Скорая Математическая Помощь

[Садко С.]

Далеко не все люди в ладах с математикой. Но без математики нет ни физики, на астрономии. Но запомнить огромное число теорем, формул это для нематематика невозможно. В Горизонтах чуть что, так «Ты случаем не дурак?» И правильно!!! «Чайникам» в Горизонтах надлежит быть «Читателями». Но иногда хочется побыть и «Писателем», как-никак, а «Чукчи» есть и среди астрономов-любителей. Хотелось бы получать конкретные ответы на конкретные вопросы без нравоучений и отсыла к учебникам. Поэтому попробую открыть тему для «двоешников» по математике , нуждающихся в математической помощи и консультациях. Пробую задать первый вопрос.

В одной ИСО испытывают два релятивистских авто, А и В. Масса каждого \(m.\) Разогнали их навстречу друг другу. Скорость (модуль) каждого авто в ИСО 0,7 скорости света. А и В столкнулись. Как и по какой формуле считать "энергию столкновения" в ИСО?

[zam2]

В одной ИСО испытывают два релятивистских авто, А и В. Масса каждого \(m.\) Разогнали их навстречу друг другу. Скорость (модуль) каждого авто в ИСО 0,7 скорости света. А и В столкнулись. Как и по какой формуле считать "энергию столкновения" в ИСО?

Это просто.
Кинетическая энергия тела вычисляется вот так: \(T=mc^2\left ( \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1 \right )\). Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/Кинетическая_энергия#Кинетическая_энергия_в_релятивистской_механике.
При таком столкновении вся кинетическая энергия двух тел (то есть \(2T\)) превратится в энергию других видов. Для \(v=0.7c\) это составит \(0.8mc^2\).
И этот результат не зависит от того, в какой ИСО (или неИСО) этот расчёт выполняется.

[Садко С.]

В ИСО неподвижный Шар. Радиус его \(r.\) Масса \(m.\)

В ИСО хотел найти, какое постоянное ускорение \(a\) необходимо, чтобы бы выполнялись следующие требования или условия. Первое, по окончанию ускорения скорость Шара равна \(v.\) Второе, сила действует на Шар на отрезке, в конце которого «диаметр» Шара равен \(r \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.\)  Случай релятивистский. С увеличением скорости Шар в ИСО уже не шар и «диаметр» вдоль вектора ускорения постоянно уменьшается. Всё учесть не знаю как. Есть ли готовая формула?

Пытался считать в СО Шара. Но с равноускоренной СО совсем дело швах. Какую Формулу следует там применить?

Результаты вычислений в ИСО и в СО Шара должны совпадать?

[zam2]

В ИСО неподвижный Шар. Радиус его \(r.\) Масса \(m.\)

В ИСО хотел найти, какое постоянное ускорение \(a\) необходимо, чтобы бы выполнялись следующие требования или условия. Первое, по окончанию ускорения скорость Шара равна \(v.\) Второе, сила действует на Шар на отрезке, в конце которого «диаметр» Шара равен \(r \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.\)  Случай релятивистский. С увеличением скорости Шар в ИСО уже не шар и «диаметр» вдоль вектора ускорения постоянно уменьшается. Всё учесть не знаю как. Есть ли готовая формула?

Основная статья по этому вопросу: https://ru.wikipedia.org/wiki/Релятивистское_равноускоренное_движение
Лучше писать не "диаметр" шара (потому как это уже не шар, а сплюснутый эллипсоид вращения), а продольный размер разгоняемого тела. И он равен \(2r \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\).
Из статьи берём две формулы:
Зависимость скорости от времени: \(v\left ( t \right )=\frac{at}{\sqrt{1+\frac{a^2t^2}{c^2}}}\).
Зависимость пройденного пути от времени: \(s\left ( t \right )=\frac{c}{a}\left (\sqrt{c^2+a^2t^2}-c  \right )\).
Из этих двух формул можно выразить время разгона \(t\) и ускорение \(a\). Справитесь?

Пытался считать в СО Шара. Но с равноускоренной СО совсем дело швах. Какую Формулу следует там применить?
Результаты вычислений в ИСО и в СО Шара должны совпадать?

А вот использование равноускоренных (неинерциальных) СО - это дело сложное. Про это статья: https://ru.wikipedia.org/wiki/Координаты_Риндлера .
Результаты, конечно, должны совпасть. Но посмотрите статью. Готовы ли вы работать с использованным там математическим апаратом?

[Садко С.]

