Межпланетный Транспорт: двигатели и стратегии

[Андрей Курилов]

Самое непонятное, откуда ракета знает, с какой скоростью она движется относительно наблюдателя, измеряющего КПД?

Ракете всё равно, она всегда находится в покое относительно самой себя.
Наблюдателю не всё равно, ему нужно, чтобы ракета имела скорость истечения в каждый момент времени равный скорости этой ракеты относительно наблюдателя.
Тогда, относительно наблюдателя, выхлоп ракеты остаётся "стоять на месте", т.е. имеет минимум кинетической энергии, а вся кинетическая энергия истечения струи переходит в кинетическую энергию ракеты.То же и с эффектом Оберта. Наиболее выигрышно оставить весь выхлоп ракеты остаться "висеть неподвижно" на дне гравитационной ямы, с минимумом кинетической и потенциальной энергии. Всё перетекает в кинетическую энергию ракеты на выходе - квадрат скорости.

[crazy_terraformer]

Раствор солей урана-235 в тяжёлой воде.

Почему не плутония? 238го урана сильно поболе будет.

Не экологичненько. 235-изотоп урана природный, а плутоний — искусственный.

[alex_semenov]

Скорость истечения должна быть как можно ближе к скорости разгоняемого.
Поэтому КПД РДТТ выше на первой ступени, чем у керосина.

Не первый раз встречаю такие рассуждения у Семёнова. Но что имеется в виду? Самое непонятное, откуда ракета знает, с какой скоростью она движется относительно наблюдателя, измеряющего КПД?

Я 100 раз это уже рассказывал.
Меня до сих пор удивляет что люди, которые не по наслышке разбираются в динамике летательных аппаратов и баллистических ракет часто не знают ТАКОЙ ЭЛЕМЕНТАРЩИНЫ.
Я сам долго пребывал в наивном неведении но переводя презентацию (то есть короткие тезисы-намеки к устной лекции!) Лэндиса (иного я тогда в сети не нашел об ионном зонде снабжаемом энергией по лучу) я опешил:

Межзвездный ионный зонд, снабжаемый энергией по лазерному лучу

Откройте ссылку и посмотрите (картинки из этого моего сайта перестали отображаться на форуме поэтому, звеняйте, без наглядных иллюстраций!). Презентация начинается с потрясшего меня заявления:
 

Проблема: необходимо добиться максимальной эффективности использования энергии ракетой.

Эффективность определяется как дельта-V достигнутая на килограмм отброшенной массы за киловатт полученной энергии.
Максимальная энергетическая эффективность не совпадает с максимальным импульсом.

Максимальная энергетическая эффективность ракеты достигается, если скорость истечения рабочей массы в любой момент разгона равна мгновенной скорости корабля.

V_e=V

Я не поверил своим глазам когда это прочел в первый раз. Я решил что я неправильно понял набор бусурманских слов. Но там была примитивная формула и цифры! И я отложил перевод и начал думать..  И тут меня пробило! Там в перезентации серыми буквами - мои комментарии. Расшифровка невероятного "открытия"!
Больше всего меня потряс не сам факт наличия такой динамической особенности ракетного ПРИВОДА с постоянной и переменной скоростью истечения, сколько факт того что нам ЭТО НИКТО НИКОГДА НЕ РАССКАЗЫВАЛ В БЕСКОНЕЧНЫХ МУРЗИЛКАХ про ракеты. От всяких там Клушанцевых, Зигелей и Фельдманов! То есть популяризаторы ракетной динамики тупо эту важную "тайну" "засекретили".
Особенно Зигель с его "Занимательной космонавтикой". Он рассказывал об эффекте Оберта, о массе тонких и сложных нюансов орбитальной динамики, об всякого рода парадоксах ракет. Но об этом (это же вторая по важности закономерность после формулы Циолковского! Она из нее же напрямую следует, для ракеты с постоянной скоростью истечения! Для ракеты с переменной, псевдоидеальной  - вообще из закона сохнарения импульса!!!!) Журнал Квант неоднократно в рубрике "Р-значит ракета!" исследовал всякие тонкости движения ракет но об этом - НИ СЛОВА!
Почему?
Для меня до сих пор - загадка. Почему это считалось неважным, несущественной закономерностью  "для нашей молодежи"?
Почему я должен уже в сотый раз разжевывать кому-то (еще и вам!!! Вы же рубите!!!) такую БАЗОВУЮ элементарщину?
Из Перышкина!
Ну посмотрите. Это я вываел сам для "почти" идеальной ракеты. Скорость истечения у которой "почти" равна скорости полета (в системе отсчета старта!!!!) из закона сохранения импулься и закона сохранения энергии.



