Телескопы покупают здесь


A A A A Автор Тема: Геометрия вращения.  (Прочитано 2158 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Геометрия вращения.
« : 06 Ноя 2022 [20:56:14] »
Пока рассматривалась возможность синхронизации часов вращающегося диска в движущейся ИСО' (см. здесь), меня заинтересовала геометрия сжатия краёв диска. Дело в том, что если центр вращающегося диска покоится относительно наблюдателей, то каждая точка края вращающегося диска движется с постоянной линейной скоростью в тангенциальном направлении. А если же центр вращающегося диска движется относительно наблюдателей покоящейся ИСО, то каждая точка края диска движется с переменной линейной скоростью по циклоиде:


Тонкая красная линия указывает направление движения данной точки на краю вращающегося диска.

Теперь представим, что вместо диска в виде обода установлены впритык друг к другу не связанные между собой прямоугольные кабинки, жёсткими спицами прикрепленные к втулке:


На рисунке условно отображены три кабинки в "нижней" части покоящейся конструкции. Теперь раскручиваем её до скорости \( w \) , кабинки сжимаются в направлении движения и между ними образуются зазоры:


Далее вращающаяся конструкция начинает движение влево по оси \( x \) и достигает скорости \( v=w \) . В таком случае, в "нижней" части конструкции центральная кабинка имеет нулевую скорость. Соседние же имеют незначительную скорость в вертикальном направлении, а, соответственно, зазоры не образуются:


Смотрим, что происходит с кабинками в точке, повёрнутой на 90º:


Кабинки сжаты в направлении оси их движения, обозначенной красной линией. Для наглядности там же отображён вид не сжатой кабинки. Как видим, форма кабинок радикально изменилась - один из углов кабинки в результате сжатия даже попадает в ту зону, где его не может быть при покоящейся оси вращающейся конструкции. Очевидно, что в противоположной точке конструкции должна наблюдаться зеркальная картина.

Теперь переходим к "верхней" части конструкции, где кабинки движутся с релятивистски удвоенной скоростью:


Здесь кабинки сжаты в соответствии с удвоенной скоростью их движения. А вот расстояние между спицами, как и в предыдущем случае - вопрос дискуссионный. На двух последних рисунках расстояния между спицами соответствуют сжатию не вращающегося диска. В "нижней" же точке, вполне очевидно, что эти расстояния не могут соответствовать положенному сжатию.

Вообще, сильно сомневаюсь, что такая вращающаяся конструкция может точно вписаться в соответствующий эллипс, тем более учитывая особенности сжатия в областях, близких к 90º и им противоположных.



Оффлайн leon10010

  • *****
  • Сообщений: 7 449
  • Благодарностей: 402
  • ух
    • Сообщения от leon10010
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #1 : 06 Ноя 2022 [21:00:18] »
Один рисунок заменяет несколько страниц мелкого убористого шрифта.

Оффлайн Vallav

  • *****
  • Сообщений: 11 342
  • Благодарностей: 42
    • Сообщения от Vallav
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #2 : 07 Ноя 2022 [18:16:24] »
Вообще, сильно сомневаюсь, что такая вращающаяся конструкция может точно вписаться в соответствующий эллипс, тем более учитывая особенности сжатия в областях, близких к 90º и им противоположных.
Вы пытаетесь найти противоречия при пересчете из одной ИСО в другую?
Может просто пересчитываете неправильно?

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #3 : 07 Ноя 2022 [23:30:44] »
Вы пытаетесь найти противоречия при пересчете из одной ИСО в другую?

Скажем так, хочу пересчитать и сравнить полученные результаты преобразований с тривиальными геометрическими изменениями в движущейся ИСО. Правда, придётся немного покопаться, сводя все результаты к единому моменту времени, ну так процедура-то известная, так что, скоро будем посмотреть...

Может просто пересчитываете неправильно?

Не, пересчитываю правильно, постоянно проверяю, чтобы не накосячить.


Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #4 : 11 Ноя 2022 [01:55:03] »
хочу пересчитать и сравнить полученные результаты преобразований с тривиальными геометрическими изменениями в движущейся ИСО.

Ну вот, немного кое-что проверил, и сразу же столкнулся с несколько неожиданным результатом. Дело в том, что в точке касания получается, на первый взгляд, прямо противоположный результат ожидаемому. Как выяснилось, длина дистанции, пройденной сжатым "колесом" оказалась в \( \gamma \) раз больше той, которую может пройти без проскальзывания круглое колесо. Смотрим на рисунок:


Получается парадоксальная ситуация - вроде бы наоборот, колесо в \( \gamma \) раз сжато, и дистанция тоже вроде должна бы сжаться в \( \gamma \) раз. Однако в точке касания скорость у колеса нулевая, т.е. вроде бы дистанция должна бы остаться неизменной, т.е. такой, какую прошло бы круглое колесо с небольшой скоростью.

Но и тут имеется один небольшой нюанс. Если к колесу прикрепить условные кабинки как показано на рисунке:


то при вращении колеса (против часовой стрелки) с линейной скоростью \( v \) , кабинки должны сжаться и между ними должны образоваться зазоры:


Теперь представим, что под вращающееся колесо с покоящейся осью, подаётся со скоростью \( v \) длинная лента, на которой кабинки оставляют свой отпечаток. При движении лента в \( \gamma \) раз сжата, и в покоящемся состоянии на ленте должны появиться отпечатки, которые соответствуют следующему расположению кабинок:


Т.е. соответствуют в \( \gamma \) раз увеличенному расстоянию между кабинками, а, соответственно, и в \( \gamma \) раз увеличенной пройденной дистанции.

Так что, никакой ошибки нет, дистанция действительно должна бы увеличиться в \( \gamma \) раз. Но как такое возможно? Понятно, что кабинки, закреплённые на "свободных" спицах, в силу неодновременности и различия их скоростей на различных участках циклоиды, должны по большей мере скапливаться в верхней части и реже приходить в точку касания.

А если они прикреплены к жёсткому ободу? С чего бы ободу растягиваться в тангенциальном направлении? Тем более покоящемуся в точке касания.
« Последнее редактирование: 11 Ноя 2022 [03:29:10] от Maltsev »

Оффлайн Vallav

  • *****
  • Сообщений: 11 342
  • Благодарностей: 42
    • Сообщения от Vallav
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #5 : 11 Ноя 2022 [11:04:41] »
длина дистанции, пройденной сжатым "колесом" оказалась в γ γ \gamma  раз больше той, которую может пройти без проскальзывания круглое колесо.
Что такое в этой ситуации - круглое колесо? Это в ИСО, в которой ось вращения покоится - толстый эллипс? И на самом деле Вы сравниваете с 2*pi*R?
Так во вращающейся СО, в которой окружность покоится, у нее длина как раз в гамма раз больше2*pi*R.

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #6 : 26 Ноя 2022 [10:20:50] »
длина дистанции, пройденной сжатым "колесом" оказалась в \( \gamma \) раз больше той, которую может пройти без проскальзывания круглое колесо.
Что такое в этой ситуации - круглое колесо? Это в ИСО, в которой ось вращения покоится - толстый эллипс? И на самом деле Вы сравниваете с 2*pi*R? Так во вращающейся СО, в которой окружность покоится, у нее длина как раз в гамма раз больше2*pi*R.

