За дифракционным пределом?

[343YK9SE9V]

   "Оппонент с псевдонимом "Тришка" не унимается: "... что же вы имели все-же ввиду?" (#61)
   А когда Вы успели очароваться?! И зачем ломать голову, когда думать надо руками!
   Извините за шутку, но пока я готовил Вам ответ на первое Ваше глубокое замечание, пауза примирила Вас с первыми двумя. Теперь третье Вас терзает?
   Все-таки позвольте по-порядку.
   Когда в 1990 я впервые опустился до рефрактора и расчитал объектив ф 38 и f=250 мм для 12х зрительной трубы, то был поражен: объектив разрешал по формуле 110/D! Значит, зрительный канал у человека - это не просто оптика + сетчатка! - я же знал, что только на линии e мой объектив дифракционно решает. Поэтому Ваше 2е замечание я готов воспринять положительно.
   Когда в 1990х я усомнился в ЧКХ для кольцевого телескопа, то во 1х я провел серию опытов на кольцевом зрачке рефрактора с ф 50 и f=350 мм. Объектом для исследования были детали на стене соседнего дома на расст. 150 м. Во 2х я сделал программу для расчета самой ЧКХ.
   Вы не подумайте, "Тришка", что во мне говорит старческая сентиментальность: это я Вас подвожу к ответу на мучающий Вас вопрос. Так вот, и эксперимент, и кривая ЧКХ давали многократное усиление контраста на предельных частотах. Правда из-за ручного изготовления диафрагмы практика сильно отставала от теории.
   Вот теперь Вы полностью готовы воспринять ответ. ЧКХ кольц. зрачка расчитывается так: на кольц. зрачок накладывается второй такой же зрачок и начинает смещаться относительно 1го. А Вам остается только считать отношение совместной площади к первоначальной - это отношение и дает искомый контрост. Когда 2е кольцо, съехав с 1го, висит на самой его кромке - совместная площадь ничуть не меньше, как если бы оба зрачка были кругами. Именно поэтому на предельных частотах контраст относительно выше, чем на низких частотах.
  Тоже самое происходит и со зрачками окуляра и глаза при их смещениях. И Вы совершенно справедливо заметили, но напрасно испугались своей догалки: работает чистая дифракция.
   В 1997, усомнившись в правильном понимании Рэлеевского критерия лямбда/4 я занялся расчетом дифракции ... но об этом в другой раз.

   Успехов всем и сверхразрешения!

[echech]

и эксперимент, и кривая ЧКХ давали многократное усиление контраста на предельных частотах

Это общеизвестный, даже, пожалуй, тривиальный факт.

ЧКХ кольц. зрачка расчитывается так

И это не великая тайна.

Тоже самое происходит и со зрачками окуляра и глаза при их смещениях

Ах вот вы о чем! Увы - разочарую - придуманная вами аналогия совершенно не работает. Судя по всему образования вам достанет понять почему.
Отлегло...

[343YK9SE9V]

 Вот здесь (difr.jpg исправьте на difr.exe) - несколько "побрякушек" на BP-7. Желающие могут поиграться с дифракцией на зрачке.
 MatLab я забраковал - он для лентяев. Там для численного интегрирования, похоже, кроме Симпсона ни о ком больше не слыхивали. И если упомянуть о Кронроде, то к тебе же и обратятся за ссылкой. Поэтому сразу даю: Узлы и веса квадратурных формул. Под ред. Р.С. Гутера. 1964 г. и еще: Р.С. Гутер .."Элементы численного анализа", 1970, с.158. Правда, сам я отказался от адаптивного интегрирования: целесообразнее в диалоге определяться с дроблением интервалов. В файлах _FAST_ для ускорения в 100 раз (начиналось все под Spectrumом) использован спецалгоритм.
  DIFR.EXE - это раровский саморазворачивающийся файл. В папке Difr лежат файлы на BP: дифракция на круглом зрачке и на кольце для одной звезды, для 2х и для диска. Чтобы понять картинки, посмотрите на рис. 3.12 на с. 68 первой книги Н.Н. Михельсона.

