Скорость границы дня и ночи

[Astronomer]

Недавно, наблюдая за заходом Солнца, я заинтересовался вопросом - Солнце заходит за горизонт, и к наблюдателю приближается граница дня и ночи - линия терминатора. И вот какой вопрос: если, скажем, сесть на самолёт и лететь на одинаковой высоте, с какой скоростью нужно будет лететь самолёту, чтобы наблюдатель на его борту наблюдал Солнце на одинаковой высоте (например, закат, 2 градуса над горизонтом, неровностью земной поверхности при этом пренебречь, считая что постоянно летим над ровным полем). Проще говоря, хотелось бы узнать, с какой скоростью движется граница дня и ночи по земной поверхности, и постоянна ли эта скорость (если нет, то от чего зависит)?

[Sergiusz]

Логика подсказывает, что окружность земного экватора, равную 40 000 км, граница дня и ночи обегает за 24 часа, откуда её скорость на экваторе равна 1667 км/ч.

[Astronomer]

А зависит ли эта скорость от широты места наблюдений? Она одинакова на полюсе, в средних широтах и на экваторе?

[taurus]

Логика подсказывает, что окружность земного экватора, равную 40 000 км, граница дня и ночи обегает за 24 часа, откуда её скорость на экваторе равна 1667 км/ч

Логично.  Но! Ответ точен для времени весеннего и осеннего равноденствий. А для отличных моментов времени есть тонкости.

Действительно, пусть наблюдения проводятся в день летнего солнцестояния на экваторе, заход солнца. Отметим, что солнце заходит не в точке запада, а севернее на 23.5 гр. Соответственно, и тень набегает под углом 23.5 гр в оси запад-восток, что совпадает в нашем случае с линией экватора. Так вот, с указанной Sergiusz скоростью будет двигаться точка пересечения тени и экватора. А тень будет набегать со скоростью...

...С какой?  

[Sergiusz]

Логика подсказывает, что окружность земного экватора, равную 40 000 км, граница дня и ночи обегает за 24 часа, откуда её скорость на экваторе равна 1667 км/ч

Логично. Но! Ответ точен для времени весеннего и осеннего равноденствий. А для отличных моментов времени есть тонкости.

Действительно, пусть наблюдения проводятся в день летнего солнцестояния на экваторе, заход солнца. Отметим, что солнце заходит не в точке запада, а севернее на 23.5 гр. Соответственно, и тень набегает под углом 23.5 гр в оси запад-восток, что совпадает в нашем случае с линией экватора. Так вот, с указанной Sergiusz скоростью будет двигаться точка пересечения тени и экватора. А тень будет набегать со скоростью...

...С какой? 

Тонкости - это самое интересное 

Если я правильно понимаю, картина выглядит так? Скорость указанная красной стрелкой определена выше, а скорость тени показывается чёрной стрелкой? (горизонтальная линия - экватор)
 

[taurus]

Если я правильно понимаю, картина выглядит так?

Да, я это имел в виду.

[Sergiusz]

Да, я это имел в виду.

Тогда умножаем скорость точки пересечения тени и экватора на sin cos 23° и получаем нужную величину?

Интуитивно, кажется, что в общем случае расчитанную выше скорость  надо умножить на синус склонения Солнца в данный день?

v тени = 2*pi*6378*sin (delta) /24   (спасибо, taurus, за поправку)

v тени = 2*pi*6378*cos (delta) /24

Еще какие-то тонкости на экваторе будут? 

[Fallen]

Еще какие-то тонкости на экваторе будут? 

высота, на которой летит самолет 
появляются 2 момента, на сколько я понимаю: изменение R и преломление лучей солнца в атмосфере.

[taurus]

Интуитивно, кажется, что в общем случае расчитанную выше скорость  надо умножить на синус склонения Солнца в данный день?

v тени = 2*pi*6378*sin (delta) /24

Поправочка: вроде бы, косинус...

Еще какие-то тонкости на экваторе будут? 

Еще тонкость.   Вернее, особенность!

Возмем рассмотренный случай. Как только мы начинаем двигаться за солнцем, мы смещаемся с экватора, т.к. направляемся по азимуту 23 гр. от т. запада. Чем дольше - тем дальше. Это уже не случай "на экваторе", но здесь - интересно!

Во-первых, очевидно, скорость точки пересечения тени и текущей широты станет меньше, т.к. длина этой широты меньше как cos(широты)

Во-вторых, изменится угол между терминатором и линией текущей широты. Ведь чем мы севернее, тем точка захода солнца ближе к северу! Вот как меняется этот параметр я навскидку не скажу...  

Два фактора приводят к тому, что мы будем лететь все медленнее, и все сильнее и сильнее забирая на север. До тех пор, пока не долетим до полярного круга под углом 90 градусов к широте (носом на северный полюс) и остановимся - будем сидеть, курить, и смотреть на солнце, кружащееся параллельно горизонту.  

[serega2007]

               Хочу заметить , что если на одном уровне находится обширная легкая облачность то лучи Солнца дважды по хорде проходят через ее . Очень хорошо видно , что Земля , уж точно неплоская .
               При ВАШЕМ полете в месте рассвета или заката , наверняка ВЫ сможете это заметить . Не пропустите ! Очень впечатляющая картина .                     Серега .

[Astronomer]

Можно немного поменять условия. Допустим, имеется точное время наблюдений и координаты места, где они будут проводиться. И нужно установить, с какой скоростью в этот день по этой территории промчится линия терминатора.

[Pilgrim]

В детстве жили в забайкалье (батя там служил) и ежегодно летали в отпуск, обычно рейсами Чита-Мин.Воды.

