Геометрия Шварцшильда простыми словами

[ulitkanasklone]

Попытка описать метрику Шварцшильда простыми словами.
Уж не знаю, насколько получилось просто..

Вначале наверное будет сложно и непонятно, так как нужно популярно изложить несколько глав из Ландау-Лифшица 2 том .
Считается, что геометрия мира представляет собой 4-х мерное псевдориманово многообразия с сигнатурой (+---). Это скорее на уровне постулата. Метрика отражает геометрию этого мира, и содержит 10 метрических функций от 4 координат. Они определяются, исходя из решений уравнений Гильберта-Эйнштейна. Это основная проверяемая гипотеза. Если быть точнее, то проверяются модели на основе частных решений этих уравнений. Зная метрические функции \( g_{ik} (x^0,x^1,x^2,x^3) \), можно составить уравнения движения пробных массивных тел и света (геодезические). Наблюдая за телами можно проверить данную теорию и модель.
Особенностью основных уравнений ОТО является то, что 6 независимых уравнений в частных производных  содержат 10 функций \( g_{ik} \). То есть не хватает 4-х уравнений для полноты. Уравнения дополняются 4-мя достаточно произвольными координатными условиями. Про эти условия написано много в классической литературе. Считается, что эти условия чуть ли не калибровочные и не влияют на модель гравитационного поля.  Потому что полученную метрику можно перевести в другой вид с помощью допустимых дифференцируемых преобразований координат.

Мой комментарий – здесь есть сложности математического плана, но в дальнейшем это на изложение картины мира не влияет.
Если все это сложно для понимания, то не страшно – важное будет дальше.

А ВАЖНО следующее: уравнения ОТО определяют геометрию не сразу во всем многообразии, а только в локальной карте. И эту карту определяют добавочные координатные условия. Так метрика Шварцшильда из пар. 100 Ландау-Лифшица определяется в стандартных координатах и имеет ограничения области определений по координате \( r: r>r_g \). Вот такая локальная карта у нас возникла. А метрика в вакууме в пар. 103 ЛЛ-2 определяется в синхронных координатах и включает в себя все пространство, кроме самой сингулярности \( r>0 \) .
Поэтому модель геометрии для Черной дыры целиком мы не знаем, даже решив уравнения гравитации. Мы можем только делать некоторые предположения на основе решений уравнений Эйнштейна. Два примера для конкретики.

Вакуумное сферически симметричное решение.
Для нахождения метрики Шварцшильда принимаются следующие предположения (параграф 100 ЛЛ-2):
   1.Сферическая симметрия
   2.Ищется статическое решение (не зависит от времени)
   3.Граничные условия на бесконечности – метрика Минковского в галилевых координатах (переведены в сферические)
   4.Тензор Риччи=0: \( R_{ik}=0 \)
   5.Добавочные координатные условия:
\[ g_{tr}=0 ,   g_{θθ}=-r^2,  g_{φφ}=-r^2 sin⁡(θ)^2 \]
Тогда все сводится к ОДУ, в которой появляется постоянная интегрирования \( r_g \) и ограничение локальной карты: \( r>r_g \) . То есть для наблюдателя в данной карте из пространства изъят шар  радиусом \( r_g \) и никакой сигнал не способен выйти из этой области и достигнуть наблюдателя.

Решение в другой карте описано в пар. 103 ЛЛ-2. Там все тоже самое, только координатные условия (5) – синхронные (иногда называют полугеодезические), метрика нестатическая:
\[ g_{{\tau}R}=0,   g_{{\tau}{\tau}}=1 \]
В этом случае локальная карта ограничена \( r>0 \) и не распространяется только на сингулярность – область, которую можно условно назвать «центральной» (это не точка) с уравнением \( r(\tau,R)=0 \). Эту карту называют еще метрикой Леметра.
Таким образом, можно представить геометрию Черной Дыры до сильной сингулярности как две локальные карты, склеенные вблизи горизонта с помощью дифференцируемых преобразований:  до горизонта это карта Шварцшильда, а вакуумная область за горизонтом и включая его – карта Леметра. Можно конечно и сразу взять одну карту Леметра, которая  накрывает Шварцшильда, но в ней неудобно рассчитывать движение  пробных тел для удаленного наблюдателя. А именно наша аппаратура и находится в системе отсчета удаленного наблюдателя.
На самом деле еще более полная карта, где учитываются движение частиц не только к сингулярности, но и от, это карта Крускала. Именно на ней видно и движение тел как вдали от Черной дыры, так и за сферой Шварцшильда и неизбежное падение в сингулярность.
Кроме модели с такой геометрией, важно, что можно наблюдателю переходить в разные системы отсчета. Например, можно покоиться относительно ЧД, можно вращаться вокруг нее, можно падать в ЧД.
С точки зрения удаленного наблюдателя, который покоится или вращается вокруг ЧД, падающая частица никогда не достигнет горизонта, но если в какой-то момент перейти в падающую Систему Отсчета в синхронных координатах, то частица пройдет спокойно сферу Шварцшильда и достигнет сингулярности за конечное время, но уже будет невидима для удаленного наблюдателя.

