Парадокс близнецов

[kzv]

Знаю, что тема неоднократно обсуждалась, но ведь к полному согласию ни в одном из обсуждений оппоненты не пришли!
До сих пор находятся люди (в т.ч. на этом форуме), которые искренне полагают, что космонавт, движущийся с околосветовой скоростью, сможет долететь до любой точки вселенной практически не постарев
Хочу для таких сомневающихся предложить математическое доказательство того, что часы летящего космонавта и часы неподвижного относительно земли инопланетянина покажут одинаковое время, когда космонавт будет пролетать мимо далёкой планеты.

Начальные условия:
1. пусть скорость света постоянна во всех ИСО
2. пусть справедливы преобразования Лоренца
3. пусть земляне умеют делать ракеты, двигающиеся со скоростью сколь угодно близкой к скорости света

Итак представим, что на землю пришел сигнал от инопланетян. Земляне вычислили, что инопланетяне на планете (точка B) находятся в направлении оси X, на расстоянии 300 световых лет от Земли (точка С). Земляне захотели сфотографировать инопланетян, но для этого им нужен космонавт, который не умрёт от старости прежде чем достигнет точки В.
Ученые (плохо понимающие суть преобразований Лоренца) вычислили скорость с которой надо запустить ракету вдоль оси X чтобы космонавт постарел всего на 1 год прежде чем достигнет точки В. Сказано, сделано - ракету (точку А) запустили, но забыли сообщить космонавту скорость ракеты и расстояние до точки В.

Космонавту стало интересно - сколько покажут его часы (T'), когда он будет пролетать мимо точки В.
Чтобы вычислить это время космонавт проделал следующее: выпустил в точку В радиоимпульс, затем через время t'₀=1' сек, выпустил в эту точку второй радиоимпульс и стал ждать, когда эти импульсы вернутся обратно.
Первый импульс вернулся через t'₁ сек, второй - через t'₂.
Далее не буду приводить сложных вычислений (уместившихся у меня на одной стороне стикера) и сразу скажу результат:

T' = t'₀ / (t'₂/t'₁ - 1)

Я не делал вычислений для инопланетянина (которому тоже хотелось узнать показания своих часов в момент подлёта к нему ракеты), но что-то мне подсказывает, что решение будет таким:

T = t₀ / (t₂/t₁ - 1)

Если взглянуть теперь на эти формулы - можно заметить, что выражение в знаменателе не зависит от системы отсчёта ибо инвариантно относительно преобразований Лоренца. Значит можно переписать:

T' = t'₀*const
T = t₀*const

А теперь (для всё-ещё сомневающихся) скажем человеческим языком то, что написано в этих формулах:
"часы космонавта в ракете покажут время в const раз большее одной секунды, а часы инопланетянина покажут время в const раз большее одной секунды".

Убедил?

[Алия]

Здравствуйте уважаемый kzv.
Парадокс близнецов выглядит примерно так, насколько я знаю.
Два брата А и В находятся на Земле т.е. они имеют почти нулевую относительную скорость. Затем одного брата В запускают на ракете, которая приобретает околосветовую скорость v. После довольно продолжительного полёта В возвращается назад на Землю и обнаруживает, что его брат А по сравнению с ним постарел.
Теперь я хочу, попробовать разобраться.

Брат В летел на ракете очень быстро относительно своего брата А, оставшегося на Земле, поэтому можно сказать, что у него замедлилось время относительно А, но ведь с другой стороны  А вместе с Землёй двигался в другую сторону относительно В с той же околосветовой скоростью v, поэтому можно сказать, что и у него ( брата А вместе с Землёй) время замедлилось относительно брата В (который на ракете). Я думаю, что как раз здесь, в похожей ситуации, Вы kzv поделили одну величину на другую.
Но ведь на самом деле брат В не приобрёл мгновенно скорость v, чтобы достичь этой скорости он должен испытывать ускорение и именно это (ускорение) отличает его от брата А, оставшегося на Земле. Затем, чтобы вернуться на Землю брат В имеющий скорость v должен снизить её до нуля (затормозиться), относительно А, т.е. он (брат В) опять должен испытывать ускорение, только теперь противоположное по направлению, и это опять  его ( брата В) отличает от А оставшегося на Земле. И именно то, что брат В испытывал ускорения, причём дважды, и отличает его от брата А, оставшегося на Земле, который ни каких ускорений не испытывал. Поэтому здесь уравнения СТО не действуют нужно привлекать ОТО.
Вообщем, такие мои мысли.