Эллипс - сжатый в \( \gamma \) раз диск без вращения при его движении. Представьте, что на одной оси находятся два одинаковых диска - один покоится, другой вращается. Края этих дисков должны совпадать. Однако сложно себе представить совпадение краёв при линейном движении этих дисков, когда в нижней точке циклоиды край вращающегося диска должен как бы растянуться в \( \gamma \) раз, при том, что в верхней точке циклоиды край вращающегося диска наоборот должен в \( \gamma^2 \) раз сжаться. Так что, с двумя дисками на одной оси всё очень плохо получается.

А вот если вместо вращающегося диска представить себе закреплённые на длинных спицах отдельные кабинки, то при линейном движении, они, пожалуй, вполне могли бы двигаться вдоль края сжатого в виде эллипса не вращающегося диска. В таком случае, в верхней и нижней точках циклоиды проблем не возникает - всё происходит согласно принципу относительности СТО. В моём представлении, проблемы с ПО возникают во всех прочих точках при движении по циклоиде:



Рассмотрим указанную на рисунке точку циклоиды, через которую проходит касательная, символизирующая линейную скорость и направление движения в данной точке. В той ИСО, где ось вращения покоится, само вращение происходит симметрично и, соответственно, в любой точке окружности как сжатие кабинки, так и направление центробежного ускорения остаются неизменными во время полного оборота (см. рис. слева) :


В случае же движения по циклоиде, как сжатие кабинки, так и направление центробежного ускорения (красная стрелка) постоянно изменяются, что в моём представлении, должно приводить к явному нарушению принципа относительности СТО.

Оффлайн Vallav

  • *****
  • Сообщений: 11 342
  • Благодарностей: 42
    • Сообщения от Vallav
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #7 : 27 Ноя 2022 [09:42:10] »
Так что, с двумя дисками на одной оси всё очень плохо получается.
Все там очень хорошо получается, если все правильно преобразовывать.

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #8 : 04 Дек 2022 [23:09:10] »
Так что, с двумя дисками на одной оси всё очень плохо получается.
Все там очень хорошо получается, если все правильно преобразовывать.

С преобразованиями Лоренца, как таковыми, никаких проблем нет. Однако (поскольку известно, что в общем случае то, что одновременно в одной ИСО, неодновременно в другой) после преобразований координат в другую ИСО, необходимо ещё и свести движущиеся точки к единому времени в новой ИСО, что, собственно, особых проблем не вызывает при инерциальном движении по прямой. При движении же различных точек по кривой с переменными ускорениями, приведение их координат после преобразований к единому времени новой ИСО вызывает определённые затруднения.

Поэтому, в моём представлении, куда проще получить с помощью ПЛ координаты одной базовой точки, а затем, по хорошо известным принципам СТО, локально выстраивать вокруг неё остальные интересующие нас координаты других точек. И при ближайшем рассмотрении оказалось, что приведённый здесь нижний справа рисунок содержит ряд неточностей.

Во-первых, сами спицы, к которым крепятся кабинки, должны в данной точке располагаться под некоторым углом (что не противоречит общей картине) к краю  покоящегося диска - они ведь тоже подвержены тому же сжатию, что и кабинки. Тогда действительно, расположение кабинок по краю диска соответствуют требованиям СТО и не вызывает нарушения ПО.

Во-вторых, получаем не только центробежное ускорение в поперечном направлении, но и происходит некоторое изменение скорости в продольном направлении. Таким образом, как показывают расчёты, результирующее направление ускорения и его величина с точки зрения сопутствующего наблюдателя, соответствуют требованиям СТО:


Теперь представим, что локально крепления этих кабинок изначально жёстко связаны стержнем между собой (см. рис. ниже слева, стержень обозначен зелёным цветом). Стержень тоже подвержен сжатию, благодаря чему кабинки нормально прижаты друг к другу:


А теперь представим, что такой стержень проходит в виде обода вдоль всего эллипса сжатого невращающегося диска. В таком случае этот стержень должен быть ещё и растянут в \( \gamma_w \) раз (см. рис. справа) по оси \( y \), тогда каждая точка при вращении занимает положенную ей (согласно СТО) позицию. Однако при растяжении изменяется и угол крепления кабинок, что должно приводить к нарушению ПО.

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #9 : 05 Дек 2022 [22:52:02] »
В предыдущем посте рассматривалась локальная кинематика в определённой точке края вращающейся системы. Теперь рассмотрим общую кинематику таких точек:


На рисунке показаны траектории движения точек от 0° до 180° с шагом 30°, поскольку очевидно, что точки от 180° до 360° расположены симметрично. Как видим, большинство точек на краю диска "стянуты" в верхнюю часть диска, что обусловлено особенностями релятивистского сложения скоростей. Отсюда возникает вопрос о балансировке вращающегося диска, когда его масса распределена неравномерно. Поскольку рассматривать в динамике целый вращающийся диск довольно затруднительно, предлагаю несколько упростить задачу - представим, что по краю невращающегося диска расположен жёлоб, по которому катится вереница шариков.

Известно, что при движении воздействие силы остаётся неизменным в продольном направлении и падает в \( \gamma \) раз в поперечном. Как видно из рисунка, в нижней части циклоиды воздействие происходит близко к продольному направлению движения, т.е. сила воздействия шарика на жёлоб остаётся практически неизменной. В верхней же части воздействие происходит в поперечном направлении, т.е. сила воздействия падает в \( \gamma_u \) раз. Таким образом, вполне допускаю, что избыток воздействующих на жёлоб шариков в верхней части эллипса компенсирует их недостаток в нижней части и общий баланс воздействующих сил сохраняется.


А теперь убираем всю эту вереницу шариков и запускаем только два в противофазе, т.е. постоянно находящихся диаметрально относительно друг друга с точки зрения наблюдателей движущейся ИСО'. Если диск действительно покоится, то шарики движутся по окружности, уравновешивая друг друга. Если же диск движется по оси \( x \) , то при \( v=w \) в нижней части циклоиды сила воздействия шарика на жёлоб остаётся неизменной, в верхней же части - сила воздействия второго шарика на жёлоб падает в \( \gamma_u \) раз:


Пожалуй, трудно себе представить отсутствие дисбаланса при подобном движении.

Оффлайн Vallav

  • *****
  • Сообщений: 11 342
  • Благодарностей: 42
    • Сообщения от Vallav
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #10 : 06 Дек 2022 [00:11:12] »
При движении же различных точек по кривой с переменными ускорениями, приведение их координат после преобразований к единому времени новой ИСО вызывает определённые затруднения.
Да, чуть сложнее, и что? Если в одной ИСО вращающееся кольцо совпадает с неподвижным, они
будут совпадать во всех ИСО.

Однако при растяжении изменяется и угол крепления кабинок, что должно приводить к нарушению ПО.
У Вас кольца в другой ИСО, превратившись в эллипсы, не совпадают? Значит Вы где то ошиблись
со своими кабинками.

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #11 : 12 Дек 2022 [01:07:19] »
При движении же различных точек по кривой с переменными ускорениями, приведение их координат после преобразований к единому времени новой ИСО вызывает определённые затруднения.
Да, чуть сложнее, и что?
Нет, не просто чуть сложнее, а приходится, что называется "в ручном режиме" искать точку пересечения циклоиды и края диска на определённый момент времени. Ну да ладно - обо всём по порядку.