[343YK9SE9V]

(продолжение..)
Самое большое, что я увидел в этом: это "продольная асимметрия" дифкартины, явно зримая при малых светосилах (см. илл). Я так и не нашел ошибки в своем алгоритме. Со стороны виднее, и м.б. кому-то из Вас посчастливится ткнуть меня носом.
 И - как резюме к своим численным изысканиям - "Математика - один из самых изощренных способов водить себя за нос" (А.Эйнштейн).

  Чистого неба!

[Дрюша]

А что если сделать серию снимков
- полной  круглой апертурой
- узким кольцом
- несколькими концентрическими кольцами
- Тоже, но наоборот (кольца в противофазе предыдущему варианту)
- треугольной
- квадратной
- шестиугольной
- двумя параллельными щелями
- тоже, но повернув их на 90 градусов
 А потом произвести какую-нибудь хитрую и очень крутую математическую обработку, учитывая сразу все варианты... Я думаю, что на выходе можно синтезировать нечто типа изображения, которое раз в несколько (хотя бы в 2 раза) детальнее и контрастнее дифракционного, причём, на всех частотах: и предельных (кои по крайней мере вдвое выше чем для обычной круглой апертуры), и на средних, и на малых...

[343YK9SE9V]

   "Дрюша", я же отдал Вам алгоритм: оторвитесь от присоски (INetа), засучите рукава - и попытайте счастья!
   О двойном повышении "отчетливости" при смещении зрачков.
   В.Г. Жданов говорит: "До 16 лет водку считают ядом. А что - после 16 - она перестает быть им?!"  Так и принцип Гюйгенса-Френеля, он что - в плоскости выходного зрачка уже отключается? Думаю (на расчеты уже вряд ли поднимусь - может, вот "Дрюше" будет "не слабо"?), что здесь не просто "аналогия", которой я попытался объяснить результаты своих наблюдений.
   Замечено, что при отверстиях, меньших 0.5 мм, т.е. уже при зазорах порядка 1000 длин волн, напряженность в проходе возрастает (вот тут можно провести аналогию с поверхностным натяжением в капиллярах): фотоны начинают "психовать". Поэтому на втором экране, каковым для фотонов является зрачок глаза, они ведут себя "не адекватно". И достаточно 20 мм фокус.расстояния глаза, чтобы это проявилось. И в такой степени, что компенсмруются и огромные краевые аберрации глаза, и еще в 2 раза увеличиывется  различимость мелких деталей. Я умышленно избегаю слово "контраст": по-видимому, тут дело не только в нем.
   Вот и просчитайте вторичную дифракцию на втором экране: убежден, что именно здесь объснение замеченного феномена.

[Дрюша]

Теоретически (но чисто теоретически) если известен закон распределения освещённости в дифракционном пятне (а он известен) и даже в кружке расеяния, обусловленном дифракцией, всеми аберрациями и т.п., и АБСОЛЮТНО ТОЧНО (или хотя бы до сотого-тысячного знака после запятой) известно распределение освещённости в реальном изображении, то чисто теоретически можно восстановить изображение... И отлтчить двойную звезду от одиночной... С какой угодно точностью и разрешением. Но поскоьку любой светоприёмник имеет шумы, и распределение освещённости известно с некой конечной точностью... То точность "восстановленного" по такому алкогритму изображения будет иметь многократно усиленные шумы и глюки... Когда же эти шумы и глюки превысят полезный сигнал... Ну, тут разные есть критерии...

А принцип Гюйгенса-Френеля рулит только для когерентных источников. Если в выходном зрачке проходят волновые фронты от разных некогерентных источников, то принцип Гюйгенса-Френеля идёт лесом.

[echech]

Теоретически (но чисто теоретически) если известен закон распределения освещённости в дифракционном пятне (а он известен) и даже в кружке расеяния, обусловленном дифракцией, всеми аберрациями и т.п., и АБСОЛЮТНО ТОЧНО (или хотя бы до сотого-тысячного знака после запятой) известно распределение освещённости в реальном изображении, то чисто теоретически можно восстановить изображение... И отлтчить двойную звезду от одиночной...