[bob]

Да. В кого вкачали энергию при ускорении, тот и моложе.

[kzv]

Здравствуйте Алия.

Я намеренно рассмотрел случай чистой СТО без всяких ускорений, поскольку и в таком случае некоторые считают, что у равномерно движущегося предмета время течёт медленнее.
Например, часто как доказательство СТО приводят "изменение времени жизни мюона". Якобы движущиеся быстро мюоны живут дольше их неподвижных близнецов из-за замедления времени.
Как показали приведенные мной расчёты - если объяснять факт изменения времени жизни мюона с помощью СТО, то мы получим не подтверждение, а опровержение последней

[bob]

Здравствуйте Алия.

Я намеренно рассмотрел случай чистой СТО без всяких ускорений, поскольку и в таком случае некоторые считают, что у равномерно движущегося предмета время течёт медленнее.
Например, часто как доказательство СТО приводят "изменение времени жизни мюона". Якобы движущиеся быстро мюоны живут дольше их неподвижных близнецов из-за замедления времени.
Как показали приведенные мной расчёты - если объяснять факт изменения времени жизни мюона с помощью СТО, то мы получим не подтверждение, а опровержение последней

Прошу привести расчёты.

[kzv]

Прошу привести расчёты.

Простите, не совсем вас понял: привести полный вывод следующих формул?
T' = t'0*const
T = t0*const

Или вы не согласны с тем, что из этих формул следует:
"часы космонавта в ракете покажут время в const раз большее одной секунды, а часы инопланетянина покажут время в const раз большее одной секунды".

Или вы не согласны с тем, что в предыдущем выводе можно заменить "часы космонавта в ракете" на "время жизни движущегося мюона", а "часы инопланетянина" на "время жизни неподвижного мюона"?

[bob]

Прошу привести расчёты.

Простите, не совсем вас понял: привести полный вывод следующих формул?
T' = t'0*const
T = t0*const

А причём здесь const?

[markal]

Да. В кого вкачали энергию при ускорении, тот и моложе.

Не обязательно. Пусть космонавт улетел ("вкачали энергию"). Затем землянин перешел в систему отсчета космонавта  (тоже "вкачали", причем ровно столько же). Поскольку теперь и землянин, и космонавт в одной ИСО, можно опять и одновременно в данной ИСО "вкачать" в них одинаковое количество энергии так, чтобы они начали сближаться.

Несложный расчет показывает, что в таком случае при встрече младше окажется землянин. А ведь энергии было "вкачено" одинаковое количество .

Марк

[bob]

Да. В кого вкачали энергию при ускорении, тот и моложе.

Не обязательно. Пусть космонавт улетел ("вкачали энергию"). Затем землянин перешел в систему отсчета космонавта  (тоже "вкачали", причем ровно столько же). Поскольку теперь и землянин, и космонавт в одной ИСО, можно опять и одновременно в данной ИСО "вкачать" в них одинаковое количество энергии так, чтобы они начали сближаться.

Несложный расчет показывает, что в таком случае при встрече младше окажется землянин. А ведь энергии было "вкачено" одинаковое количество .

Марк

Да. И время пребывания в "накачанном энергией" состоянии, не менее важно.

