sqrt – операция извлечения квадратного корня.

т.е. получили уравнение, связывающее скорость движения тела и его координату.

Аналогично можно получить зависимость координаты (высоты) от времени:
Очевидно, что V = dX/dt, уравнение (2) можно переписать в виде:

dX/dt = sqrt(2*k*M – 2*k*M*X/Xo) / sqrt (X);

Разделив переменные получим уравнения:

(3)   (sqrt(X) / sqrt (Xo-X)) dX = sqrt( 2*k*M/Xo) dt

Проинтегрировав уравнения (3) можно получить зависимость X(t), проблема в том, что интеграл от выражения (sqrt(X) / sqrt (X-Xo)) имеет довольно громоздкий вид.
В данном случае, легче численно интегрировать выражение (1) численными методами (Эйлера, Рунге-Кутта и т.п.) и получить приближенную (с заданной точностью) зависимость X(t).

[Pluto]

>> Если в данном случае ускорение свободного падения тела зависит от времени, то его можно записать в виде:
a(t)=a0+b*t, где b некоторая константа.
Существует ли подобная константа в гравитационнои взаимодействии?? Если да, то чему она равна??


Не  совсем верный подход, для центрального гравитационного поля ускорение зависит не от времени движения, а от положения тела в пространстве. Конкретная зависимость ускорения от времени будет определятся начальными условиями движения. В равномерном гравитационном поле (у поверхности земли) ускорение постоянно и не зависит ни от времени, ни от положения в пространстве

[falconet]

Дополнительный штрих.

Int sqrt(x)/sqrt(x-x_0)*dx заменой x-x_0 = z^2 можно привести к 2*int sqrt(z^2+x_0)*dz, который заменим для простоты на 2*int sqrt(z^2+1)*dz. Замена u = z + sqrt(z^2+1) решит последний интеграл в элементарных функциях.  

[Pluto]

Sorry, в последнем предложении сообщения N9 описка, следует читать:

 (sqrt(X) / sqrt (Xo-X)) dX

[falconet]

Тогда аналогично, после приведения к виду int sqrt(1-x^2)* dx, этот интеграл разрешим в элементарных функциях после замены x = cos u.

[Pluto]

Численное решение предложенной задачи с помощью интегрирования методом Эйлера (небольшая программка на Турбо Паскале) показало, что при:

Rз = 6.371*10^6м
Mз = 5.973*10^24кг
k = 6.6742*10^-11 м^3/кг*с^2
x0 = 10^6м
V0=0 м/с

При t=400с падающее тело будет иметь следующие параметры траектории:

Высота (над поверхностью Земли) = 396400м
Скорость = 3106 м/с
Ускорение = 8.7 м/с^2

[Pluto]

На рисунке изображены расчетные зависимости ускорения тела от времени. Черная линия – для начальной высоты 1000 км, красная – 500км.

[ALexpert]

Я благодарю вас за приведенное решение моей задачи!!!
Так же благодарю falconet за участие в дискуссии!

Численное решение предложенной задачи с помощью интегрирования методом Эйлера (небольшая программка на Турбо Паскале)...

Немогли бы вы, если это возможно, выслать мне эту программу по адресу: alexpert@yandex.ru (если, конечно она не является коммерческим продуктом)
Хотелось бы поэксперементировать с различными начальными условиями.

P.S. Я интересовался, нет ли у данной задачи какой-нибудь универсальной формулы, для её решения (по типу закона всемирного тяготения), независимо от начальных условий....видимо такой формулы нет, еще раз спасибо за помощь.

С уважением ALexpert.

[Pluto]

Программка  простейшая, набросал за несколько минут. Вот ее текст на Паскале. Можете переписать ее на любой удобный для Вас язык и сделать интерфейс.


Program ForAlexPert;
uses Crt,Dos;
const
  Rz=6.371e6;     { радиус Земли }
  k=6.6742e-11;  { гравитационная постоянная }
  M=5.973e24;    { масса Земли }

var
x,v,a:double;
h,t,tk,x0,v0:double;

begin
 h:=0.01;              { шаг интегрирования по времени, с}
 v0:=0.0;              { начальная скорость}
 tk:=400.0;           { время конца интегрирования}
 x0:=1e6+Rz;       {начальная высота}
 v:=v0; x:=x0; t:=0;

 repeat
  a:=-k*M/(x*x);  { расчет ускорения }
  v:=v+a*h;         { интегрирование скорости }
  x:=x+v*h;         { интегрирование координаты}
  t:=t+h;
 until (t>tk) or (x<Rz);   {условие останова}

 writeln(t-h:7:2,'  ',x-Rz:8:2,'  ',v:8:2,'  ',a:8:2); { вывод конечных результатов }
end.

[Che]

Заметьте, что если пробить канал через центр притягивающего тела, то движение вниз-вверх пробного тела будет стольже периодично, как и его же движение по эллиптической орбите (с тем же периодом !? ).

[Pluto]

Думаю, что характер движения будет несколько иным, чем по эллиптической орбите. Периодичность (колебания) конечно сохранятся, но их вид и период будет несколько другим.
При движении внутри Земли зависимость ускорения от координаты имеет другой вид. В центре Земли ускорение вообще должно быть равным нулю. Если учитывать, что начальная высота тела в нашем случае 1000км, движение внутри Земли будет занимать большую часть периода, что сильно повлияет на параметры траектории.