Более того.
Я стал наблюдать. Кто-нибудь кроме меня вывел вот это (это же я вывел сам! У Мэтлофа в призентации этого не было же! Там была констотация факта и все! Намек  по которому я сам сделал чудовищно важное "открытие" в четыре действия с известными "школьными" формулами!):



Это для ракеты с постоянным истечением! И это не просто графики. Тут же вывод этой самой  формулы эффективности! Какие могут быть сомнения?! Вывод в два действия! Все же - очевидно!!!  Еще очевидней чем сама ф. Циолковского!
Тут даже нет интегрирования дифференцирования!!!
Но где кто-нибудь ее еще вывел?
Меня беспокоило что даже в толстенных учебниках по ракетам (забитых формулами и кривыми) я не вижу этих давно (с 2008-го года!) мне (только мне?!!!) знакомых кривых и формул энергетической эффективности абстрактного ракетного привода вне поля гравитации и сопротивления среды (то есть то, что я тут назвал инерционной эффективностью. Ракета тут как "сферический конь в вакууме" сражается лишь с одной силой. Псевдосилой. Силой инерции).
Это беспокоило.
Что никто кроме меня не написал нигде такой элементарной и фундаментальный закон.
На марках же должно быть!!!

Ну как закон Ньютона там...

Но НЕТ! Я нигде не видел! И это долго создавало у меня сильный когнитивный диссонанс.
Ты что пацан, самый умный? Тебе, что, больше всех надо?
Что за идиотский "всемирный заговор"?
Но... однажды я встретил и вывод и даже кривую...
Как вы думаете где?
Случайно. На сайте у Хлынина (он собирает всю "макулатуру" уже на самых разных языках о космосе. И я завел привычку у него рыться в новых его находках).
Работа на немецком. Начала 50-х.
Зенгер. Тот самый Зенгер!
Общая такая работа о динамике ракет. Эта закономерность (для ракеты с постоянной скоростью истечения) выведена у него между делом. Походя. Мол, в классической механике - это так... И он сразу переходит к релятивистской динамике.
То есть. Видимо закономерность настолько ОЧЕВИДНАЯ, что люди хорошо знающие физику не сочли необходимым ее разжёвывать популяризаторам. А популяризаторы (со всем уважением!) просто тупо не въехали сами в это. А если въехали, то не сочли нужным это разжёвывать для тупого читателя, посчитав это неважным.
Я думаю что история именно в этом.
Так и происходит в итоге. Со моной, с вами, с массой других людей попроще. Люди знают массу мелочей там, где "натоптано".  Где "разжевали и в рот положили". Куда натыкали мордой.  Но шаг в сторону - все! Мы не можем поверить даже в элементарный логический вывод! Свой собственный! В три действия!!!
Шаг в сторону - темный лес и масса сомнений!
"Имею ли я право иль тварь дрожащая?!!!" (с)