Пожалуй, нужно немного предыстории. Поскольку расположение окружности на координатных осях несколько нетривиально:


допускаю, что некоторые формулы для исследования движения по данной окружности могут выглядеть достаточно непривычно. Однако такое расположение окружности имеет и некоторые преимущества - например, очень просто вычисляется угол касательной, т.е. мгновенный угол направления движения точки по окружности относительно оси \( x \) . Несколько подробнее можно ознакомиться здесь.

И ещё - поскольку речь идёт об ускорениях и силах, практически все дальнейшие расчёты производились в системе \( c\ne 1 \) , в системе же \( c=1 \) , дабы не загружать гигантскими числами, приводятся только полученные данные, что называется - "для вывода на экран" из расчёта:

299792450 - скорость света в метрах в секунду,
31557601 - количество секунд в году,
9460730472580800 - количество метров в световом году.

Итак, для начала создаём окружность с таким радиусом \( R \) , чтобы тело (в виде катящегося шарика) при заданной скорости \(  \frac w c=0{,}8 \) двигалось по окружности, испытывая при этом постоянное ускорение в поперечном направлении, скажем, \( g=10~\text{m/s}^2 \) , для чего используем формулу:
\[ R=\frac{w^2}{g \left(1-\frac{w^2}{c^2}\right)} \]
Теперь, имея радиус, постепенно наращивая время \( t' \) , строим окружность, по которой против часовой стрелки катится шарик:
\[ x'=R\sin\frac{wt'}R\,,~~~y'=R \left(1-\cos\frac{wt'}R\right)  \]
где \(  t',~ x',~ y'  \) - координаты движущегося по окружности шарика.

Далее задаём скорость \( \frac v c=-0{,}8 \) движения ИСО' (в которой покоится окружность с движущимся шариком) и с помощью формул преобразований Лоренца:
\[ t_с = \frac {t' + \frac {vx'}{c^2}}{\sqrt{1-\tfrac {v^2}{c^2}}}
\,,~~~ x_с = \frac {x' + vt'}{\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}}}\,,~~~ y_с=y'  \]
получаем траекторию движения шарика относительно покоящейся лабораторной ИСО в виде циклоиды:



Теперь находим время полного оборота шарика с точки зрения наблюдателей ИСО' \( t'= \frac{2\pi R}{w} \) и с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО \( t= \frac{2\pi R}{w\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}} \) , откуда находим длину пути в лабораторной ИСО при полном обороте шарика \( x=vt \) .


Далее предлагаю обнаружить ту точку на циклоиде, в которой находится шарик через три четверти оборота (на следующем рисунке точка обозначена синим цветом), а так же точку, в которой одновременно (с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО) находится запущенный в противофазе шарик:


Для этого необходимо получить координаты в лабораторной ИСО для центра движущегося эллипса \( t_{ec}=\frac {3t}4\,,~ x_{ec}=\frac {3x}4 \) (где \( t\,,~x \) - координаты циклоиды при полном обороте) и построить этот эллипс, в который сжатая окружность превратится при движении по оси \( x \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО, для чего используем пространственные координаты ранее полученной окружности \( x_e=x'\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}}+x_{ec}\,,~ y_e=y' \) .

Итак, мы получили рисунок с точкой пересечения циклоидой эллипса в лабораторной ИСО. Но поскольку у нас имеется только временная координата для данной точки \( t_{ec} \) , а сама точка движется по сложной траектории (по циклоиде) и к тому же с переменным ускорением, формулы для столь сложного расчёта у меня нет. С помощью временной координаты достаточно просто можно было бы рассчитать пространственные координаты для вращающейся с постоянной скоростью точки относительно ИСО', но опять же, при отсутствии пространственных координат данной точки в лабораторной ИСО, формулы ПЛ бесполезны, а, соответственно, и отсутствует возможность преобразования имеющейся в лабораторной ИСО временной координаты.

Таким образом, тут приходится действовать в ручном режиме - необходимо найти максимально близкие, уже имеющиеся при постройке эллипса \( x_e \) и циклоиды \( x_c \) точки, и далее найти соответствующую точку на окружности, изначально построенной в ИСО' до преобразований. Затем, постепенно добавляя к временной координате \( t' \) небольшие промежутки времени, заставляем точку понемногу "ползти" по окружности, а, соответственно, ползти как по циклоиде, так и по эллипсу  (созданному на основании той же окружности) , сближаясь друг с другом.

В общем, у меня точки совпали (в системе \( c\ne 1 \)) при \(  t'= 277519636{,}21958 \) .Теперь подготовительные мероприятия закончены, далее перейдём к анализу того, что происходит с катящимся по эллипсу и одновременно движущимся по циклоиде шариком с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО.

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #12 : 12 Дек 2022 [01:43:57] »
Итак, мы получили опорную точку на циклоиде в лабораторной ИСО и соответствующую ей точку на окружности в ИСО', в тот момент, когда шарик совершит три четверти оборота с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО. Однако для исследования ускорений недостаточно обнаружение одной точки на кривой – необходимо задать ещё две точки на циклоиде в непосредственной близости к опорной точке, но не слишком близко, т.к. могут возникать дополнительные погрешности, связанные с несопоставимостью получаемых величин. У меня для получения координат вспомогательных точек в ИСО' задано \( t_{-1}'=t_0'-1000 \) и \(  t_1'=t_0'+1000 \) в системе \( c\ne 1 \) .

Далее, чтобы получить продольное ускорение на циклоиде в опорной точке, нам необходимо вычислить моментальную скорость \( u \) движения шарика в каждой из трёх полученных точек, а затем из приращения скорости вычислить ускорение. А ещё для вычисления скоростей на циклоиде, с помощью формул \(  \sin\alpha=\sin\frac{wt'}R\,,~~~ \cos\alpha=\cos\frac{wt'}R \) сначала необходимо вычислить углы движения \( \alpha \) для каждой из полученных точек в ИСО':


Далее подставляем полученные значения тригонометрических функций и вводные данные в формулу сложения скоростей для общего случая (см. А.Эйнштейн, Собрание научных трудов, М., "Наука", 1965, Т. 1, ст. "К электродинамике движущихся тел", § 5, стр. 20) :
\[  u= \frac { \sqrt {v^2 + w^2 +2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}} { 1 + \frac {vw\cos\alpha}{c^2}}  \]
Отсюда же находим угол \( \beta \) направления движения опорной точки по циклоиде:
\[ \sin\beta = \frac {w\sin\alpha \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{ \sqrt {v^2 + w^2 + 2vw\cos\alpha - \left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}}\,,~~~\cos\beta = \frac {v + w\cos\alpha}{ \sqrt {v^2 + w^2 + 2vw\cos\alpha - \left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}} \]
Угол \( \beta \) пригодится чуть позже, а пока разберёмся со скоростями и продольным ускорением. Из разности скоростей и временных координат во вспомогательных точках \(  a_\parallel=\frac {u_1 - u_{-1}}{ t_1 - t_{-1}}=-0{,}063 \) , находим продольное ускорением с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО.

