Релятивистское движение на плоскости.

[Maltsev]

Для начала подробно рассмотрим получение формул сложения скоростей (см. Л-Л, 1988, М. "Наука" Т. 2, гл. I, § 5, стр. 28). Представим, что в ИСО' тело движется со скоростью \( w \) под углом \( \alpha \) к оси \( x' \) . Записываем уравнение для вектора скорости \( w \) :
\[  x'=w\cos\alpha\,,\quad y'=w\sin\alpha  \]
А поскольку сама ИСО' движется относительно лабораторной ИСО со скоростью \( v \) , используем формулы преобразований Лоренца:
\[ x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,,\quad y=y'\,,\quad t = \frac{t'+\frac {vx'}{c^2}}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}} \]
в которые и подставляем эти выражения, приняв (поскольку речь идёт о скорости) \( t'=1 \) :
\[  x=\frac{w\cos\alpha+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,,\quad y= w\sin\alpha\,,\quad t=\frac{1+\frac {vw\cos\alpha}{c^2} }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}  \]
При этом получаем соответствующие пространственные и временную координаты в лабораторной ИСО. Теперь, чтобы получить компоненты новой скорости \( u \) по координатным осям, необходимо разделить полученные пространственные координаты на временную:
\[  u_x=\frac{\frac{w\cos\alpha+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}{\frac{1+\frac{vw\cos\alpha}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\,,\quad u_y=\frac{w\sin\alpha}{\frac{1+\frac{vw\cos\alpha}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}} \]
\[ u_x=\frac{w\cos\alpha+v}{1+\frac{vw\cos\alpha}{c^2}}\,,\quad u_y=\frac{w\sin\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{vw\cos\alpha}{c^2}} \]

Ну а теперь, из полученных компонент \( u=\sqrt{u_x^2+ u _y^2} \) после преобразований получаем формулу сложения скоростей для произвольного направления приращения скорости \( w \) к скорости \( v \) движения ИСО' относительно лабораторной ИСО по оси \( x \) (см. А.Эйнштейн, Собрание научных трудов, М., "Наука", 1965, Т. 1, ст. "К электродинамике движущихся тел", § 5, стр. 20) :
\[ u=\frac{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}}{1+\frac {vw\cos\alpha}{c^2}} \]


Представим, что в движущейся ИСО' из начала координат произошёл разлёт частиц по всем направлениям со скоростью \( w \) , которые образуют сферу с точки зрения сопутствующих наблюдателей ИСО'. Применив полученные формулы для компонент \( u_x \) и \( u_y \) , получаем разлёт частиц с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

На рисунках отображёны разлёты частиц в лабораторной ИСО с шагом 15° при \( \frac v c =0{,}8\,,~\frac w c =0{,}5  \) , при \( \frac v c =\frac w c =0{,}8 \) и при \( \frac v c =0{,}5\,,~\frac w c =0{,}8  \) соответственно. При разлёте частицы образуют сжатый по оси движения эллипсоид со следующими характеристиками:
\[  x_\circ=\frac{v\left(1-\frac{w^2}{c^2}\right)}{1-\left(\frac{vw}{c^2}\right)^2}\,,~~~
b=\frac{w\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{1-\left(\frac{vw}{c^2}\right)^2}
\,,~~~\frac b a=\sqrt{\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\left(\frac{vw}{c^2}\right)^2}}  \]
где \( x_\circ \) - центр эллипсоида, \( a \) - длинная полуось, \( b \) - короткая полуось, на рисунках обозначены прямыми красными линиями. Вертикальная чёрная линия - ось \( y' \) , проходящая через начало координат оси \( x' \) в движущейся ИСО'.

А теперь рассмотрим разлёт частиц в лабораторной ИСО при их скорости \( w\to c  \) :

На рисунках отображены разлёты частиц в лабораторной ИСО с одним и тем же приращением скорости \(  \frac w c =0{,}9999 \) при \( \frac v c =0{,}5 \) , при \(  \frac v c =0{,}8  \) и при \( \frac v c =0{,}95 \) соответственно. Как видим, в данном случае при \( w\approx c  \) эллипсоид превращается в сферу независимо от \( v \) - скорости движения ИСО' относительно лабораторной ИСО, а центр сферы практически не имеет сдвига (при \( w=c \) сдвиг центра вообще отсутствует) , отличается только распределение частиц по сфере (окружности на рисунке). Собственно, для распространения фронта света от вспышки при \( w=c \) , это явление, пожалуй, можно было бы определить как аберрация света при излучении. Однако не уверен, что такое понятие как аберрация, пригодно при разлёте частиц.

Как видим, при \( w\to c \) , и аберрация, и образование сферы с покоящимся центром, и \( u\approx w  \) , все эти признаки свидетельствуют о наличии среды распространения как для ЭМ волн, так и для движущихся частиц.

[Maltsev]

Итак, мы рассмотрели различные варианты разлёта частиц в движущейся ИСО' с точки зрения наблюдателей покоящейся лабораторной ИСО. На следующем рисунке отображено движение единственной частицы при её скорости \( \frac w c =0{,}5  \) в ИСО' под углом \( \alpha=46{,}1^\circ \) к оси \( x' \) с точки зрения сопутствующих наблюдателей ИСО' (под углом \( \alpha'=60^\circ \) к началу координат ИСО' с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО), которая в свою очередь движется со скоростью \( \frac v c =0{,}8 \) относительно лабораторной ИСО:

А теперь перейдём на несколько иной уровень - представим, что движущееся по оси \( x \) со скоростью \( v \) условное ружьё выстреливает пулю со скоростью \( w \) с точки зрения наблюдателей ИСО', связанной с ружьём. При этом координатные оси \( x'  \) ружья и \( x'' \) пули совпадают, но расположены под произвольным углом \( \alpha' \) к оси \( x \) с точки зрения наблюдателей абсолютно покоящейся лабораторной ИСО. Очевидно, что двигаясь относительно лабораторной ИСО в различных направлениях и с различными скоростями, ружьё и пуля должны иметь различную и разнонаправленную степень сжатия, как и различную рассинхронизацию и различный темп хода разнесённых часов в ИСО' ружья и ИСО'' пули. Тем не менее, все эти сжатия и рассинхронизации в различных ИСО должны подчиняться определённым законам и соответствовать друг другу. В общем, в итоге должен получиться подобный рисунок:

на котором в виде параллелограммов условно отображены сжатые (изначально ортогональные) сетки пространственных координат каждой из ИСО, движущихся относительно лабораторной ИСО. Все координаты на рисунках и в таблицах приведены в системе \( c=1 \) . Поскольку рассматриваются несколько систем координат, синим цветом обозначены координаты покоящейся лабораторной ИСО:

