Геометрия вращения.

[Maltsev]

Теперь от преобразования углов можно перейти и к динамике - расчёту силы \( F' \) в зависимости от массы \( m \) пробного тела, его наблюдаемого ускорения \( a \) и угла направления вектора ускорения \( \theta \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО.

Начнём с самых простых примеров, когда векторы ускорения и силы совпадают. Как мы уже выяснили, из принципа относительности следует, что при движении ИСО' ускорение в продольном направлении должно падать в \( \gamma^3 \) раз, в поперечном направлении ускорение должно падать в \( \gamma^2 \) раз. С другой стороны, как известно, инертность тела в продольном направлении растёт в \( \gamma^3 \) раз, в поперечном направлении инертность тела растёт только в \( \gamma \) раз. Из формулы \( F=ma \) следует, что при той же силе воздействия, величина ускорения тела обратно пропорциональна изменению массы (в нашем случае - инертности массы). В продольном направлении инертность тела растёт в \( \gamma^3 \) раз и, соответственно, в \( \gamma^3 \) раз падает ускорение. Таким образом получаем:

\( F_\parallel'= F  \)

В поперечном направлении инертность тела растёт в \( \gamma \) раз. Тогда при неизменной силе и ускорение должно соответственно упасть в \( \gamma \) раз. Однако принцип относительности требует падения ускорения в поперечном направлении в \( \gamma^2 \) раз. В таком случае получается, что в поперечном направлении в \( \gamma \) раз должна падать сила:

\( F_\bot'= F \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}  \)


Теперь рассмотрим изменение инертности массы:
\[ m_\parallel'= \frac m{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}\,,~~~ m_\bot'= \frac m{ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}  \]
Для визуализации изменений инертности массы в общем случае, берём единичную окружность (условно обозначающую единичную массу) и увеличиваем её в \( \gamma \) раз, а затем растягиваем эту увеличенную окружность ещё в \( \gamma^2 \) раз по оси \( x \) , получив при этом вытянутый эллипс:

Далее находим компоненты изменения инертности массы по осям \( x \) и \( y \) :
\[ m_x'=m\frac{\cos\theta}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}\,,~~~m_y'=m\frac{\sin\theta}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]
Откуда:

\(  m'=m\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}+\frac{\sin^2\theta}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}} \)

и после преобразований получаем формулу изменения инертности массы в зависимости от угла \( \theta \) , т.е. угла вектора ускорения с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:
\[  m'=m\sqrt{\frac{1- \frac{v^2\sin^2\theta(2c^2-v^2)}{c^4}}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}} \]

Из формул для компонент изменения инертности массы \( m_x'\,,~m_y'  \) со всей очевидностью следует, что эти компоненты образуют один и тот же угол \( \omega \) как для направления вектора воздействия силы, так и для изменения инертности массы:
\[  \sin\omega=\frac{\sin\theta\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\theta(2c^2-v^2)}{c^4}}}\,,~~~\cos\omega=\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\theta(2c^2-v^2)}{c^4}}} \]
Таким образом, перемножив компоненты \( m_x'\,,~m_y'  \) с наблюдаемым в лабораторной ИСО ускорением:

\( F_x'=m\frac{\cos\theta}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}\cdot a\sqrt{\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}\,,~~~F_y'=m\frac{\sin\theta}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\cdot a\sqrt{\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}} \)

получаем компоненты вектора преобразованной силы в соответствующем направлении под углом \( \omega \) :
\[ F_x'=F\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}\,,~~~F_y'=F\frac{\sin\theta\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}  \]
Остаётся вывести формулу преобразования силы по модулю \( F'=\sqrt{F_x'^{\,2}+ F_y'^{\,2}} \) :

\(  F'=F\sqrt{\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^2}{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}  \)

Откуда после преобразований получаем:
\[  F'=F\sqrt{\frac{1- \frac{v^2\sin^2\theta(2c^2-v^2)}{c^4}}{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}  \]
и отображаем на соответствующем рисунке:

Как видно из рисунка, конец вектора силы \( F' \) расположен на линии сжатого в \( \gamma \) раз по оси \( y \) эллипса, что подтверждает корректность полученных преобразований.