И даже это, к сожалению, не так. Во-первых, забыты влияние "шумов" атмосферы и погрешностей изготовлния, а, во-вторых, суть состоит в том, чтобы не просто отличить двойную от одиночной, а чтобы измерить азимут и угловое расстояние между компонентами и хотябы примерно соотношение яркостей. Играя этими тремя параметрами, можно получить одинаковое распределение освещенности на фотографии при разных параметрах пары. А ведь это может и не только пара - кратная система, да еще с планетами и т.д. Так что дело не только и не столько в шумах приемника - нет главного - фиксации фазы

[Владилен]

А что если сделать серию снимков
- полной  круглой апертурой
- узким кольцом
- несколькими концентрическими кольцами
- Тоже, но наоборот (кольца в противофазе предыдущему варианту)
- треугольной
- квадратной
- шестиугольной
- двумя параллельными щелями
- тоже, но повернув их на 90 градусов
 А потом произвести какую-нибудь хитрую и очень крутую математическую обработку, учитывая сразу все варианты... Я думаю, что на выходе можно синтезировать нечто типа изображения, которое раз в несколько (хотя бы в 2 раза) детальнее и контрастнее дифракционного, причём, на всех частотах: и предельных (кои по крайней мере вдвое выше чем для обычной круглой апертуры), и на средних, и на малых...

Если метод обработки правильный, то достаточно одного из вышеперечисленных вариантов, а лучше всего 1-ый, так как он даст больше фотонов для статистической обработки.

[Дрюша]

2 Vladilen Ural
Ну, можбыть, оно и так... Только про фотоны не недо. На самом деле дискретность энергии, обусловленная квантовой природой света, она даёт фундаментально неустранимый шум (дробовой шум), а через него - фундаментальную неопределённость таких величин как "освещённость". В этом вся  фишка. Если же помечтать о том, что если бы мы могли знать освещённость до сотого (или там тысячного - миллионного знака...). Я потому и оговорил, что "ЧИСТО ТЕОРЕТИЧЕСКИ". Но практически... Если даже не "сколь угодно", но на порядок или хотя бы раза в 2-3... Думаю, можно.

А разные формы апертуры дают разные эффекты. Например, у Сикорука в книжке есть про то как ему удалось заснять спутник Сириуса с шестиугольной маской. Кольцо (или центральное экранирование на уровне 90-95% апертуры) также делает более узким центральный максимум (собственно, то что соответствует "диску Эйри" в данном случае). И, кстати, конкретно для разрешения ДВОЙНЫХ звёзд это реально лучше. Но значительная часть энергии переходит в кольца, которые становятся ярче и шире... Короче, ЧКХ в таком случае сильно просаживается на средних частотах. Короче, качество изображения для непрерывных объектов (скажем, деталей на поверхности планет) будет хуже. Так что, - не панацея. Но для конкретных СПЕЦИАЛЬНЫХ видов наблюдений и измерений...

Две параллельные щели. Аналогично. Правда, в отличие от кольца тут лучше прослеживается картинка В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ. Например, если наблюдается двойная, и известно как ориентированы компоненты, и расположить щели поперёк линии, соединяющейих. Либо отснять по вем направлениям (например, 12 вариантов), и выбрать лучший... Тут ещё проще отличить двойную от одиночной, измерить расстояние, блеск, чё там ещё... Ну, короче, азы интерферометрии. Но интерферометрические методы дают не само изображение, а некоторые данные для того чтобы его вычислить.

Остальные варианты - это я так, до кучи. Не факт, что они что-нибудь дадут ещё.

2 Тришка. Да, я отлично знаю и про атмосферу, и про прочие шумы. Но роль их такая же, как и у квантовых шумов, упомянутых выше. То нсть, они не дают АБСОЛЮТНО ТОЧНО знать распределение освещённости... Хотя, конечно, если сложить 100, 10000 или 1000000 изображений, то результаты статистической обработки (т.е. вероятностные ОЦЕНКИ случайных величин) могут быть на порядок-другой точнее чем у одного снимка. Работая с этими статичтиками, авось, можно не "сколь угодно" (в миллион, миллиард, триллион или квадриллион), а хотя бы в 3-4 раза (более смелая оценка - в 10 раз) увеличить резкость синтетического изображения. Правда, ТОЧНОСТЬ определения освещённости в синтезированном изображении получится примерно на столько же порядков хуже... Однако, в специальных случаях (например, когда разрешается две звезды - абсолютно контрастный объект, а между ними и вокруг - чернота), то можно не гнаться за точностью передачи полутонов (и так ясно), и тогда реально разрешить их в 10-30 раз ближе чем официальный "дифракционный предел". Но для таких спец. случаев - свои спец. методы.

