О толщине и разгрузке зеркал

[Дрюша]

А этот COSMOS учитывает перефокусировку? PLOP - учитывает. Хотя, этот учёт можно и отключить. А ещё Plop учитывает изменение толщины в зависимости от радиуса кривизны. Я делал такой вариант, что в самом центре толцина зеркала была 1 микрон (это толщина по краю минус стрелка кривизны, я так специально задал), и зеркало опиралось на 3 опоры в радиусе 0.1 мм. И PLOP выдал такое резиновое зеркальце, которое висит на острие карандаша.... В центре там конкретное остриё получается... Оказывается, зеркала не хрупкие, а бесконечно эластичные!!!

А картинка, выдаваемая Космосом, похоже, идентична Плоповской, когда там отключён учёт перефокусировки. По крайней мере, по внешнему виду.

У меня вопрос по PLOP. В характеристиках материала там имеется такой Poisson. Так вот, откуда его брать для тех материалов, которые не упомянуты во встроенной табличке самого Plopа? Я больше ни в одном справочнике (по конкретным стёклам) не нашёл.

[ivanij]

 Ну что же, вы...? Коэффициент Пуассона не знать? откройте любой учебник по сопромату и прочитайте: для стекла 0.25. Отдельно "нарыл" для оптическии активных материалов (PSM) он равен при нормальной температуре 0.36 (а других температур у вас и не бывает). Впрочем, оптическое стекло и оптических активный материал не одно и тоже. Так, что видимо, первая, приведённая мной цифра больше подходит.
 Далее, что такое COSMOS - программная среда COSMOS/M что ли? Если так, то, как мне кажется, для расчёта зеркала на жёсткость лучше всего подойдёт равномерное разбиение на к.э. Если решаете температурную задачу, то тоже. Если память позволяет, чем чаще разбиение, тем лучше.

[ivanij]

 И ещё. Конечно-элементные и гранично-элементные программы не учитывают обычно переменность толщины, например, как в случае с зеркалом его параболичность. Но это не должно смущать расчётчика. Переменность толщины учитывается переменностью толщины от элемента к элементу. Получается т.с. ступенчатая поверхность. Поверьте, точность не страдает. Но, конечно, чем чаще разбиение, тем лучше.

[Arkady]

Далее, что такое COSMOS - программная среда COSMOS/M что ли? Если так, то, как мне кажется, для расчёта зеркала на жёсткость лучше всего подойдёт равномерное разбиение на к.э.

Наверное, да. Это вариант COSMOSWorks, интегрированный с SolidWorks. А что значит "равномерное"? То, что показано на https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,25214.msg463361.html#msg463361 - равномерное?

* * *

В общем, практические выводы пока такие. И PLOP и COSMOSWorks дают здесь примерно одинаковые величины максимальной деформации: 24нм. В случае, когда есть боковые опоры, максимальная деформация в горизонтальном положении уменьшается до 17нм. При наклоне зеркала на 45 град результат улучшается до 12нм, а в вертикальном положении имеем практически идеальную поверхность.

Таким образом - три точки здесь разгружают очень хорошо.

[ivanij]

 Да, конечно. В МКЭ считается равномерным разбиение, когда элементы не различаются по размерам более чем в 1.5...2 раза. Совершенно одинаковыми сделать их трудно (да и нецелесообразно), если вы считаете конструкцию сложной формы. Или даже цилиндрическую, как круглое зеркало. Кроме того, слишком частое разбиение также вряд ли целесообразно. Уверяю вас на точность это не повлияет. Поэтому ваше первое разбиение может быть даже лучше. Можете проверить сами. Поэтому результата, который вы получили представляется вполне достоверным. Нагружение брали по объёму, видимо массовая нагрузка? Не знаю, проверяли или нет, но я на вашем месте попробовал бы построить график зависимости деформации от угла наклона зеркала в пределах от 0 до 90 градусов. хотя бы через каждые 5...10 градусов.

[Arkady]

Кроме того, слишком частое разбиение также вряд ли целесообразно. Поэтому ваше первое разбиение может быть даже лучше. Можете проверить сами. Поэтому результата, который вы получили представляется вполне достоверным.

Так и есть: и при густой, и при относительно редкой сетке выходят те же ~24нм (пост #120).

Нагружение брали по объёму, видимо массовая нагрузка?

Да, опция Gravity.

Не знаю, проверяли или нет, но я на вашем месте попробовал бы построить график зависимости деформации от угла наклона зеркала в пределах от 0 до 90 градусов. хотя бы через каждые 5...10 градусов.

Хорошо, я попробую. А какой результат предсказываете Вы?