Зелёным цветом далее обозначена координатная сетка ИСО' и красным цветом - координатная сетка ИСО''. В рассматриваемой ситуации ИСО'' движется относительно ИСО' со скоростью \( \frac w c =0{,}5 \) , которая в свою очередь движется относительно лабораторной ИСО со скоростью \( \frac v c =0{,}8 \) в течение отрезка времени \( \Delta t=10 \) по синхронно идущим часам лабораторной ИСО. Совпадающие друг с другом оси \( x' \) и \( x'' \) развёрнуты относительно оси \( x \) на угол \( \alpha'=60^\circ \) (\( \sin\alpha'=0{,}866\,,~\cos\alpha'=0{,}5 \)). При этом ИСО'', согласно формуле (см. предыдущий пост) :
\[ u=\frac{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}}{1+\frac {vw\cos\alpha}{c^2}} \]
движется со скоростью \( \frac u c =0{,}9135 \) . Однако, чтобы воспользоваться данной формулой, сначала необходимо преобразовать угол \( \alpha' \) (с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО) в тот же угол \( \alpha \) , но с точки зрения сопутствующих наблюдателей ИСО' с помощью обратных формул преобразования углов:
\[ \sin\alpha=\frac{\sin\alpha'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{(v\sin\alpha')^2}{c^2}}}\,,~~~\cos\alpha=\frac {\cos\alpha'}{\sqrt{1-\frac{(v\sin\alpha')^2}{c^2}}} \]
Таким образом получаем угол \( \sin\alpha=0{,}7206\,,~\cos\alpha=0{,}6934 \) . Именно этот угол далее используем для поворота сетки координат ИСО' против часовой стрелки:
\[ x_{11}=x\cos\alpha-y\sin\alpha\,,~~~ y_{11}=y\cos\alpha+x\sin\alpha  \]
Для получения угла поворота сетки координат ИСО'' используем формулу:
\[ \sin\beta=\frac{v\sin\alpha_1\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin \alpha}c\right)^2}} \]\[ \cos \beta=\frac{v\cos\alpha+w}{\sqrt {v^2 + w^2 + 2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin \alpha}c\right)^2}} \]
И, соответственно, производим поворот:
\[ x_{21}=x\cos\beta-y\sin\beta \,,~~~ y_{21}=y\cos\beta +x\sin\beta \]
После чего получаем рисунок и таблицы:

Поскольку асинхронность хода разнесённых часов в данном случае определяется не по собственной оси \( x \) каждой из движущихся ИСО, а по оси их движения, подставляем из этих таблиц соответствующие значения \( x_{11}\,,~ x_{21} \) и \( t=10 \) в формулы:
\[ t'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{vx_{11}}{c^2} \]\[ t''=t\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}-\frac{ux_{21}}{c^2} \]
тем самым присваивая показания часов, покоящихся в соответствующих точках собственных пространственных координат каждой из движущихся ИСО:

Отложим пока полученные таблицы в сторону, в последующем они нам ещё пригодятся. Продолжаем строить модель для исследования - производим релятивистское сжатие \( x_{12}= x_{11}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,,~ y_{12}= y_{11}  \) и \( x_{22}= x_{21}\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\,,~ y_{22}= y_{21}  \) по оси \( x \) :
\[ x_{12}=(x\cos\alpha-y\sin\alpha)\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,,~~~ y_{12}= y\cos\alpha+x\sin\alpha  \]\[ x_{22}= (x\cos\beta-y\sin\beta)\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\,,~~~ y_{22}= y\cos\beta +x\sin\beta \]
и получаем следующий рисунок с таблицами:

Угол \( \sin\beta''=0{,}7584\,,~\cos\beta''=0{,}6518 \) можно вычислить с помощью прямых формул преобразования углов:
\[  \sin\beta''=\frac {\sin\beta}{\sqrt{1-\frac{(u\cos\beta)^2}{c^2}}}\,,~~~\cos\beta''=\frac{\cos\beta\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{(u\cos\beta)^2}{c^2}}}  \]

Далее смещаем по оси \( x \) обе движущиеся ИСО на \( vt \) и \( ut \) соответственно, т.е. \( x_1= x_{12}+vt\,,~ y_1= y_{12}  \) и \( x_{23}= x_{22}+ut\,,~ y_{23}= y_{22}  \) :
\[  x_1=(x\cos\alpha-y\sin\alpha)\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+vt\,,~~~y_1= y\cos\alpha+x\sin\alpha  \]\[ x_{23}= (x\cos\beta-y\sin\beta)\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}+ut\,,~~~ y_{23}= y\cos\beta +x\sin\beta \]
и получаем следующий рисунок с таблицами:

Теперь остаётся вычислить угол \( \varphi \) с помощью формул:
\[ \sin\varphi=\frac{w\sin\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin \alpha}c\right)^2}} \]\[ \cos\varphi=\frac{v+w\cos\alpha}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin \alpha}c\right)^2}} \]
составляющий в данном случае \( \sin\varphi=0{,}1853  \,,~\cos\varphi=0{,}9827 \) и повернуть сетку координат ИСО'' на этот угол \( x_2= x_{23}\cos\varphi- y_{23}\sin\varphi\,,~ y_2= y_{23}\cos\varphi+ x_{23}\sin\varphi   \) против часовой стрелки:
\[ x_2=\left[(x\cos\beta-y\sin\beta)\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}+ut\right]\cos\varphi-(y\cos\beta +x\sin\beta)\sin\varphi \]\[ y_2=(y\cos\beta +x\sin\beta)\cos\varphi+\left[(x\cos\beta-y\sin\beta)\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}+ut\right]\sin\varphi  \]
Таким образом мы получили совпадение осей \( x' \) и \( x'' \) движущихся ИСО' и ИСО'':

Как видим, всё происходит всего в четыре этапа - поворот, сжатие, перемещение, поворот. Далее произведём переход в ИСО' и рассмотрим соотношение координат движущихся ИСО' и ИСО''.

[Maltsev]

Итак, мы получили рисунок и таблицы, отображающие положение ИСО' и ИСО'' в координатной сетке лабораторной ИСО:

Для перехода в координаты ИСО', сначала необходимо переместить всю конструкцию в начало координат \( x_{11}'=x_1-vt\,,~y_{11}' =y_1 \) и \( x_{21}'=x_2-vt\,,~y_{21}' =y_2 \) :

Как видим, временные координаты в ИСО' соответствующие координатам ИСО'' пока не определены - графа не заполнена. Далее условно избавляемся от сжатия \( x_{12}'= \frac{x_{11}'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,,~y_{12}' =y_{11}'  \) и \(  x_{22}'= \frac{x_{21}'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,,~y_{22}' =y_{21}'  \) :
\[  x_{12}'= \frac{x_1-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,,~y_{12}' = y_1 \]\[  x_{22}'= \frac{x_2-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,,~y_{22}' = y_2 \]
благодаря чему координатная сетка ИСО' становится ортогональной:

И вот теперь, используя ту же методику (см. предыдущий пост) , подставляем из только что полученной таблицы соответствующие значения \( x_{22} \) и \( t=10 \) в формулу:
\[ t'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{vx_{22}}{c^2} \]
тем самым присваивая показания часам, покоящимся в точках пространственных координат ИСО', соответствующих координатам ИСО'' и заполняем графу \( t' \) . Далее, изменив знаки в формулах поворота \( x_1'= x_{12}'\cos\alpha+y_{12}'\sin\alpha\,,~ y_1'=y_{12}'\cos\alpha-x_{12}'\sin\alpha  \) и \( x_2'= x_{22}'\cos\alpha+y_{22}'\sin\alpha\,,~ y_2'=y_{22}'\cos\alpha-x_{22}'\sin\alpha  \) , поворачиваем всю конструкцию по часовой стрелке на угол \( \alpha \) :
\[  x_1'= \frac{x_1-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,\cos\alpha+ y_1\sin\alpha\,,~~~ y_1'= y_1\cos\alpha-\frac{x_1-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,\sin\alpha  \]\[  x_2'= \frac{x_2-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,\cos\alpha+ y_2\sin\alpha\,,~~~ y_2'= y_2\cos\alpha-\frac{x_2-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,\sin\alpha  \]

Таким образом мы получили две системы координат - условно покоящуюся ИСО' и движущуюся относительно неё со скоростью \( \frac w c =0{,}5 \) (с точки зрения наблюдателей ИСО' и ИСО'') по оси \( x' \) ИСО''. Применив формулы преобразований Лоренца, подставляем в них значения из последней полученной таблицы:
\[  x''= \frac{x_2'-wt'}{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}}\,,~~~y''= y_2'\,,~~~t''=\frac{ t'-\frac {wx_2'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}} \]
и вновь полученные значения заносим в таблицу:

Теперь сравниваем полученные данные для ИСО'' с теми, которые были получены в самом начале исследования (см. предыдущий пост) и убеждаемся, что они ничем не отличаются, хотя были получены при совершенно иных условиях - при скорости \( u \) относительно лабораторной ИСО и движении в другом направлении.