Предлагаю решить задачу - в движущейся со скоростью \( \frac v c =0{,}866 \) ИСО' относительно покоящейся лабораторной ИСО, под воздействием силы \( F \) с перегрузкой \(  g=10 \) и под углом \( \sin\alpha=0{,}866\,,~~~\cos\alpha=0{,}5 \) ускоряется пробное тело массой \( m=1 \) согласно измерениям, произведённым сопутствующими наблюдателями. Определить силу \( F' \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО, если согласно формуле \( F=mg \) с точки зрения наблюдателей ИСО' \( F =10{,}0  \) .

Сначала находим угол \( \theta \) , под которым данное ускорение пробного тела наблюдается с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:
 \[ \sin\theta=\frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\frac {(v\cos \alpha)^2}{c^2}}}\,,~~~\cos\theta=\frac {\cos\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{(v\cos\alpha)^2}{c^2}}} \]
и получаем значения угла:

\(  \sin\theta=0{,}9608\,,~~~\cos\theta=0{,}2774 \)

Затем с помощью формулы:
\[  F'=F\sqrt{\frac{1- \frac{v^2\sin^2\theta(2c^2-v^2)}{c^4}}{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}  \]
находим значение силы \( F' \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

\( F' =6{,}6144 \)

Теперь берём корректные формулы определения силы \( F' \) по компонентам:
 \[ F_x'=F\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}\,,~~~F_y'=F\frac{\sin\theta\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}  \]
получаем значения компонент:

\( F_x'=5{,}0\,,~~~F_y'=4{,}3301 \)

и отсюда находим значение силы \( F' \) :

\( F' =\sqrt{ F_x'^{\,2}+ F_y'^{\,2}}=6{,}6144 \)

с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО. Как видим, полученное значение \( F' =6{,}6144 \) совпадает с предыдущим полученным значением.


Для проверки увеличиваем в \( \gamma \) раз компоненту \( F_y' \) :

\(  F_{x'}=F_x'=5{,}0\,,~~~ F_{y'}=\frac{F_y'}{1-\frac{v^2}{c^2}}=8{,}6603 \)

и отсюда находим значение силы \( F \) :

\( F =\sqrt{ F_{x'}^{\,2}+ F_{y'}^{\,2}}=10{,}0 \)

с точки зрения сопутствующих наблюдателей ИСО', соответствующее \( F=mg=10{,}0  \) изначально полученному по условию задачи .


Ну и попробуем решить задачу ещё одним способом. Угол \( \theta \) , под которым наблюдается ускорение пробного тела с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО, нам уже известен \( \sin\theta=0{,}9608\,,~~~\cos\theta=0{,}2774 \) . Отсюда находим ускорение \( a \) и изменение инертности массы \( m' \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:
\[ a=g\,\sqrt{\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}  \]
\[  m'=m\sqrt{\frac{1- \frac{v^2\sin^2\theta(2c^2-v^2)}{c^4}}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}} \]
которые составляют:

\( a=2{,}2535\,,~~~ m'=2{,}9352 \)

и с помощью тривиальной формулы \( F=ma \) находим всё то же значение силы с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО, как и полученное ранее:

\( F'=m'a=6{,}6144 \)

Из всего вышеизложенного следует - изменение инертности массы происходит в направлении приложения силы, но никак не в направлении ускорения. Оно и понятно - ведь это именно инерция тела противодействует приложенной силе, а ускорение является лишь индикатором - наблюдаемым результатом такого противодействия.