[Хартиков Сергей]

     Цитата kzv: "Далее не буду приводить сложных вычислений (уместившихся у меня на одной стороне стикера) и сразу скажу результат:   T' = t'₀ / (t'₂/t'₁ - 1)"

     Уважаемый kzv, хотя это и не существенно, Вы здесь перепутали знак. Правильный ответ T' = t'₀ / (1 - t'₂/t'₁) (это и понятно, так как t'₂ < t'₁). Главная ошибка в другом. Вы пишете:

     "Если взглянуть теперь на эти формулы - можно заметить, что выражение в знаменателе не зависит от системы отсчёта ибо инвариантно относительно преобразований Лоренца. Значит можно переписать:
T' = t'₀*const
T = t₀*const"

     Легко вычислить, что t2/t1 = 1 - t₀V/L. Вы рассматриваете фиксированные t₀ (1 сек) и V. Но, если для инопланетянина расстояние между звездами L, то для космонавта (в его системе отсчета, где он отмеряет то же значение t'₀ = 1 сек) расстояние между звездами равно L' = L*sqrt(1 - V²/C²). Так что знаменатели получаются разные. О какой инвариантности речь?

[Тать]

Хартиков Сергей насколько я понимаю бредни с сокращением это относится к ОБЬЕКТАМ движущимся относительно наблюдателя. Пространство таковым не является и никуда не движется относительно наблюдателя. Поэтому расстояние между звездами не сокращается. Вы уже писали эту чепуху, что для фотона расстояние = 0 однакож говорят, что свет от того то долетел до нас за столько то МЛРД св. лет. Где же он бродил при расстоянии =0?

[bob]

Это не чепуха, но такая поэтическая гипербола действительно неточна.  Ведь мы не можем находиться в системе отсчёта фотона. Её не существует.

[EVV]

Это не чепуха, но такая поэтическая гипербола действительно неточна.  Ведь мы не можем находиться в системе отсчёта фотона. Её не существует.

Мы много где не можем находится, но это не означает, что всего этого не существует.
А то, что как раз тот предел, где СТО и должна работать лучше всего - "не существует", о нем как бы запрещено не только говорить но и думать - вот это - не чепуха.

[markal]

Хартиков Сергей насколько я понимаю бредни с сокращением это относится к ОБЬЕКТАМ движущимся относительно наблюдателя. Пространство таковым не является и никуда не движется относительно наблюдателя. Поэтому расстояние между звездами не сокращается. Вы уже писали эту чепуху, что для фотона расстояние = 0 однакож говорят, что свет от того то долетел до нас за столько то МЛРД св. лет. Где же он бродил при расстоянии =0?

Уважаемый Тать, Вы не правы. Попробую это показать.

Пусть имеется две планеты А и В, находящиеся условно в одной ИСО на расстоянии L друг от друга, и в некоторый начальный момент времени на планете А покоятся "землянин" и "космонавт". Затем космонавт стартует с планеты А в направлении к планете В со скоростью V.
 
Точка зрения землянина:
- планеты покоятся, расстояние между ними неизменно и равно L,
- космонавт движется со скоростью V,
- для посещения планеты В космонавт должен преодолеть расстояние L,
- время движения космонавта к планете  по земным часам равно  t=L/V.

Но для движущегося космонавта, это не так. Точка зрения космонавта:
- я покоюсь, а планеты движутся относительно меня со скоростью V,
- планеты движутся как жесткий единый стержень, потому что в их собственной системе отсчета расстояние между планетами неизменно,
- расстояние между планетами, как и в случае произвольного движущегося жесткого стержня, испытывает лоренцево сокращение, и поэтому это расстояние равно L*sqrt(1-V^2/c^2) (Вы ведь можете мысленно представить себе, что планеты являются началом и концом некоторого стержня; если этого мало, то представьте себе, что между планетами размещен реальный жесткий стержень, начало и конец которого совпадает с планетами. Ясно при этом, что движение космонавта не может нарушить совпадение планет и концов стержня. Но стержень сокращается с точки зрения космонавта. Значит, он видит, как сокращается и расстояние между планетами).
- время, за которое планета В приблизится ко мне, равно  t'=L*sqrt(1-V^2/c^2)/V.

Таким образом, событие — прилет космонавта на планету В — по часам землянина произойдет позже, чем по часам космонавта.