При запуске  баллистических ракет c Земли или над Землей мало кого интересует ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ оптимизация ракеты.
Оптимизируют массу. Так и повелось. До "маразма Братьев Стругацких с фотонным планетолетом "Хиус".
Дооптимизировались, блин!
Люди в упор не понимаю зачем оптимизировать энергозатраты?
Надо оптимизировать массу!
Чем выше истечение тем лучше же!
Но это - глупость несусветная! И массовая.
Я ее слышал от людей, которые профессионально заняты термоядерным синтезом в Германии (жрецов науки! который от нее жрут! Не пальцем деланные физики, блин!)
А энергетика и так (по сути) оптимальна у химических ракет. Случайно так сложилось. Скорость истечения пара из водородно-кислородного двигателя ПОЧТИ оптимальна по графику выше. u/v, то есть 4500/8000 ну почти попадает на экстремум кривой оптимизации (пик пологий, поэтому есть у оптимизатора пространство для маневра по массовому числу и скорости истечения).
Видите?
И поэтому не важно это знать "любознательном читателю". Это не предмет битвы ракетчиков за совершенство.
Надо рассказать лоху о других куда более многочисленных проблемах баллистических ракет и ракетоносителей на химии.
Поэтому этот ВОПИЮЩИЙ факт о ракетах остается в тени.
Но факт - ФУНДАМЕНТАЛЬЕЙШИЙ!
Это должен знать, на самом деле, КАЖДЫЙ как "отче наш"!
Но даже вы - не знаете.
Удивляетесь и сопротивляетесь.
Что и веселит! Удивляет!
Я не над вами иронизирую. Я над НАМИ иронизирую! Сам же такой же дурак! Фома не верующий!
Но я вынужден был поверить (в себя и вывод в три действия). Ибо когда вы выходите на межзвездные трассы этот закон перед вами встает в полный рост. Где я в него вляпался харей с разбегу. Забытый и непризнанный "массовыми энтузиастами космонавтики" фундаментальный закон ракетной динамики...

На самом деле сейчас УЖЕ это можно увидеть даже на Вики...
https://en.wikipedia.org/wiki/Rocket

Синим - мгновенная эффективнсть. Она есть во всех фундаментальных ученбиках для любых ракетных летательных аппаратов (и воздушно-реактивных  прежде всего).



А красная кривая - та самая что я выстроил интегральная кривая для чистой ракеты в голом космосе.
Но тогда, в 2008-м, этого всего на Вики еще не было.

[Mercury127]

Хотя.. при 10 килотоннах воды... Это обнадеживает...

извините, я, кажется, напутал в расчете...
я подставил туда 220 атм, а надо было 22 МПа.
но тогда толщина стенки по формуле будет всего... 3 мм.
что явно мало! зато подозрительно похоже на толщину стенок Старшипа...
ну пусть 5 мм, тогда минимальная масса оболочки будет в 10 меньше, 176 тонн.
массовоке число получается 50. подозрительно много...

[alex_semenov]

176 тонн.
массовоке число получается 50. подозрительно много...

Не верите Меркури?
В себя не верите?
Слишком хорошо чтобы быть правдой?
Отож!!!

"Ступайте! Ступайте и не сомневайтесь! Уверенность придет к вам позже!" (с)
Д'Аламбер.

Не хотите стать заядлым энтузиастом паровых ракетных ускорителей? Тема ведь - убойная, оказывается может быть!
Ну как Андрей Астрофизический стал тут у нас главным экспертом по аэробрекингу "вверх ногами".
Ушел в тему с головой!
Ну а AlexAV (хотя куда мне до него!) - провел оптимизацию ионного ядерного космолета для межпланетных перелетов в поле тяготения центрального светила.
А еще раньше? Помните? Роберт Ибатуллин вообще на набросанных тут сырых темах роман написал "Роза и черьв", который собрал кучу премий как самый-самый хард саинс фикшен на русском (невиданное явление искусства!).
Некрасов (ганс-2), соавтор у Ибатуллина... Он целую теорию галактической цивилизации создал под это дело! Стал ярым фанатиком Облака Оорта.
Кого еще забыл? Звеняйте...
Курилов! Оберт, термоглиссер, да вообще много чего! Как же можно забыть?!!!
А пекулянкая экспансия? Вроде Вика Воробьевита подала идею?!
Оглядываюсь я....
Слеза напрашивается... Старческого умиления! Отеческая, можно сказать! 
Мы тут не просто оказывается балаболим (хотя таки да, балаболим же!). Школа, можно сказать, сложилась! Не научная, но школа научных спекулянтов - точно!
"Нация, не умеющая грамотно мечтать (научно спекулировать) будущего не имеет!" (с)
Так что "присоединяйтесь, барон! Присоединяйтесь!" (с)

[Андрей Курилов]

Курилов! Оберт, термоглиссер, да вообще много чего! Как же можно забыть?!!!
А пекулянкая экспансия? Вроде Вика Воробьевита подала идею?!

Скромности ради, должен заметить, что идея термоглиссера принадлежит пользователю LP_t, я её лишь обсасывал и защищал.
А вот диффузная экспансия на малых межзвёздных телах верхом вроде моя.