А теперь традиционные вопросы.

1.Что происходит со временем у горизонта?
Если зафиксировать координаты \( r \) и все углы и расположить зонд вблизи у горизонта \( r=r_g+ε \)  ,  а наблюдателя очень далеко от ЧД \( r≫r_g \), то метрика выглядит так:
\[ d{\tau}^2=(1-r_g/r)dt^2 \]
где видно, что здесь два времени: собственное (физическое) \( \tau \)  и координатное \( t \). Выражение банально интегрируется. При небольшом изменении собственного времени \( Δ{\tau} \) самого зонда координатное время \( Δt \)  с точки зрения удаленного наблюдателя меняется на очень большую величину. Поэтому говорят, что время у горизонта замедляется, но именно с точки зрения удаленного наблюдателя. Соответственно и красное смещение сильно увеличивается при фиксации излучения от зонда.

2.Какая скорость падающей частицы у горизонта?
Тут возможны три варианта. Измерение физической скорости в системе координат Шварцшильда. Систему Координат Шварцшильда можно представить как жесткую конструкцию вокруг Черной Дыры. Вдоль радиальной координаты и по пути падения частицы расставим наблюдателей с часами. Измерение скорости падения частицы производим локально и это будет физическая скорость. Она стремится к скорости света при приближении к горизонту. Такая конструкция из стали будет неустойчива и с какого-то радиуса развалится за счет тангенсальных напряжений. Это можно подсчитать в рамках Ньютона. Поэтому эта жесткая конструкция некая идеализация.

С точки зрения удаленного наблюдателя координатная скорость частицы стремится к нулю при приближении частицы к горизонту.

И наконец, если частица пересекает сферу Шварцшильда, то измерять физическую скорость необходимо в системе отсчета, которая также падает в сингулярность, поскольку эта сфера в вакууме не входит в карту Шварцшильда. То есть надо измерять в карте Леметра в падающей СО. При этом физическая скорость всегда меньше скорости света, кроме крайнего случая, когда \(  r=0 \) , частица достигает сингулярности и ее скорость равна \( c \). Эту задачу мы здесь решали.

3.Есть ли сингулярность на горизонте?
Отдельные метрические компоненты метрики Шварцшильда имеют особенность в пределе на горизонте \(  g_{tt}=0,g_{rr}→∞ \) , а также сингулярны некоторые объекты связности, но скалярные величины типа R и инварианты на горизонте вполне регулярны. Перейдя в карту Леметра (или в координаты Леметра), эта особенность компонент на сфере Шварцшильда пропадает.
Поэтому считается, что на горизонте сингулярность координатная.
Реальная сингулярность возникает при \( r=0 \) , когда скалярная кривизна \( R \) становится бесконечной.
Замечание: некоторое «движение» вблизи горизонта  связано с квантомеханическими явлениями (которые пока не подтверждены), а также расчеты дают бесконечную плотность энергии гравитационного поля на горизонте. Но эта особенность скорее имеет смысл для полевой теории.

4. Что такое сильная сингулярность (или просто сингулярность)?
Реальная сингулярность образуется в данной модели классической Черной Дыры именно при \( r(\tau,R)=0 \) . Она скрыта от удаленного наблюдателя, то есть от нас с вами. Там скалярная кривизна \( R \) бесконечна, а также бесконечные приливные силы, которые уничтожают все вещество вместе с квантовыми характеристиками частиц. Такое объяснение, которое встречается в ряде солидных монографий, не может быть удовлетворительным. С другой стороны Пенроуз получил Нобелевскую премию в прошлом году именно за доказательство теоремы о том, что в ОТО сингулярности неизбежны.

Какой выход из ситуации? В рамках ОТО предлагаются некоторые модели, в которых вместо сингулярности используется еще одна локальная карта в виде червоточины. В этом случае возможна, например, раздувающаяся вселенная вместо сингулярности.
Есть еще ряд альтернативных теорий, например РТГ, где нет Черных Дыр. И опять же в рамках ОТО предлагаются нестандартные конструкции, которые исключают сингулярность: Скалярные ЧД Глинера, Модель Маршалла, где гравитационное поле выступает в роли отталкивающей гравитации в центральной части коллапсара. В последнее время появилось достаточное количество статей про Гравистары – там вакуумное решение внутри оболочки есть де Ситтер, который создает отрицательное давление и препятствует схлопыванию вещества.   