При этом с точки зрения космонавта время на ракете не замедляется, но сокращаются расстояния до звезд и планет, к которым он движется. Поэтому разница показаний земных часов и часов космонавта (в случае его возвращения на планету А), является с точки зрения космонавта прямым экспериментальным подтверждением лоренцева сокращения размеров движущихся объектов (в данном случае — расстояния между двумя неподвижными относительно друг друга планетами).
Землянин же не наблюдает никаких сокращений расстояния между планетами, потому что они неподвижны относительно него, а меньшие показания часов космонавта (по сравнению со своими) в момент прилета космонавта на планету В землянин воспринимает как замедление темпа течения времени на движущейся ракете. Наблюдаемая разность показаний часов в случае возвращении космонавта на планету А — прямое экспериментальное подтверждение замедления времени на движущихся объектах с точки зрения землянина.

Марк

[Хартиков Сергей]

     Цитата Тать: "Вы уже писали эту чепуху, что для фотона расстояние = 0"

     Уважаемый Тать, я этого НИКОГДА не писал. Если я не ошибаюсь, это писал EVV, когда пытался высмеивать СТО (это его любимый пример "А что, если мы сядем на фотон").

     Цитата Тать: "насколько я понимаю бредни с сокращением это относится к ОБЬЕКТАМ движущимся относительно наблюдателя. Пространство таковым не является и никуда не движется относительно наблюдателя. Поэтому расстояние между звездами не сокращается"

     Также никогда я не писал, что пространство сокращается. При сравнениях же расстояний между двумя материальными точками в разных ИСО используется формула "лоренцева сокращения", при условии, что в одной из этих ИСО эти материальные точки неподвижны. Здесь все соблюдено.

[Skipper_NORTON]

>> Поэтому расстояние между звездами не сокращается >>

Неверное утверждение.  Относительно корабля, летящего с околосветовой скоростью все расстояния между звездами меньше.

Доказательство. Предположим, что не изменяется. Как тогда объяснить, что космонавт пролетит за один свой год всю Галактику? (а ведь можно так разогнать корабль!) Получается, если не сократилось расстояние между звёздами относительно корабля, то звезды РЕАЛЬНО мимо корабля будут мчаться со скоростью, в 100 000 раз превышающую световуюю. А это противоречит уже ПОСТУЛАТАМ теории относительности (во всех СО скорость света предельная, и больше быть не может).

Что же происходит во время самого УСКОРЕНИЯ? Сокращаются расстояния ко всем звездам, находящимся именно на линии ускорения, то есть спереди и сзади. Значит, должна быть, так сказать, "точка сходимости", к которой все объекты приближаются. Немного подумав, придем к выводу, что эта точка сходимости - не сам корабль, а находится она позади от направления ускорения корабля, и тем ближе к кораблю, чем он сильнее ускоряется. Получается довольно интересная ситуация. Звёзды, находящиеся ЗА этой точкой, сзади от корабля, будут, несмотря на то, что корабль ОТ них улететь хочет и ускоряется в другом направлении - не удаляются от корабля, а еще и приближаются к нему, точнее к этой точке сходимости, но никогда её не пересекут. Как только корабль перестанет ускоряться, а перейдет на равномерное движение - они сразу станут удаляться почти со скоростью света, а пока он ускоряется - они приближаются к кораблю.  Нарастающее Лоренцево сокращение больше, чем удаление корабля. Объясню на пальцах. Предположим, гляжу я на галактику Туманность Андромеды, до которой 2 миллиона световых лет. А туда канат протянут, длиной в 2 млн световых лет. Канат, я на Земле, и сама Галактика (условно предположим), покоятся друг относительно друга, то есть на ходятся в одной системе отсчета. Разгоняем с Земли корабль в направлении, обратном (от галактики). Кораблик, пролетев световой год, предположим разогнался так, что длины сократились в два раза, время замедлилось в два раза и так далее... Относительно Земли - от корабля до галактики 2 миллиона плюс 1 световой год (а сам кораблик сплющился в 2 раза). А относительно кораблика-то (так как Земля, канат и галактика - находятся в одной СО и теперь движутся относительно корабля) - до галактики, которая сзади от корабля (2 000 000+1)/2. 
 Сколько? Было 2 миллиона, а стал 1 миллион световых лет! А вроде, улетали от него и ускорялись в другом направлении. Но это - РЕАЛЬНОЕ расстояние до галактики - 1 млн световых лет. ДОЛЖНО БЫТЬ. Но с корабля-то должны видеть её уже удаляющейся, а не неподвижной (это после того, как перейдём на равномерное движение, конечно)! Значит, ВИДИМОЕ расстояние до галактики  - должно быть ЕЩЕ МЕНЬШЕ, не буду вдаваться в расчеты, предположим, полмиллиона световых лет. Ну, видим мы ее (если измерим на корабле расстояние методом типа метода параллакса или другим) - на расстоянии полмиллиона световых лет, видим, как она удаляется от корабля, а кораблик наш мы считаем неподвижным. Видим мы ее, какая она была полмиллиона лет назад, а за эти полмиллиона лет она, так как удаляется - то и удалится на нужное, РЕАЛЬНОЕ расстояние в миллион световых лет.

