Об одном конкретном решении ОТО

[VladTK]

ОТО все-таки патологическая теория. В недавней статье https://arxiv.org/abs/1705.07405 Файзуддин Ахмед показал, что даже если пространство-время заполнено веществом, удовлетворяющим всем энергетическим условиям, то и в таком пространстве-времени могут возникать замкнутые времени-подобные геодезические. Особенно интересно, что изначально можно так установить начальные условия, что никаких патологий в 3-пространстве нет. Но замкнутые времени-подобные геодезические естественно возникают при развитии такого 3-пространства во времени. Если раньше считалось, что такое явление возникает только в физически невозможных ситуациях (вещество с невозможным уравнением состояния и т.п.), то теперь это показано для физически реального случая. На фоне успехов ОТО в области гравитационных волн это выглядит как-то странно...

[ulitkanasklone]

ОТО все-таки патологическая теория.

Индусы что-то активизировались.
Поясните мне такой момент. Гильберт ставил ограничения на метрику и добавлял заплатку в теории в виде своих неравенств . Он считал, что если на мировой линии есть событие под названием "причина" и есть событие под названием "следствие" , которое идет позже по координатному времени, то никакими преобразованиями координат нельзя их поменять местами или сделать одновременными. Здесь это показывается или нет?
И какое все таки отношение к причинности имеет задача с начальными данными?

[VladTK]

Я думаю, что условия накладываемые Гильбертом на метрику, достаточные, а не необходимые. Т.е. их можно ослабить чтобы получить выполнение причинности. Насколько ослабить - этого не скажу, тут нужны какие-то новые идеи.


В пространстве-времени, рассмотренном Файзуддином Ахметом, имеются замкнутые времени-подобные геодезические. Это значит, что наблюдатель, двигающийся по такой геодезической, не сможет установить какое из двух произошедших с ним событий является причиной, а какое следствием. Хотя они и могут иметь между собой причинную связь. Плохо это...

[ulitkanasklone]

Посмотрел я бегло.
Можете пояснить вот это выражение для компоненты ТЭИ (12):
\[ T_{\phi\phi}=\rho \]  ?
Обычно плотность энергии ассоциируется с нулевой компонентой тензора ЭИ , а здесь с некоторой замкнутой координатой \( \phi \) .
А что собственно должно смущать? Обычная пространственная координата может быть замкнута и в этом нет ничего особенного.
А в ОТО все перепутано. Есть Некая координата \( t \)  (которая заметьте не собственное время). Почему она обязана двигаться только в сторону увеличения? 

[VladTK]

Посмотрел я бегло. Можете пояснить вот это выражение для компоненты ТЭИ (12): \[ T_{\phi\phi}=\rho \] ? Обычно плотность энергии ассоциируется с нулевой компонентой тензора ЭИ , а здесь с некоторой замкнутой координатой \( \phi \) ...

Автор пишет, что компонента ТЭИ (12):
\[ T_{\phi\phi}=\rho \]
ненулевая. Остальные похоже нулевые. При диагонализации ТЭИ его 00-компонента будет выражаться через \rho. Т.е. выбрана такая координатная система. Заметьте, что в метрике (6) нет слагаемого g_tt.

...А что собственно должно смущать? Обычная пространственная координата может быть замкнута и в этом нет ничего особенного. А в ОТО все перепутано. Есть Некая координата \( t \) (которая заметьте не собственное время). Почему она обязана двигаться только в сторону увеличения?

Речь идет не о координате, а о замкнутой времениподобной геодезической. Т.е. о замкнутой линии в 4-пространстве. Если мы ее параметризуем некоторым монотонно возрастающим параметром p, то координаты ее точек будут xⁱ(p) (i=0,1,2,3). Исследуя зависимость координат от параметра p мы обнаружим, что при некоторых значениях параметра p₁, p₂ ее координаты совпадают xⁱ(p₁)=xⁱ(p₂), что означает пересечение линии самой себя. Для времениподобной геодезической это чревато потерей физического смысла собственного времени, неоднозначностью понятий причина/следствие т.п.


Кстати, я похоже ошибся. Условий Гильберта для отсутствия в пространстве-времени патологий недостаточно. То же пространство Керра удовлетворяет условиям Гильберта, однако может содержать замкнутые времениподобные геодезические.

[ulitkanasklone]

Автор пишет, что компонента ТЭИ (12):
Tϕϕ=ρ

ненулевая. Остальные похоже нулевые. При диагонализации ТЭИ его 00-компонента будет выражаться через \rho. Т.е. выбрана такая координатная система. Заметьте, что в метрике (6) нет слагаемого gtt.

Напоминает вселенную Гёделя, только там еще и перекрестные члены есть.
Я просто не очень понимаю физический смысл этого ТЭИ. У Гёделя там вещество вращалось, причем характер вращения не зависел от того, где располагался наблюдатель.

[ulitkanasklone]

Кстати, я похоже ошибся. Условий Гильберта для отсутствия в пространстве-времени патологий недостаточно. То же пространство Керра удовлетворяет условиям Гильберта, однако может содержать замкнутые времениподобные геодезические.