[alex_semenov]

Скромности ради, должен заметить, что идея термоглиссера принадлежит пользователю LP_t, я её лишь обсасывал и защищал.
А вот диффузная экспансия на малых межзвёздных телах верхом вроде моя.

Я всегда привязываюсь "к формуле". Должна быть затравка. Я помню, кажется именно Вика просто и наглядно вывела формулу зависимости частоты сближения светил с солнечной от дистанции и плотности (любой мог бы но только она сделала).
По поводу малых межзвездных тел  у меня осталось смутное воспоминание что-то там тоже было интересное.... Но я как-то эту тему прошел боком... Была там какая-то интересная идея.
Кстати, расчет olenellus-а по пленочной сфере Дайсона - один из наиболее содержательных тут "вбросов".
В общем, тут общими усилиями много что интересного нарыто. И тяжело выделить автора.
Одна голова - не воин. Идеи - мемы. Они эволюионируют. А значит должны кочевать из головы в голову и набирать по мере кросинговера с местным миропониманием (у каждого мыслитея-свое) силу "стиха", "эпоса"...
Где-то так....

* * *

Возвращаясь к оптимальной траектории вывода ракеты.
Я вот что скажу "надев сапоги на свежую голову".
Тут выше (не будем указывать пальцем! это действительно не так важно) высказывалось возражение, что энергию затраченную на подъем на высоту орбиты, mgh нельзя считать ПОЛЕЗНОЙ энергией аппарата, когда считаем вывод на орбиту. Мол, только кинетическую. mv²/2. Ибо тут - скорость. Мы все от скорости и меряем.
Так вот. Хрена лысого!
mgh такая же полезная работа как и mv²/2
Доказывается этого - ЭЛЕМЕНТАРНО!
Одной картинков:



Высокоэллептическая орбита. Где здесь кинетическая энергия, а где потенциальная?
Ась?
Хрен же отделите! Они тут друг в друга постоянно ПЕРЕТЕКАЮТ.
Так как одну можно считать "паразитной", а другую "полезной"?

(кликните для показа/скрытия)

А еще, если ты пилот... хотя бы виртуальный... (был грех!...)



То ты просто "жопой чуешь" что кинетическая энергия и потенциальная это ОДНО И ТО ЖЕ при схватке на вертикалях, на первых слаботянущих "свистках" - особенно!
Буквально пятым местом!
Я вирпил хреновй. Я до сих пор некоторых ботов боюсь... Но чуйка спиной, что такое энергия в бою - есть...

"Это, кстати, немцам, по поводу изобретения рентгена!" (с)

Что мол эффективность привода надо считать через скорость. Хрена лысого! Любой ПРИВОД это преобразование энергий. Подход универсальный.
И скорость ракеты связана ТОЛЬКО с кинетической энергией. А ракета в поле тяготения имеет (меняет) и потенциальную энергию. И нехило меняет.
Так что моя методика расчета эффективности привода - расово правильная!
А лепить добавку (вместо 8000 м/с 9400 м/с) - это метод ЭД ХОС.
Очень примитивно для очень узкого случая.
Мерять эффективность системы от характеристической скорости можно - но это узкий подход. Неполный. Не учитывающий многого или учитывающий все "через задний проход"
И то что где-то так сложилось "исторически" - мне пофиг!
Хрен меня задавите авторитетами! У меня своя голова на плечах!

[Инопланетянин]

Что за идиотский "всемирный заговор"?
Но... однажды я встретил и вывод и даже кривую...
Как вы думаете где?
Случайно. На сайте у Хлынина (он собирает всю "макулатуру" уже на самых разных языках о космосе. И я завел привычку у него рыться в новых его находках).
Работа на немецком. Начала 50-х.

Я это утверждение читал в журнале "Наука и жизнь" довольно давно.

[Фантазер]

Ну наконец-то!Именно это я пытался обьяснить на примере РН Союз.Но имейте в виду,что РН оптимальная с точки зрения энергии никуда не улетит по одной простой причине.Она не оптимальна по массе.И именно по этому так хороша КОРОНА -ВС.У неё самолёт -носитель отсекает самый невыгодный по энергетике участок траектории.В том числе и по гравпотерям и на сопротивление атмосферы.Кстати .На днях ,когда придет внучка .Она у меня художник.Покажу вам НАСТОЯЩИЙ космоплан.С настоящими двигателями  и настоящей ПН .И даже простой как валенок.