Если подобным же образом перейти в ИСО'', условно назначив её покоящейся, то после преобразований получим точно такое же совпадение данных. Следует только сначала повернуть всю конструкцию по часовой стрелке на угол \( \varphi \) и учесть, что при дальнейших преобразованиях скорость нужно брать с отрицательным знаком \( \frac w c =-0{,}5 \) , поскольку теперь ИСО'' условно покоится, а ИСО' движется в противоположном направлении.


Можем также проверить на "одновременность" совпадение осей \( y' \) и \( y'' \) , для чего в системе \( с=1 \) решаем задачу - например, какие показания должны быть на часах в точке \( х=1 \) лабораторной ИСО и в точке \( х'=-1 \) движущейся со скоростью \( v=0,5 \) ИСО' при совпадении данных точек? Складываем координаты \( \Delta x= х-x'\sqrt{1-v^2}=1{,}866 \) и находим показания часов \( t=\frac{\Delta x}v=3{,}732 \) в лабораторной ИСО при совпадении данных точек. Согласно принципу относительности, точно такие же показания должны быть на часах в данной точке \( х'=-1\,,~ t'=3{,}732 \) движущейся ИСО'.

Для проверки последовательно задаём в лабораторной ИСО время \( t_1=6{,}1838\,,~ t_2=7{,}1445\,,~ t_3= 8{,}1053  \) и получаем серию рисунков и таблиц:

В таблицах цветом выделены совпадающие в данный момент точки координат. И, как видим, с точки зрения сопутствующих наблюдателей ИСО' и ИСО'', оси \( y' \) и \( y'' \) совпадают одновременно в расчётный момент \( t'=t''=3{,}732 \) по часам, покоящимся в соответствующих точках.


Вполне очевидно, что при абсолютном движении относительно среды распространения ЭМ волн (ЭМ поля), при реальных сокращениях масштабов и реальном замедлении темпа хода часов, принцип относительности в кинематике сохраняется, а все взаимосвязанные величины соответствуют друг другу независимо от скорости и направления движения ИСО' и ИСО'' относительно абсолютно покоящейся ИСО.

[Ser100]

Вполне очевидно, что при абсолютном движении относительно среды распространения ЭМ волн (ЭМ поля), при реальных сокращениях масштабов и реальном замедлении темпа хода часов, принцип относительности в кинематике сохраняется, а все взаимосвязанные величины соответствуют друг другу независимо от скорости и направления движения ИСО' и ИСО'' относительно абсолютно покоящейся ИСО.

Ну, то, что принцип относительности (ПО) наблюдателей объекта Эйнштейна (не путать с принципом эквивалентности (ПЭ) условий проведения эксперимента Галилея-Ньютона) выполняется в кинематике было ясно еще до Эйнштейна, когда Коперник по своим гелиоцентрическим таблицам получил те же данные, что и по геоцентрическим таблицам Птолемея. А Эйнштейн при создание СТО доказывал, что ПО выполняется именно для физических законов, т.к. он считал, что это не справедливо, когда он выполняется только в кинематике. Поэтому зря вы тут нам доказывали справедливость кинематических преобразований. Давайте попробуйте доказать справедливость ПО для простейшего физического закона, где не нужна динамика с путаницей по продольной и поперечной массе, а именно закона для эффекта Доплера (ЭД). А, чтобы было еще проще, рассмотрим только поперечный ЭД вот на таком численном примере.

Пусть у нас  в произвольной (исходной) ИСО заданы скорости приемника VX1= 5 м/с и источника VX2= 9 м/с при их начальных текущих координатах X1=100 м, X2=0 м, Y1=50 м и Y2=0 м для времени T=0, а скорость распространения сигнала (пусть это будет свет с частотой v0) зададим Vs= 20 м/с. Здесь, чтобы рассчитать чисто поперечный ЭД, надо задать в исходной ИСО запаздывающую координату источника по оси X, т.е. координату в момент вылета сигнала из источника, такую же, как и текущая координата приемника, т.е. X2= 100 м, и в этом случае нам формула Айвса (4-5), которая объединяет две формулы Эйнштейна (4-1) и (4-3) сразу даст ответ v/v0= 0,9223. Здесь коэффициенты b1=V1/Vs и b2=V2/Vs, а Q1=QV1-Q3 и Q2=QV2-Q3 это относительные углы скоростей, т.е. углы между векторами этих скоростей и радиус-вектором, соединяющим источник 2 и приемник 1. Здесь принято, что в произвольной ИСО движутся и источник и приемник, а коэффициенты kT1 и kT2 отражают замедление темпов течения времени и на приемнике и на источнике по отношению к ИСО, где темп течения времени принимается равным единице, т.е. kT1= sqrt(1 – b1^2) и kT2= sqrt(1 – b2^2).

v =v0*(1 – b*cos(Q12)) /  kT12                                                       (4-1)

v =v0* kT12 / (1 + b*cos(Q12))                                                        (4-3)

v =v0*[(1 – b1*cos(Q1)) * kT2] / [(1 – b2*cos(Q2)) * kT1]             (4-5)

А теперь воспользуемся формулами Эйнштейна (4-1) для случая, когда в ИСО источника движется приемник со скоростью V12= V1-V2 (векторно), или (4-3),  когда в ИСО приемника движется источник со скоростью V12= V1-V2, и здесь будет b=V12/Vs, а kT12= sqrt(1 – b^2). В этих формулах релятивистский множитель kT12 отражает соотношение темпов течения времени на источнике и приемнике. При этом, т.к. в формуле (4-1) считается, что источник покоится, то его темп течения времени kT2 берется равным единице, а на приемнике, который относительно него движется со скоростью V12= V1-0=  V1 время будет течь в замедленном темпе, т.е. с учетом коэффициента kT1= kT12= sqrt(1 – b^2). А в формуле (4-3) считается, что покоится приемник, поэтому его темп течения времени kT1 берется равным единице, а на источнике, который относительно него движется со скоростью V12= 0-V2= -V2, считается что время будет течь в замедленном темпе, т.е. с учетом коэффициента kT2= kT12= sqrt(1 – b^2).