Вообще же, все неопределённости, неточности, ошибки округления, дискретизация сигнала (по уровню, по растру...) - это не что иное как разновидности ШУМОВ. И всё в них упирается. Их можно уменьшать, но невозможно свести на нет. поэтому бесконечная (сколь угодно высокая) разрешалка - недостижима. Но. А почему бы не повысить её, пусть не в миллион или миллиард, а хотя бы в 3-4 или 10 раз? Это уже - реально. На самом деле.

Итак, метод 1. Положим, мы хорошо знаем ЧКХ всей нашей системы (оптика, светоприёмник и т.п.). То есть, какую пространственную частоту с каким контрастом объектив передаёт. Ладно. Берём реальное изображение. Делаем преобразование Фурье. Получаем не саму функцию распределения освещённостей, а разложение по пространственным частотам. Усиливаем каждую частоту во столько раз, во сколько она уменьшается согласно ЧКХ. А теперь делаем обратное преобразование. Всё просто. Правда, такая бяка: на предельно высоких частотах, где коэффициент передачи контраста составляет 1%, 0.1%, 0.01% (и поэтому мы усиливаем их в 100, 1000 и 10000 раз соответственно) во столько же раз возрастают шумы... Но я же предположил (чисто теоретически) что шумов - НЕТ.

Метод 2. Снимаем изображение на заведомо более частую ПЗС-матрицу, чем обеспечивает качество объектива. Той пространственной частоты, которую мы хотим получить (и даже в 2-3 нраза выше). Ну, скажем, на 10-мегапиксельную матрицу снимаем расплывчатое изображение, которое по-хорошему ложится на 0.1 мерапиксел (скажем, 320х240 какна старых любительскх видеокамерах). Ну, то есть, изображение точечной "звезды" (которая заранее известно что звезда) расплывается на пятно 10 пикселей в поперечнике (и даже больше, скажем, 15-20). Но распределение освещённости в данном случае неравномерно, и имеет вид дифракционной картины Эйри, либо распределение Гаусса, либо что-то там такое ещё, но мы его знаем достаточно точно (положим, мы оцифровываем ч/б изображение в 32 бит, либо имеем цветное 32 бит/канал, то есть, 96 бит на пиксель - думаю, пока хватит, хотя есть другие, более компактные методы кодирования цвета с неравномерным количеством бит на канал или интенсивность + баланс цвета...). Ладно.
Рассмотрим совокупность 10 млн. пикселей как некий ВЕКТОР. Не матрицу, а именно ВЕКТОР. 10млн-мерный вектор. Нам плевать, где тут строчки, где вертикальные ряды пикселей, в памяти компьютера это - вектор (массив) чисел. Для простоты положим, что в представлении long double (вещественных чисел, 80 бит - родной формат для 80х87 или FPU 486, Pentium...). Нас интересует освещённость, а цветовой баланс пока - по боку. Ладно. Теперь мы можем сделать 10 млн. снимков одной "звезды" единичной яркости, так чтобы, по идее, её изображение приходилось на каждый конкретный (один-единственный) пиксель 10-миллионной ПЗСки. Но это "по идее". На каждом снимке будет засвечено 300-400 пикселей вокруг того "целевого" Это такое пятно рассеяния. То есть, мы получаем 10 млн снимков (10млн-мерных векторов), соответствующих каждому "пикселю". Это какая реальная картина наблюдается при проецировании размазанного изображения "звезды" на каждый отдельный пиксель. В итоге у нас получается МАТРИЦА размером 10млн*10млн = 100трлн элементов. Назовём эту матрицу А (от слова Aberration matrix). Возьмём теоретическое "абсолютно хорошее" изображение, которое мыслится как проекция, при которой каждая "точка" (или "звезда") проецируется на один элемент растра (ПЗСки). Это 10млн - мерный вектор назовём его I (от слова Ideal image). Но мы его мыслим пока чисто теоретичекки "как было бы если бы...". Реальное же изображение, которое мы миеем - это тоже 10млн-мерный вектор, который назовём R (то есть, Real или abeRRated image). Между ними - простая связь
R = I*A
де использована обычная операция умножения вектора на матрицу по правилам алгебры матриц. Тогда
I = R*A^-1
где A^-1 - это матрица, обратная матрице A
Таким образом мы восстанавливаем вектор I, который и являет собой идеальное изображение, как минимум, в 10 раз более высокого разрешения, чем исходное (реальное).
Вот как всё просто! Простоте способствует ещё и то обстоятельство, что матрица A - на самом деле ОЧЕНЬ РЕДКАЯ матица. В смысле, что большинство её элементов практически равны 0, а отличны от нуля очень малое количество элементов (ну, всего лишь несколько млрд из 100 трлн - это тысячные доли процента). В программировании есть специальные методы представления таких матриц и алгоритмы, реализующие операции над ними. Нам вовсе не надо иметь 100 трлн ячеек памяти, заполненных нулями. Вполне достаточно несколько гигабайт ненулевых элементов.
Правда, есть одна засада. Обратная матрица A^-1 существует тогда и только тогда (и она единственна) если определитель |A| отличен от нуля. Но. Он может быть хоть и отличен от нуля, но ОЧЕНЬ МАЛ. Тогда при вычислениях элементов обратной матрицы эта фигня будет у нас сидеть в знаменателе, то есть алгебраические дополнения по каждому элементу (которые тоже будут очень малы, но от этого не легче) будут домножаться на огромную величину (скажем, много миллиардов). И тогда малейшая неточность, малейшая ошибка (то есть шум) будет многократно усиливаться.

