Свободное падение объекта в шахту, проходящую через центр Земли.

[СТРОБОСКОП]

Вот решение для идеального случая:

Спасибо, что нашел решение, я уже половину намучал в Латексе, избавил от лишних трудов.
Замечу только, что результат (формула 7), если его переписать в виде \[T=2\pi \sqrt{\frac{R^{3}}{MG}}\]
полностью совпадает с выражением для периода вращения тела по круговой орбите на нулевой высоте с 1-й космической скоростью, или по вырожденной орбите с малой полуосью =0, а большой =R_з.(Deimos, ответ#34) Т.е на период не влияет, как распределена масса Земли равномерно, неравномерно, или вся в центре.

[zam2]

Т.е на период не влияет, как распределена масса Земли равномерно, неравномерно, или вся в центре.

Распределение массы на период - влияет. Формула - именно для равномерного распределения.

[leon10010]

Т.е на период не влияет, как распределена масса Земли равномерно, неравномерно, или вся в центре.

Распределение массы на период - влияет. Формула - именно для равномерного распределения.

На период - не влияет. Влияет только на отдельные фазы .

Вообще ничего считать не надо.
 Если телу придать скорость вдоль поверхности планеты без атмосферы, а другое тело уронить в дырку
 - то они встретятся  с другой стороны планеты.

[konstkir]

Т.е на период не влияет, как распределена масса Земли равномерно, неравномерно, или вся в центре.

Распределение массы на период - влияет. Формула - именно для равномерного распределения.

В случае с тоннелем, конечно, влияет. Я уже выше приводил данные. Полупериод в этом случае для Земли меньше на 4 минуты, так как сила тяжести убывает к центру не пропорционально R, а меньше.

https://www.gazeta.ru/science/2015/03/27_a_6613529.shtml

[xd]

Если находиться снаружи тела, то распределение масс действительно не влияет, главное чтобы оно оставалось центрально-симметричным. А внутри - да, влияет. Есть желающие порешать дифференциальные уравнения?

[zam2]

На период - не влияет. Влияет только на отдельные фазы .

Влияет и на период.

Если телу придать скорость вдоль поверхности планеты без атмосферы, а другое тело уронить в дырку - то они встретятся  с другой стороны планеты.

Только если планета - однородный шар.

[СТРОБОСКОП]

Только если планета - однородный шар.

А если вся масса планеты сосредоточена в центре?

[zam2]

Только если планета - однородный шар.

А если вся масса планеты сосредоточена в центре?

В этом случае период будет в \(\sqrt{8}\approx 2.8\) раз меньше.
А если вся масса сосредоточена в оболочке (пустотелая сфера), то период стремится к бесконечности.

[СТРОБОСКОП]

В этом случае период будет в 8–√≈2.8 раз меньше.

а как быть с https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C
Отрывок на фото. Если сравнить с ответом #42 и #43. Откуда восьмерка взялась?

[zam2]

а как быть с https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

С Вики это полностью согласовано. Движение в тоннеле однородного шара (сила притяжения пропорциональна расстоянию от центра) полностью эквивалентно движению по круговой орбите (Х-компонента силы притяжения пропорциональна Х-компоненте расстояния до центра масс).

Если сравнить с ответом #43 и #43.

Там то же самое, что и в Вики.

Откуда восьмерка взялась?

Вот отсюда: \(\displaystyle T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}} \) . Это третий закон Кеплера (и из ответа #34). Если собираем массу шара в его центр, большая полуось \(\left ( a \right )\) уменьшается в два раза. \(a^3\) уменьшается в 8 раз.

[Geen]

Только если планета - однородный шар.

А если вся масса планеты сосредоточена в центре?

В этом случае период будет в \(\sqrt{8}\approx 2.8\) раз меньше.

Надо только заметить, что при этом характер движения не тоннельный...

[СТРОБОСКОП]

Ну почему так мозговня устроена, что вечно забываешь (хотя прекрасно знаешь), что центр вращения не в центре, а в фокусе эллипса?

[AlAn 3/4+]

Ну почему так мозговня устроена, что вечно забываешь (хотя прекрасно знаешь), что центр вращения не в центре, а в фокусе эллипса?

А Вы рассмотрите случай круговой орбиты, и всё совпадёт!

[ulitkanasklone]

Хотел бы довести до численных результатов задачу про задержку времени для падающего наблюдателя, который вернулся обратно в ту же точку тоннеля относительно неподвижного.
У меня получилось следующее.
Пренебрегу эффектами ОТО и остановлюсь только на СТО. Метрика записывается в данном случае:
\[ ds^2=c^2d{\tau}^2=c^2dt^2-dr^2  \]
\( \tau \) - собственное время падающего наблюдателя. \( t \) - время покоящегося.
Тогда:
\[ d{\tau}=\sqrt{1-\frac{\dot{r}^2}{c^2}}dt{\approx} (1-\frac{1}{2}\frac{\dot{r}^2}{c^2})dt   \]
Точка сверху - производная по времени \( t \).
Поскольку \( \dot{r}^2/c^2<<1 \)
Эффект   по ТО связан со вторым членом :
\[ \Delta{\tau}=\int_{0}^{T}{\frac{\dot{r}^2}{2c^2}dt} \]
Уравнение движение для постоянной плотности:
\[ \ddot{r}+4/3{\pi}G{\epsilon}r=0 \]
Решение с данными начальными условиями такое:
\[ r=R\cos(\frac{2{\pi}t}{T}) \]
\( \quad T \)- период возврата в исходную точку.
Интегрирование дает:
\[ \Delta{\tau}=\frac{\pi^2R^2}{c^2T} \]
Подставляя все найденные значения , получил:
\[ \Delta{\tau}=870 ns \]
Проверьте кто-нибудь.

[-Юрий-]

центр вращения не в центре, а в фокусе эллипса?

Вообще-то центр вращения в центре массы.

[СТРОБОСКОП]

Вообще-то центр вращения в центре массы

А центр массы в одном из фокусов орбиты. А орбита - эллипс.
Масло масляное.

[СТРОБОСКОП]

Мужики, вы о чём? О вращении или об обращении?

Вот давайте не будем опускаться до уровня дискуссии "Как правильно в Украину или на Украину?"

[Earth-2]

   Пока я смогу выдать в тему только АЛГОРИТМ решения задачи (на большее пока не способен).
   Решается дифференциальное уравнение (зависимость t от R). Результатом будет синусоида.
   По отметке 2R на ординате и по соответствующей точке на графике находится значение t.
   Должно получиться 2,52x10^3 сек (42 мин).

[СТРОБОСКОП]

  Пока я смогу выдать в тему только АЛГОРИТМ решения задачи (на большее пока не способен).

Да решение уже давно приведено в #39,от Konstkir       https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-fizike-1465

[Earth-2]

Спасибо за информацию!
Буду теперь читать всё подряд!

Я предложил графическое решение задачи, этого не было.