Если вы правильно используете преобразования Лоренца для координат, скоростей и координатного времени в ИСО приемника и в ИСО источника, то вы получите тот же самый результат v/v0= 0,9223, но для разных углов наблюдения. В ИСО источника 2 у нас этот результат получится при угле наблюдения Q3= 116,74 градуса, что при абсолютном значении угла скорости V12 равном 180 градусов у нас даст относительный угол скорости Q12= 180 - 116,74= 63,26. А в ИСО приемника 1 угол наблюдения Q3 получится 104,48 градуса, а относительный угол скорости Q12= 180 - 104,48= 75,52. Таким образом три наблюдателя, находящиеся в исходной ИСО, ИСО1 приемника и ИСО2 источника наблюдают одно и тоже явление и, следовательно, они должны получить согласно ПО одну и туже формулу описывающую это явление. Но у них при этом получаются разные углы наблюдения, т.е. направление луча зрения с источника на приемник, и теперь, когда они будут наблюдать это же явление в другие моменты времени, когда в исходной ИСО будут углы наблюдения отличающиеся от угла Q3=90 и потом построят графики зависимости получающегося результата от наблюдаемого ими угла Q3 то они получат разные значения принятой частоты для угла Q3=90, т.е. для наблюдаемого из их ИСО поперечного ЭД. Следовательно, они получат разные формулы отражающие это физическое явление и поэтому здесь ПО Эйнштейна соблюдаться не будет и ваш вывод о справедливости ПО Эйнштейна ошибочен.   


http://modsys.narod.ru/Stat/Stat_Est/Dopler6_files/image058.gif

Схемы к расчету чистого поперечного ЭД в исходной ИСО и наблюдаемого из разных ИСО и, соответственно, вычисляемого по разным релятивистским формулам (4-5), (4-1) и (4-3).

P.S.
Подсказка. Преобразования Лоренца при переходе из одной ИСО в другую ИСО выполняются с текущими координатами, т.е. относящимися к одному моменту времени. Поэтому, чтобы воспользоваться формулами (4-1) и (4-3), нам надо сначала по заданным запаздывающим координатам источника в исходной ИСО вычислить его текущие координаты, а потом произвести преобразование текущих координат источника и приемника в другую ИСО, где, к тому же, надо будет перед расчетом запаздывающих координат источника еще и привести, получающиеся текущие координаты источника для его местного времени, к местному времени приемника. При заданных запаздывающих координатах приемника в исходной ИСО, когда X2= 100 м, у нас получается, что текущая координата источника должна быть X2= 122,5 м.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Maltsev]

Следовательно, они получат разные формулы отражающие это физическое явление и поэтому здесь ПО Эйнштейна соблюдаться не будет и ваш вывод о справедливости ПО Эйнштейна ошибочен. 

Сейчас могу Вам только посочувствовать. Когда-то достаточно плотно занимался рассмотрением процесса приёма сигнала с различных ракурсов движущимся приёмником от движущегося источника и не обнаружил никаких нарушений ПО. Скорее всего Вы попросту не учитываете какой либо нюанс - изменение углов при сжатии, аберрацию, асинхронность хода разнесённых часов...

Пока Вы досконально не разберётесь с преобразованиями углов с учётом вышеперечисленных эффектов, нет смысла производить и расчёты частот. А с углами там всё совсем не так просто - например, явно догоняющий под углом световой фронт при некоторых условиях вполне может восприниматься наблюдателями движущейся ИСО приёмника как встречный. А вообще-то тема интересная, возможно, когда будет чуть посвободнее...

[Maltsev]

Продолжим. Ещё мы можем рассмотреть процесс световой синхронизации разнесённых часов. Например, нам нужно синхронизировать часы, покоящиеся в определённой точке движущейся ИСО, по световому фронту от вспышки, произошедшей в точке \( x=0\,,~y=0 \) в момент совпадения начала координат всех рассматриваемых ИСО. Вводные данные остаются прежними - ИСО'' движется относительно ИСО' со скоростью \( \frac w c =0{,}5 \) , которая в свою очередь движется относительно лабораторной ИСО со скоростью \( \frac v c =0{,}8 \) . Совпадающие друг с другом оси \( x' \) и \( x'' \) развёрнуты относительно оси \( x \) на угол \( \sin\alpha=0{,}7206\,,~\cos\alpha=0{,}6934 \) с точки зрения сопутствующих наблюдателей ИСО'. Только теперь нам необходимо вычислить тот промежуток времени \( \Delta t_s \) в лабораторной ИСО, за который световой сигнал достигнет заданную точку в движущейся ИСО.

Например, (в системе \( c=1 \)) задаём точку с координатами \(  x''=-1\,,~y''=1 \) в ИСО'' при ранее вычисленном угле \( \sin\beta=0{,}4278\,,~\cos\beta=0{,}9039 \) (см. здесь) , подставляем эти значения в формулу:
\[ \Delta  t_{s_2}=\frac{ c\sqrt{x''^2+y''^2}+u(x''\cos\beta-y''\sin\beta)}{c^2\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \]
и получаем \( \Delta  t_{s_2}=0{,}486 \) с соответствующим рисунком и таблицами:

Теперь, с помощью формулы \( s=\sqrt{x^2+y^2} \) проверяем соответствие расстояния от начала координат (точки вспышки) до покоящихся в каждой из ИСО соответствующих часов в рассматриваемой точке, для чего подставляем в формулу пространственные координаты из выделенных цветом столбцов из таблицы:

\( s=\sqrt{-0{,}184^2+0{,}45^2}=0{,}486 \)
\( s'=\sqrt{-0{,}338^2+1^2}=1{,}0556 \)
\( s''=\sqrt{-1^2+1^2}=1{,}4142 \)

Как видим, в каждой из ИСО показания соответствующих часов в момент прихода сигнала соответствуют расстоянию до данной точки от начала координат в собственной ИСО. Оттого-то и получается, что центр сферы, образованный фронтом света от вспышки, как бы смещается вместе с началом координат каждой из ИСО, хотя, как явно видно из рисунка, центр сферы остаётся неподвижным в начале координат абсолютно покоящейся лабораторной ИСО.

Ещё мы можем координаты \( x'_2=-0{,}338\,,~y'=1 \) из средней таблицы и значения угла \( \sin\alpha=0{,}7206\,,~\cos\alpha=0{,}6934 \) при \( \frac v c =0{,}8 \) подставить в такую же формулу для ИСО':
\[ \Delta t_{s_1}=\frac{ c\sqrt{x'^2+y'^2}+v(x'\cos\alpha-y'\sin\alpha)}{c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]
И на выходе получаем \( \Delta  t_{s_1}=0{,}486 \) , т.е. тот же промежуток времени по часам лабораторной ИСО.

На следующем рисунке отображен момент достижения световым фронтом точки с координатами \( x''=1\,,~y''=-1 \) в ИСО'' при тех же прочих вводных данных:

Вполне очевидно, что и в данном случае при корректных расчётах, регистрируемая скорость света в каждой из ИСО составляет \( c=1 \) . Собственно, в основании теории Лоренца как раз и заложена регистрируемая \( c=\text{const} \) в каждой из ИСО.

[Ser100]

Пока Вы досконально не разберётесь с преобразованиями углов с учётом вышеперечисленных эффектов, нет смысла производить и расчёты частот. А с углами там всё совсем не так просто - например, явно догоняющий под углом световой фронт при некоторых условиях вполне может восприниматься наблюдателями движущейся ИСО приёмника как встречный. А вообще-то тема интересная, возможно, когда будет чуть посвободнее...