Чтобы получить поперечное ускорение, нам необходимо вписать окружность в кривизну циклоиды в исследуемой точке, для чего получаем разность координат:
 
\( \Delta x_{-1}=x_{-1}-x_0\,,~~~\Delta y_{-1}=y_{-1}-y_0  \)
\( \Delta x_0=0\,,~~~\Delta y_0=0  \)
\( \Delta x_1=x_1-x_0\,,~~~\Delta y_1=y_1-y_0  \)


А затем, с помощью формул поворота \( x'=x\cos\beta+y\sin\beta\,,~~~ y'=y\cos\beta-x\sin\beta \) вспомогательные точки необходимо повернуть по часовой стрелке вокруг центра на угол \( \beta \) :


Стрелкой обозначено направление движения шарика по циклоиде до поворота всей конструкции и после.

Далее находим среднее арифметическое полученных координат \( x_m=\frac {x_1-x_{-1}}2\,,~~~ y_m=\frac {y_1+y_{-1}}2 \) и по формуле \( R=\frac {x_m^2+y_m^2}{2y_m} \) находим радиус вписанной в кривую окружности. А имея радиус и скорость движения по нему, по формуле \( a_\bot=\frac {u_0^2}R=0{,}694 \) вычисляем центробежное ускорение с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО.

Отсюда находим результирующее ускорение \( a=\sqrt{ a_\parallel^2+a_\bot^2}  \) , а заодно и находим угол \( \sin\theta=\frac {a_\bot}{\sqrt{ a_\parallel^2+a_\bot^2}}\,,~~~\cos\theta =\frac {a_\parallel}{\sqrt{ a_\parallel^2+a_\bot^2}}  \) , под которым ускоряется тело по отношению к оси собственного движения (на следующем рисунке изменяем масштаб на соответствующий ускорениям и силам) :


И с помощью формулы преобразования ускорений, получаем ускорение, испытываемое сопутствующим наблюдателем:
\[ g=\frac {a\sqrt{1-\frac{(u_0\sin\theta)^2}{c^2}}} {\left(1-\frac{u_0^2}{c^2}\right)^{3/2}}=9{,}9999 \]
что практически полностью соответствует требованиям ПО. Для проверки правильности найденного результирующего направления ускорения, предлагаю произвести небольшой трюк - чертим на рисунке линию (тонкая зелёная линия), проходящую по нормали к краю эллипса. После чего, увеличиваем в \( \gamma_u^2 \) раз координату \( x \) результирующего вектора ускорения (красная линия) :


И убеждаемся, что обе линии полностью совпадают, что означает верность всех предыдущих расчётов. Кроме того (как мне известно из других исследований), и сила \( F \) должна воздействовать на край эллипса именно в этом же направлении. Для нахождения вектора воздействия силы, принимаем \( F_0=1 \) и используем формулу преобразования сил (Л-Л, 1988, М. "Наука" Т. 2, гл. V, § 38, стр. 130) :

\[  F_x=F_0\frac{\left(1-\frac{u_0^2}{c^2}\right)\cos\theta}{\left(1-\frac{u_0^2}{c^2}\sin^2\theta\right)^{3/2}} \,,~~~~~F_y=F_0\frac{\left(1-\frac{u_0^2}{c^2}\right)^2\sin\theta}{\left(1-\frac{u_0^2}{c^2}\sin^2\theta\right)^{3/2}}  \]


И после преобразования получаем значение силы \( F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=0{,}371 \) . Теперь остаётся с помощью формул поворота \( x'=x\cos\beta-y\sin\beta\,,~~~ y'=y\cos\beta+x\sin\beta \) повернуть обратно против часовой стрелки всю эту конструкцию на угол \( \beta \) :


Как видим, для отдельно взятого движущегося по циклоиде шарика, принцип относительности сохраняется, а законы механики СТО вполне себе работают и во вращающихся системах отсчёта.
« Последнее редактирование: 13 Дек 2022 [00:14:28] от Maltsev »

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #13 : 13 Дек 2022 [23:21:32] »
Итак, мы получили значение силы \( F \) , с которой шарик давит на поверхность края сжатого в виде эллипса невращающегося диска. Два таких запущенных в противофазе шарика, как видно из следующего рисунка, тоже создают дисбаланс:


Да и, собственно, не обязательно использовать два шарика - если взять диск несопоставимой с шариком массы и по окружность обложить его датчиками давления, фиксирующими силу давления шарика по всей окружности, то тогда достаточно и одного шарика. Поскольку метод расчёта известен, вполне можем графически отобразить силы воздействия шарика по всему краю эллипса с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:


Для получения действия силы с точки зрения наблюдателей ИСО' движущегося по оси \( x \) диска, сначала необходимо найти угол действия силы \(  \sin\varepsilon=\frac{F_y}{F}\,,~~~\cos\varepsilon=\frac{F_x}{F}  \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:


После чего уже можем воздействие силы \( F=0{,}371  \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО, преобразовать в воздействие силы \( F' \) с точки зрения наблюдателей ИСО' движущегося диска:
\[ F' =F\sqrt{\frac{1-\frac{(v\cos\varepsilon)^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}=0{,}4076 \]


Кроме того, для корректного отображения направления воздействия силы \( F' \) с точки зрения наблюдателей ИСО', необходимо ещё преобразовать и угол \(  \varepsilon  \) :

\[  \sin\varepsilon'=\frac{\sin\varepsilon}
{\sqrt{1-\frac{(v\cos\varepsilon )^2}{c^2}}}\,,~~~\cos\varepsilon'=\frac
{\cos\varepsilon\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{(v\cos\varepsilon )^2}{c^2}}} \]

где вектор силы расположен на нормали уже не к эллипсу, а к окружности:

 

Далее получаем воздействие силы \( F' \) (широкая красная линия) с точки зрения наблюдателей ИСО' по всей окружности за время оборота шарика:


Тонкой красной линией обозначена сила воздействия шарика на край диска при нулевой его скорости относительно лабораторной ИСО. Как видим, при движении ИСО' картина распределения воздействия силы кардинально изменяется - в верхней части циклоиды падает в \( \gamma_v \) раз, в нижней части циклоиды растёт в \( \gamma_v^2  \) раз, что теоретически с помощью датчиков давления может быть зафиксировано наблюдателями движущейся ИСО'. Таким образом получаем явное нарушение принципа относительности - краеугольного камня в СТО Эйнштейна. А вот теории Лоренца нарушение принципа относительности ничем не грозит - в его теории  - принцип относительности по сути является всего лишь побочным явлением...

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #14 : 10 Янв 2023 [00:15:35] »
Однако при растяжении изменяется и угол крепления кабинок, что должно приводить к нарушению ПО.
У Вас кольца в другой ИСО, превратившись в эллипсы, не совпадают? Значит Вы где то ошиблись со своими кабинками.
По поводу совпадения эллипсов не буду возражать - просто сложно себе представить правильную фигуру при переменном коэффициенте растяжения её поверхности. А вот по поводу пресловутых кабинок никакой ошибки нет. Другое дело - имеются некоторые неточности (не влияющие на результат), которые хотелось бы подправить. Собственно, в виде введения и пояснения к данной теме, мной открыта тема "Релятивистское движение на плоскости." (см. здесь) , где рассматривается упрощённый вариант - движение различных ИСО на плоскости, который в виде мгновенно сопутствующих (по касательной) ИСО, полагаю, применим и при вращении. Поскольку у меня "исторически" под углом \( \beta \) подразумевался другой угол, во избежание путаницы, в следующей цитате следовало бы изменить его на угол \( \varphi \) :


...