[Дрюша]

Ну что же, вы...? Коэффициент Пуассона не знать? откройте любой учебник по сопромату и прочитайте: для стекла 0.25.

Знаю, конечно, что теоретически есть такой... Но чему он конкретно равен для конкретного стекла... Об этом в попавшихся мне под руку справочниках по конкретным стёклам - ни гу-гу. А почему именно 0.25? В Плопе встречаются метериалы с таковым от 0.17 до 0.24 (в среднем 0.22)... Ну да ладно...

[Arkady]

Ну что же, вы...? Коэффициент Пуассона не знать? откройте любой учебник по сопромату и прочитайте: для стекла 0.25.

Знаю, конечно, что теоретически есть такой... Но чему он конкретно равен для конкретного стекла... Об этом в попавшихся мне под руку справочниках по конкретным стёклам - ни гу-гу. А почему именно 0.25? В Плопе встречаются метериалы с таковым от 0.17 до 0.24 (в среднем 0.22)... Ну да ладно...

Просто попалось в справочнике соотношение: G = E /(2*(1+u)), где G - модуль сдвига, Е - модуль упругости (Юнга), u - коэфф. Пуассона.
Как ни странно, эти числа:

Материал - стекло: модуль упругости 6.8935e+010 N/m^2, коэфф. Пуассона 0.23, модуль сдвига 2.8022e+010 N/m^2

- полностью ему соответствуют. Хотя, как там сказано - должны бы соответствовать в первом приближении

[ivanij]

Ну что же, вы...? Коэффициент Пуассона не знать? откройте любой учебник по сопромату и прочитайте: для стекла 0.25.

Знаю, конечно, что теоретически есть такой... Но чему он конкретно равен для конкретного стекла... Об этом в попавшихся мне под руку справочниках по конкретным стёклам - ни гу-гу. А почему именно 0.25? В Плопе встречаются метериалы с таковым от 0.17 до 0.24 (в среднем 0.22)... Ну да ладно...

 Вот на этот вопрос, почему именно 0.25 я, к стыду своему, не отвечу. Догадываюсь, что для каждого конкретного расчёта он определяется отдельно. Замечу, что главное (я уже писал) коэффициент для оптического стекла. Можно попробовать найти в сети какой-нибудь оптический институт или производство. Там может быть приведён стандарт на такое стекло с указанием механических характеристик. Причём они могут быть даны с большим разбросом. Может быть просто при изготовлении зеркал производственники полагают, что расчёт напряжённо-деформированного состояния не столь обязателен, а для конкретного расчёта (скажем для очень крупного зеркала) они проведут соответствующий эксперимент. Источник, в котором я смотрел указанные мной значения - обыкновенный учебник В. Феодосьева,и Пригоровский "Методы и средства определения полей деформаций и напряжений" и Славин "Методы фотомеханики в машиностроении".
 И, наконец, зеркало телескопа под силой тяжести, на мой взгляд, задача линейная - деформация под нагрузкой относительно невелика, а для такой задачи в МКЭ коэффициент, учитывающий модуль упругости и коэффициент Пуассона - сокращается, поэтому его значение не так уж и важно.
 Вот, опять получилось слишком пространное послание, но хотелось дойти до более или менее конечного результата.

[Михаил_Никитин]

ivanij:

И, наконец, зеркало телескопа под силой тяжести, на мой взгляд, задача линейная - деформация под нагрузкой относительно невелика

Линейная-то линейная, но

деформация под нагрузкой относительно невелика, а для такой задачи в МКЭ коэффициент, учитывающий модуль упругости и коэффициент Пуассона - сокращается, поэтому его значение не так уж и важно

Откуда???

Берем справочник по строительной механике, находим там, что при толщине 1/5 диаметра и меньше и криволинейности исходной образующей менее 5 градусов, при работе изотропного материала в упругой области, зеркало  можно рассматривать как жесткую пластинку. Пишем уравнение Софи Жермен для упругой поверхности в сферических координатах:

(бигармонический оператор)w(r,phi) = P(r,phi)/D,        (1)

где w-отклонение упругой поверхности от недеформированной, м;
    r,phi - цилиндрические координаты зеркала - радиус и полярный угол;
    P - сила давления (тяжести);
    D - цилиндрическая жесткость зеркала,
    D = E*h(r,phi)^3/(12(1-mu^2)),                      (2)
где E - модуль Юнга, Па;
    mu - коэффициент Пуассона.
Дальше начинаются граничные условия и конечные элементы, но коэффициент Пуассона никуда не девается, и в аналитические решения для симметричного опирания зеркала он входит.

