Принцип подобия при расчётах космических конструкций

[Ruslan_Sharipov]

Тема конкретно о конструкциях и расчётах, все заявления прошу делать по сути дела.

По сути так. Прикидочные расчёты можно делать без калькулятора на основе принципа подобия. Для начала немного теории в самом популярном изложении.

Разрыв материала определяется величиной предельного напряжения, который он может выдержать. Напряжение в материале - это величина родственная давлению, получается делением силы на площадь. Только площади разные. В случае давления - это площадь поверхности стенок, а в случае напряжения - площадь поперечного сечения материала, из которого сделаны стенки.

Возьмём для примера самую простую конструкцию - тонкостенную сферу радиуса R, наполненную газом при давлении p. Мысленно рассечём её плоскостью на две одинаковые половинки. Для наглядности назовём эту плоскость экваториальной плоскостью, а линию рассечения - экватором. Площадь поперечного сечения стенок экваториальной плоскостью s рассчитывается путём умножения длины экватора L на толщину стенки d. Длина экватора пропорциональна радиусу.  Те, кто прилежно учился в школе, могут даже вспомнить формулу L = 2 π R. Поэтому s ~ R d, волна здесь - это знак пропорциональности. Теперь мы можем рассчитать предельную удерживающую силу, которая препятствует разрыву сферы по экватору:

F ~ σ R d

Здесь σ - это предельное напряжение на разрыв в материале стенок.

Давление p внутри сферы стремится отделить половинки сферы друг от друга. Величина разрывающей силы F пропорциональна площади стенок S, а площадь стенок пропорциональна квадрату радиуса сферы R. Отсюда

F ~ p R²

Уравниваем две силы (разрывающую и удерживающую) и получаем формулу

σ R d ~ p R²

На одну степень R в двух частях формулы можно сократить. Это даёт

σ d ~ p R

Эта формула означает, что если мы увеличиваем радиус сферы R в x раз при одном и том же внутреннем давлении p и при одном и том же материале стенок σ, то мы одновременно должны увеличить толщину стенок d в те же x раз.  Данное правило применимо не только к сфере, но и к любой конструкции и формулируется как принцип подобия.

Принцип подобия. При одновременном увеличении всех размеров конструкции в x раз при одном и том же внутреннем давлении p и одном и том же материале стенок σ толщина стенок конструкции должна быть увеличена в x раз.

Допустим, что для сферы радиуса 1 метр надёжная толщина стенок равна полмиллиметра. Сфера радиуса 100 метров тогда должна иметь стенки толщиной 5 см. Сфера радиуса в 1 км должна иметь стенки толщиной 50 см. Сфера радиуса в 10 км должна иметь стенки толщиной 5 метров. 

[LonelyWanderer]

"Принцип подобия" не действует для вращающегося цилиндра. Вы же хотите гравитацию? Никакие многокилометровые цилиндры не получатся. При сохранении искусственной гравитации стенки цилиндра будут расти в толщине гораздо быстрее диаметра при полезной нагрузке, и при диаметре от нескольких сотен метров (для обычной стали) до нескольких километров (для экзотических сверхпрочных материалов) конструкция неизбежно разрушится.

[crazy_terraformer]

Кроме диаметра есть еще и длина. А в случае успехов космической медицины можно будет сократить гравитацию в 10-100 раз . И тогда диаметр можно будет увеличить.

[crazy_terraformer]

Я тут вспомнил одну книгу там вращающиеся объекты находились в не вращающемся гигантском объекте воздух между ними циркулировал свободно.
 В итоге какая-то часть давления воздуха на стенки изнутри вращающегося объекта, могла быть скомпенсирована давлением снаружи.

[ivanij]

Допустим, что для сферы радиуса 1 метр надёжная толщина стенок равна полмиллиметра. Сфера радиуса 100 метров тогда должна иметь стенки толщиной 5 см. Сфера радиуса в 1 км должна иметь стенки толщиной 50 см. Сфера радиуса в 10 км должна иметь стенки толщиной 5 метров.