Отсюда же находим угол \( \beta \) направления движения опорной точки по циклоиде:
\[ \sin\beta = \frac {w\sin\alpha \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{ \sqrt {v^2 + w^2 + 2vw\cos\alpha - \left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}}\,,~~~\cos\beta = \frac {v + w\cos\alpha}{ \sqrt {v^2 + w^2 + 2vw\cos\alpha - \left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}} \]
Угол \( \beta \) пригодится чуть позже, а пока разберёмся со скоростями и продольным ускорением. Из разности скоростей и временных координат во вспомогательных точках \(  a_\parallel=\frac {u_1 - u_{-1}}{ t_1 - t_{-1}}=-0{,}063 \) , находим продольное ускорением с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО.

...

А затем, с помощью формул поворота \( x'=x\cos\beta+y\sin\beta\,,~~~ y'=y\cos\beta-x\sin\beta \) вспомогательные точки необходимо повернуть по часовой стрелке вокруг центра на угол \( \beta \) :

...

Отсюда находим результирующее ускорение \( a=\sqrt{ a_\parallel^2+a_\bot^2}  \) , а заодно и находим угол \( \sin\theta=\frac {a_\bot}{\sqrt{ a_\parallel^2+a_\bot^2}}\,,~~~\cos\theta =\frac {a_\parallel}{\sqrt{ a_\parallel^2+a_\bot^2}}  \) , под которым ускоряется тело по отношению к оси собственного движения (на следующем рисунке изменяем масштаб на соответствующий ускорениям и силам) :

...

И после преобразования получаем значение силы \( F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=0{,}371 \) . Теперь остаётся с помощью формул поворота \( x'=x\cos\beta-y\sin\beta\,,~~~ y'=y\cos\beta+x\sin\beta \) повернуть обратно против часовой стрелки всю эту конструкцию на угол \( \beta \) :

А кроме того, следовало бы изменить знак продольного ускорения. Поскольку в рассматриваемой точке скорость относительно лабораторной ИСО снижается, у меня там появилось ускорение со знаком минус. С другой стороны, мы же рассматриваем ускорение пробного тела, продольная компонента которого направлена в данном случае по ходу движения, а потому в расчётах фигурирует со знаком плюс.

И, как явно видно из поясняющего рисунка, \( \sin\theta  \) при расчётах должен иметь отрицательную величину. В таком случае, приведённая цитата должна выглядеть следующим образом:

Цитата

...

Отсюда же находим угол \( \varphi \) направления движения опорной точки по циклоиде:
\[ \sin\varphi= \frac {w\sin\alpha \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt {v^2+w^2+2vw\cos\alpha -\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}}\,,~~~\cos\varphi=\frac{v+ w\cos\alpha}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}} \]
Угол \( \varphi \) пригодится чуть позже, а пока разберёмся со скоростями и продольным ускорением. Из разности скоростей и временных координат во вспомогательных точках \(  a_\parallel=\frac {u_{-1}-u_1}{ t_1 - t_{-1}}=0{,}063 \) , находим продольное ускорением с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО.

...

А затем, с помощью формул поворота \( x'=x\cos\varphi +y\sin\varphi \,,~~~ y'=y\cos\varphi -x\sin\varphi \) вспомогательные точки необходимо повернуть по часовой стрелке вокруг центра на угол \( \varphi \) :

...

Отсюда находим результирующее ускорение \( a=\sqrt{ a_\parallel^2+a_\bot^2}  \) , а заодно и находим угол \( \sin\theta=\frac {-a_\bot}{\sqrt{ a_\parallel^2+a_\bot^2}}\,,~~~\cos\theta =\frac {a_\parallel}{\sqrt{ a_\parallel^2+a_\bot^2}}  \) , под которым ускоряется тело по отношению к оси собственного движения (на следующем рисунке изменяем масштаб на соответствующий ускорениям и силам) :

...

И после преобразования получаем значение силы \( F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=0{,}371 \) . Теперь остаётся с помощью формул поворота \( x'=x\cos\varphi -y\sin\varphi \,,~~~ y'=y\cos\varphi +x\sin\varphi \) повернуть обратно против часовой стрелки всю эту конструкцию на угол \( \varphi \) :

В таком виде эта тема по обозначениям углов согласуется с параллельной темой, а угол вектора ускорения вычисляется корректно. Так что, у меня кроме некоторых недочётов никаких особых проблем не обнаруживается. А вот к формулам преобразования силы (Л-Л, 1988, М. "Наука" Т. 2, гл. V, § 38, стр. 130) :


у меня кое-какие вопросы имеются. Насколько мне известно, в движущейся ИСО сила должна оставаться неизменной в продольном направлении и падать в \( \gamma \) раз в поперечном. Берём продольное направление при \(  \sin\theta=0\,,~\cos\theta=1 \) , подставляем эти значения в формулу:
\[ F_x=F_0\frac{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)\cos\theta}{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\sin^2\theta\right)^{3/2}} \]
\[ F_x=F_0\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right) \]
и получаем падение силы в \( \gamma^2 \) раз в продольном направлении, что в моём представлении совершенно не соответствует действительности. Что примечательно - данные формулы вполне корректно преобразуют углы, а вот по модулю...

У меня нет проблемы обойтись и без данных формул, однако хотелось бы узнать мнение специалистов.

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #15 : 15 Янв 2023 [14:02:38] »
С учётом поправок (см. здесь) хотелось бы более подробно рассмотреть систему преобразований ускорений и сил при вращении в движущейся ИСО'.

Итак, при тех же прочих вводных данных - линейная скорость движения шарика по окружности \(  \frac w c=0{,}8 \) с точки зрения наблюдателей ИСО' и скорость ИСО' \( \frac v c=-0{,}8 \) относительно покоящейся лабораторной ИСО, задаём произвольный угол \( \alpha \) , на сей раз, скажем, 120° :


Далее по формулам находим скорость и направление движения по циклоиде:
\[ u=\frac{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}}{1+\frac {vw\cos\alpha}{c^2}} \]
\[ \sin\varphi= \frac {w\sin\alpha \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt {v^2+w^2+2vw\cos\alpha -\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}}\,,~~~\cos\varphi=\frac{v+ w\cos\alpha}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin\alpha}c \right)^2}} \]

Производим сжатие диска в \( \gamma_v \) раз. На рис. слева синяя линия обозначает край покоящегося диска в рассматриваемой точке, зелёная линия обозначает край сжатого при движении эллипса в этой же точке. Затем производим поворот края эллипса в рассматриваемой точке (см. рис. справа) на угол \( \varphi \) по часовой стрелке:


На рисунках синяя и зелёная тонкие линии - нормали к касательным диска и эллипса, чёрная тонкая линия - траектория движения по циклоиде, красная тонкая линия - расчётное (по углам - об этом несколько позже) направление ускорения.

Далее компоненты ускорения рассчитываем по предложенной ранее методике (см. здесь) и получив их значения \(  a_\parallel=-0{,}0664\,,~a_\bot=-0{,}7028 \) , результирующую \( g \) в виде красной стрелки наносим на рисунок:


Как видим, вычисленное направление вектора ускорения совпадает с расчётным направлением. Причём проверял в различных точках по всей окружности, несовпадения не обнаружено.