Что касается доскональности моего разбора всех этих преобразований, то в этом вы можете убедиться ознакомившись с моей статьей "Эффект Доплера" (лучше в пока крайней, т.е. 6-ой редакции). А то, что тема эта интересная, я согласен и более того она просто убийственная для СТО, как для физической теории. И именно поэтому в официальных учебниках ни где не пишут о том, что после всех преобразований углы Q12 при использовании формул (4-1) и (4-3) получатся разные, т.е. по релятивистским формулам в разных ИСО рассчитывается разный ЭД. И лишь в одном учебнике [45 стр. 423], наверное по недоразумению автора и недосмотру редакторов, я нашел явное упоминание о том, что углы Q12 при использовании формул (4-1) и (4-3) получатся разные и автор даже приводит формулу связывающую эти два угла в ИСО приемника и в ИСО источника.

И точно так же о том, что при расчетах надо учесть запаздывание по координатам для источника, есть упоминание тоже только в одном этом учебнике [45]. А о том, что, получившиеся после преобразований Лоренца, координаты надо еще и привести к одному координатному (местному) времени именно приемника вообще не написано ни где. И по той же причине официальная наука никак не хочет признавать формулу Айвса (4-5) родной сестрой формул Эйнштейна (4-1) и (4-3) (хотя за рубежом это кое где официально признают), т.к. при применение этой формулы то, что эффект Доплера из разных ИСО рассчитывается для разных углов наблюдения, становится явно заметным. А при расчете по формулам (4-1) и (4-3), т.е. после всех преобразований или в ИСО источника или в ИСО приемника за деревьями плохо виден лес. 

45. - Ландсберг Г.С. Оптика. учеб. пособие для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 848 с.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Maltsev]

зря вы тут нам доказывали справедливость кинематических преобразований. Давайте попробуйте доказать справедливость ПО для простейшего физического закона, где не нужна динамика с путаницей по продольной и поперечной массе, а именно закона для эффекта Доплера (ЭД).

Ну что же, давайте разберёмся. Особо не мудрствуя, в предложенной модели приравниваем \( w=c \) , вернее задаём \( \frac w c=0{,}9(9) \) - у меня 12 знаков после запятой, т.к. почему-то при единице на некоторых углах замечена нестабильность работы. В общем, ИСО'' при этом сжимается в линию и из ИСО' получается что-то вроде прожектора, излучающего световые сигналы в виде плоской волны, середина которой излучается в нулевой момент времени. Для наглядности добавлены ещё две плоские волны, из которых средняя является опорной, а излучатель настроен на частоту подачи сигналов \( \omega =2 \). Также для наглядности, в центре излучателя с той же частотой происходят вспышки, от которых световой фронт движется в виде эксцентрических окружностей. Приёмник условно выполнен в виде точно такого же излучателя, который тыльной стороной с противоположного направления условно принимает световые сигналы. По собственному излучению "приёмника" вполне наглядно видны условия для приёма поступающих сигналов.

Итак, на рисунках отображён излучатель, развёрнутый под углом 90° к оси собственного движения. Относительная скорость между приёмником и излучателем составляет \( \frac v c=0{,}8 \) . Для начала пусть приёмник покоится, а излучатель движется со скоростью \( \frac v c=0{,}8 \) :

В таком случае угол движения фронта плоской волны от движущегося излучателя составляет \( \varphi=36{,}87^{\circ} \) . Точно такой же угол разворота покоящегося приёмника \( \alpha=36{,}87^{\circ} \) выставляем для одновременного приёма сигнала по всей поверхности приёмника. Фиксируем этот угол и больше его не меняем. В дальнейшем угол отклонения приёмника будет определять только релятивистское его сжатие при движении. С точки зрения сопутствующих наблюдателей, угол отклонения приёмника \( \alpha \) остаётся неизменным.

Теперь пусть излучатель покоится, а приёмник движется со скоростью \( \frac v c=-0{,}8 \) :

Как видим, условия для приёма сигналов остались неизменными. Пусть теперь источник движется со скоростью \( \frac v c=0{,}5 \) , а приёмник со скоростью \( \frac v c=-0{,}5 \) :

Ну и пусть ещё источник движется с релятивистски удвоенной скоростью \( \frac v c=0{,}9756 \) , а приёмник со скоростью \( \frac v c=0{,}8 \) :

Время на движение по оси \( x \) задавалось условно и отдельно для источника и приёмника, скорее из соображений наглядности. Расчёты показывают, что принимаемая частота сигналов во всех рассмотренных случаях в \( \gamma \) раз выше собственной частоты, излучаемой приёмником. Что и неудивительно - ведь сигналы в рассмотренных случаях принимались под углом со встречного ракурса. Подставив в формулу эффекта Доплера частоту \( \omega =2 \) и угол приёма \( \cos\alpha=0{,}8 \) , получаем:
\[  \omega'=\omega\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v\cos\alpha}c}=3{,}3(3) \]
что, как и следовало ожидать, в \( \gamma \) раз выше настроенной частоты излучателя.

Можем ещё развернуть излучатель на угол 143,13°, а приёмник на 90° и пусть излучатель движется со скоростью \( \frac v c=0{,}8 \) относительно покоящегося приёмника:

Теперь пусть приёмник со скоростью \( \frac v c=-0{,}8 \) движется относительно покоящегося излучателя:

Очевидно, что в этих двух последних случаях частота принимаемого сигнала должна упасть в \( \gamma \) раз.

А то, что тема эта интересная, я согласен и более того она просто убийственная для СТО, как для физической теории.

Как видим, ничего убийственного для СТО не обнаружено.

[Ser100]

зря вы тут нам доказывали справедливость кинематических преобразований. Давайте попробуйте доказать справедливость ПО для простейшего физического закона, где не нужна динамика с путаницей по продольной и поперечной массе, а именно закона для эффекта Доплера (ЭД).

Ну что же, давайте разберёмся. Особо не мудрствуя, в предложенной модели приравниваем \( w=c \) , вернее задаём \( \frac w c=0{,}9(9) \) - у меня 12 знаков после запятой, т.к. почему-то при единице на некоторых углах замечена нестабильность работы.

А я выполнял моделирование релятивистского ЭД с 14-ю знаками после запятой, но при чем тут моделирование и количество знаков после запятой? Я вам привел пример с конкретными данными и просил не рисовать мне эти картинки (к тому же со своими данными), а просто произвести расчеты с моими данными по формулам Эйнштейна (4-1) и (4-3) с использованием преобразований Лоренца и сравнить получающиеся при этом углы наблюдения. Повторяю еще раз исходные данные задачи.

Пусть у нас  в произвольной (исходной) ИСО заданы скорости приемника VX1= 5 м/с и источника VX2= 9 м/с при их начальных текущих координатах X1=100 м, X2=0 м, Y1=50 м и Y2=0 м для времени T=0, а скорость распространения сигнала (пусть это будет свет с частотой v0) зададим Vs= 20 м/с.

Очевидно, что в этих двух последних случаях частота принимаемого сигнала должна упасть в γ раз.

А то, что тема эта интересная, я согласен и более того она просто убийственная для СТО, как для физической теории.

Как видим, ничего убийственного для СТО не обнаружено.

При чем тут это? Я что написал, что частота будет другая? Вы кому это сейчас доказывали?

Сергей Юдин.

[Maltsev]

Я вам привел пример с конкретными данными и просил не рисовать мне эти картинки (к тому же со своими данными), а просто произвести расчеты с моими данными по формулам Эйнштейна (4-1) и (4-3) с использованием преобразований Лоренца и сравнить получающиеся при этом углы наблюдения. Повторяю еще раз исходные данные задачи.