[Maltsev]

Итак, возвращаемся к рассмотрению движения пробного тела в виде шарика по окружности. Напомню вводные данные - шарик движется по окружности с линейной скоростью \( \frac w c=0{,}8 \) относительно ИСО', которая в свою очередь движется со скоростью \( \frac v c=-0{,}8 \) относительно покоящейся лабораторной ИСО. Рассматривается ускорение и воздействие перегрузки на пробное тело, а также сила воздействия на опору (в виде окружности) с точек зрения наблюдателей лабораторной ИСО и наблюдателей движущейся ИСО' в точке, расположенной под углом 120° \(  \sin\alpha=0{,}866\,,~~~\cos\alpha=-0{,}5 \) с точки зрения наблюдателей ИСО':

Далее по формулам: \[ u=\frac{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}}{1+\frac {vw\cos\alpha}{c^2}} \]
\[ \sin\varphi= \frac {w\sin\alpha \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt {v^2+w^2+2vw\cos\alpha -\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}}\,,~~~\cos\varphi=\frac{v+ w\cos\alpha}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}} \]
находим скорость и направление движения по циклоиде:

\(  \frac u c=0{,}9621 \)

\( \sin\varphi=0{,}3273 \,,~~~\cos\varphi=-0{,}9449 \)

Теперь от угла \( \alpha \) находим угол \( \alpha' \) - угол воздействия силы с точки зрения наблюдателей движущейся ИСО', который ортогонален углу \( \alpha \) :

\( \sin\alpha'=-\cos\alpha=0{,}5\,,~~~\cos\alpha'=\sin\alpha=0{,}866  \)

Отсюда по формуле:
\[ \sin\omega=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha}{c^2}}}\,,~~~\cos\omega=\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha}{c^2}}} \]
определяем угол направления воздействия силы относительно оси движения ИСО' с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

\( \sin\omega'=0{,}3273\,,~~~\cos\omega'=0{,}9449   \)

Далее направление воздействия силы поворачиваем по часовой стрелке на угол \( \varphi \) :
\[ \sin\omega=\sin\omega'\cos\varphi-\cos\omega'\sin\varphi \,,~~~ \cos\omega=\cos\omega'\cos\varphi +\sin\omega'\sin\varphi  \]
Таким образом находим угол относительно касательной к циклоиде с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

\( \sin\omega=-0{,}6186 \,,~~~ \cos\omega=-0{,}7857  \)

Перейдя к рассмотрению движения точки по циклоиде, в формулах теперь необходимо использовать вычисленную скорость \(  \frac u c=0{,}9621 \). Далее с помощью формул:
\[ \sin\theta=\frac{\sin\omega}{\sqrt{1-\frac{u^2\cos^2\omega(2c^2-u^2)}{c^4}}}\,,~~~ \cos\theta=\frac{\cos\omega\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{u^2\cos^2\omega(2c^2-u^2)}{c^4}}} \]
рассчитываем угол под которым должен располагаться результирующий вектор ускорений относительно касательной к циклоиде с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

\( \sin\theta=-0{,}9956\,,~~~ \cos\theta=-0{,}0941 \)

По моим расчётам, ускорение, наблюдаемое в лабораторной ИСО по компонентам составляет:

\( a_\parallel=-0{,}0664\,,~~~a\bot=-0{,}7028 \)

Откуда получаем \( a =\sqrt{ a_\parallel ^2+ a\bot ^2} \) наблюдаемое ускорение по модулю:

\( a =0{,}706 \)

Теперь зададим изначальную массу пробного тела в покоящемся состоянии \( m=0{,}1 \) и по формуле:
\[ m''=m\sqrt{\frac{1- \frac{u^2\sin^2\theta(2c^2-u^2)}{c^4}}{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^3}} \]
вычисляем изменение инертности данного тела:

\( m''= 0{,}5901 \)

а затем по формуле \( F''= m''a \) находим значение воздействующей на опору силы с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

\( F''=0{,}4166 \)



Применив формулы преобразования силы по компонентам:
\[  F_x''=F\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\frac{u^2\sin^2\theta}{c^2}}}\,,~~~F_y''=F\frac{\sin\theta\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{u^2\sin^2\theta}{c^2}}}  \]
получаем их значения:

\(  F_x''=-0{,}3273 \,,~~~F_y''=-0{,}2577 \)

Откуда получаем силу \( F''=\sqrt{ F_x''^{\,2}+ F_y''^{\,2}} \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

\( F''=0{,}4166 \)

и, как видим, получаем то же значение, как и только что предварительно вычисленное.