Далее необходимо преобразовать ускорение по модулю от наблюдаемого из лабораторной ИСО к воздействующей на сопутствующего наблюдателя перегрузке, для чего используем формулу:
\[ g=a\sqrt{\frac {1-\frac{(u\sin\theta)^2}{c^2}} {\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^3}} \]
где \( a \) - ускорение с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО, \( g \) - ускорение, воздействующее на сопутствующего наблюдателя, которое после преобразования должно соответствовать вводным данным \( g=10 \) . В таком случае, принцип относительности для наблюдателей вращающейся системы отсчёта сохраняется.

Как известно, ускорение в продольном направлении при движении падает в \( \gamma^3 \) раз, в поперечном направлении в \( \gamma^2 \) раз с точки зрения покоящихся наблюдателей. Чтобы убедиться в корректности представленной формулы, принимаем \( a=1 \) и по закону \(  x=a\cos\alpha\,,~y= a\sin\alpha \) получаем единичную окружность. Далее для наглядности назначаем скорость \( u=0{,}866 \) при которой \( \gamma_u=2 \) и подставив эти значения в формулы:
\[  x'=x\sqrt{\frac{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^3}{1-\frac{(u\sin\theta)^2}{c^2}}}\,,~~~ y'=y\sqrt{\frac{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^3}{1-\frac{(u\sin\theta)^2}{c^2}}}  \]
получаем правильный эллипс:


который сжат в \( \gamma^2=4 \) раза по оси \( y  \) и в \( \gamma^3=8 \) раз по оси \( x \) . Далее, поменяв в формулах местами числитель и знаменатель:
\[  x=x'\sqrt{\frac{1-\frac{(u\sin\theta)^2}{c^2}}{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^3}}\,,~~~ y=y'\sqrt{\frac{1-\frac{(u\sin\theta)^2}{c^2}}{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^3}}  \]
получаем обратно единичную окружность. Согласно принципу относительности, ускорение по модулю с точки зрения сопутствующих наблюдателей движущейся ИСО' не должно зависеть от направления, что мы и получили после преобразования ускорения от регистрируемого покоящимися наблюдателями лабораторной ИСО (в виде эллипса), к равному воздействию на сопутствующих наблюдателей (в виде окружности) независимо от направления ускорения относительно оси движения ИСО'.

Теперь ещё раз вернёмся к направлению вектора ускорения в движущейся системе отсчёта. Представим, что по окружности вдоль края покоящегося диска с линейной скоростью \( \frac w c=0{,}8 \) движется продольно сжатая в \( \gamma_w \) раз кабинка, как показано на рисунке справа, слева та же кабинка в покоящемся состоянии:


Поскольку она движется по окружности, появляется центробежная сила, а отпущенное пробное тело с ускорением (красная стрелка) движется в направлении (локально), коллинеарном вертикальным стенкам кабинки. Теперь, если придать движение всему диску, то при движении по циклоиде, эта кабинка будет испытывать сжатие в \( \gamma_u \) раз, причём сжатие происходит по оси движения, относительно которого кабинка развёрнута против часовой стрелки на угол \( \beta \) (см. здесь) :
\[  \sin\beta=\frac{v\sin\alpha\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin \alpha}c\right)^2}}\,,~~~\cos \beta=\frac{v\cos\alpha+w}{\sqrt {v^2 + w^2 + 2vw\cos\alpha-\left(\frac{vw\sin \alpha}c\right)^2}} \]
Ниже на рисунках последовательно отображены разворот на угол \( \beta \) и сжатие по оси движения в той же рассматриваемой точке на краю диска под углом \( \alpha=120^\circ \) при скоростях \(  \frac w c=0{,}8 \) и \( \frac v c=-0{,}8 \) :



Далее наносим полученное изображение на рисунок с вектором ускорения в данной точке (см. рис. слева) и поворачиваем всю конструкцию (см. рис. справа) против часовой стрелки на угол \( \varphi \):


Как видим, расположение самой кабинки соответствует положению на краю сжатого диска, а кроме того, и в данном случае вектор ускорения расположен в коллинеарном вертикальным стенкам кабинки направлении, что вполне соответствует как предыдущим расчётам, так и требованию принципа относительности.

Анализ данных, полученных различными способами в различных точках края диска и при различных скоростях движения ИСО', не показал никаких значимых отклонений (сотые доли процента, обусловленные погрешностями) ни по модулю, ни по направлению. Таким образом, полагаю, что при вращательном движении принцип относительности для сопутствующих наблюдателей вращающейся системы отсчёта полностью соблюдается.

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #16 : 18 Янв 2023 [19:37:10] »
Как известно, ускорение в продольном направлении при движении падает в \( \gamma^3 \) раз, в поперечном направлении в \( \gamma^2 \) раз с точки зрения покоящихся наблюдателей.
Вот на этом моменте хотелось бы остановиться и рассмотреть данные преобразования несколько подробнее. Но начну, пожалуй, издалека.

Общеизвестен пример со стержнем, который при движении сжимается в продольном направлении, но остаётся номинальной длины \( l \) в поперечном. Чтобы вычислить длину \( l' \) сжатого стержня, расположенного под произвольным углом \( \alpha \) в движущейся ИСО', необходимо в \( \gamma \) раз сократить его длину по оси движения:

\( l_x'=l\cos\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,,~~~l_y'= l\sin\alpha  \)

Далее находим длину стержня \(  l'= \sqrt{l_x'^{\,2}+ l_y'^{\,2}}  \) , наблюдаемую в лабораторной ИСО:

\(  l'=l\sqrt{\cos^2\alpha\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)+\sin^2\alpha}  \)

и после преобразований получаем формулу:
\[ l'=l\sqrt{1-\frac{v^2\cos^2\alpha}{c^2}} \]


На рисунках отображено сжатие с коэффициентом \( k=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=0{,}5 \) при скорости \( \frac v c =0{,}866 \) движения ИСО'. Синяя окружность обозначает равную длину стержня (от центра до окружности) независимо от направления его расположения с точки зрения наблюдателей ИСО'. Красный эллипс обозначает длину сжатого стержня в зависимости от направления с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО.

Очевидно, что при сжатии углы в общем случае должны изменяться:

\( \sin \alpha' = \frac{\sin \alpha} {\sqrt{\cos^2\alpha\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)+ \sin^2\alpha}}\,,~~~\cos \alpha' = \frac {\cos\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} {\sqrt{\cos^2\alpha\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)+ \sin^2\alpha}}  \)

Откуда после преобразований:
\[ \sin \alpha' = \frac{\sin \alpha} {\sqrt{1-\frac {(v\cos \alpha)^2}{c^2}}}\,,~~~\cos \alpha' = \frac {\cos\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} {\sqrt{1-\frac{(v\cos \alpha)^2}{c^2}}} \]
получаем формулы преобразования угла \( \alpha \) измеренного наблюдателями движущейся ИСО' к углу \( \alpha' \) наблюдаемого в лабораторной ИСО.