Этот вопрос спорный и я его не исследовал. Сергей Губанов утверждает, что там нет временных петель. Это написано только у Ландау.

[Geen]

Файзуддин Ахмед показал

А у него детерминант метрики правильно подсчитан?

[VladTK]

Напоминает вселенную Гёделя, только там еще и перекрестные члены есть. Я просто не очень понимаю физический смысл этого ТЭИ. У Гёделя там вещество вращалось, причем характер вращения не зависел от того, где располагался наблюдатель.

Автор пишет, что это ТЭИ излучения (например плоских грав.волн) на фоне анти-Де-Ситтера. В конце 5 раздела Ахмед пишет, что это пространство-время есть 4-мерный аналог 2-мерного пространства Мизнера. В Мизнере тоже появляются замкнутые времениподобные геодезические.

Этот вопрос спорный и я его не исследовал. Сергей Губанов утверждает, что там нет временных петель. Это написано только у Ландау.

Не только. Например во 2-м томе "Математической теории черных дыр" Чандрасекара, параграф 66в. Сергей Губанов, по-видимому, заблуждается в этом случае.

Файзуддин Ахмед показал

А у него детерминант метрики правильно подсчитан?

Да, правильно. У него сигнатура метрики +++-

[ulitkanasklone]

В статье при фиксированных \( z,r \) получено такое выражение для метрики:
\[ ds^2=-\sinh(t)\sinh^2(ar)d{\phi}^2 \]
При \( t=t_0<0 \) в их сигнатуре это пространственноподобные, а при  \( t=t_0>0 \) времениподобные .
Я так понимаю , замкнутые пространственноподобные нас не раздражают?
В чистом виде он геодезические не нашел.
Пространство время напоминает два конуса с общей вершиной . Один из них нефизический. Но ОТО
его допускает.


Давайте я порассуждаю вслух, а вы меня покритикуете.
В данной координатной системе ТЭИ вполне вроде несингулярное.
Если есть замкнутые линии они будут замкнуты и в другой координатной системе.
Можно перейти в систему координат , где поверхность Коши определяется \( \tau=0 \),
тогда мы там должны задать данные: на пространственной части задать потенциалы поля и производные.
Кроме того там же задаются и компоненты ТЭИ. Но никто практически не проверяет, как
выглядит ТЭИ в другой системе координат. Для примеру могу сказать, что задавая вполне
разумные характеристики вещества в синхронных координатах  для задачи коллапса пылевого облака,
в координатной системе Шварцшильда в стандартных координатах , компоненты ТЭИ
будут сингулярны причем все на горизонте в будущем.
Не получится ли такое же и с замкнутой времениподобной? То есть пересекая себя мы получаем
нефизическое состояние вещества.

[Geen]

В чистом виде он геодезические не нашел.

Вот именно. Я так подозреваю, что t=0 это бесконечное будущее...

[VladTK]

В статье при фиксированных \( z,r \) получено такое выражение для метрики: \[ ds^2=-\sinh(t)\sinh^2(ar)d{\phi}^2 \] При \( t=t_0<0 \) в их сигнатуре это пространственноподобные, а при  \( t=t_0>0 \) времениподобные . Я так понимаю , замкнутые пространственноподобные нас не раздражают?...

Пространственно-подобные не раздражают. По ним если кто и может двигаться, так это только тахионы какие-нибудь, да виртуальные частицы.

...В чистом виде он геодезические не нашел...

Дык, давайте найдем. Загоняем метрику в Максиму и получаем Кристоффели с геодезическими уравнениями. Я вот попробовал. Для постоянных r,z
\[ \frac{dr}{ds}=\frac{dz}{ds}=0 \]
А для "угла", "времени" получаем
\[ \frac{d^2 \varphi}{ds^2}-\left(\frac{d \varphi}{ds} \right)^2=0 \]
\[ \frac{d^2 t}{ds^2} + 2 \frac{\beta^2 z^2+sh(t)}{ch(t)} \left( \frac{d \varphi}{ds} \right)^2+2 \frac{d \varphi}{ds} \frac{dt}{ds}+th(t) \left( \frac{dt}{ds} \right)^2 = 0 \]
Первое уравнение легко  решается
\[ \varphi(s)=\varphi_0+ln \left( \frac{s_0}{s+s_0} \right ) \]
а вместо того чтобы решать второе, лучше использовать первый интеграл - саму метрику
\[ -ch(t) sh^2(\alpha r_0) \frac{dt}{ds} \frac{d \varphi}{ds}-sh(t) sh^2(\alpha r_0) \left( \frac{d \varphi}{ds} \right)^2=-1 \]
что дает (если нигде не ошибся)
\[ t(s)=arcsh \left( \left( C1-\frac{s}{sh^2(\alpha r_0)} \right) (s+s_0) \right) \]

Что сразу бросается в глаза, так это невозможность распространить геодезическую на всю область изменения параметра
\[ -\infty < s < +\infty  \]

