Об одном конкретном решении ОТО

[Geen]

В правой части стоит 4-вектор силы на единицу массы покоя fi.

Спасибо, у меня получалось примерно тоже самое - при \(r_s=0\) второе слагаемое в \(f_r\) не обнуляется...

[Geen]

Только, как мне кажется, стоит посты про обсуждение статьи в отдельную тему отделить. Есть возражения?

[ulitkanasklone]

Только, как мне кажется, стоит посты про обсуждение статьи в отдельную тему отделить. Есть возражения?

Возражений нет, мы ушли от темы.

[ulitkanasklone]

Лучше избавиться от s и выписать уравнение фи(t).

Ну так у меня так и реально получилось, и последние графики \( t(\phi) \). При выбранной константе \( C_1=s_0e^{-2\pi}/A \) получается следующее. Путешественник в свободном падении по круговой орбите идет из прошлого, достигает точку 2pi и попадает во временную петлю, затем точку максимум t_max (которую легко найти), а затем уходит обратно в прошлое. У него нет будущего. Он снова попадает  точке 0 в свое прошлое. Можно построить наоборот phi(t) это просто 2 ветви параболы. ЧТо такое "время t" это хороший вопрос. Если у Шварцшильда все таки есть выделенное время, связанное с удаленным наблюдателем в плоском пространств - времени, то тут непонятно.

[Geen]

Комментарий модератора раздела

Отделил.

[ulitkanasklone]

Не только. Например во 2-м томе "Математической теории черных дыр" Чандрасекара, параграф 66в. Сергей Губанов, по-видимому, заблуждается в этом случае.

У нас был спор с epros и Сергеем. Суть сводилась к тому,а является ли координата "фи" замкнутая. У Ахмеда она по определению замкнута. А вот в метрике Керра нужно понять в каких координатах: в Линдквиста или в самих Керра фи замыкается. То есть приходит ли тело в ту же пространственную точку после обхода по контуру.

[VladTK]

В правой части стоит 4-вектор силы на единицу массы покоя fi.

Спасибо, у меня получалось примерно тоже самое - при \(r_s=0\) второе слагаемое в \(f_r\) не обнуляется...

Верно. Вначале я утерял 2-ку в числителе одного из слагаемых этого уравнения и мне удалось добиться зануления уравнения по r 
А вообще при r_s=z_s=0 мы просто получаем в левой части этого уравнения ds² (с точностью до постоянного ненулевого множителя), который как известно для времени-подобной линии не нулевой. Т.е. мое решение для геодезической ошибочно.

Только, как мне кажется, стоит посты про обсуждение статьи в отдельную тему отделить. Есть возражения?

Вообще-то я вспомнил тему ulitkanasklone когда читал статью именно потому-что она дает для регулярных начальных условий (задачи Коши) патологическое решение в будущем. Но у меня возражений нет.

Лучше избавиться от s и выписать уравнение фи(t).

Ну так у меня так и реально получилось, и последние графики \( t(\phi) \). При выбранной константе \( C_1=s_0e^{-2\pi}/A \) получается следующее. Путешественник в свободном падении по круговой орбите идет из прошлого, достигает точку 2pi и попадает во временную петлю, затем точку максимум t_max (которую легко найти), а затем уходит обратно в прошлое. У него нет будущего. Он снова попадает  точке 0 в свое прошлое. Можно построить наоборот phi(t) это просто 2 ветви параболы. ЧТо такое "время t" это хороший вопрос. Если у Шварцшильда все таки есть выделенное время, связанное с удаленным наблюдателем в плоском пространств - времени, то тут непонятно.

Пока необходимо построить точное решение, а уже потом графики.

[ulitkanasklone]

Пока необходимо построить точное решение, а уже потом графики.

Вы меня удивляете. Вы же сами нашли правильные геодезические,показали, где у меня ошибки. Я лишь взял подставил \( s(\phi) \) в \( t(s) \) и выбрал разумные константы. Получилась петля. Могу еще раз подробно расписать.
Может вы хотите поставить реальную задачу Коши на некоторой гиперповерхности и показать, что будет с полем в инволюции?  Тогда да, это интересно.

[VladTK]

Пока необходимо построить точное решение, а уже потом графики.

Вы меня удивляете. Вы же сами нашли правильные геодезические,показали, где у меня ошибки. Я лишь взял подставил \( s(\phi) \) в \( t(s) \) и выбрал разумные константы. Получилась петля. Могу еще раз подробно расписать. Может вы хотите поставить реальную задачу Коши на некоторой гиперповерхности и показать, что будет с полем в инволюции?  Тогда да, это интересно.

Нет - геодезических я не нашел. Вчера сидел пересчитывал. Получилось довольно интересно. Мое решение из сообщения Об одном конкретном решении ОТО действительно удовлетворяет уравнениям движения массивной частицы. Но это движение не геодезическое. На частицу должна действовать постоянная радиальная сила величины \( \alpha \) Точнее


\[ f_i f^i = \alpha^2 \]

Как и должно быть, эта сила есть пространственно-подобный 4-вектор \( f_i f^i > 0 \) и ортогональна 4-скорости частицы \( f_i u^i=0 \). Решение, приведенное в том сообщении, и есть простейшая замкнутая времени-подобная мировая линия. Так что вроде как Ваши графики имеют смысл.

[ulitkanasklone]

Решил довершить свои мысли по этому поводу. Вопрос остался, а как путешественник узнает, что он вернулся в ту же точку пространства-времени. Самое простое послать сигнал из начала пути , то есть из \( \phi=2\pi \) по круговой орбите и где-то его поймать.
Путешественник следует из \( \phi=2\pi \) в \( \phi=0 \)
Тогда изотропная определяется при фиксированных r,z:
\[ ds^2=-sh(ar)^2ch(t)dtd{\phi}-sh(ar)^2sh(t)d{\phi}^2=0 \]
или
\[ \frac{d{\phi}}{dt}=-\frac{ch(t)}{sh(t)} \]
Которое имеет решение:
\[ e^{-\phi}+C_0=|sh(t)| \]
Из условия, что сигнал пущен в начальный момент времени \( t=0 \) при \( \phi=2\pi \) следует \( C_0=0 \).
Получаем два уравнения для  для светового сигнала по круговой  и для путешественника по круговой :
\[ sh(t)=e^{-\phi} \]
\[ sh(t)=e^{-\phi}(-e^{-\phi}+e^{-2\pi}+1) \]


Их графики:




Синяя - это путешественник, красная - сигнал. Вот тут видно, что сигнал догонит путешественника в далеком будущем, то есть никогда.