Пусть у нас  в произвольной (исходной) ИСО заданы скорости приемника VX1= 5 м/с и источника VX2= 9 м/с при их начальных текущих координатах X1=100 м, X2=0 м, Y1=50 м и Y2=0 м для времени T=0, а скорость распространения сигнала (пусть это будет свет с частотой v0) зададим Vs= 20 м/с.

Да уж, вижу, что Вы не ищете лёгких путей к познанию. Ну да ладно, пусть рассмотрение будет в Вашем масштабе, но параллельно в скобках буду приводить данные в относительных единицах при \( c=1 \) кроме показаний часов, которые одинаковы в обоих системах.

Координаты излучателя в покоящейся лабораторной ИСО при \( c=20\,,~~~(c=1) \) в момент \( t=0 \) :
\( x_{i_0}=0\,,~y_{i_0}=0~~~\left( \frac{x_{i_0}}c =0\,,~\frac{y_{i_0}}c=0\right)  \)
\( v_i=9~~~\left( \frac{v_i}c=0{,}45\right)  \)

Координаты излучателя в собственной ИСО' в момент \( t=0 \):
\( x_{i_0}'=0\,,~y_{i_0}'=0\,, t_{i_0}'=0~~~~\left( \frac{x_{i_0}'}c =0\,,~\frac{y_{i_0}'}c =0\,,~ t_{i_0}'=0\right)  \)

Координаты  приёмника в покоящейся лабораторной ИСО в момент \( t_0=0 \):
\( x_{p_0}=100\,,~y_{p_0}=50~~~\left( \frac{x_{p_0}}c=5\,,~\frac{y_{p_0}}c=2{,}5\right)  \)
\( v_p =5~~~\left(\frac{v_p}c=0{,}25\right)  \)

Для начала нам необходимо вычислить пространственные координаты приёмника в собственной ИСО'' в момент \( t_0 \) , т.е. в тот момент, когда начало координат ИСО'' совпадает с началом координат лабораторной ИСО. Поскольку известно, что масштаб движущейся ИСО сжат в \( \gamma \) раз, получаем координаты приёмника:
\(  x_p''=\frac {x_p}{\sqrt{1-\frac {v_p^2}{c^2}}}=103{,}28\,,~y''_p =y_p=50~~~\left( \frac{x_p''}c =5{,}164\,,~\frac{y_p''}c =2{,}5\right) \)

Далее нам необходимо вычислить ту точку в лабораторной ИСО, в которой окажется приёмник в тот момент, когда его достигнет световой сигнал. Проще всего это сделать исходя из представления о синхронизации часов по световому сигналу. Поскольку известно, что \( ct=\sqrt{x^2+y^2} \) , находим показания часов приёмника в момент поступления сигнала:
\(  t_{p_1}''=\frac{\sqrt{x_p''^{\,2}+y_p''^{\,2}}}{c}=5{,}7373 \)

Поскольку разнесённые часы в движущейся ИСО идут асинхронно, чтобы получить показания покоящихся в начале координат ИСО'' часов на данный момент, необходимо вычислить разность их показаний с показаниями часов приёмника:
\( \Delta t''=t_0''- t_{p}''=\frac{v_p x_p''}{c^2}=1{,}291  \)
 
и сложить разность c этими показаниями:
\( t_0''=\frac{\sqrt{x_p''^{\,2}+y_p''^{\,2}}}{c} +\frac{v_px_p}{c^2}=7{,}0283 \)

Поскольку известно, что темп хода движущиеся часов в \( \gamma \) раз медленнее покоящихся, получаем показания часов лабораторной ИСО в момент достижения приёмника световым фронтом:
\(  t_1=\frac {c\sqrt{x_p''^{\,2}+y_p''^{\,2}} +v_px''_p}{c^2\sqrt{1-\frac {v_p^2}{c^2}}}=7{,}2588  \)

Как видим, просто решая задачу, мы получили одну из формул преобразований Лоренца:
\[  t_1=\frac {\frac{\sqrt{x_p''^{\,2}+y_p''^{\,2}}}{c} +\frac{v_px''_p}{c^2}}{\sqrt{1-\frac {v_p^2}{c^2}}} \]
\[ t=\frac {t'+\frac{vx'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac {v_p^2}{c^2}}} \]

Кстати, именно из этих же соображений была выведена и формула расчёта времени по часам лабораторной ИСО для достижения световым сигналом произвольно выбранной точки в движущейся ИСО' в общем случае движения на плоскости (см. здесь)) .

Получив временную координату \( t_1 \) достаточно просто вычисляем пространственные координаты приёмника в лабораторной ИСО:
\(  x_{p_1}= x_{p_0}+v_p t_1=136{,}29\,,~y_{p_1}= y_{p_0}=50~~~\left(\frac{x_{p_1}}c=6{,}8147\,,~\frac{y_{p_1}}c=2{,}5\right)  \)

а также находим путь \( s_c \) светового луча от излучателя до приёмника:
\(  s_c=ct_1=\sqrt{ (x_{p_0}+v_p t)^2+ y_{p_0}^2}=145{,}17~~~(s_c=t_1=7{,}2588)  \)

Получив необходимые координаты, строим графическое отображение, на котором излучатель (красная точка) и приёмник (зелёная точка) отображены и в момент приёма сигнала с соответствующим сдвигом:

На верхнем рисунке изображение в системе \( c\ne 1 \) , на нижнем - в системе \( c=1 \) , и, как видим, кроме масштаба эти рисунки ничем не отличаются.


Итак, мы рассчитали координаты приёмника в лабораторной ИСО в момент приёма светового сигнала в системе \( c\ne 1 \) :
\(  x=136{,}29\,,~~~y=50{,}00\,,~~~ t=7{,}26  \)

Теперь с помощью формул преобразований Лоренца:
\[ x' = \frac {x - vt}{\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}}}\,,~~~y'=y\,,~~~
t' = \frac {t - \tfrac {vx}{c^2}}{\sqrt{1- \tfrac {v^2}{c^2}}} \]

при \( c=20\,,~~~ v_i=9 \) находим соответствующие координаты приёмника в ИСО' излучателя:
\( x'=79{,}47\,,~~~y'=50{,}00\,,~~~ t'=4{,}69 \)

Отсюда находим длину пути луча \( s_c'=ct'=93{,}89  \) и угол, под которым луч движется в ИСО' излучателя:
\( \sin\alpha_i=\frac{y'}{ct'}=0{,}5326\,,~~~\cos\alpha_i=\frac{x'}{ct'}=0{,}8464\,,~~~\alpha_i=32{,}18^\circ  \)

Точно таким же образом при \( c=20\,,~~~ v_p=5 \) находим соответствующие координаты приёмника в собственной ИСО'' (хотя эти координаты нам уже известны) :
\( x''=103{,}28\,,~~~y''=50{,}00\,,~~~ t''=5{,}74 \)

Отсюда находим длину пути луча \( s_c''=ct''=114{,}75  \) и угол, под которым луч движется в ИСО'' приёмника:
\( \sin\alpha_p=\frac{y''}{ct''}=0{,}4357\,,~~~\cos\alpha_p=\frac{x''}{ct''}=0{,}9001\,,~~~\alpha_p=25{,}83^\circ  \)

Для определения изменения частоты принимаемого сигнала, нам необходимо вычислить скорость излучателя относительно приёмника:
\( u=\frac{v_i-v_p}{1-\frac{v_iv_p}{c^2}}=4{,}507 \)

Подставив единичное значение \( \nu=1 \) и соответствующие параметры в формулу для расчёта принимаемой частоты:
\( \nu_p=\nu\frac{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-\frac{u\cos\alpha_p}c} \)

получаем рост частоты в \( \nu_p=1{,}2222 \) раза от номинальной частоты с точки зрения наблюдателей ИСО'' приёмника. Насколько корректными получились расчёты, рассмотрим далее.