[tydymbydym]

Хрен меня задавите авторитетами! У меня своя голова на плечах!

Ага, зацепило-таки вас.
Но я тут и не утверждал что учитывать гравитационные потери при расчете - это универсальное решение для широкого круга задач. Наоборот, указывал что это именно для упрощения и для НОО. Но, суть-то даже не в этом. В принципе, глубоко фиолетово кто и как считает и с какими упрощениями, если они вписываются в заданную точность картины мира. Она (суть) только в том, что вы завысили потери для низкой круговой орбиты, что тоже не смертельно - у вас-то с такими маневрами и избытком вертикальной составляющей получится (без специальных мер) эллиптическая орбита с неизвестными параметрами. Ну и как тут её сравнивать с любой другой, если все характеристики для ракет обычно к низкой круговой привязаны? Я прямой вывод на ГПО не рассматриваю сейчас - это вообще отдельный случай и он не наш.
Т.е., вы сначала посчитали массу (или энергетику, что в данном случае не принципиально) для нестандартной орбиты, а потом мы дружно будем пытаться сравнить это со стандартной НОО. Считайте тогда заодно во что вас её скругление обойдется. Если не будет читерства с аэроторможением, то скорее всего обойдется скругление ровно в величину завышенных вами гравипотерь, ибо на орбите потенциальную энергию в кинетическую по своему желанию не конвертируешь по выгодному курсу.

Максимальная энергетическая эффективность ракеты достигается, если скорость истечения рабочей массы в любой момент разгона равна мгновенной скорости корабля

Блин, опять 25...
Что вам с той эффективности в очень узком диапазоне скоростей химической ракеты от 0 до 0.00005с? На этом участке общая эффективность всей системы определяется вовсе не этим, а стоимостью разработки, ценой железа и строительных работ для поддержания этого железа на старте. Поэтому может оказаться полезнее для всего проекта, если поставить на самую верхнюю ступень готовый РБ с ТТРД, чем вместо этого огород городить с водородом и термостабилизацией, хотя там оно было бы и по массе уместнее и по энергетической эффективности.

[gans2]

диффузная экспансия на малых межзвёздных телах верхом вроде моя

А я её только назвал "пекулярная".
Это Семенов еще не знает про Роющих и Искателей. И он даже не читал тетралогию постов Серой Зоны про Тьюрингов и Нейромантов.

[crazy_terraformer]

Поэтому может оказаться полезнее для всего проекта, если поставить на самую верхнюю ступень готовый РБ с ТТРД, чем вместо этого огород городить с водородом и термостабилизацией, хотя там оно было бы и по массе уместнее и по энергетической эффективности.

Монотопливный ЖРД или гибридный гетерофазный РД(где имеется твёрдый пропеллент и жидкий) тогда уж. Их можно выключить и включить.

[tydymbydym]

Монотопливный ЖРД или гибридный гетерофазный РД(где имеется твёрдый пропеллент и жидкий) тогда уж. Их можно выключить и включить.

Я про реальные примеры. New Horizons в качестве РБ имел именно что тупой твердотопливный двигатель.

[gans2]

Возвращаясь к оптимальной траектории вывода ракеты.

Вот Вам мечъ
Даташиты орбиты, взлета  и посадки для реальных и проектируемых ракет.Прошлого века еще .

Модель предназначена для численного моделирования атмосферных возвращения из-аэродинамическими позволили органам. Модель выполнена в Microsoft Excel.
https://drive.google.com/file/d/1kMaKtj5lxQ25tXk2qyfDhGN3ebXD93of/view?usp=sharing

[Mercury127]

Не верите Меркури?
В себя не верите?

интуиция подсказывает, что масса оболочки будет где то посередине. не 200 т и не 2000, а, скажем 500-700...
что тоже не плохо. для МЧ 20 и скорости истечения 1300 имеем конечную скорость 3900.