А теперь проверяем по направлению:

\( \sin\omega=\frac{F_y''}{F''}= -0{,}6186 \,,~~~ \cos\omega=\frac{F_x''}{F''}=-0{,}7857  \)

и убеждаемся, что как по модулю, так и по направлению вектор \( F'' \) вычислен корректно. В таком случае, далее переходим к рассмотрению воздействия силы относительно оси движения ИСО', для чего либо поворачиваем вектор \( F''  \) против часовой стрелки на угол \( \varphi \) , либо делаем проще:

\( F_{x_1}''=F''\cos\omega'\,,~~~F_{y_1}''= F''\sin\omega' \)

и таким образом получаем компоненты вектора \( F'' \) относительно оси движения ИСО' с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

\( F_{x_1}''=0{,}3936\,,~~~F_{y_1}''=0{,}1364  \)

при соответствующем значении по модулю:

\(  F''=\sqrt{ F_{x_1}''^{\,2}+F_{y_1}''^{\,2}}=0{,}4166 \)

Для преобразования вектора \( F'' \) , расположенного под углом \( \omega' \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО в вектор \( F' \) , расположенный под углом \( \alpha' \) с точки зрения наблюдателей движущейся ИСО', компоненту \( F_{y_1}'' \) увеличиваем в \( \gamma_v \) раз:

\( F_{x_2}'= F_{x_1}''\,,~~~F_{y_2}'= \frac{F_{y_1}''}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}  \)

Откуда получаем компоненты вектора \( F' \)

\( F_{x_2}'=0{,}3936\,,~~~F_{y_2}'=0{,}2273 \)

и его значение по модулю с точки зрения сопутствующих наблюдателей ИСО':

\(  F'=\sqrt{ F_{x_2}'^{\,2}+ F_{y_2}'^{\,2}}=0{,}4545 \)

Для проверки корректности полученных данных, находим угол расположения данного вектора с точки зрения наблюдателей ИСО':

\( \sin\alpha'=\frac{F_{y_2}'}{F'}\,,~~~\cos\alpha'=\frac{F_{x_2}'}{F'}  \)

и убеждаемся:

\( \sin\alpha'=0{,}5\,,~~~\cos\alpha'=0{,}866  \)

что в итоге получаем расчётный угол.


Теперь смотрим на условное распределение силы по окружности:

Как видим, при использовании корректной формулы преобразования силы, рисунок несколько изменился. Предлагаю также рассмотреть несколько эпюр при различных скоростях движения ИСО':

где показано распределение силы под углами \( \omega' \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО в виде зелёного эллипса и распределение силы под углами \( \alpha' \) с точки зрения наблюдателей движущейся ИСО' в виде синего эллипса.

Как следует из вышеизложенного, у сопутствующего наблюдателя СО движущегося по окружности пробного тела отсутствует возможность определения абсолютного прямолинейного движения опорной поверхности, а вот наблюдатели ИСО' по изменениям силы давления пробного тела на опору, вполне имеют такую возможность - отличить состояние покоя (в состоянии абсолютного покоя, сила давления пробного тела на опору остаётся неизменной) от состояния движения.

[Maltsev]

Далее находим среднее арифметическое полученных координат \( x_m=\frac {x_1-x_{-1}}2\,,~~~ y_m=\frac {y_1+y_{-1}}2 \) и по формуле \( R=\frac {x_m^2+y_m^2}{2y_m} \) находим радиус вписанной в кривую окружности. А имея радиус и скорость движения по нему, по формуле \( a_\bot=\frac {u_0^2}R=0{,}694 \) вычисляем центробежное ускорение с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО.