В ИСО неподвижный Шар. Радиус его \(r.\) Масса \(m.\)

В ИСО хотел найти, какое постоянное ускорение \(a\) необходимо, чтобы бы выполнялись следующие требования или условия. Первое, по окончанию ускорения скорость Шара равна \(v.\) Второе, сила действует на Шар на отрезке, в конце которого «диаметр» Шара равен \(r \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.\)  Случай релятивистский. С увеличением скорости Шар в ИСО уже не шар и «диаметр» вдоль вектора ускорения постоянно уменьшается. Всё учесть не знаю как. Есть ли готовая формула?

Основная статья по этому вопросу: https://ru.wikipedia.org/wiki/Релятивистское_равноускоренное_движение
Лучше писать не "диаметр" шара (потому как это уже не шар, а сплюснутый эллипсоид вращения), а продольный размер разгоняемого тела. И он равен \(2r \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\).
Из статьи берём две формулы:
Зависимость скорости от времени: \(v\left ( t \right )=\frac{at}{\sqrt{1+\frac{a^2t^2}{c^2}}}\).
Зависимость пройденного пути от времени: \(s\left ( t \right )=\frac{c}{a}\left (\sqrt{c^2+a^2t^2}-c  \right )\).
Из этих двух формул можно выразить время разгона \(t\) и ускорение \(a\). Справитесь?

Нет. Увы, но меня так и не научили решать систему двух уравнений с тремя неизвестными \(s,\) \(a\) и \(t.\) (Не исключено, что-то проскакивает мимо моего понимания.)  Вон сколько времени потратил, но не справился с задачей, которую поставил пред собой.
Хотя сообщённые Вами формулы не совсем то, может, даже совсем не то, что хотелось, тем не менее, сойдёт. Как-нибудь попытаюсь их использовать. Буду считать заданным \(s\) как и \(v,\) то есть, рассматривать частные случаи. Плохо это и бездоказательно. Но при отсутствии гербовой сойдёт. Не обессудьте. Это, похоже, мною не так был задан вопрос.

[Садко С.]

Пытался считать в СО Шара. Но с равноускоренной СО совсем дело швах. Какую Формулу следует там применить?

А вот использование равноускоренных (неинерциальных) СО - это дело сложное. Про это статья: https://ru.wikipedia.org/wiki/Координаты_Риндлера ...
…
…Но посмотрите статью. Готовы ли вы работать с использованным там математическим апаратом?

Нет, не готов. Но это пока не важно. Так как меня напрягает Ваше:

Результаты вычислений в ИСО и в СО Шара должны совпадать?

Результаты, конечно, должны совпасть.

При постоянном ускорение \(a\) Шара в ИСО разве ускорение \(a’\) ИСО в СО, в которой Шар неподвижен, остаётся постоянным? Или по другому, при постоянном ускорение \(a\) Шара в ИСО разве в СО, в которой Шар неподвижен, показания Акселерометра не меняются? Ведь размерность ускорения \(LT^{-2}.\) Ничего личного и политического. Только математика.

[zam2]

Нет. Увы, но меня так и не научили решать систему двух уравнений с тремя неизвестными \(s,\) \(a\) и \(t.\)

У вас же не три неизвестных, а два. Вы же в условии написали, что шар разгоняется на некотором отрезке до скорости такой-то. Вот длина этого отрезка и есть \(s\). Естественно, чем меньше длина отрезка, тем большее ускорение потребуется.

[Садко С.]

Равноускоренное движение и инерция? Что это такое?

Нет. Увы, но меня так и не научили решать систему двух уравнений с тремя неизвестными \(s,\) \(a\) и \(t.\)

У вас же не три неизвестных, а два. Вы же в условии написали, что шар разгоняется на некотором отрезке до скорости такой-то. Вот длина этого отрезка и есть \(s\). Естественно, чем меньше длина отрезка, тем большее ускорение потребуется.

Счастливый, Вам можно позавидовать. Но я так не могу. В моей реальности все тела это не точки.

Для объяснения моей проблемы приходится создать отдельную Тему.

«Равноуско́ренное движе́ние — движение тела, при котором его ускорение. постоянно по модулю и направлению.» ©

«Равноускоренное прямолинейное движение. Это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. ускорение постоянно.» ©

Привёл две цитаты, а их сонм, но они по сути одни и те же. При пристальном рассмотрения равноускоренного прямолинейного движения, согласно приведённых определений, возникли серьёзные трудности с пониманием сути такого движения.

Описание возникшей проблемы.

В ИСО в момент времени \(t_1\) имеется протяжённое Тело, длина которого \(2r\) и скорость которого \(v_1 = 0\). Ракета, авто, стрела, протон? Без разницы. Пока.

