Расчёт естественной скорости движения на круговых и эллиптических орбитах

[АСМ]

Уважаемые астрономы и астрофизики, просто физики, профессионалы и любители! Подскажите, существует ли - и какое оно, если существует - решение проблемы, описанной ниже?

Дана эллиптическая орбита с эксцентриситетом е. Вокруг её фокуса с массой М в той же плоскости "нарисованы" ещё две, но строго круговые орбиты: большая с радиусом R и малая с радиусом r. При этом большая орбита касается большой оси эллипса, скажем так, в апогее, а малая - в перигее. И в общем получается так, стало быть, что большая круговая орбита имеет R=a+c и она вокруг эллипса описана, тогда как малая орбита имеет r=a-c, и она в эллипс вписана.

По этим трём орбитам свободно (или естественно), т.е. без какого-либо грав. воздействия других значимых тел (пренебрегаем их воздействием), под действием только массы М против часовой стрелки (или, если хотите, наоборот) движутся три пробных тела с незначительной по сравнению с М массой m (пусть она у всех тел будет равной).

Вопрос-проблема формулируется так.
В точках перигея и апогея (в точках касания двух орбит из трёх наличных) направления векторов скорости у одного "эллиптического" тела и, поочерёдно, у каждого из двух "круговых" тел попарно совпадают (векторы совпадают, поскольку они перпендикулярны одним и тем же направлениям от тел на фокус с массой М). Спрашивается, почему из точек касания
а) "эллиптическое" тело не переходит на движение по большой или малой круговой орбите, а продолжает движение по эллипсу
и
б) "круговые" тела в точках перигея и апогея эллиптической орбиты не переходят на движение по эллипсу, а продолжают движение по кругу?

Вопрос формулируется так потому, что, по Ньютону, притяжение зависит только от расстояния и, следовательно (?), раз притяжения отдельно в перигее и отдельно в апогее у двух тел равны, то и скорости в точках перигея и апогея, к которым касаются круговые орбиты, у "круговых" тел и "эллиптического" должны быть не только попарно одинаково направлены, но и попарно равны по величине (при том, что в апогее скорость абсолютно меньше, чем в перигее). Переформулирую несколько проблему также и на философский лад: если скорости не только одинаково направлены, но и равны, то - как "тела выбирают" (не обладая сознанием и волей) свою "дальнейшую судьбу" в точках перигея и апогея? Заметим, что здесь имеется примерно та же ситуация, что и с Буридановым ослом, который, как и данные тела, не может выбрать "сознательную траекторию" своего движения к одному из двух стогов сена, расположенных на равном расстоянии (от кончика носа осла), и поэтому умирает от голода.

Или я не прав в своём соображении о притяжении по Ньютону, и эллиптическая и круговая скорости в перигее и апогее попарно лишь направлены одинаково, но всё же не равны по величине? Что приводит к полному отсутствию необходимости вводить абсолютно фантастическое предположение о "сознательном выборе телами" своих траекторий. Но тогда остаётся вопрос, как рассчитать естественную скорость движения на круговой и эллиптической орбитах в перигее и апогее и вообще - на любых круговых и эллиптических орбитах? Иначе говоря: если первую космическую скорость для круговой орбиты можно расcчитать по формуле корень квадратный из выражения (G*M/L), где G - грав. постоянная и L - радиус окружности (L=R или r в случае апогея и перигея), то спрашивается: как следует трансформировать данную формулу ньютоновской механики, чтобы получить первую космическую скорость в перигее и апогее, а вообще - для движущегося тела в любой точке эллиптической орбиты?

[Toth]

Или я не прав в своём соображении о притяжении по Ньютону, и эллиптическая и круговая скорости в перигее и апогее попарно лишь направлены одинаково, но всё же не равны по величине?

Да, не равны. См. 2-й закон Кеплера, который никак не противоречит законам Ньютона.

получить первую космическую скорость в перигее и апогее,

Только не 1-я космическая, а просто скорость - вот тут для гелиоцентр. орбиты https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%B9  и https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%84%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%B9
А 1-я космическая - это скорость на круговой орбите на нулевой высоте над телом.

в любой точке эллиптической орбиты?