Что касается формулы \( a_\bot=\frac {u^2}R \) , то она была выведена из из формул небесной механики Ньютона:
\[  g=\frac{GM}{R^2}\,,~~~ v_1=\sqrt{\frac{GM}R} \]
Откуда :

\( g=\frac {\frac{GM}R}R\,,~~~ v_1^2=\frac{GM}R \)

Таким образом, подставив скорость \( v_1^2 \) вместо выражения \(  \frac{GM}R \) , получаем формулу:
\[ g=\frac {v_1^2}R \]
что в нашем случае соответствует формуле:
\[ a=\frac{u^2}R  \]

Теперь рассмотрим подробнее получение формулы \( R=\frac {x_m^2+y_m^2}{2y_m} \) - формулы нахождения радиуса по двум (или трём) точкам на кривой. Представим, что пробное тело изначально движется прямолинейно по оси \( x \) с постоянной скоростью \( u \) , а затем, попав на направляющую в виде окружности радиусом \( R \) , далее с перегрузкой \( g \) движется по направляющей:

Согласно рисунку записываем формулу:

\( L=\sqrt{R^2-(R-h)^2} \)

откуда после ряда преобразований:

\( L=\sqrt{R^2-(R^2-2Rh+h^2)} \)

\( L=\sqrt{R^2-R^2+2Rh-h^2} \)

\( L^2=2Rh-h^2 \)

\( L^2+h^2=2Rh  \)

получаем формулу:
\[  R=\frac{L^2+h^2}{2h} \]
что в нашем случае соответствует формуле:
\[  R=\frac{x^2+y^2}{2y} \]


Ещё можем в условиях искусственной гравитации приблизительно оценить ускорение \( a \) в зависимости от скорости \( u \) и кривизны траектории, выражаемой через радиус \( R \) , с помощью тривиальной формулы \( a=\frac{2h}{t^2} \) :

Как видно из рисунка, помимо движущегося по оси \( x \) пробного тела (на рис. обозначено \( A \)) , на некотором расстоянии \( h \) параллельно с той же скоростью \( u \) ещё одно тело (на рис. обозначено \( B \)) продолжает прямолинейное движение до достижения направляющей (на рис. в точке \( C \)) . С точки зрения сопутствующих наблюдателей СО тела \( A \) , тело \( B \) "падает с ускорением" на направляющую. С точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО, тело \( B \) в момент времени \( t \) при скорости \( u \) проходит расстояние \( L \) и достигает поверхности направляющей. Таким образом получаем \(  t =\frac L u \) . Теперь в формулу \( a=\frac{2h}{t^2} \) вместо времени \( t \) подставляем выражение \( \frac L u \) :

\( a=\frac{2h}{\frac {L^2}{u^2}} \)

\( a=\frac{2hu^2}{L^2} \)

Далее немного изменим вид полученной формулы:

\( \frac a{u^2}=\frac{2h}{L^2} \)

\( \frac {u^2}a=\frac{L^2}{2h} \)

Проверим соответствие данной формулы другой формуле, полученной из небесной механики Ньютона:
\[ a=\frac{u^2}R  \]
Откуда:

\( \frac{u^2}a=R  \)

Теперь подставляем сюда выражение из формулы для получения радиуса \( R=\frac{L^2+h^2}{2h} \) и получаем:

\( \frac{u^2}a=\frac{L^2+h^2}{2h} \)

Как видим, правая часть формулы из Ньютона несколько отличается от правой части выведенной формулы ускорения из прямолинейного движения тела \( B \):

\( \frac {u^2}a=\frac{L^2}{2h} \)

но тем не менее, выведенная формула :

\( a=\frac{2hu^2}{L^2} \)

хотя и приблизительная, однако результат выдаёт с хорошей точностью. Да и выводилась данная формула только лишь из соображений подтверждения корректности расчётов ускорений.

[Maltsev]

Собственно, для обнаружения нарушения принципа относительности у нас отсутствует необходимость гонять пробное тело по всей окружности. Вполне достаточно рассмотреть ускорение пробного тела в "нижней" точке циклоиды. Но прежде чем переходить к такому рассмотрению, рассмотрим ускорение пробного тела в поперечном направлении (см. здесь) , например, с помощью сжатой пружины.

Итак, с помощью сжатой пружины ускоряем пробное тело, изначально покоящееся относительно лабораторной ИСО. Зная массу тела и замерив ускорение, находим силу \( F= ma \) воздействия пружины на пробное тело.