тевтонский гений подсказывает из сумрака такую конструкцию, назовем ее Ктулху:
- семь штук шаров (40 метров в диаметре каждый) по 10 кт воды внутри, сверху на них поместим еще три таких шара - это первая и вторая ступени. на самом верху химическая ступень для довыведения, и ПН 1 кт, ну или сразу ядерный Орион.
- все это полупустое собирается в океане, и начинает тонуть, заполняясь водой естественным путем.
- попадая внутрь баллонов, вода растворяет нужную примесь, которая потом ее нагреет (ну или сразу нагревает, но постепенно, пока это все тонет).
- важно. чтоб давление газа наддува в баллонах росло по мере утопления, чтоб баллоны не раздавило внешним давлением при погружении.
- на глубине около 1 км подачу воды внутрь прекращаем, и включаем триггеры для самонагрева воды.
- давление в баллонах доходит до кондиции, плотность субкритической воды внутри становится втрое меньше воды наружной.
- монстр начинает всплывать под действием архимедовой силы, набирая немалую скорость.
- близ поверхности открываем сопла первой ступени, и конструкция начинает работать реактивно, уже имея немалую скорость на старте.

ракеты я считать не умею, так что не знаю, вынесет ли такой Ктулху стартовой массой 100 кт, 1 кт на НОО, или нет...

[gans2]

А вот еще с визуализацией.
https://drive.google.com/drive/folders/1tt1BfZS9kJFF4ebai_FKurTUoQXX3VWC?usp=sharing

[elind]

примем "допускаемое напряжение" сигма 100 МПа (нержавейка при T = 400 Ц).
минимальная толщина стенки X = 220*19.51/(2*100-220/2) = 48 мм.
объем материала стенки 228 куб м, масса оболочки 1756 т при плотности 7700 кг / куб. м.

А почему у вас радиус в метрах, а толщина, внезапно, в миллиметрах?
Если пользоваться вышеприведённой формулой (и давление положить 22 МПа), то должно выйти X = 22*19.51 метров/(2*100-22/2) = 2.26 метра толщина стенки. И масса, соответственно, больше девяноста килотонн.
Если взять специальную сталь, то предел прочности можно поднять, ну, до 1000 МПа и массу "котла" уменьшить в десять раз - но всё равно он будет под девять килотонн. Тут только углерод-углеродные композиты помогут, при тех же 1-2 ГПа прочности, плотность их около двух - и масса "котла" составит "всего" полторы килотонны.

[alex_semenov]

Вот Вам мечъ

Спасибо Ганс.
Засунул нос. Завтра (будет время) поковыряюсь основательней.
Но есть претензия!
Рисуночек в Optimal Control эм... image037.gif - не открывается. Судя по размеру - битая картинка!
А там как раз что-то о стыковки теорий с практиков:

"В следующей таблице собраны элементы системы уравнений движения и сопряженной системы для различных моделей управления."

Обидненько...
Хотя, разумеется спасибо. Главное! "Мой любимый цвет! Мой любимый фасон!" Excel!
Угодили!

Однако.
Все это может мне помочь в одном: понять ПРОСТУЮ суть подобного управления!
Как говориться, что ты мне зюйд-вест тычешь! Ты мне ПАЛЬЦЕМ покажи!
Верно?




И я, кажется, на пути к пальцу. На пол пути...
Кому-то еще интересно?
Поправляйте.

И так. Постараюсь (как обычно) быть краток.
Задача подняться ракете на высоту h 200 км и приобрести скорость v 8000 м/с, минимизируя потери.
Упростим для восприятия ракету до одной ступени.
Все равно сохраняется сложность в том что масса ракеты уменьшается (хорошо что линейно) и ускорение все время растет.
Ракета стартует вертикально и после этого ложиться на горизонталь по какому-то закону.
Вот выбор этого закона и даст гладкую (тот самый оптимум Понтрягина) оптимизацию.
Можно положить слишком резко. Можно положить как-то некруто. И это приведет (судя по всему) к бОльшим потерям.
При оптимальном управлении потери (в основном на гравитацию) тоже будут (они неизбежны) но минимальны.