Но я начал с того, что ПОЛОЖИМ (чисто теоретически) мы откуда-то всё знаем АБСОЛЮТНО ТОЧНО. То есть, без лишних шумов. Тогда всё будет чики-поки.

Так что, вот так. Математика рулит.

[echech]

Вы ошибаетесь - дело не только в шумах. На уровне чистой математики (и численной и тем более аналитической) невозможно в общем случае произвести процесс обратный свертке (комплексной ФРТ и распределения освещенности на предмете) имея на руках только квадрат модуля этой свертки (распределение освещенности на изображении).

[Дрюша]

Ну, свёртка-пересвёртка - это только один из методов. Я здесь выложил два. И это ещё не все. И разве я говорил про общий случай? Двойная звезда - это очень частный случай! В некоторых частных случаях рулит такой-то бетод, в других - эдакий... Пытаемся применить все известные методы, и накрываем 99.99% всех возможных случаем (частных) в которых нам что-то удаётся.

Если у нас есть такая система, которая "в общем случае не работает" потому что может давать 0.01% глюков - это было бы очень хорошо.

[echech]

Двойна звезда - очень специфический объект,.. если знать, что за вот этим мутным пятном лежит именно двойная звезда. Если есть такое априорное знание, то зачем дальше огород городить и так все понятно - двойная звезда. А если интересует что там на самом деле? Планетарная туманность, далекая эллиптическая галактика, кратная система... От общих случаев никуда не деться при исследовании астрономических объектов.

[Дрюша]

Тем не менее, количество "типов" (или "классов") объектов в астрономии - ограничено. Бывают двойные и кратные звёздф, бывают планеты с дисками, галактики, газовые туманности и т.п. Перечислить их можно по пальцам. И есть разные методы математической обработки. Которые исходят из разных предположений (как буд то бы что-то известно "априори"). И можно пытаться эти методы применить. Путём перебора. "А не двойная ли звезда", "а не галактика ли"...

Кстати, именно так делается "цифровая обработка" зрительного сигнала в мозгу. Именно поэтому мы можем видеть почти на дифракционном пределе для зрачка нашего глаза. На самом деле, оптическая система глаза - даже не ахромат. Если бы вы только знали, насколько галимая эта оптическая система... Намного хуже чем у самой дешёвой "мыльницы"... А выезжает только за счёт цифровой обработки, которая производится в реальном времени. И что интересно, видим мы так чётко - не только астрономические объекты, а вообще, всё вокруг. Только в некоторых, весьма специвических ситуациях могут случаться некоторые "глюки" и "обман зрения", когда мы якобы видим то, чего нет (те же каналы на Марсе, которые "увидел" Скиапарелли). Ну, что ж, это издержки...