[Maltsev]

Итак, согласно начальным условиям и полученным данным:
\(  x_{p_1}= x_{p_0}+v_p t_1=136{,}29\,,~y_{p_1}= y_{p_0}=50~~~\left(\frac{x_{p_1}}c=6{,}8147\,,~\frac{y_{p_1}}c=2{,}5\right)  \)
\(  s_c=ct_1=\sqrt{ (x_{p_0}+v_p t)^2+y_{p_0}^2}= 145{,}17~~~(s_c=7{,}2588)  \)

вычисляем угол \( \varphi \) - угол отклонения луча в лабораторной ИСО:
\( \sin\varphi=\frac{ y_{p_1}}{ct}=0{,}3444\,,~\cos\varphi= \frac{x_{p_1}}{ct}=0{,}9388\,,~\varphi=20{,}15^\circ  \)

Таким образом получаем угол, от которого необходимо получить такой угол поворота излучателя \( \alpha_i \) в собственной ИСО', при котором с учётом сжатия, аберрации и неодновременности можно с упреждением точно попасть лучом в движущийся приёмник, причём в запланированной точке. Для получения угла \( \alpha_i \) от угла \( \varphi \) берём формулу:
\[  \sin\varphi=\frac{w\sin\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin \alpha}c\right)^2}}\,,~~~\cos\varphi=\frac{v+w\cos\alpha}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin \alpha}c\right)^2}} \]
в которую вместо приращения скорости \( w \) подставляем скорость света \( c \) :
\[ \sin\varphi=\frac{c\sin\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{v^2+c^2+2vc\cos\alpha-v^2\sin^2 \alpha}}\,,~~~\cos\varphi=\frac{v+c\cos\alpha}{\sqrt{v^2+c^2+2vc\cos\alpha-v^2\sin^2 \alpha}} \]
откуда после преобразований получаем:
\[  \sin\varphi=\frac{c\sin\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c+v\cos\alpha}\,,~~~ \cos\varphi=\frac{v+c\cos\alpha}{c+v\cos\alpha} \]
и после деления на \( c \) :
\[  \sin\varphi=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{v\cos\alpha}c}\,,~~~ \cos\varphi=\frac{\cos\alpha+\frac v c}{1+\frac{v\cos\alpha}c} \]
получаем формулы зависимости угла \( \varphi \) от угла поворота излучателя или приёмника и их скорости. Однако у нас в данном случае стоит прямо противоположная задача - по известному углу \( \varphi \) вычислить углы поворота излучателя и приёмника. После нехитрых преобразований, из последних выведенных формул получаем:
\[ \sin\alpha=\frac{\sin\varphi\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v\cos\varphi}c}\,,~~~ \cos\alpha=\frac{\cos\varphi-\frac v c}{1-\frac{v\cos\varphi}c} \]
Подставив в формулы соответствующие данные:
\( \frac{v_i}c=0{,}45 \)
\( \frac{v_p}c=0{,}25 \)
\(  \sin\varphi=0{,}3444\,,~\cos\varphi=0{,}9388  \)

находим угол поворота излучателя в собственной ИСО':
\( \sin\alpha_i=0{,}5326\,,~~~ \cos\alpha_i=0{,}8464 \,,~~~\alpha_i=32{,}18^\circ \)

и угол поворота приёмника в собственной ИСО'':
\( \sin\alpha_p=0{,}4357\,,~~~ \cos\alpha_p=0{,}9001 \,,~~~\alpha_i=25{,}83^\circ \)

Вот теперь уже можем переходить и к "показательным выступлениям" - на рисунке излучатель движется со скоростью \( \frac{v_i}c=0{,}45 \) , приёмник со скоростью \( \frac{v_p}c=0{,}25 \) , углы поворота \(  \alpha  \) источника и приёмника выставлены в соответствии с полученными данными:

Как видно из рисунка, излучённый сигнал в расчётный момент \(  t_1=7{,}2588  \) попадает в запланированную точку \( x_{p_1}=6{,}8147\,,~y_{p_1}=2{,}5  \) . Соблюдён и масштаб в системе \( c=1 \) , вот только приёмник движется не из заданной точки, а из начала координат лабораторной ИСО.

Согласно расчётам, длина волны излучателя составляет \( l'=0{,}6467 \) от номинальной, собственная длина волны приёмника составляет \( l''=0{,}7904 \) от номинальной. Теперь из соотношения длины волны излучателя и длины волны приёмника находим, что принимаемая частота светового сигнала выросла в \( \nu_p=\frac{l''}{l'}=1{,}2222 \) раза от номинальной с точки зрения наблюдателей ИСО'' приёмника.


Теперь представим, что излучатель покоится относительно лабораторной ИСО, а приёмник движется со скоростью \( u_p=\frac{v_p-v_i}{1-\frac{v_pv_i}{c^2}}=-0{,}2254 \) :

С помощью формул, связывающих углы \( \alpha_i \) и \( \alpha_ p \):
\[ \sin\alpha_p=\frac{\sin\alpha_i\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1+\frac{u\cos\alpha_i}c}\,,~~~ \cos\alpha_p=\frac{\cos\alpha_i+\frac u c}{1+\frac{u\cos\alpha_i}c}  \]
можем сразу вычислить угол поворота приёмника в зависимости от угла установки излучателя. Обратные формулы:
\[  \sin\alpha_i=\frac{\sin\alpha_p\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-\frac{u\cos\alpha_p}c}\,,~~~ \cos\alpha_i=\frac{\cos\alpha_p-\frac {u}c}{1-\frac{u\cos\alpha_p}c}  \]
Для корректной работы данных формул как для покоящегося излучателя, так и для покоящегося приёмника, необходимо помнить, что скорость \( u \) в данном случае необходимо брать без определяющего направление движения отрицательного знака.

Вполне очевидно, что длина волны покоящегося излучателя теперь остаётся номинальной \( l'=1 \) , а длина собственной волны приёмника теперь составляет \( l''=1{,}2222 \) от номинальной. Из соотношения длины волны излучателя и длины волны приёмника находим, что принимаемая частота светового сигнала и в данном случае выросла в \( \nu_p=\frac{l''}{l'}=1{,}2222 \) раза от номинальной частоты с точки зрения наблюдателей ИСО'' приёмника.


Пусть теперь приёмник покоится относительно лабораторной ИСО, а излучатель движется со скоростью \( u_p=\frac{v_i-v_p}{1-\frac{v_pv_i}{c^2}}=0{,}2254 \) :

Очевидно, что длина собственной волны покоящегося приёмника остаётся номинальной \( l''=1 \) , а длина волны излучателя теперь составляет \( l''=0{,}8182 \) от номинальной. Из соотношения длины волны излучателя и длины волны приёмника находим, что принимаемая частота светового сигнала и в данном случае выросла в \( \nu_p=\frac{l''}{l'}=1{,}2222 \) раза от номинальной частоты с точки зрения наблюдателей ИСО'' приёмника.