При ускорении, постоянного по модулю и направлению, в ИСО в момент времени \(t_2\) скорость Тела \(v_2,\) длина тела \(2r \sqrt {1 - \frac {v_2^2}{c^2}}.\)

Согласно zam2, если «шар разгоняется на некотором отрезке, то длина этого отрезка и есть \(s.\) Попробую принять это как данное.
Но Тело (шар) за промежуток времени \(\Delta t = t_2 - t_1\) стало короче. Поэтому  «передок» Тела разгонялся на отрезке \(s_П:\)\[ s_П = s - r \Bigg(1 - \sqrt {1 - \frac {v_2^2}{c^2}} \, \Bigg)  \] А «зад» Тела разгонялся на отрезке \(s_З:\)\[ s_З = s + r \Bigg(1 - \sqrt {1 - \frac {v_2^2}{c^2}} \, \Bigg)  \]Так что, не так всё просто. Нет ли в таком подходе подхода к описанию инерции?
И, не может ли так получится, что скорость «зада» Тела превысит \(c?\)

А если посмотреть на, так называемое, гравитационное поле Тела. Как далеки его границы? И при разгоне Тела в какой-либо СО, разгоняется ли вместе с Телом, так называемое, гравитационное поле Тела? И сокращаются ли «продольные размеры», так называемого, гравитационного поля Тела? Если «Да», то во весь рост встаёт вопрос о скорости перемещения «зада» гравитационного поля Тела. Скорость такого «зада» должно будет в разы превышать скорость света, что невозможно.

Поэтому, просьба, где можно прочесть по перечисленным мною вопросам?
Может, у кого есть ответы на мои вопросы? Буду весьма признателен.

P.S. Просьба к модераторам не переносить Тему в Горизонты. Там набегут добровольцы-экзаменаторы и, пиши, пропала Тема. А у меня ответов нет. Только вопросы. У меня нет ссылок на работы в рецензируемых журналах. Нет вообще ссылок на какие-либо статьи по затронутой мною теме.   

[xd]

Комментарий модератора

А давайте Вы не будете плодить слишком много тем, хорошо?

[zam2]

Описание возникшей проблемы.
В ИСО в момент времени \(t_1\) имеется протяжённое Тело, длина которого \(2r\) и скорость которого \(v_1 = 0\). Ракета, авто, стрела, протон? Без разницы. Пока.
При ускорении, постоянного по модулю и направлению, в ИСО в момент времени \(t_2\) скорость Тела \(v_2,\) длина тела \(2r \sqrt {1 - \frac {v_2^2}{c^2}}.\)

Вот так бы сразу и формулировали. А то как же понять, что вас интересует?
Ваша проблема связана вот в чем.
1. В теории относительности нет понятия абсолютно твёрдого тела (то есть тела, расстояние между двумя точками в собственной системе отсчёта постоянно). Поэтому, если расматривается протяжённый объект (например, ракета), то у него нет единой скорости, даже при поступательном движении. Есть скорость центра инерции, есть скорость носа, есть скорость кормы. Совпадать они, вообще говоря, не обязаны (но все они меньше скорости света в инерциальной системе отсчёта).
2. В теории относительности одновременность относительная. То есть, сравнивая скорости (и ускорения) в некоторый момент времени, мы должны явно проговорить - это в какой системе отсчёта момент времени.
3. Ваша проблема близка к так называмому парадоксу Белла (он же парадокс струны). Вот рассказ про него: https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Белла . Почитайте, если не знакомы. Это любопытно.

Согласно zam2, если «шар разгоняется на некотором отрезке, то длина этого отрезка и есть \(s.\) Попробую принять это как данное.
Но Тело (шар) за промежуток времени \(\Delta t = t_2 - t_1\) стало короче. Поэтому  «передок» Тела разгонялся на отрезке \(s_П:\)\[ s_П = s - r \Bigg(1 - \sqrt {1 - \frac {v_2^2}{c^2}} \, \Bigg)  \] А «зад» Тела разгонялся на отрезке \(s_З:\)\[ s_З = s + r \Bigg(1 - \sqrt {1 - \frac {v_2^2}{c^2}} \, \Bigg)  \]Так что, не так всё просто. Нет ли в таком подходе подхода к описанию инерции?
И, не может ли так получится, что скорость «зада» Тела превысит \(c?\)

Да, не всё так просто. Но и не очень и сложно. Да, нос и корма ракеты проходят разные расстояния (корма больше). Да, среднее ускорение носа больше, чем среднее ускорение кормы. Поэтому мировая линия носа кривее мировой линии кормы (в частности, поэтому часы на корме отстают от часов на носу).
К инерции это отношения не имеет. Тут никакой динамики, одна кинематика.