Прежде всего. Разберемся с воздухом. С аэродинамикой. Тут у нас плюс в том что задачу можно рассматривать по-сути отдельно. Атмосфера в общем то это всего 20-40 км. Начальных. И оптимизацию можно делать на этом куске траектории.
Тем более что ракета этот участок пробивает вертикально (крылатый космос в силу сложности оставим пока в стороне). Слишком быстро пробиваем - сопротивление будет расти. Медленно - будут расти гравитационные потери. Надо искать некий компромисс (с бараметрической формулой).
Но вот мы уже на примерно 50 км. Атмосфера - позади. Это 1/4 пути по высоте к орбите.
Надо начитать заваливать вектор тяги на горизонталь (тангаж). Хотя возможно это можно делать уже в атмосферы. Но пока, при грубой качественной оценке - не суть.
Мы избавились от атмосферы. Что дальше?
А дальше вот что. Перейдем в так называемую "плоскую" гравитационную модель. То есть модель "плоской земли". Так проще и удобней рассуждать. Много от правды мы тут не потеряем.
Две задачи. Подняться на высоту 200 км (ось Y) и там "закрепиться". То есть вертикальная скорость в точке Y=200 должна быть 0. Вторая задача - по оси Х разогнаться до 8000 км.
Рассмотрим эти движения по отдельности.
Двигаться вверх можно по-разному. Если мы резко на первых 50 км набрали 2 км/с и движемся вверх теперь по инерции с постоянным ускорением -1g ("отрицательный рост"), то мы посчитали выйдем на 200 км с вертикальной скоростью 0 через 202 с. Еще раз. Это если на 50 км мы уже набрали вертикальную скорость 2 км/с (и теперь мы рассчитываем что вся эта скорость  превратится в ПОЛЕЗНУЮ потенциальную энергию ракеты "подъем на высоту").
Но засада в том что 202 с - слишком мало чтобы разогнаться до 8 000 м/с по горизонтали!
Это значит, что вертикальный режим нами выбранные - не оптимален!
Или?
Или все же есть уловки? Вопрос сложный.
Но нормальные ракеты так не делают. Они не ускоряются в начале так резко. Они выбирают такой режим подъема (движение по Y) что бы выйти в 0 на 200 км когда по горизонтали они набрали 8000 м/с. Улавливаете?
Тут бы рисовать.. Картинки со стрелками... Но... Думаю и так вообразите.
Суть в чем? Если сделать так как я хочу, то 202 секунды что я насчитал ракета может разгоняться СТРОГО по горизонтали без ЕДИНОЙ КАПЛИ гравитационных потерь. А потом (когда эти 202 с кончатся и высота достигнута), она вынуждена будет чуть повернуться вниз хвостом и тратит часть тяги на то что бы "закрепиться", удержаться на этой самой высоте 200 км. Висеть на ней.

(кликните для показа/скрытия)

Вернее не так. Ракета на самом деле за 202 с поднимется на 250 км. Но после 202 с начнет падать . И вот тогда, приопущенный хвост ракеты как бы остановит ее на высоте 200 км. То есть получится такой изящный нырок... По-моему внешне это будет красиво! А красиво - уже намек на оптимальность! Нет?

И в чем может быть хитрость такого "негладкого" подхода?
Оптимальная, гладкая траектория, по которой обычно ракеты выходят на орбиту, тратит на борьбу с гравитационными потерями ПОСТОЯННО. Минимум (зачем и строится вся теория оптимизации), но постоянно. До самого выхода на орбиту. Гравпотеря снижается, снижается... Но она всегда есть у гладкой траектории.
Почему снижается?
Ну во-первых (следите!) масса ракеты падает. И значит "висеть на движке" при прочем равном легче (меньше расход).
Обратите внимание "висеть" можно понять по разному.
Вспоминаем капитана Коршуна в "Путь к земле". Можно дать короткий резкий импульс и двигаться вверх-вниз по инерции. Когда вы через время t оказались на той же высоте (здесь дать еще чуть тормозной импульс что бы притормозить в ноль) вы таким образом "зависли" израсходовав mv на время t.
Можно продолжать неподвижно висеть то же t сложно дросселируя движок и тратя то же mv. Но все равно это висение. И то на то выйдет.
Верно?