И да будет Вам известно, что в математике бывают такие "некорректно поставленные задачи". И специфические методы их решения. Которыми они успешно решаются. Ну, практически успешно...

[echech]

Если бы вы только знали, насколько галимая эта оптическая система...

Вы полагаете, что это сакральное знание дано только вам? 

выезжает только за счёт цифровой обработки

Что в том числе позволяет нам видеть того, что на самом деле и нет...

И да будет Вам известно, что в математике бывают

Поверьте на слово, я в курсе того, что бывает в математике. 

А если вернуться ближе к телу... Не могли бы вы представить мат аппарат хотябы для "развертывания" одномерного линейного сигнала с функцией типа треугольник (куда уж проще), а потом уже можно будет поговорить и о несколько более трудных случаях свертки с реальной ФРТ и применении более продвинутых методов.

[Serge Chuprakov]

Опять осмеливаюсь обратить внимание собравшихся на конструкцию затмевающих систем коронографов с внешним затмением. Там отсутствует (а точнее уменьшен на два порядка) френелевский максимум в центре тени (причина его возникновения точно такая же, как диска Эри — дифракция плоской волны на краях экрана). Это не расчетные эксперименты, это приборы известные с 50-х годов прошлого века. Они работают на радость тысячам людей во всем мире. Достаточно набрать SOHO C2 или С3 design.
Меняем теперь затмевающие диски на «дырки»...

[echech]

И что? Это как-то доказывает возможность сверхразрешения?
Есть возможность таким образом пригасить одно из светил в поле зрения (например центральную звезду, для того, чтобы иметь возможность различить ее слабый спутник), но к разрешению это не имеет отношения - разрешение при этом не меняется.

[Штрель > 1]

Однако, как много букв - моя долго читала...

Для внесения свежей струи и привнесения конкретики в столь долгое обсуждение немного побаловался численным моделированием. Проверял идею, как по асимметрии изображения выловить отдельные компоненты кратной звезды. Как водится, для простоты звезду взял двойную, распределение гауссово (чтобы с дифр.кольцами не заморачиваться) и картинка 2D, а не 3D.

Основная мысль такова: если в перекошенную гауссиану вписать гауссиану симметричную, то остатки "наблюденное - вычисленное" (О-С) должны нам выдать нечто похожее на компоненты двойной звезды.

Дано: f1(x)=2 Exp[-(x-x1)^2] (голубая кривая),  f2(x)=Exp[-(x-x2)^2] (зеленая кривая), x1=0, x2=1.5; сумма f1+f2 показана красным. Расстояние между f1 и f2 подбирал опытным путем, чтобы визуально максимумы не разрешались.
Вписывание делал по методу наим.квадратов (фиолетовая кривая). Наконец серым показаны остат.уклонения О-С.

Что получилось в результате? На серой кривой имеем два максимума, которые логично отождествить с компонентами двойной системы. Соотношение высот на кривой О-С не соответствует действительному - различие не в 2 раза, а гораздо меньше. Наконец, расстояние между компонентами также не соответствует истинному.

Тем не менее, в качестве нулевого приближения данный метод использовать можно. После доработок, разумеется. Формально звезду разрешили.

Какие мысли по улучшению?

[echech]

Ого! В нашем ряду появился "практик".
Здорово.

"Мысли" по улучшению вашего алгоритма для одномерного случая очень простые - составьте уравнение суммы пары гауссиан с четырьмя параметрами (положение и амплитуда для каждой) найдите величину среднеквадартического отступа этой кривой от кривой полученной в рез. "эксперимента". Теперь произведите численное дифференцирование по указанным четырем параметрам с вычислением влияния на разницу. Далее осталось минимизировать (методом Ньютона) ср. кв. отклонение кривых - найти значения четырех параметров. Задачка должна легко сходиться к оригинальному соотношению параметров отдельных гауссиан. Полезное упражнение по численным методам и матричным вычислениям.

Тут только один момент - откуда нам знать, чем вызвана несимметричность гауссианы?

[Штрель > 1]

Тут только один момент - откуда нам знать, чем вызвана несимметричность гауссианы?

Знать это не нужно. Это задается, если хотите, руками. И затем проверяется результат. Угадали модель - компоненты хорошо впишутся, не угадали - на выходе получите ерунду.

Две гауссианы впишу завтра, программка на работе осталась.