А если посмотреть на, так называемое, гравитационное поле Тела. Как далеки его границы? И при разгоне Тела в какой-либо СО, разгоняется ли вместе с Телом, так называемое, гравитационное поле Тела? И сокращаются ли «продольные размеры», так называемого, гравитационного поля Тела? Если «Да», то во весь рост встаёт вопрос о скорости перемещения «зада» гравитационного поля Тела. Скорость такого «зада» должно будет в разы превышать скорость света, что невозможно.

У гравитационного поля нет границ. Гравитационное поле (и любое поле) не может двигаться, следовательно, не может разгоняться. Оно может только изменяться. У гравитационного поля нет размеров.

[Садко С.]

У гравитационного поля нет границ. Гравитационное поле (и любое поле) не может двигаться, следовательно, не может разгоняться. Оно может только изменяться. У гравитационного поля нет размеров.

Что ж, тема не получилась. Бывает.

Модераторы! Прошу тему закрыть. Можно даже удалить, по усмотрению Модератора.

[xd]

Комментарий модератора

Это что вообще было-то? Зачем переносить разговор из одной ветки в другую в другом разделе?

[Один из ежат Деда]

Число Пи  - что это такое?

Число пи есть математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру. Допустим.
Если возьмём ИСО_пи, в которой окружность неподвижна, то у меня вопросов вроде как бы нет. Но в другой ИСО, например, в ИСО’, то коленкор совсем другой. Там уже не окружность, а вроде как бы эллипс(?). И его/её длина меньше длинны окружности из ИСО_пи. И при любой скорости в направлении совпадающей с любым диаметром длина окружности/эллипса больше длины двух диаметров из ИСО_пи.

Так чему же равна длина движущейся окружности и чему равна “пи” в ИСО’?

Но это лишь цветочек, а ягодка “созревает” в спидометре авто или в счётчике километров. А если ещё делать отметки, например, краской на шоссе каждый оборот колеса, то там вообще дурдом нарисовывается.

Так чему же равна длина движущейся окружности и чему равна “пи” в ИСО’?

[zam2]

Число Пи  - что это такое?

Это такая константа, константа Архимеда. У неë огромное количество определений. Например \( \pi = 2arccos(0) \).

Число пи есть математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру в эвклидовой геометрии.

Вы забыли выделенные жирным слова.

Там уже не окружность, а вроде как бы эллипс(?).

Да.

И его/её длина меньше длинны окружности из ИСО_пи.

Да.

Так чему же равна длина движущейся окружности и чему равна “пи” в ИСО’?

Длину эллиптической кривой вы легко посчитаете при помощи преобразования Лоренца и формул для эллипса (правда, в элементарных функциях она не выражаетася).
Число "пи" от выбора системы не зависит. Оно вообще ни от чего не зависит. Потому что константа.

[Один из ежат Деда]

Длину эллиптической кривой вы легко посчитаете при помощи преобразования Лоренца и формул для эллипса (правда, в элементарных функциях она не выражаетася).

Вы ошибаетесь. ПЛ мне не по зубам. Если бы было так, как Вы пишете, я бы не постил свой вопрос. Ладно, зайду с другого боку.

Первый случай. В ИСО1 есть неподвижные пункт А и пункт Б, расстояние между ними =314 км по шоссе. Из пункта А в пункт Б по шоссе движется авто с постоянной скоростью v1.

В ИСО(авто) авто неподвижно, а расстояние (условно) между пунктами А и Б по шоссе (314-0,00314) км. Диаметр колеса авто =1 м. длина окружности колеса =3,14 м. Каждый оборот колеса колесо делает метку на шоссе.

Смотрим в ИСО1, между пунктами А и Б в итоге (100000-1) отрезков по =3,14 м.

Второй случай. В ИСО1 из пункта А в пункт Б по шоссе движется авто с постоянной скоростью v2, при этом v2 больше v1.

В ИСО(авто) авто неподвижно, а расстояние между пунктами А и Б по шоссе (314-0,00628) км. Диаметр колеса авто =1 м. длина окружности колеса =3,14 м. Каждый оборот колеса колесо делает метку на шоссе.

Смотрим в ИСО1, между пунктами А и Б в итоге (100000-2) отрезков по =3,14 м.  Это означает неравенство отрезков первого случая отрезкам второго случая, что даёт повод подозревать в непостоянстве пи.