Теперь представим, что точно такой же опыт ставится в движущейся со скоростью \( v \) ИСО', причём пробное тело ускоряется в поперечном направлении. Как известно, инертность тела в поперечном направлении увеличена в \( \gamma \) раз, и, если жёсткость пружины остаётся неизменной, то ускорение пробного тела тоже должно упасть в \( \gamma \) раз. Именно из такого представления исходит А.Н.Матвеев (см. А.Н.Матвеев, "Механика и теория относительности", М., "ОНИКС 21 век", 2003, гл. 4, стр. 126) :

и далее (см. там же, гл. 5, стр. 137 - 139) . Однако такое представление противоречит законам кинематики, т.к. принцип относительности требует падения ускорения в поперечном направлении не в \( \gamma \) раз (как полагает А.Н.Матвеев) , а в \( \gamma^2 \) раз. Как видим, для падения ускорения в \( \gamma^2 \) раз, упругость пружины в поперечном направлении должна снизиться в \( \gamma \) раз. Только в таком случае ускорение тела в поперечном направлении будет соответствовать как законам кинематики, так и принципу относительности.



Вот теперь можем рассмотреть ускорение пробного тела в условиях создания искусственной гравитации при заданной перегрузке \( g \) для пробного тела. Для начала создаём искривлённую опорную поверхность из радиусом: \[ R=\frac{v^2}{a\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)} \]
т.е. с таким расчётом, чтобы при движении пробного тела со скоростью \( v \) , его ускорение с точки зрения сопутствующих наблюдателей было номинальным, а с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО, как того и требует принцип относительности, было в \( \gamma^2 \) раз меньше заданного:

Пробное тело движется со скоростью \( v \) из начала координат. Дистанцию \( L \) это пробное тело проходит за время \( t=\frac L v \) по часам лабораторной ИСО и за время \( t'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \) по собственным часам сопутствующих наблюдателей СО пробного тела, отклонившись при этом на расстояние \( h \) по оси \( y \) . Таким образом, согласно формуле:
\[ a=\frac {2h}{t^2} \]
наблюдаемое в лабораторной ИСО ускорение \( a' \) , падает в \( \gamma^2 \) раз, по сравнению с ускорением, регистрируемым сопутствующими наблюдателями.


Далее переходим к динамике. Согласно принципу относительности, перегрузка \( g \) должна соответствовать ускорению \( a \) , измеренному сопутствующими наблюдателями. Если инертность массы в поперечном направлении увеличивается в \( \gamma \) раз и в \( \gamma \) раз падает сила упругости пружины движущегося вместе с пробным телом динамометра, с помощью которого имеется возможность измерения силы \( F \) давления пробного тела на направляющую поверхность, то такие измерения должны показать заданную перегрузку \( g \) , соответствующую ускорению \( a \) , измеренному сопутствующими наблюдателями.

Теперь представим, что с помощью прикреплённого к направляющей динамометра мы измеряем силу \( F' \) давления пробного тела на направляющую поверхность в лабораторной ИСО. Как мы помним, направляющая поверхность имеет такую форму, чтобы при движении пробного тела со скоростью \( v \) , его ускорение в поперечном направлении падало в \( \gamma^2 \) раз, по сравнению с заданным ускорением, регистрируемым сопутствующими наблюдателями. Если бы инертность тела оставалась неизменной, то падение силы:

\( F'= F\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) \)

должно было бы соответствовать падению ускорения:

\( a'=a\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) \)

Однако, как известно, инертность тела в поперечном направлении увеличивается в \( \gamma \) раз. В таком случае прикреплённый к направляющей поверхности динамометр должен зарегистрировать падение силы давления пробного тела:
\[ F'= F\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]


Теперь рассмотрим противоположную ситуацию - пробное тело покоится, а направляющая поверхность движется со скоростью \( -v \) относительно лабораторной ИСО:

Поскольку направляющая движется, дистанция \( L \) теперь сокращена в \( \gamma \) раз, а, соответственно, изначально покоящееся пробное тело проходит эту дистанцию при нормальном темпе хода собственных часов за точно такое же время, как и в предыдущем случае. Таким образом, с точки зрения сопутствующих наблюдателей СО пробного тела, ускорение остаётся неизменным.