 Что же получается? С Земли мы видели галактику на расстоянии 2 млн св лет, предположим, они с галактики передают, что у них, по ихнему исчислению времени - ГОД 5 000 000. 2 миллиона лет шел сигнал. Значит ДЛЯ Земли там сейчас - ГОД 7 000 000. А на корабле (который тут же, рядом с Землёй, просто разогнался) - получаем сигнал, что в галактике ГОД 5 000 000. Измерили расстояние - полмиллиона световых лет. Полмиллиона лет шел сигнал(относительно корабля). Значит, относительно корабля - в галактике СЕЙЧАС - ГОД 5 500 000.

Значит, пока корабль ускорялся, часы в той галактике УШЛИ В ПРОШЛОЕ на полтора миллиона лет! ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТОГО КОРАБЛЯ! Вот такой рассинхронизацией часов и объясняется парадокс близнецов. Никакой "накачки энергии" не нужно. И ОТО знать не нужно. Нужно только постараться построить цепочку выводов из самих постулатов теории относительности. Земля рассинхронизации не испытывает. А корабль ускоряется и испытывает. Можно пойти дальше и показать, что РЕАЛЬНОЕ расстояние до объектов, ПО НАПРАВЛЕНИЮ К КОТОРЫМ корабль ускоряется - тоже сокращается, но ВИДИМОЕ расстояние к ним сильно увеличивается, видим мы их после ускорения с корабля приближающимися, часы на них (на звёздах, к которым корабль ускоряется) - УХОДЯТ В БУДУЩЕЕ. Эдакий перескок.

Вообще... Главное правило. Когда мы куда-то ускоряемся, испытываем ускорение, то за время нашего ускорения - часы на всех объектах, по направлению к которым мы ускоряемся - УХОДЯТ ВПЕРЁД, а на всех объектах ОТ которых мы ускоряемся - УХОДЯТ назад, в прошлое (для этого корабля, относительно этого корабля). Чем дальше до объекта, тем больше это смещение во времени. Поэтому, когда корабль разгонится быстро около Земли - то на Земле время будет то же самое, она рядом с кораблём, а на звезде время уйдет вперед, если корабль туда разогнался. Если он решит не лететь туда и тут же затормозит - то время на той звезде уйдёт назад на ту же величину и никакого перемещения в будущее не будет. А если корабль пролетит какое-то расстояние, залетит, например, в другую галактику и только потом захочет затормозить, то часы на  всех объектах, к которым он приближался, но еще не долетел, хоть и уйдут назад, но на меньшую величину, той на которую они уходили вперед при разгоне. Аналогично, часы на всех объектах, которые сзади от корабля - уйдут вперед НА БОЛЬШУЮ величину,  той на которую они уходили назад при разгоне. Так как они стали дальше от корабля. Вот так космонавты и перепрыгивают в будущее.

Я вообще, хочу как-нибудь написать книгу, что-то типа "Теория относительности для чайников". Или открыть тему на форуме и всё это подробно объяснить...