Но Вы написали:

Число "пи" от выбора системы не зависит. Оно вообще ни от чего не зависит. Потому что константа.

Допустим, хотя сомневаюсь. С недоверием отношусь к любым “костылям”, к дополнительным непрописанным постулатам. Эдак всё что угодно доказывается.

Но, допустим, Вы правы. Но тогда все разговоры про реальное сокращение движущихся расстояний пустые хлопоты? Шоссе сжимается, а линейка, в данном случае длина обода колеса авто, не сжимается?

Это странно для меня. Как минимум. Но это далеко не все странности.

В ИСО(авто) ось колеса неподвижна. Вместе с этим место сцепления колеса с шоссе и шоссе неподвижны относительно друг друга, но относительно авто имеют одну и ту же скорость. Соответственно у них одинаковые относительные укорачивания. И если колесо, её обод, есть эталонная линейка =3,14 м, то спидометр должен вроде как намотать длину шоссе равную =314 км. Говоря по-русски, шоссе, не смотря на свою скорость относительно авто, ни капельки не укоротилось относительно авто. “Дурдом” какой-то у меня нарисовался. Или всё в способе измерения эталоном, а не формулами с гаммой? То есть, без фокусов арифметики?

Самому не разобраться, требуется помощь.

[AlAn 3/4+]

А разве движущееся колесо остаётся круглым диском? Может тоже принимает некоторую эллиптичность... 

[Один из ежат Деда]

А разве движущееся колесо остаётся круглым диском? Может тоже принимает некоторую эллиптичность... 

Я и в этом направлении ковырял свою проблему. Ещё больше запутался.

В ИСО(авто) ось колеса неподвижна. В ИСО(авто) колесо вращается и только! Но не движется ни по какой пространственной оси, если уместно так сказать. С какого перепугу в таком случае ему менять форму? Не вижу причин.

[СОЮЗ]

А разве движущееся колесо остаётся круглым диском? Может тоже принимает некоторую эллиптичность... 

Я и в этом направлении ковырял свою проблему. Ещё больше запутался.

В ИСО(авто) ось колеса неподвижна. В ИСО(авто) колесо вращается и только! Но не движется ни по какой пространственной оси, если уместно так сказать. С какого перепугу в таком случае ему менять форму? Не вижу причин.

Ловко придумано, авто в пространстве движется, а колесо (ось колеса) нет 
Если автомобиль двигается в пространстве, то и все остальное, все его точки, в т.ч вращающиеся, тоже.
И движение точки на колесе уже не будет иметь траекторию круга

[Игорь_ЕД]

Один из ежат Деда .
Тут надо различать два случая - система отсчёта вращается или нет.

Первый случай - система отсчёта вращается. Наблюдатель находится в центре колеса и вращается вместе с ним. По поводу того, чему равна длина окружности во вращающейся системе отсчёта, смотрите задачу к параграфу 89, Ландау, Лифшиц, "Теория поля", курс ТФ , том 2. 

Второй случай - система отсчёта не вращается, но движется вместе с автомобилем (например, находится в центре колеса, но не вращается). Тогда для неё никаких сокращений длины окружности (то есть обода колеса) не происходит. Что касается сокращения длины дороги, то тут сокращение разное для разных точек дороги. И для точек дороги, которые вблизи касания с колесом, сокращения вообще не происходит. 

[Один из ежат Деда]

Второй случай - система отсчёта не вращается, но движется вместе с автомобилем (например, находится в центре колеса, но не вращается). Тогда для неё никаких сокращений длины окружности (то есть обода колеса) не происходит. Что касается сокращения длины дороги, то тут сокращение разное для разных точек дороги. И для точек дороги, которые вблизи касания с колесом, сокращения вообще не происходит.

У меня второй случай. Только пара уточнений.
- В ИСО(авто) пусть начало координат в центре колеса. ИСО(авто) не вращается. В ИСО(авто) авто неподвижно.
- В ИСО(авто) шоссе (дорога) движется со скоростью, модуль которой v1 или v2. Всё шоссе целиком. И согласно формулам с гаммой всё шоссе целиком укорачивается в соответствии с гаммой.

Вы пишете: “никаких сокращений длины окружности (то есть обода колеса) не происходит”.

“zam2” пишет: “Число "пи" от выбора системы не зависит. Оно вообще ни от чего не зависит. Потому что константа.”

Оба великодушно извините меня, но не кажется ли вам, что один из вас не прав?

Или всё дело в способе измерения длины шоссе? В таком случае вы оба можете быть правы. Извините.

А я так надеялся на зависимость пи от СО, от гаммы. Срывается. Жаль.