Теперь рассмотрим обратную ситуацию - нам известна наблюдаемая длина расположенного под произвольным углом \( \alpha' \) стержня, движущегося относительно лабораторной ИСО и необходимо вычислить его номинальную длину, т.е. длину, измеренную наблюдателями движущейся ИСО'. Собственно, проделываем всё то же самое, только теперь увеличиваем в \( \gamma \) раз длину стержня по оси его движения:
\[ l_{x'}=l'\frac{\cos\alpha'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,,~~~l_{y'}= l'\sin\alpha' \]
Далее находим длину стержня \( l'= \sqrt{l_{x'}^{\,2}+l_{y'}^{\,2}}  \) , измеренного наблюдателями движущейся ИСО':

\( l=l'\sqrt{\frac{\cos^2\alpha'}{1-\frac{v^2}{c^2}}+\sin^2\alpha'} \)

и после преобразований получаем формулу:
\[ l=l'\sqrt{\frac{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

Отсюда получаем обратные формулы преобразования углов:

\( \sin \alpha=\frac{\sin\alpha'}{\sqrt{\frac{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}}
\,,~~~\cos \alpha=\frac{\frac{\cos\alpha'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}{\sqrt{\frac{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}}  \)

Откуда после преобразований:
\[ \sin \alpha=\frac{\sin\alpha'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}}\,,~~~\cos \alpha=\frac{\cos\alpha'}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}} \]
получаем формулы преобразования углов от наблюдаемого в лабораторной ИСО угла \( \alpha' \) к углу \( \alpha \) , измеренного наблюдателями движущейся ИСО'.


А теперь представим ситуацию, когда нам известен угол \( \alpha' \) , тот угол, под которым наблюдается движущийся стержень в лабораторной ИСО, а кроме того нам известна номинальная длина \( l \) стержня. Однако неизвестно, под каким углом \( \alpha \) расположен стержень в движущейся ИСО' и мы не можем напрямую воспользоваться полученной формулой:
\[ l'=l\sqrt{1-\frac{v^2\cos^2\alpha}{c^2}} \]
В таком случае, с помощью только что полученных формул преобразования углов:

\( l_{x'}=l\sin\alpha=l\,\frac{\sin\alpha'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}}\,,~~~l_{y'}=l\cos \alpha=l\frac{\cos\alpha'}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}}  \)

находим координаты конца стержня в движущейся ИСО' и сжимаем стержень по оси его движения:

\( l_x'=l\sin\alpha=l\,\frac{\sin\alpha'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}}\,,~~~l_y'=l\cos \alpha=l\frac{\cos\alpha'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}} \)

Далее находим длину стержня \( l'= \sqrt{l_x'^{\,2}+ l_y'^{\,2}}  \) , наблюдаемую в лабораторной ИСО:

\(  l'=l\,\sqrt{\frac{\sin\alpha'^{\,2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)+\cos\alpha'^{\,2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}}  \)

и после преобразований получаем формулу:
\[  l'=l\,\sqrt{\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}} \]
Сравнив данную формулу с ранее полученной:
\[ l=l'\sqrt{\frac{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]
убеждаемся, что обе эти формулы абсолютно симметричны. Соответственно и записываем:
\[  \frac{l'}l=\sqrt{\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}} \]
Таким образом, мы получили универсальную формулу, работающую в обоих направлениях - от \( l \) к \( l' \) и от \( l' \) к \( l \) в зависимости от скорости \( v \) и угла \( \alpha' \) . А заодно вывели полезные формулы преобразования углов:
\[ \sin \alpha' = \frac{\sin \alpha} {\sqrt{1-\frac {v^2\cos^2\alpha^2}{c^2}}}\,,~~~\cos \alpha' = \frac {\cos\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} {\sqrt{1-\frac{v^2\cos^2\alpha}{c^2}}} \]
\[ \sin \alpha=\frac{\sin\alpha'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}}\,,~~~\cos \alpha=\frac{\cos\alpha'}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha'}{c^2}}} \]

Оффлайн еugeni

  • ***
  • Сообщений: 150
  • Благодарностей: -2
  • модель гравитации
    • Сообщения от еugeni
    • Новая гравитация
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #17 : 18 Янв 2023 [20:14:49] »

Уважаемый автор темы.

Когда Вы начинаете тему о вращении,
всегда в начале указывайте, в каком пространстве ставите мысленный опыт.

Если в Гравитации Земли, это одно.
И тогда рисунки действительны.

Если где-то между звёздами,
тогда Ваша система становится аналогом вращающейся ЧД - то есть увлекает собою пространство,
и рисунки становятся бесполезными -
система отсчёта вращается синхронно вращению Вашего тела.

Нет гравитации -
нет ускорения вращения и
нет замедления времени.

Пространство создаёт само "вращающееся тело".
Относительно которого оно не вращается.

Область определения    domain.pdf        http://gek47.narod.ru/domain.pdf




Смотрю и вижу в его голове так много формул,
что для мозгов места не осталось.

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #18 : 25 Янв 2023 [18:05:04] »
А теперь перейдём к рассмотрению небольших приращений скорости \( w\ll c  \) с позиций логики, геометрии и принципа относительности. Представим, что теперь это не просто стержень сжимается при движении, а сжимается дистанция \( l \), по которой с постоянной скоростью \( w=\frac l t \) движется пробное тело с точки зрения сопутствующих наблюдателей ИСО'.

Известно, что помимо релятивистского сжатия, замедляется и темп хода движущихся часов \( \frac{\Delta t'}{\Delta t}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \) , откуда \( {\Delta t}=\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \) , т.е. по часам покоящейся лабораторной ИСО на проход дистанции пробным телом должно понадобиться в \( \gamma \) раз больше времени, чем по часам движущейся ИСО'. Асинхронность хода разнесённых часов при \( w t'\ll c t' \) пренебрежимо мала, и в данном случае не учитывается. Таким образом, с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО для расположенной под углом 90° несжатой дистанции \( l_\bot'= l_\bot \) получаем:

\(  w_\bot '=\frac {l_\bot}{\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=w_\bot\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \)

А для расположенной в продольном направлении в \( \gamma \) раз сжатой дистанции \( l_\parallel '= l_\parallel\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}  \) получаем:

\( w_\parallel '=\frac {l_\parallel\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=w_\parallel\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)  \)

Теперь берём формулу преобразования длины в общем виде (в формуле возвращаем принятое в данной теме обозначение угла \( \theta=\alpha' \) , наблюдаемого в лабораторной ИСО) и точно так же поделив на промежуток времени \( \Delta t  \) , необходимый на преодоление дистанции пробным телом по часам лабораторной ИСО:

\(  w'=\frac{l\,\sqrt{\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}}{\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}} \)

получаем формулу преобразования для приращения скорости \( w' \) :
\[  \frac{w'}w=\,\sqrt{\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^2}{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}} \]
и соответствующий рисунок:


где продемонстрировано преобразование от приращения скорости \( w' \) с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО к скорости \( w \) , измеренной наблюдателями движущейся ИСО' в зависимости от угла \( \theta \) , наблюдаемого в лабораторной ИСО. Рассмотрим данные преобразования по сути - сначала вся эта условная единичная окружность сжимается в \( \gamma \) раз с сохранением угла \( \alpha \) , а затем уже эта уменьшенная окружность сжимается в \( \gamma \) раз по оси \( x \) с преобразованием угла \( \alpha \) в угол \( \theta \) .