А пока подумайте вот над чем. Как я уже писал, должна быть, так сказать, "точка сходимости", к которой все объекты приближаются, во время разгона корабля. Она тем ближе к кораблю, чем он сильнее ускоряется. Предположим, корабль ускоряется с таким сильным ускорением, что эта точка - всего на расстоянии 1 метр от корабля... Сзади. Туда приближается, например, Солнце ОТ которого корабль хочет улететь и ускоряется. Вопрос - можем ли мы, протянув руку, дотронуться до него?

[pokos]

Ну, могу только несколько дополнить. А именно.
Если следовать одному единственному постулату ОТО о равенстве гравитационной и инерциальной масс, то видно, что при старте корабля и его ускорении время впереди находящихся объектов ускоряется, а сзади находящихся - замедляется. С точки зрения корабля. Т.е. корабль находится в псевдо-гравитационном поле, создаваемом его собственным ускорением. Поэтому мы видим существенное отличие от "чистого"(как в СТО) парадокса близнецов в том, что масштабы локального времени зависят не только от скорости движения, но и от его направления. Поэтому "чистый" формализм СТО тут неприменим, что, в общем-то и показано самим наличием парадокса. Ещё раз обозначу свою уверенность в том, что все теоретические парадоксы вызваны исключительно выходом за границы применения теории.

[kzv]

      "Если взглянуть теперь на эти формулы - можно заметить, что выражение в знаменателе не зависит от системы отсчёта ибо инвариантно относительно преобразований Лоренца. Значит можно переписать:
T' = t'₀*const
T = t₀*const"

     Легко вычислить, что t2/t1 = 1 - t₀V/L. Вы рассматриваете фиксированные t₀ (1 сек) и V. Но, если для инопланетянина расстояние между звездами L, то для космонавта (в его системе отсчета, где он отмеряет то же значение t'₀ = 1 сек) расстояние между звездами равно L' = L*sqrt(1 - V²/C²). Так что знаменатели получаются разные. О какой инвариантности речь?

Спасибо Сергей, что внимательно прочитали моё сообщение. Возможно вы, как математик, сможете указать на мою настоящую ошибку если такая имеет место быть.
Теперь, что касается вашего сообщения.
В приведенной задаче ни космонавт, ни инопланетянин, не знают расстояние друг до друга. Они хотят его вычислить и для этого посылают 2 импульса с интервалом 1 сек.
В результате если L'₀ - расстояние от космонавта до инопланетянина, а L₀ - расстояние от инопланетянина до космонавта, то эти величины находятся по формулам:

L'₀ = t'₁*c/2 + t'₁*(t'₁-t'₂)*c/ (4*t'₀)

L₀ = ...(тоже самое без штрихов)

Здесь первое слагаемое - расстояние между объектами в момент прихода первого импульса к первому зеркалу, а второе слагаемое это расстояние пройденное первым зеркалом до того, как повстречаться с первым импульсом, т.е. =  t₁*v/2.
Кстати, отсюда видно, что скорость тела находится по формуле:

v = (t'₁-t'₂)*c/ (2*t'₀) = (c/2) * (1 - t'₂/t'₁) - если то, что вы написали верно, то скорость не инвариантна относительно смены системы координат?

[LIW1949]

При далеко не ультрарелятивистской скорости, как показано в работе Ильянка, корабль и астронавт распадутся на молекулы... Привожу ссылку:
http://www.ivanov-portal.ru/astron/00.htm
.
Вот вам и все реалии парадокса близнецов, возникающего в умах исследователей, не понимающих роль модельных представлений в физической науке. Об этом я тоже писал...
Смотрите по ссылке:
http://www.sura.ru/pekc2/
. Wullo Leonid.

[bob]

Книга столь объёмистая. что про судьбу несчастного астронавта я пока что ничего не нашёл. Как прокомментируете цитату по первой ссылке?
"...После обнаружения так называемого реликтового излучения в миллиметровом диапазоне длин радиоволн, заполняющего изотропно Вселенную, было найдено абсолютное движение Земли относительно фонового излучения и галактики в целом..."

Каковы источники такого утверждения?