...Давайте я порассуждаю вслух, а вы меня покритикуете. В данной координатной системе ТЭИ вполне вроде несингулярное. Если есть замкнутые линии они будут замкнуты и в другой координатной системе. Можно перейти в систему координат , где поверхность Коши определяется \( \tau=0 \), тогда мы там должны задать данные: на пространственной части задать потенциалы поля и производные. Кроме того там же задаются и компоненты ТЭИ. Но никто практически не проверяет, как выглядит ТЭИ в другой системе координат. Для примеру могу сказать, что задавая вполне разумные характеристики вещества в синхронных координатах  для задачи коллапса пылевого облака, в координатной системе Шварцшильда в стандартных координатах , компоненты ТЭИ будут сингулярны причем все на горизонте в будущем. Не получится ли такое же и с замкнутой времениподобной? То есть пересекая себя мы получаем нефизическое состояние вещества.

Как выглядят компоненты ТЭИ определяется их тензорным законом преобразования и тут нет смысла чего-то проверять. А что касается пересечения геодезической, то мы ж даже не меняем систему координат. А в этой СК компоненты ТЭИ вполне физически осмыслены и энергоусловие NEC (null energy condition) выполнено (формула 13 в статье). А это условие от СК не зависит.

[ulitkanasklone]

Гениально. Я приеду из отпуска проверю и построю график.

[Geen]

Для постоянных r,z

Так нельзя - остальные два уравнения (по крайней мере для z) не удовлетворяются....

[VladTK]

Гениально. Я приеду из отпуска проверю и построю график.

Ничего гениального - Ахмед все уже сделал. У меня там фактически только половина работы сделана. Ахмед же пишет, что до t=0 геодезическая была пространственно-подобна. Так что при t<0 нужно другой первый интеграл использовать.

Для постоянных r,z

Так нельзя - остальные два уравнения (по крайней мере для z) не удовлетворяются....

По r уравнение удовлетворяется связью между константами, а по z в общем случае действительно нельзя положить z'=0. Но для z=0 можно 

[VladTK]

Хотя расчеты Ахмеда мне понятны, его выводы понятны не совсем. Например, после формулы (43) с метрическим элементом замкнутой времени-подобной геодезической он пишет:

These curves are null for t = 0, spacelike throughout for t = t0 < 0, but become timelike for t = t0 > 0, which indicates the presence of CTCs.

Мне вот не понятно почему смена "подобности" мировой линии означает появление замкнутой геодезической?

[ulitkanasklone]

Автор пишет, что это ТЭИ излучения (например плоских грав.волн) на фоне анти-Де-Ситтера.

Я не пойму, pho это плотность излучения, которое постоянно вдоль координаты фи?

А чем вам не нравится бесконечной цилиндр, состоящий из пыли или идеальной жидкости, который быстро вращается. Там также возникают замкнутые времениподобные при определенных r. Но вроде никаких странностей с ТЭИ.

[ulitkanasklone]

А у него детерминант метрики правильно подсчитан?

Да, правильно. У него сигнатура метрики +++-

Начал проверять.
Детерминант у меня другой. У меня 6-я степень у него 4-я  в формуле ( во втором множителе:
\[ g=-\frac{{\mathrm{coth}\left( a\,r\right) }^{2}\,{\mathrm{sinh}\left( a\,r\right) }^{6}\,{\mathrm{cosh}\left( t\right) }^{2}}{4} \]

[ulitkanasklone]

Далее, VladTK, у вас стоит справа там где метрика -1, а вообще-то нужно 1. Тогда формула из метрики получается:
\[ 1=-A[ch(t)\frac{dt}{ds}\frac{d\phi}{ds}+sh(t)(\frac{d\phi}{ds})^2] \quad(1a) \]
\[ A=sh(ar)^2 \]

Первое диф. уравнение \( \frac{d^2\phi}{ds^2}-(\frac{d\phi}{ds})^2=0 \)   вы правильно решили (неправильно, смотрите далее):
\[ \frac{d\phi}{ds}=-\frac{1}{s+s_0}\quad(2a) \]
И у меня выходит:
\[ -1/A=-\frac{ch(t)}{s+s_0}\frac{dt}{ds}+\frac{sh(t)}{(s+s_0)^2}\quad(3a) \]

И в итоге:
\[ t=-\mathrm{acrsh}\left( \frac{3\,A\,C1+3\,s\,{s_0}^{2}+3\,{s}^{2}\,s_0+{s}^{3}}{3\,\left( s_0+s\right) \,A}\right)  \quad(4a) \]

Посмотрите.

А если перед интегрированием заменить \( s+s_0 \) на \( s \) , то получим:

\[ t=-\mathrm{arcsh}\left( \frac{C1}{s}+\frac{{s}^{2}}{3\,A}\right)  \]
\[ \frac{d\phi}{ds}=-\frac{1}{s} \]

[Geen]

Детерминант у меня другой.

Я тоже вначале думал, что там косинус.... но нет, это котангенс