Как видим, независимо от скоростей приёмника и излучателя при одной и той же разности скоростей и неизменности угла поворота приёмника \( \alpha_p  \), всегда получаем одно и то же значение принимаемой частоты сигнала.

[Ser100]

Как видим, просто решая задачу, мы получили одну из формул преобразований Лоренца:

Я не понял. А зачем вы так долго выводили формулу Лоренца? Вы что не доверяете выводу, сделанному самим Лоренцем, или хотите нам продемонстрировать свои математические способности? Да, даже, если вы не доверяете преобразованиям Лоренца, то при чем тут это? Ведь Эйнштейн получил свои формулы (4-1) и (4-3) используя именно преобразования Лоренца. Вот я вас и просил рассчитать эффект Доплера по заданным мною в произвольной ИСО параметрам по его формулам (4-1) и (4-3), используя уже известные всем преобразования Лоренца, т.е. так, как рекомендуют это делать учебники при практических расчетах.

Получив временную координату t1 достаточно просто вычисляем пространственные координаты приёмника в лабораторной ИСО:

Я извиняюсь, но при повторе своей задачи, я дал только начало своего сообщения 3 для  рассмотрения чистого поперечного эффект Доплера, картинку по которому я приводил, но там Х2 не равно нулю. Поэтому повторяю условия задачи полностью из сообщения 3.

Пусть у нас  в произвольной (исходной) ИСО заданы скорости приемника VX1= 5 м/с и источника VX2= 9 м/с при их начальных текущих координатах X1=100 м, X2=0 м, Y1=50 м и Y2=0 м для времени T=0, а скорость распространения сигнала (пусть это будет свет с частотой v0) зададим Vs= 20 м/с. Здесь, чтобы рассчитать чисто поперечный ЭД, надо задать в исходной ИСО запаздывающую координату источника по оси X, т.е. координату в момент вылета сигнала из источника, такую же, как и текущая координата приемника, т.е. X2= 100 м, и в этом случае нам формула Айвса (4-5), которая объединяет две формулы Эйнштейна (4-1) и (4-3) сразу даст ответ v/v0= 0,9223. Здесь коэффициенты b1=V1/Vs и b2=V2/Vs, а Q1=QV1-Q3 и Q2=QV2-Q3 это относительные углы скоростей, т.е. углы между векторами этих скоростей и радиус-вектором, соединяющим источник 2 и приемник 1. Здесь принято, что в произвольной ИСО движутся и источник и приемник, а коэффициенты kT1 и kT2 отражают замедление темпов течения времени и на приемнике и на источнике по отношению к ИСО, где темп течения времени принимается равным единице, т.е. kT1= sqrt(1 – b1^2) и kT2= sqrt(1 – b2^2).

v =v0*(1 – b*cos(Q12)) /  kT12                                                       (4-1)

v =v0* kT12 / (1 + b*cos(Q12))                                                        (4-3)

v =v0*[(1 – b1*cos(Q1)) * kT2] / [(1 – b2*cos(Q2)) * kT1]             (4-5)

А теперь воспользуемся формулами Эйнштейна (4-1) для случая, когда в ИСО источника движется приемник со скоростью V12= V1-V2 (векторно), или (4-3),  когда в ИСО приемника движется источник со скоростью V12= V1-V2, и здесь будет b=V12/Vs, а kT12= sqrt(1 – b^2). В этих формулах релятивистский множитель kT12 отражает соотношение темпов течения времени на источнике и приемнике. При этом, т.к. в формуле (4-1) считается, что источник покоится, то его темп течения времени kT2 берется равным единице, а на приемнике, который относительно него движется со скоростью V12= V1-0=  V1 время будет течь в замедленном темпе, т.е. с учетом коэффициента kT1= kT12= sqrt(1 – b^2). А в формуле (4-3) считается, что покоится приемник, поэтому его темп течения времени kT1 берется равным единице, а на источнике, который относительно него движется со скоростью V12= 0-V2= -V2, считается что время будет течь в замедленном темпе, т.е. с учетом коэффициента kT2= kT12= sqrt(1 – b^2).

Если вы правильно используете преобразования Лоренца для координат, скоростей и координатного времени в ИСО приемника и в ИСО источника, то вы получите тот же самый результат v/v0= 0,9223, но для разных углов наблюдения. В ИСО источника 2 у нас этот результат получится при угле наблюдения Q3= 116,74 градуса, что при абсолютном значении угла скорости V12 равном 180 градусов у нас даст относительный угол скорости Q12= 180 - 116,74= 63,26. А в ИСО приемника 1 угол наблюдения Q3 получится 104,48 градуса, а относительный угол скорости Q12= 180 - 104,48= 75,52. Таким образом три наблюдателя, находящиеся в исходной ИСО, ИСО1 приемника и ИСО2 источника наблюдают одно и тоже явление и, следовательно, они должны получить согласно ПО одну и туже формулу описывающую это явление. Но у них при этом получаются разные углы наблюдения, т.е. направление луча зрения с источника на приемник, и теперь, когда они будут наблюдать это же явление в другие моменты времени, когда в исходной ИСО будут углы наблюдения отличающиеся от угла Q3=90 и потом построят графики зависимости получающегося результата от наблюдаемого ими угла Q3 то они получат разные значения принятой частоты для угла Q3=90, т.е. для наблюдаемого из их ИСО поперечного ЭД. Следовательно, они получат разные формулы отражающие это физическое явление и поэтому здесь ПО Эйнштейна соблюдаться не будет и ваш вывод о справедливости ПО Эйнштейна ошибочен.   



Схемы к расчету чистого поперечного ЭД в исходной ИСО и наблюдаемого из разных ИСО и, соответственно, вычисляемого по разным релятивистским формулам (4-5), (4-1) и (4-3).

P.S.
Подсказка. Преобразования Лоренца при переходе из одной ИСО в другую ИСО выполняются с текущими координатами, т.е. относящимися к одному моменту времени. Поэтому, чтобы воспользоваться формулами (4-1) и (4-3), нам надо сначала по заданным запаздывающим координатам источника в исходной ИСО вычислить его текущие координаты, а потом произвести преобразование текущих координат источника и приемника в другую ИСО, где, к тому же, надо будет перед расчетом запаздывающих координат источника еще и привести, получающиеся текущие координаты источника для его местного времени, к местному времени приемника. При заданных запаздывающих координатах приемника в исходной ИСО, когда для наблюдения чистого поперечного эффекта X2= 100 м, у нас получается, что текущая координата источника должна быть в этот момент времени уже X2= 122,5 м.

Что касается расчета по формуле (4-5), где мы в исходной ИСО (у меня она кругом обозначается как АСО) просто задаем запаздывающую координату источника по оси X, т.е. координату в момент вылета сигнала из источника, такую же, как и текущая координата приемника, т.е. X2= 100 м, и в этом случае при угле наблюдения 90 градусов получаем v/v0= 0,922315, то я его не привожу. Замечу только, что, если мы задаем, как положено текущую координату 122,5, то при расчете надо будет учесть "запаздывание сигнала источника по координатам" (в конечной ИСО). А вот расчеты по формулам (4-1) и (4-3) я приведу в виде скриншотов моей программы Dopler6, где все нужные значения координат, скоростей и времени выведены в соответствующих окошках. При этом отмечены и все переключатели, которые позволяют выполнить расчет в разных режимах с использованием преобразований Лоренца. Я еще раз извиняюсь за невнимательность, т.к. заставил вас потратить зря (а может быть и с пользой) много времени.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.