астрогеометрия

[Валерий K]

          Орбиты планет - эллипсы. Центр масс расположен в фокусе эллипса F1. Имеет ли какую-то функцию второй фокус? Если
    наблюдать из F2, то движение планеты будет выглядеть более равномерным.                                                 
          Предположим, что движение планеты относительно второго фокуса F2 происходит с постоянной угловой скоростью ω.
 Тогда мгновенная скорость планеты в точке А1 пересечения с большой осью:
                                   | v | =  ( а + с )ω
Площадь сектора, описываемого радиус-вектором планеты и единицу времени:
                                   SA1 = 1/2 pr = 1/2 ( a + c )ω ( a – c ) = 1/2  ( a2 – c2)ω = 1/2  b2ω
где: p -  дуга сектора, численно равная скорости;
       r - радиус-вектор планеты.
Аналогично для второй точки А2 пересечения орбиты с большой осью:
                                   | v | = ( a – c )ω
                                   SA2 = 1/2  ( a – c )ω ( a + c) =  1/2  b2ω.
Выходит, что в афелии и перигелии планета движется с одинаковой угловой скоростью
относительно F2. Но в точках пересечения орбиты с малой осью угловая скорость будет  иной так как описываемый радиус-вектором сектор:
                                   SB = 1/2  a2ω.            P.S.   b2... читать b в квадрате.

[ENF]

Предположим, что движение планеты относительно второго фокуса F2 происходит с постоянной угловой скоростью ω.

А если не предполагать?
Для чего тема?

[shandrik]

          Орбиты планет - эллипсы. Центр масс расположен в фокусе эллипса F1. Имеет ли какую-то функцию второй фокус? Если
    наблюдать из F2, то движение планеты будет выглядеть более равномерным.                                                 
       

Ух ты! Любопытно!
Люблю такие этюды, спасибо!
Дома получше разберусь с выкладками, пока некогда.

[Валерий K]

               Формулирую педантичнее.
Наблюдатель находится в F2, определяет угловые скорости движения в апогее ωа и     перигелии ωp. Зная параметры эллипса, находит линейные скорости:
                     | va | = (a+c) ωa  ,           | vp | = (a-c) ωp
      Затем находит площади секторов, описываемых радиус-вектором планеты в 1 секунду. При этом дуга сектора будет численно равна линейной скорости.
                      Sa =  ½  pr = ½ (a+c) ωa (a-c) = b²ωa/2
                      Sp = b² ωp/2
    Согласно закону Кеплера Sa = Sp и тогда ωа = ωp, т.е. движение планеты относительно F2    в апогее и перигелии происходит с одинаковой угловой скоростью.

[ENF]

               Формулирую педантичнее.
Наблюдатель находится в F2, определяет угловые скорости движения в апогее ωа и     перигелии ωp. Зная параметры эллипса, находит линейные скорости:
                     | va | = (a+c) ωa  ,           | vp | = (a-c) ωp
      Затем находит площади секторов, описываемых радиус-вектором планеты в 1 секунду. При этом дуга сектора будет численно равна линейной скорости.
                      Sa =  ½  pr = ½ (a+c) ωa (a-c) = b²ωa/2
                      Sp = b² ωp/2
    Согласно закону Кеплера Sa = Sp и тогда ωа = ωp, т.е. движение планеты относительно F2    в апогее и перигелии происходит с одинаковой угловой скоростью.

Закон Кеплера неверно применен. Он для секторов с вершиной в F1, а не в F2.

[Валерий K]

Закон Кеплера неверно применен. Он для секторов с вершиной в F1, а не в F2.

Вывод обусловлен невнимательным прочтением.
В фокусе эллипса F2 – только наблюдатель, определяющий угловые скорости.
Для нахождения площади секторов используется РАДИУС-ВЕКТОР ПЛАНЕТЫ, а не фокальный радиус эллипса .

[Quest]

То же самое можно записать и вот так:

1. Пусть Va и Vp - скорости в афелии и перигелии соответственно.
2. Пусть R - радиус-вектор, а m - масса тела, обращающегося вокруг фокуса F1
3. Посольку Vm x R=const, а m - также постоянна, то V x R = const. Возьмём Va в качестве единицы скорости.
4. Для афелия и перигелия:
Va = Va, Vp = Va*(Ra/Rp).
5. Относительно фокуса F2:
ω_F2a = Va/Rp
ω_F2p = Vp/Ra = Va*(Ra/Rp) / Ra = Va / Rp.
Т.е. ω_F2a = ω_F2p, ч. и т.д.

[Валерий K]

То же самое можно записать и вот так:

1. Пусть Va и Vp - скорости в афелии и перигелии соответственно.
2. Пусть R - радиус-вектор, а m - масса тела, обращающегося вокруг фокуса F1
3. Посольку Vm x R=const, а m - также постоянна, то V x R = const. Возьмём Va в качестве единицы скорости.
4. Для афелия и перигелия:
Va = Va, Vp = Va*(Ra/Rp).
5. Относительно фокуса F2:
ω_F2a = Va/Rp
ω_F2p = Vp/Ra = Va*(Ra/Rp) / Ra = Va / Rp.
Т.е. ω_F2a = ω_F2p, ч. и т.д.

   Это безупречное доказательство.

[ENF]

Согласен. Неправильно разобрался в формулах. Поторопился

[Валерий K]

    Попытаюсь представить эллипс в необычном виде.
    Пусть точка М движется по окружности x cos j + y sin j = b. Будем перемещать центр окружнрсти по оси X так, чтобы точка М двигалась по эллипсу x2/a2 + y2/b2 = 1. Найдем,
как нужно для этого перемещать центр окружности?
    В начальный момент М находится на большой оси в точке В, а центр окружности - в точке
N между началом координат О и точкой В, причем ON = а - b. После того, как радиус b повернется на некоторый угол j, M переместится в М1, а центр окружности - в N1 - ближе к началу координат. Точка М1 по определению принадлежит эллипсу и ее координаты:
             x2 = ( 1 - y2/b2 )a2,  y = b sin j
Подставив значение y, получим:              x = a cos j.
Тогда координата центра N1:         ON1 = x - b cos j = ( a - b ) cos j.
Следовательно, эллипс, получившийся параметрическим модулированием окружности
представляется выражением:
                ( x - ( a - b ) cos j ) cos j + y sin j = 1.
Приношу извинения за стиль - рисунок не прошел.

[Валерий K]

    Интересно сравнить результаты из первого сообщения и последнего.
    Из первого: секторы, описываемые радиус-вектором в вершинах эллипса S = b2(омега) - на
большой оси, и a2(омега) - на малой оси.
    Из последнего: скорость b(омега) и a(омега) соответственно.