 Сомневаюсь. Думаю, если Вы посчитаете оболочку так, как это принято по безмоментной теории, у Вас получится другой результат. Задача не очень сложная. Для второго/третьего курса механических специальностей технических ВУЗов.
 А что дальше? Что Вы предлагаете обсудить?

[ivanij]

   

Комментарий модератора раздела

Исправил опечатку в названии темы

[Ruslan_Sharipov]

Сомневаюсь. Думаю, если Вы посчитаете оболочку так, как это принято по безмоментной теории, у Вас получится другой результат.

Приведу ссылку Энциклопедия по машиностроению XXL: Рассмотрим примеры расчета безмоментных оболочек. Сферический баллон заполнен газом. Формула для σ,  предшествующая формуле (17.11) в этой ссылке с учетом обозначений d = h отличается от моей формулы σ d ~ p R лишь числовым коэффициентом 1/2. Это точный коэффициент, отражающий геометрию сферы. Для несферических форм числовой коэффициент будет иной, а R следует понимать как характерный размер конструкции. Для качественных прикидочных расчётов этого достаточно.

Принцип подобия не действует для вращающегося цилиндра. Вы же хотите гравитацию?

Верно. Принцип подобия не действует. Но вращающаяся конструкция ещё более напряжена из-за центробежных сил, стремящихся её разорвать. Значит стенки должны быть ещё толще. Но дополнительная толщина - это дополнительная масса, создающая дополнительную центробежную силу. Поэтому для каждой формы с фиксированным характерным размером R есть предельная угловая скорость вращения, выше которой увеличение толщины стенок не помогает и конструкцию разорвёт при любой их толщине.

А что дальше? Что Вы предлагаете обсудить?

Просто я решил создать тему, в которой горячие головы терраформирователей могли бы проверить свои идеи холодным расчётом. 

А в случае успехов космической медицины можно будет сократить гравитацию в 10-100 раз. И тогда диаметр можно будет увеличить.

Успехи космической медицины - это ключевая идея для дальнейшего освоения космоса. Если можно сократить гравитацию в 100 раз, то по сути её можно вообще выключить. И тогда вращать ничего не надо.  Если научиться жить в вакууме, то и замкнутые оболочки не нужны. Нет ограничений на размеры конструкций по разрыву внутренним давлением. Вот она - космическая свобода!

[crazy_terraformer]

Жить в вакууме - это ненаучная фантастика. С гравитацией проще - на земле низкую гравитацию имитирует в воде взаимодействие архимедовой силы и земной гравитации, есть млекопитающие, обитающие в воде и на земле - каланы и т.д.
Изучая эти виды, вероятно можно разработать курс препаратов или импланты, позволяющие без вреда для здоровья жить в среде с низкой гравитацией.

Хотелось бы, что бы те у кого есть соответствующее образование прокомментировали эту статью:
Implications of Molecular Nanotechnology Technical Performance Parameters on Previously Defined Space System Architectures
Меня интересует - подходят ли формулы в статье к расчётам вращающихся колоний из уже существующих материалов?

[Ruslan_Sharipov]

Жить в вакууме - это ненаучная фантастика.

Жить во вращающихся цилиндрах как килька в консервной банке - это ли будущее цивилизации? Расчёты на прочность - не самое сложное из числа множества инженерных пробоем при неправильно обозначенной стратегической цели.

А сохранять живые ткани в вакууме можно уже сейчас. См. Мембраны впервые позволили увидеть живые ткани под электронным микроскопом. То есть проблема высыхания покровных тканей решается. И с другими проблемами на этом пути можно разобраться. Главное - это правильно обозначенная цель.

[Rattus]

И с другими проблемами на этом пути можно разобраться.

Ну тогда вперёд: решайте вопросы теплоотдачи, снабжения кислородом активного теплокровного организма. Как решите - приходите.

[Пришлый]

Жить в вакууме - это ненаучная фантастика.