Например, вот так , для любой орбиты
a - б . полуось ,r - расстояние до центр. тела.

[АСМ]

Исследование проблемы и мои расчёты заставляют меня не согласиться с достаточно полной адекватностью представленной Вами формулы для расчёта скорости в любой точке эллиптической орбиты (и, стало быть, в перигее и апогее).

Предложил бы считать скорость по выведенной мной формуле:

Vэ^2=а*(G*M/L^3)^0,5

где L - любое расстояние от центра масс М системы до центра тяжести тела с массой m на эллиптической орбите. Расчёт этой скорости можно представить также следующим образом:

Vэ^2=(а/L)*(G*M/L)^0,5

Тогда выражение (G*M/L)^0,5 есть 1-я космическая скорость на круговой орбите с любым радиусом L, а выражение а/L выступает в качестве поправочного коэффициента к данной круговой скорости, так превращаемой в эллиптическую.

В качестве небольшой иллюстрации - результаты расчёта по двум формулам скорости Луны в перигее.

Условно Ваш расчёт с моими величинами даёт для перигея скорость 1,07639E+05 см/с.
Мой расчёт с использованием тех же исходных данных даёт чуть большую величину эллиптической скорости: 1,07805E+05 см/с.

Не настаиваю, что прав именно я (тем более, что с самого начала, не зная формул из Википедии, пытался разрешить проблему скоростей в перигее и апогее, оперируя именно с эксцентриситетом, точнее, только с выражением 1+е), но думаю, что объективную правоту может выявить лишь опыт. Например, опыт попадания КА в точку Лагранжа L1 или L2 во время момента нахождения Луны в каком-то промежутке между перигеем и апогеем и со скоростью, рассчитанной по моей формуле (опыт с другой скоростью, очевидно, уже имеется). Большее или меньшее время достаточно устойчивого пребывания в этой точке КА и рассудит, "кто прав и кто виноват".

Весьма благодарен за Вашу информацию, поскольку после знакомства с ней проблема, которая не давала покоя больше года (случайно появилась в связи с интересом к точкам Лагранжа),  наконец-то удалилась из моего сознания. Успехов!

[GoodAstro]

Спрашивается, почему из точек касания
а) "эллиптическое" тело не переходит на движение по большой или малой круговой орбите, а продолжает движение по эллипсу
и
б) "круговые" тела в точках перигея и апогея эллиптической орбиты не переходят на движение по эллипсу, а продолжают движение по кругу?

Векторы скоростей тел хоть и коллинеарны в этих точках, но их модули различны.

[Dmitry K]

равны по величине

не равны

Исследование проблемы и мои расчёты заставляют меня не согласиться с достаточно полной адекватностью представленной Вами формулы

Или я не прав в своём соображении о притяжении по Ньютону, и эллиптическая и круговая скорости в перигее и апогее попарно лишь направлены одинаково, но всё же не равны по величине? Что приводит к полному отсутствию необходимости вводить абсолютно фантастическое предположение о "сознательном выборе телами" своих траекторий. Н

для прогуливавших в школе физику мир полон чудес)

[Ulmo]

Предложил бы считать скорость по выведенной мной формуле

Попытка вывести свою формулу конечно похвальна, при наличии базиса знаний. Но в данном случае, увы - лучше было прочитать учебники.

[slonougam]

почему из точек касания
а) "эллиптическое" тело не переходит на движение по большой или малой круговой орбите, а продолжает движение по эллипсу
и
б) "круговые" тела в точках перигея и апогея эллиптической орбиты не переходят на движение по эллипсу, а продолжают движение по кругу?

    Имеется качественное отличие кругового движения тела (движения по окружности) от движения по эллиптической траектории.
   Величина вектора скорости движения тела по окружности по модулю постоянна (по направлению переменна). При эллиптической траектории переменны и направление, и величина скорости.
   Если скорость движения тела близка к первой космической скорости (для данной конкретной высоты), то тело будет двигаться по окружности.
   Если скорость движения тела достигнет первой космической скорости не на соответствующей высоте, то тело будет двигаться по эллиптической траектории.
   Никакого "разумного" выбора не требуется.