Теперь рассмотрим движение пробного тела по дистанции \( l \) с постоянным ускорением \( a  \) . Берём формулу, связывающую ускорение и дистанцию \( l=\frac{at^2}2 \) откуда получаем \( a=\frac{2l}{t^2} \) с точки зрения наблюдателей движущейся ИСО'. В данном случае, поскольку рассматриваем воздействие перегрузки на пробное тело, перегрузку обозначаем как \( g=\frac{2l}{t^2}  \) , а наблюдаемое в лабораторной ИСО ускорение обозначаем \( a \) . По той же схеме, что и для преобразования скорости \( w \) , получаем преобразование ускорения для расположенной под углом 90° несжатой дистанции \( l_\bot'= l_\bot \) :

\(  a_\bot=\frac {2l_\bot}{\frac{\Delta t'^{\,2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}=g_\bot\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)  \)

А для расположенной в продольном направлении в \( \gamma \) раз сжатой дистанции \( l_\parallel '= l_\parallel\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}  \) получаем:

\(  a_\parallel=\frac {2l_\parallel\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\frac{\Delta t'^{\,2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}=g_\parallel\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}  \)

И аналогично берём формулу преобразования длины дистанции в общем виде:

\(  a=\frac{2l\,\sqrt{\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}}}{\frac{\Delta t'^{\,2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}  \)

откуда получаем формулу преобразования для ускорения \( a \) :
\[  \frac a g=\,\sqrt{\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}{1-\frac{v^2\sin^2\theta}{c^2}}} \]
и, соответственно, отображаем на рисунке:


Хотелось бы обратить внимание на такой нюанс - при преобразованиях от величин (длины, скорости, ускорения) , непосредственно измеренных в движущейся ИСО' к величинам, наблюдаемым в лабораторной ИСО, необходимо преобразовывать и соответствующие углы. При обратном преобразовании величин, как правило, отсутствует необходимость в преобразовании углов, т.к. при измерениях в движущейся ИСО' преобразованная величина не зависит от направления.

Оффлайн MaltsevАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 260
  • Благодарностей: 1
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Maltsev
Re: Геометрия вращения.
« Ответ #19 : 25 Янв 2023 [18:12:55] »
Итак, далее переходим к направлению воздействия силы (пока в рамках кинематики). Как известно, в движущихся системах отсчёта векторы ускорения и силы не совпадают. Такому положению дел имеется логическое объяснение с позиций принципа относительности. Поясню на примере - представим, скажем, изначально покоящийся относительно лабораторной ИСО ящик, в центре плоского дна которого покоится пробное тело. В отсутствие гравитации, с ускорением тянем ящик за борта в произвольном направлении таким образом, чтобы пробное тело в виде шарика не скатывалось из центра. В таком случае векторы ускорения и силы совпадают (см. рис. слева) . А теперь представим этот же ящик движущимся. Сжатый по оси движения ящик (см. рис. справа) точно так же тянем с ускорением за борта:


Если бы векторы силы и ускорения совпадали, то шарик неминуемо должен был бы скатиться под уклон, что явно противоречит принципу относительности. Если же ускорение производится в коллинеарном бортам направлении, а направление силы воздействия дна на шарик остаётся ортогональным плоскости дна, то шарик в таком случае остаётся покоиться относительно центра дна.

Совершенно очевидно, что отклонения векторов силы и ускорения взаимосвязаны и вычисляются достаточно просто - берём произвольную точку на окружности с координатами \( x\,,~y \) , обозначающую направление (от центра окружности) векторов силы и ускорения с точки зрения сопутствующих наблюдателей и в \( \gamma \) раз сжимаем эту окружность. Выбранная точка смещается по оси \( x \) , приобретая новые координаты \( x_a=x\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\,,~y_a=y \) . Таким образом получаем угол \( \theta \) направления (от центра) вектора ускорения (красная линия) . Для получения угла \( \omega \) направления вектора силы (зелёная линия), наоборот - растягиваем окружность в \( \gamma \) раз, при этом первоначально выбранная точка смещается по оси \( x \) , приобретая новые координаты \(  x_F=\frac x {\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\,,~y_F=y \) :


Как видно из рисунка, направление вектора силы ортогонально проведённой через точку на сжатом по оси \( x \) эллипсе касательной, а, соответственно, и коллинеарно нормали в данной точке.

Собственно, именно такой метод и был использован для предварительного расчёта направления ускорения при движении по циклоиде - поскольку понятно, что вектор силы коллинеарен нормали в рассматриваемой точке на сжатом эллипсе, сокращаем в \( \gamma_u^2 \) раз координату точки на линии направления силы и получаем направление результирующего ускорения:


А теперь преобразуем наблюдаемый в лабораторной ИСО угол вектора ускорения \( \theta \) в угол воздействия силы \( \omega \) :

\( \sin\omega=\frac{\sin\theta}{\sqrt{\sin^2\theta+\frac{\cos^2\theta}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^2}}}\,,~~~\cos\omega=\frac{\frac{\cos\theta}{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{\sin^2\theta+\frac{\cos^2\theta}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^2}}}  \)

Откуда:
\[ \sin\omega=\frac{\sin\theta\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\theta(2c^2-v^2)}{c^4}}}\,,~~~\cos\omega=\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\theta(2c^2-v^2)}{c^4}}} \]

Обратные формулы преобразования:
\[ \sin\theta=\frac{\sin\omega}{\sqrt{1-\frac{v^2\cos^2\omega(2c^2-v^2)}{c^4}}}\,,~~~ \cos\theta=\frac{\cos\omega\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{v^2\cos^2\omega(2c^2-v^2)}{c^4}}}  \]


Вектор силы преобразуется точно так же, как и преобразуется длина стержня, только стержень при движении сжимается в \( \gamma \) раз по оси \( x \) , а вектор силы при движении сжимается в \( \gamma \) раз по оси \( y \) :
\[ F_x'=F_{x'}\,,~~~F_y'=F_{y'}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]
Формулы обратного преобразования:
\[ F_{x'}=F_x'\,,~~~F_{y'}=\frac{F_y'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]


Как видно из рисунка, конец вектора \( F_x' \) расположен под тем же углом \( \omega \) на линии сжатого по оси \( y \) эллипса. Теперь выведем формулы преобразования углов:

\(  \sin\omega=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{\sin^2\alpha\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)+\cos^2\alpha}}\,,~~~\cos\omega=\frac{\cos\alpha}{\sqrt{\sin^2\alpha\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)+\cos^2\alpha}}  \)

Откуда получаем:
\[  \sin\omega=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha}{c^2}}}\,,~~~\cos\omega=\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\frac{v^2\sin^2\alpha}{c^2}}}  \]
Обратные формулы преобразования углов:
\[  \sin\alpha=\frac{\sin\omega}{\sqrt{1-\frac{v^2\cos^2\omega}{c^2}}}\,,~~~\cos\alpha=\frac{\cos\omega\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2\cos^2\omega}{c^2}}}  \]
И выводим формулу преобразования вектора силы по модулю:

\(  F=F'\sqrt{\frac{\sin^2\omega}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}+\cos^2\omega}  \)

Откуда получаем:
\[ \frac{F'}F=\sqrt{\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2\cos^2\omega}{c^2}}} \]
Такое представление о преобразованиях силы в дальнейшем не только позволит непосредственно преобразовывать силу по модулю, но и послужит средством проверки при прочих преобразованиях.