[Novosedoff]

Простите, не выдержал 

(кликните для показа/скрытия)

http://www.youtube.com/watch?v=-LE7PspXm2Y

[LV46]

до горизонта это карта Шварцшильда, а вакуумная область за горизонтом и включая его – карта Леметра. Можно конечно и сразу взять одну карту Леметра, которая  накрывает Шварцшильда, но в ней неудобно рассчитывать движение  пробных тел для удаленного наблюдателя.

В жизни много чего "неудобно" и "не хочется делать", но если хочется достичь результата, то это "неудобно" надо превозмочь, решить и получить общий результат и для внутренней и для внешней стороны ЧД. 
Вместо того, чтобы искусственно разделять на две части, при этом приводя этоже разделение как аргумент. 

[6th Book]

Добрее, будьте добрее ... к юродивым

до горизонта это карта Шварцшильда, а вакуумная область за горизонтом и включая его – карта Леметра. Можно конечно и сразу взять одну карту Леметра, которая  накрывает Шварцшильда, но в ней неудобно рассчитывать движение  пробных тел для удаленного наблюдателя.

В жизни много чего "неудобно" и "не хочется делать", но если хочется достичь результата, то это "неудобно" надо превозмочь, решить и получить общий результат и для внутренней и для внешней стороны ЧД. 
Вместо того, чтобы искусственно разделять на две части, при этом приводя этоже разделение как аргумент. 

Та Фы оказываеться есть ошень слой шелофек.

Вот Вы говорите, что хотите получить результат, по своему пониманию-качеству сравнимый с Правилом Буравчика и Таблицей Умножения. На самом деле это не так. На самом деле Вы хотите отнять твёрдый источник дохода у сотен образованейших головой людей, ничего не умеющих делать окромя написания статей по вопросам принципиально непроверяемым современными способами - по вопросам гравитации и релятивизма. Всё равно этих бездельников придётся кормить до пенсии ...
... в конце концов, берите пример с доброго 6th Book. Я же не кричу ( пока ) на весь мир о том, что ОТО Эйнштейна это частный случай ЗВТ Ньютона а не наоборот, что поправки на релятивизм и гравитацию умножаются а не складываются, что в гравитации ( в отличие от электро ) не работает принцип суперпозиции.

[Diman]

Очень наукоёмко!

[ulitkanasklone]

В жизни много чего "неудобно" и "не хочется делать", но если хочется достичь результата, то это "неудобно" надо превозмочь, решить и получить общий результат и для внутренней и для внешней стороны ЧД.

Могу вам посоветовать найти отклонение света вблизи массивного тела в стандартных координатах и в синхронных (в карте Леметра),  и тому, кто вам поставил + тоже. А я понаслаждаюсь с мазохистким удовольствием.

П.С. Буду надеяться. что кому-то изложенный выше текст поможет.

[LV46]

Могу вам посоветовать найти отклонение света вблизи массивного тела

Серъёзно? Вы мне предлагаете решать ваши задачи?

[ulitkanasklone]

Серъёзно? Вы мне предлагаете решать ваши задачи?

Ну вы же сказали, что вам все равно как решать. Вот и попробуйте. А как еще вас убедить?
И не мои задачи, а задачи по ОТО.

[Ый]

Попытка описать метрику Шварцшильда простыми словами.

А зачем?
В зависимости от ответа на мой вопрос, задам следующий.

[LV46]

Ну вы же сказали, что вам все равно как решать.

Если существует общее решение (а оно судя по Вашим же словам - существует) которое объяснило бы непрерывное поведение падающего в ЧД тела до и после горизонта, то странно, что никто не хочет его решить, вместо разделения на две части, мотивируя "неудобностью" и  с выдвиганием каких-то странных претензий, типа, сам реши. хД

[ulitkanasklone]

Если существует общее решение (а оно судя по Вашим же словам - существует) которое объяснило бы непрерывное поведение падающего в ЧД тела до и после горизонта, то странно, что никто не хочет его решить, вместо разделения на две части, мотивируя "неудобностью" и  с выдвиганием каких-то странных претензий, типа, сам реши.

Видимо не для вас было написано выше. Если человек не хочет разобраться, то мои усилия бессмысленны.

[Geen]

Считается, что геометрия мира представляет собой 4-х мерное псевдориманово многообразия с сигнатурой (+---). Это скорее на уровне постулата.