Совершенно очевидно, что и в данном случае, измеренная с помощью изначально покоящегося динамометра сила давления пробного тела на направляющую должна быть номинальной, т.е. перегрузка \( g \) должна соответствовать регистрируемому ускорению \( a \) , т.к. пружина изначально покоящегося динамометра имеет нормальную упругость. Таким образом, с точки зрения сопутствующих наблюдателей СО пробного тела, никакого нарушения принципа относительности не обнаруживается.

У прикреплённого к направляющей динамометра (движущегося вместе с направляющей) упругость пружины снижена в \( \gamma \) раз, а это означает, что в данном случае показания динамометра должны увеличиться в те же \( \gamma \) раз:
\[ F'= \frac F{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]
Отсюда и получаем нарушение принципа относительности, т.к. в случае движущегося пробного тела и покоящейся направляющей, тот же прикреплённый к направляющей динамометр должен зарегистрировать падение силы:
\[ F'= F\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]

Таким образом, при измерениях силы давления пробного тела на направляющую поверхность, имеется возможность отличить состояние покоя от состояния движения.

[Maltsev]

А вот к формулам преобразования силы (Л-Л, 1988, М. "Наука" Т. 2, гл. V, § 38, стр. 130) :

у меня кое-какие вопросы имеются. Насколько мне известно, в движущейся ИСО сила должна оставаться неизменной в продольном направлении и падать в \( \gamma \) раз в поперечном. Берём продольное направление при \(  \sin\theta=0\,,~\cos\theta=1 \) , подставляем эти значения в формулу:
\[ F_x=F_0\frac{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)\cos\theta}{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\sin^2\theta\right)^{3/2}} \]
\[ F_x=F_0\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right) \]
и получаем падение силы в \( \gamma^2 \) раз в продольном направлении, что в моём представлении совершенно не соответствует действительности. Что примечательно - данные формулы вполне корректно преобразуют углы, а вот по модулю...

Как выяснилось, поскольку данные формулы из Л-Л описывают воздействие силы через ЭМ поле при постоянном радиус-векторе, то должен признать, что в данном случае формулы верные (если сила - не инвариант) - возмущение ЭМ поля при движении как бы сжимается, отсюда и сила при том же расстоянии между частицами (с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО) квадратично падает в продольном направлении. Таким образом, полагаю, что эти формулы попросту не годятся для вычисления силы при механическом воздействии.

[Александр Овчар]

инертность тела в продольном направлении растёт в γ3 раз, в поперечном направлении инертность тела растёт только в γ раз.

Вот тут  можете немного подробнее? Я изучаю возможность управления инерционной массой, и у Вас есть термин "растет только в y раз". Концепт космического движителя описан здесь. На видео в посте условный пример быстрых движений множества тел, и нужна физика-  что позволит  изготовить некий "поляризатор инерции" .

Но может инерция может быть как то..поляризована?...Если инерция может быть поляризована, то можно построить поляризованный инерционный демпфер. Это будет устройство для поляризации поглощенного импульса. При этом, например, любой входной импульс автоматически распределяется по ортогональным векторам, но несимметрично.Тогда любая ракета легко уловит (с поляризованным инерционным гасителем) свою отработанную реактивную массу и вернет обратно в двигатель для повторного использования. Для восстановления Не энергии, а для восстановления материи - "массы"

А про плавание в пространстве времени видели?

https://physics.stackexchange.com/questions/46180/can-a-deformable-object-swim-in-curved-space-time

http://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/6706/AIM-2002-017.pdf?sequence=2

[Александр Овчар]

Собственно, для обнаружения нарушения принципа относительности у нас отсутствует необходимость гонять пробное тело по всей окружности.

Вот анимация стенда для хакинга принципа относительности.
Идея проста - есть две независимых оси с движениями, силами и ускорениями. Но на "борту ракеты".

Ось с двумя_телами - там в момент соударения сильные ускорения торможения. 
Если на оси с двумя телами может быть эффект изменения инерционной массы этой пары тел - то удар бойком перпендикулярно - сообщит оси с двумя_телам разное ускорение.