Жить во вращающихся цилиндрах как килька в консервной банке - это ли будущее цивилизации? Расчёты на прочность - не самое сложное из числа множества инженерных пробоем при неправильно обозначенной стратегической цели.

А сохранять живые ткани в вакууме можно уже сейчас. См. Мембраны впервые позволили увидеть живые ткани под электронным микроскопом. То есть проблема высыхания покровных тканей решается. И с другими проблемами на этом пути можно разобраться. Главное - это правильно обозначенная цель.

Погодите, братцы по разуму!
Чел предложил рассчитать  некие пределы прочностей БЕЗ вращения.
Он хню предложил? - я чё-то не вижу опровержений. 
Соответственно, пока их не поступило - давайте попросим (ну, персонально я персонально его попрошу, а вы-прочие подождете его ответа) рассчитать по предложенному методу предельные размеры конструкций для известных нам("обоим" или вообще "всем")  материалов по сопротивлению на разрыв(растяжение).
Это ведь можно? Он ведь об этом тему открыл?

[Dem]

Даже без вращения - наличие в объёме давления атмосферы влечёт те же эффекты.

[Ruslan_Sharipov]

Давайте попросим рассчитать по предложенному методу предельные размеры конструкций для известных нам материалов по сопротивлению на разрыв (растяжение).

Принимается. Возьмём простейшую форму. Это сфера. Для нее имеется точная формула (см. Энциклопедия по машиностроению XXL: Рассмотрим примеры расчета безмоментных оболочек. Сферический баллон заполнен газом.). Формула, полученная методом подобия, является качественной и отличается от точной формулы в случае сферы лишь коэффициентом 1/2. Для каждой конкретной формы конструкции коэффициент отличия будет свой. Поскольку мы рассматриваем сферу, мы можем использовать точную формулу из приведённой выше ссылки.

Теперь материалы. Допустимые напряжения для некоторых из них можно найти по следующей ссылке: Ориентировочные величины основных допускаемых напряжений на растяжение и сжатие. Нам нужны данные по растяжению. Возьмём два материала:

Сталь легированная конструкционная: 140-260 МПа (средний показатель 200 МПа).
Дюралюминий: 70-140 МПа (средний показатель 105 МПа).

Для дальнейших расчётов будем брать средний показатель для каждого из двух материалов. Давление внутри сферы примем равным атмосферному: 1 атм = 760 мм рт. ст. = 101 325 Па = 0.101325 МПа  (здесь и выше МПа - это мегапаскаль). Формула для расчётов:

R/d = 2 σ/p

Здесь R - радиус сферы, d - толщина стенки, σ - допустимое напряжение в материале, p - давление внутри сферы. Косая черта - знак деления. Из формулы получаем следующие результаты.

Сталь легированная конструкционная: R/d = 3948.
Дюралюминий: R/d = 2073.

Возьмём сферу радиуса 1 метр = 1000 миллиметров и посчитаем для неё допустимую толщину стенок.

Сталь легированная конструкционная: d = 0.25 мм.
Дюралюминий: d = 0.48 мм.

Теперь возьмём сферу радиуса 1 километр = 100 000 сантиметров. Для нее получаем следующие значения для толщины стенок.

Сталь легированная конструкционная: d = 25 см.
Дюралюминий: d = 48 см.

Для сферы радиуса 10 километров эти цифры надо увеличить в 10 раз. В итоге получаем:

Сталь легированная конструкционная: d = 2.5 метра.
Дюралюминий: d = 4.8 метра.

В своём первом посте я приводил цифру d = 5 метров для десятикилометровой сферы, что мало отличается от точного расчёта для материала дюралюминий.

Для сравнения рассмотрим нефтеналивной супертанкер «Batillus». Толщина наружной обшивки корпуса танкера, выполненная из стали повышенной прочности, равнялась 27.5 мм = 2.75 см. В космосе такая толщина стенок соответствует стальной сфере радиуса R = 108 метров, что весьма скромно.