На самом деле, тут три постулата. Можно почитать Шредингера об этом. (Вопрос, скорее, не в количестве постулатов, а в том, что бы Шредингера почитать)

Для нахождения метрики Шварцшильда принимаются следующие предположения (параграф 100 ЛЛ-2):

На самом деле, только 1 и 4 - остальные "выводятся" из них.

[ulitkanasklone]

На самом деле, только 1 и 4 - остальные "выводятся" из них.

Координатные условия не могут выводиться из остальных.
Условие независимости компонент от времени есть у Рашевского, страница 640.
Граничные условия не могут выводиться из остального. Это дополнительные ограничения , чтобы уравнения решались однозначно.

[ulitkanasklone]

которое объяснило бы непрерывное поведение падающего в ЧД тела до и после горизонта

Попробую еще раз . У нас есть статическое решение - Шварцшильдовское. Часы  до горизонта в каждой точке пространства можно синхронизировать с удаленным наблюдателем. Соответственно все вычисления приводятся в ту систему отсчета , в которой находится наша аппаратура. Скажем телескоп, который фиксирует движение звезд вокруг СМЧД . На основании этих измирений, наблюдатель , имея готовую модель, может узнать , например, массу СМЧД.
Странно было бы делать вычисления для падающего наблюдателя, который пересекает сферу Шварцшильда , если наш телескоп в удаленном месте от СМЧД.
Это просто бессмысленно. В данном случае это имеет смысл, чтобы мысленно смоделировать данный процесс.

[Geen]

Координатные условия не могут выводиться из остальных.

Могут - просто доказывается, что произвольные координаты могут быть приведены в некоторой непустой области к требуемому виду.

Граничные условия не могут выводиться из остального.

Могут - просто доказывается, что вышеупомянутая область определения координат может быть растянута вплоть до "границы".

Это дополнительные ограничения , чтобы уравнения решались однозначно.

Вам мало сферической симметрии?

[ulitkanasklone]

Могут - просто доказывается, что произвольные координаты могут быть приведены в некоторой непустой области к требуемому виду.

Сначала задается локальная карта. И для кого я все писал выше? И не к любому виду, и только 4 компоненты.
... И хотелось бы строгое определение теоремы Римана.

Могут - просто доказывается, что вышеупомянутая область определения координат может быть растянута вплоть до "границы".

Не видел доказательства на у Ландау , ни у Рашевского. И что есть понятие "граница" в данном случае?

Вам мало сферической симметрии?

Это разные вещи.

[Geen]

Это разные вещи.

Ну тогда определите что такое "сферическая симметрия"...

[Скеп-тик]

Geen от Сегодня в 07:13:27
Вам мало сферической симметрии?

Это разные вещи.

Сферическая симметрия в метрике Шварцшильда - это УСЛОВИЕ существования метрики Шварцшильда. Это позволяет избавиться от ДВУХ сферических измерений, заменив их на псевдоевклидовы. И поэтому - в метрике Шварцшильда можно рассматривать только (падение на/улетание с) массивное/массивного невращающегося сферического тела. Пролёт мимо - это не к Шварцшильду.

[LV46]

Странно было бы делать вычисления для падающего наблюдателя, который пересекает сферу Шварцшильда , если наш телескоп в удаленном месте от СМЧД.

Ну, с таким подходом (что вижу то и пою), то тогда надо признать сверхсветовые джеты от квазаров, мы же их такими наблюдаем.

"...трудно переоценить значимость наблюдения сверхсветовых скоростей в галактике М87 [Biretta et al., 1999]. Это один из наиболее близких объектов с достаточно надежно определенным расстоянием до него. Авторы отчетливо наблюдают сверхсветовые скорости компонент (струи М87) около V=6c".

Однако этому есть нормальное физическое объяснение, это оптическая иллюзия. А от себя я скажу: такая же иллюзия, как и остановка времени на ГС ЧД для удалённого наблюдателя.
------------------------------------------------------------
Вот в координатах Леметра всё прекрасно пересекает и улетает в сингулярность. А также отсутствие парадокса (сингулярности) на горизонте, делают их более правдивыми чем Шварцшильдские.

[Игорь_ЕД]

Пролёт мимо - это не к Шварцшильду.

А почему? Если в первом приближении (пост-ньютоновском), то почему нет? Пусть чёрная дыра создала какое-то стационарное гравитационное поле. А дальше рассматриваем движение в этом поле. Может даже какие-то законы сохранения выполняться будут. Собираюсь поинтересоваться этой темой. Для начала осилить параграф 101 из "Теории поля" Ландау-Лифшица.