[ivanij]

 "Откуда???" цитата Михаил Никитин

 см. Л. Сегерлинд "Применение МКЭ". Проделайте все выкладки по приведённым там формулам и получите такой результат, о котором я писал. Уравнение Софи-Жермен для пластинок и оболочек, а если н.д.с зеркала телескопа может быть описано таким уравнением, то оно поведёт себя как пластина или оболочка, т.е. достаточно гибкая конструкция. Как я понимаю, такое зеркало должно быть монолитом и описываться уравнениями осесимметричной задачи теории упругости (см. С.П.Тимошенко, Дж.Гудьир М.1979 стр.383). А может быть и в объёмной трёхмерной постановке. Собственно, такие уравнения и заложены в программе COSMOS/M. Кстати и Arkady брал для своих расчётов объёмный элемент, так что пластина здесь не причём.

[ivanij]

 Да, и ещё, т.с. вдогонку. Результат ведь Arkady получил и хорошо.

[Михаил_Никитин]

Метод конечных элементов - средство интегрирования отдельного уравнения или системы уравнений. Физического смысла сам по себе он не имеет, и если в результате из решения уходят параметры, в исходном уравнении присутствующие(модуль Юнга и коэффициент Пуассона), то есть основания полагать, что где-то в выкладках или их интерпретации допущена ошибка.

В общем случае, для анизотропных материалов в трехмерном случае обобщенный закон Гука содержит 21 независимую постоянную. При наличии плоскости упругой симметрии их число сокращается до 13-ти. При наличии трех взаимно перпендикулярных плоскостей (анизотропный материал), независимых постоянных будет уже 9. И, наконец, для изотропного материала (связь между деформациями и напряжениями не зависит от направления координатных осей), число постоянных сокращается до двух - модуль Юнга и коэффициент Пуассона (или модуль сдвига - что-то одно).

Вы утверждаете, что при небольшой (но не равной нулю - я правильно понял?) нагрузке, для нахождения перемещений с помощью МКЭ не требуется знание ни одной независимой упругой постоянной материала. И отсылаете меня к литературному источнику.

Извините, но это утверждение требует доказательства именно с Вашей стороны, здесь, в рамках данной ветки. Я со своей стороны могу посоветовать посмотреть "Справочник по строительной механике корабля", том 2 авторы Г.В.Бойцов, О.М. Палий и др., Л.:Судостроение,1982.

Метод конечных элементов там представлен на с. 216 - 319. Особенно внимательно рекомендую посмотреть, что такое матрица жесткости (с.231 и дальше). 

Уравнение Софи-Жермен для пластинок и оболочек, а если н.д.с зеркала телескопа может быть описано таким уравнением, то оно поведёт себя как пластина или оболочка, т.е. достаточно гибкая конструкция.

Неверно. Уравнение Софи Жермен было выведено для жестких пластин.

Как я понимаю, такое зеркало должно быть монолитом и описываться уравнениями осесимметричной задачи теории упругости (см. С.П.Тимошенко, Дж.Гудьир М.1979 стр.383). А может быть и в объёмной трёхмерной постановке. Собственно, такие уравнения и заложены в программе COSMOS/M. Кстати и Arkady брал для своих расчётов объёмный элемент, так что пластина здесь не причём.

Пластина была для иллюстрации, что E и G не сокращаются. У Arcady эти параметры также присутствуют, но не так наглядно.

[ivanij]

  Обобщённый закон Гука с 21 независимой постоянной? Ну, разумеется, в самом общем случае да ещё и для анизотропного материала... Тогда, конечно, вы правы. Но может ли стекло рассматриваться как анизотропный материал? Замечу ещё, что в программе COSMOS/M ( да и в любой другой ) всё равно требуется указывать значения упругих констант - нулевыми в любом случае их принимать никак нельзя. даже, если они ни на что не влияют. но это уже вопрос программирования. Насчёт МКЭ как средства - ну никто же и не спорит.
 А вот уравнение Софи Жермен, если уж на то пошло, получил Лагранж, но не в этом дело. Это же уравнение для пластинок! А в МКЭ для расчёта таких конструкций существует другой элемент. А Arcady напомню, использовал элемент объёма. И ещё. вспомнилось, что он рассматривал три опоры, как раз столько сколько нужно для равномерного распределения нагрузок. при меньшем числе у него получилась бы мгновенно изменяемая система, МКЭ не дал бы результата, а при большем - статически неопределимая относительно опор. В таких задачах реакции по сравнению со статически определимыми возрастают.
 
     "Хорошо, я попробую. А какой результат предсказываете Вы?" цитата Arcady.
 