Во-вторых (почему гравпотери ближе к орбите падают) горизонтальная (на самом деле орбитальная) скорость ракеты по мере разгона растет. Это значит что центробежная псевдосила (дурацкое объяснение почему ракета остается на орбите, но так сейчас легче) тоже возрастает. И значит гравитация, которую надо компенсировать движком что бы "висеть" слабее тянет ракету (еще не разогнанную) к центру Земли.
То есть. Самые большие гравитационные потери в начале разгона. В конце - куда меньше.
Поэтому ЕСТЬ РЕЗОН сделать КУСОЧНУЮ оптимизацию траектории выхода. Не гладкую (классическая оптимизация как бы нервно курит в стороне!). Эти самые 202 секунды, подаренные мощным бустером, 202 секунды свободного падения вверх еще тяжелой и не разогнанной "по горизонтали" (в модели плоской Земли) ракеты не будут иметь гравитационных потерь. Но это как раз самый противный участок! Здесь гравпотери самые большие! И он у нас выпадет!
Ну а потом, когда мы за 202 секуны поднялись на 200 км, потеряем заметную часть ракетной массы и разогнемся уже до заметной части орбитальной скорости... ну чуть подвернем вектор тяги и зависннем на орбите до момента полного разгона. Но ракета уже облегченная, а "тяжесть" за счет набранной скорости уже меньше.
Должен получится хороший выигрыш в гравитационных потерях!
Кстати.
Очень хороший наглядный пример как ракета борется с гравитацией без набора высоты (в более-менее горизонтальном полете)....
Конечно это всего лишь иллюстрация-аналогия. Выстрел "Джевелина" (тут нет политического контекста! мамой клянусь!)
Первые 7 секунд видео:

http://www.youtube.com/watch?v=2AOvgY-f2lU#



Видите как выплюнутая ракета, проседает попой к земле? Она должна получить вертикальный импульс чтобы не упасть.
Точно так же (хотя и не так ярко) с гравитацией борется еще не разогнавшаяся космическая ракета на орбитальной высоте.
Суть именно в том, что бы минимизировать эту "борьбу".
При этом как написано в учебнике что прислал Ганс:

Вариационные методы, описанные выше предполагают непрерывность и дифференцируемость оптимального управления (класс C1). На самом деле, оптимальное управление далеко не всегда обладает этим свойством.

Вот как раз отсутствие такого свойства и можно обеспечить мощным паровым бустером на старте.
Такая вот мысль.

А вот еще с визуализацией.
https://drive.google.com/drive/folders/1tt1BfZS9kJFF4ebai_FKurTUoQXX3VWC?usp=sharing

"Ну это просто праздник какой то!" (с)
А говорят, что люди - злые!
Врут!

[Mercury127]

А почему у вас радиус в метрах, а толщина, внезапно, в миллиметрах?

На том сайте, откуда взята формула, указано: радиус берется в метрах, толщина получается в миллиметрах. См пример расчета в конце.

[crazy_terraformer]

тевтонский гений подсказывает из сумрака такую конструкцию, назовем ее Ктулху:
- семь штук шаров (40 метров в диаметре каждый) по 10 кт воды внутри, сверху на них поместим еще три таких шара - это первая и вторая ступени. на самом верху химическая ступень для довыведения, и ПН 1 кт, ну или сразу ядерный Орион.
- все это полупустое собирается в океане, и начинает тонуть, заполняясь водой естественным путем.
- попадая внутрь баллонов, вода растворяет нужную примесь, которая потом ее нагреет (ну или сразу нагревает, но постепенно, пока это все тонет).
- важно. чтоб давление газа наддува в баллонах росло по мере утопления, чтоб баллоны не раздавило внешним давлением при погружении.
- на глубине около 1 км подачу воды внутрь прекращаем, и включаем триггеры для самонагрева воды.
- давление в баллонах доходит до кондиции, плотность субкритической воды внутри становится втрое меньше воды наружной.
- монстр начинает всплывать под действием архимедовой силы, набирая немалую скорость.
- близ поверхности открываем сопла первой ступени, и конструкция начинает работать реактивно, уже имея немалую скорость на старте.
ракеты я считать не умею, так что не знаю, вынесет ли такой Ктулху стартовой массой 100 кт, 1 кт на НОО, или нет...

Кроме пергидроля ничего более удобного голову не приходит.
H2O2—>H2О+0,5О2