Каждый раз на обратном пути (на восток) наблюдал из иллюминатора закаты с удвоенной скоростью - солнце садится прямо на глазах, темнеет за считанные минуты!
Но самое интересное случилось только один раз - нарушилось расписание (толи что-то поменяли, толи вылет задержался) и выход после взлета на "крейсерскую" скорость и направление точно совпал с самым началом восхода Солнца. Часа три оно то медленно восходило, то так же медленно заходило, то полчаса торчало половинкой.

Другое интересное следствие совпадения скорости с линией терминатора - то, что прилетели по Минводскому времени всего на полчаса позже момента вылета по Читинскому 

з.ы. Скорость терминатора конечно зависит от широты местности. Для дней равноденствия, если не путаю, то скорость на экваторе нужно умножать на косинус широты.

з.з.ы. Хм... Интересненько, прикинул скорость на широте Читы 52^о, вышло около 1026 км/ч. Не помню на каком самолете летели (мелкий тогда был), но наверняка ведь Ту134 или 154, а у них крейсерская 750 и 850 соответственно... Толи воспоминания длительности события подводят, толи синус в военное время может достигать четырех  Надо бы посчитать скорость терминатора для летнего солнцестояния, возможно в этом нестыковка (вряд-ли самолет гнали на предельных 950км/ч, да и то маловато).  Еще причина нестыковки может крыться в том, что кратчайший путь на сфере (ортодромия?) может забираться в более высокие широты, если это было не сразу после взлета...

[petrowich]

Еще какие-то тонкости на экваторе будут? 

Тонкости можно проверить экспериментально.
Взять глобус, водонепроницаемый, и погрузить его в воду на половину под любым углом. И начать вращать, смотря, с какой скоростью вода омывает поверхность глобуса.
Видна траектория, по которой нужно двигаться, чтобы оставаться все время в одной точке линии огибания водой поверхности глобуса. Очевидно, что эти траектории замкнутые. И проходит по параллели широты. Скорость находится элементарно, как уже писали, через косинус.
Видно, что на участках глобуса, которые всегда сухие, или всегда мокрые (под водой) говорить о какой-то скорости движения  относительно поверхности глобуса бессмысленно. Наблюдатель будет просто вращаться вокруг своей оси, не сдвигаясь с места. Будет чисто мнимое (j) движение.

[taurus]

оставаться все время в одной точке линии огибания водой поверхности глобуса.

"линии огибания поверхности глобуса" - можно пояснить. 

[petrowich]

"линии огибания поверхности глобуса" - можно пояснить. 

линии огибания ВОДОЙ поверхности глобуса. Граница между водой и глобусом. Если в любой точке границы зафиксировать наблюдателя, то для него солнце застынет, а сам он будет проноситься над поверхностью глобуса.
Конечно, это совпадает с моментом захода или восходом Солнца за горизонт/ над горизонтом. Но если эту границу мысленно повернуть на фиксированный угол, то можно представить и другие положения Солнца над горизонтом.

[taurus]

Вы верно говорите про точку на одной широте, но это будет неоптимальная стратегия, если мы хотим сэкономить в скорости. Для минимизации скорости нам нужно двигаться перпендекулярно терминатору (поверхности воды), которая находится под некоторым непрямым углом к широте, и поэтому - смещаться с широты.

Я попытался решить задачу в общем случае. Нужно решать сферический прямоугольный треугольник, но я запутался.  Отдохну и сделаю вторую попытку. Помнящие "сферу", - присоединяйтесь! 

Пока давайте сформулируем, что мы знаем:

длина экватора:
L = 2 * pi * R

скорость терминатора вдоль экватора при склонении Солнца delta
V_e = L * cos (delta) / 24

"скорость равной широты" (скорость терминатора вдоль фиксированной широты fi):
V_fi = V_e * cos (fi)

"скорость оптимальной стратегии" перпендекулярно терминатору
V_opt = V_fi sin (theta),
где teta угол между терминатором и широтой.

Нам осталось найти угол theta.


Все верно?

[taurus]

У меня получается:

sin (theta) = SQRT[ cos ² (delta) - sin ² (fi) ] / cos (fi)

(где SQRT - корень квадратный).

На граничных точках, вроде бы, бъет. Проверьте, пожалуйста.

[petrowich]

Я попробую внимательнее подумать, но мне кажется, что на сфере геодезическими (кратчайшими), являются дуги окружности. Следовательно, ничего более выигрышного с точки зрения заданности времени (сутки - 24 часа), чем движение по широте, нам не найти.

[taurus]

Я попробую внимательнее подумать, но мне кажется, что на сфере геодезическими (кратчайшими), являются дуги окружности.

Нет! Кратчайшими являются дуги большого круга! А широты - не дуги большого круга.

Кроме того, в данном случае это вообще не имеет отношения к проблеме. Ну, представьте граничный случай: мы в день летнего солнцестояния находимся на северном полярном круге. Нам вообще не нужно двигаться, чтобы наблюдать солнце "застывшим" на горизонте.

Или представьте, заходит солнце. Куда двигаться, чтобы оно не заходило? Точно на него, на точку захода, а не на точку "запад", которая может быть очень в стороне от точки захода. То есть, перпендекулярно терминатору, а не параллельно широте.

[petrowich]

Кроме того, в данном случае это вообще не имеет отношения к проблеме. Ну, представьте граничный случай: мы в день летнего солнцестояния находимся на северном полярном круге. Нам вообще не нужно двигаться, чтобы наблюдать солнце "застывшим" на горизонте.

Приношу извинения. Глупость сказал.
Относительно поверхности двигаться не надо, а вокруг оси вращаться надо.
Решение, похоже, вообще надо через гиперсинусы и гиперкосинусы искать. Уж если говорить глупости, то говорить их уверенно.