     Это мне сделать трудно. Могу только заметить, что при большом угле наклона реакции опор могут измениться, придётся менять и кинематические граничные условия. То есть физически это будет означать, что ваше зеркало с опор "соскользнёт". Как это учесть в МКЭ? Это зависит уже от конкретной конструкции - от того, как закреплено ваше зеркало в трубе телескопа. 

[Дрюша]

Да уж... Как за коэффициент Пуассона уцепились... А между тем, в справочниках я нашёл если не его, то модуль Юнга и модуль на сдвиг, а из них он высчитывается (и даже формулка тут приведена была). Паче того, если задача в случае малых деформаций, надо думать, приблизительно линейная, а коэффициент Пуасона, взятый в среднем как 0.22 имеет разброс около 10% (от 0.17 для кварца по данным PLOP до 0.25 для непонятно какого "оптического стекла" непонятно откуда, но в руках у любителя, как правило, оказывается именно оно: непонятно какое и непонятно откуда) Но если результат на деформационный расчёт получить с точностью до 10% - это будет не хорошо, а даже очень хорошо! Мы тут гадаем про схемы разгрузки, для которых разница в разы, и даже на порядки... А тут какие-то 10%!

Не отвечено пока на вопрос. Это к Аркадию. А этот Космос учитывал перефокусировку? Если нет, то, может, тогда и на Плопе её отключить, и тогда сравнить резльтаты (опять же, соответствие до 10% - это было бы очень здорово!).

А ещё мня интересует когда труба лежит на боку, и в самом эксремальном случае зеркало опирается на одну боковую опору (а не висит на трёх: те, которые в этом случае придерживают его сверху, практически никак не работают). До каких пределов можно использовать три простых боковых ограничителя, и не переходить к боковым коромыслам, тросикам и т.п.? Это зависит от толщины зеркала? (интуиция подсказывает, что нет: только от диаметра)

Ах, да, в PLOPовской картинке от постов №103-104 перефокусировка явно учтена, а в космосовских - нет. Там даны именно абсолютные деформации. И для наклонного/бокового положения зря указаны верхние (одна или две) опоры, вокруг которых синева. Это соответствовало бы тому случаю, если бы зеркало было бы к ним приклеено или как-то ещё подвешено за них. На самом деле оно должно "играть" в оправе, и при боковом положении лежать только на нижних опорах (одной или двух - как придётся). Если на одной (наихудший случай, а потому - наиболее интересный), то на неё приходится весь вес, а те опоры, которые окажутся сверху - как бы не при чём. То усть, зеркало фактически лежит (стоит на ребре) на одной точке.

[ivanij]

 Вот-вот и я о том же. Это насчёт того, когда труба на боку. Серьёзно меняются граничные условия. Но только здесь всё на словах. Подробное объяснение требует и подробной схемы - с эскизами графиками и проч.

[SAY]

А ещё мня интересует когда труба лежит на боку, и в самом эксремальном случае зеркало опирается на одну боковую опору (а не висит на трёх: те, которые в этом случае придерживают его сверху, практически никак не работают). До каких пределов можно использовать три простых боковых ограничителя, и не переходить к боковым коромыслам, тросикам и т.п.? Это зависит от толщины зеркала? (интуиция подсказывает, что нет: только от диаметра)

Я уже обращал внимание на странный результат программы (ничтожно-малые деформации). Также хотелось бы уточнений.

[Arkady]

В общем, практические выводы пока такие. И PLOP и COSMOSWorks дают здесь примерно одинаковые величины максимальной деформации: 24нм. В случае, когда есть боковые опоры, максимальная деформация в горизонтальном положении уменьшается до 17нм. При наклоне зеркала на 45 град результат улучшается до 12нм, а в вертикальном положении имеем практически идеальную поверхность.

Таким образом - три точки здесь разгружают очень хорошо.

    

Что же меня никто не поправит? Не 24нм, а 240нм! И так далее. Ошибся я с порядками при пересказе. На шкале в ответе #115 ведь было 2.388e-07 м 

Так что теперь вывод прямо противоположный.

[echech]

В PLOP редкая сетка, характерная, оттуда и артефакты, скорее всего

В PLOP частоту сетки сетку можно выбирать. Та, что по умолчанию, дает примерно 15-20% ошибки.

[Arkady]

Что касается результатов в PLOP. Даю новые снимки: с учетом изменения фокуса и, по совету Дрюши - без. В миллиметрах!

Картина справа похожа на картину, выданную COSMOS. Максимальная деформация по крайней мере имеет тот же порядок: 361нм против 240нм. А вот картина слева - действительно отклонение от ближайшей параболы и она внушает оптимизм; но только в горизонтальном положении