Тогда космический мотор должен иметь привод реверса - что возвращает ось два-тела обратно, когда инерция = константа. И ракета сможет совершить полет. 
В дизайне  есть функция быстрой флуктуации зарядов/тока/что_то_еще в оси два_тела. Например, конденсаторы, что разряжаются в режиме короткого замыкания (удара двух_тел).

==
Вопрос в том, что я не уверен -  что это работает, в принципе. Сможете подумать?

[olan2010]

Здравствуйте. Всем известна формула первой космической скорости: V1 = √ (GM / R). А что делать с тем, что я получил другую:  V1 = √ (( V2 * RЗемли2) / (R * T))                                    Из этого получается, что: GM = ( V2 * RЗемли2) /  T = 398426 (Для Земли) , где V2 - вторая космическая скорость для Земли, Rземли2 - радиус Земли в квадрате, T - время пространства 1141.
GM =   ( V2 * RЗемли2) /  T   = (11.2 * 6371 * 6371) / 1141 = 398426
То же самое и для Солнца:
 GM =   ( V2 * RСолнца2) /  T   = (308 * 700000 * 700000) / 1141   = 132269938650
Если же взять квадратный корень из отношения этого числа и радиуса любой орбиты, то мы получим орбитальную скорость на любой высоте. Но я понял, что первая космическая скорость для Солнца 617,7 ошибочна. Первая космическая для Солнца равна 308 км/с. И для Солнца первая космическая больше, чем вторая космическая равная 434 км/с

[Maltsev]

я понял, что первая космическая скорость для Солнца 617,7 ошибочна. Первая космическая для Солнца равна 308 км/с. И для Солнца первая космическая больше, чем вторая космическая равная 434 км/с

Во-первых, 617,7 км/с не первая, а вторая космическая для Солнца. Первая космическая для Солнца равна 436,7 км/с. А во-вторых, попробуйте при таком подходе рассчитать не круговую, а эллиптическую орбиту. Во всяком случае, по классике Ньютона это прекрасно получается...

Вопрос в том, что я не уверен -  что это работает, в принципе. Сможете подумать?

У Вас эти цилиндры что - из пластилина изготовлены, которые слипаются после абсолютно неупругого соударения? А на предмет работоспособности, если честно - вообще не понимаю, что Вы там желаете выцыганить...

Да и всё это - откровенный оффтоп в данной теме.

[Maltsev]

Итак, вернёмся к рассмотрению движения пробного тела в виде катящегося шарика по окружности. В данной теме было показано нарушение принципа относительности при падении силы в \( \gamma \) раз в поперечном направлении.

Но допустим, что сила является инвариантом и по модулю не зависит от направления её приложения (см. здесь) . В таком случае, при рассмотренном движении шарика по окружности, принцип относительности сохраняется.

А теперь представим, что покоящиеся шарики (как в шарикоподшипнике) вплотную друг к другу заполняют всю направляющую окружность. Далее придаём шарикам движение по окружности с равной скоростью, при этом благодаря релятивистскому сжатию между шариками образуются равные зазоры, увеличивающиеся по мере увеличения скорости движения шариков. Когда направляющая окружность покоится, шарики равномерно давят на направляющую по всей окружности.

Далее придадим равномерное прямолинейное движение этой конструкции относительно лабораторной ИСО - направляющая окружность сжимается в эллипс (с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО), а сжатие шариков и величина зазоров между ними теперь распределены неравномерно:

Как видно из рисунка, особенности релятивистского движения заставляют шарики неравномерно распределяться по поверхности направляющей. Расстояние между центрами шариков в "верхней" точке эллипса в \( \gamma \) раз сокращены, в то время как в "нижней" точке эллипса наоборот в \( \gamma \) раз увеличены. Шарики в "верхней" точке эллипса в \( \gamma^2 \) раз плотнее сгрупированны чем в "нижней". Таким образом, при равной силе давления каждого шарика, получаем общий дисбаланс сил, направленный по оси \( y' \) .


Как видим, при вращательном движении не имеет значения, сила - инвариант или не инвариант. В любом случае получаем нарушение принципа относительности.