Рассмотрим теперь динамику материальной частицы.
(Откровения от В.Б.
)
Запишем вначале уравнения в общем виде. Лагранжиан материальной частицы с массой m следующий
\[L=cm\sqrt{g_{ij}u^{i}u^{j}},\]
где \( g_{ij}\) – метрические коэффициенты, \( u^{i}\) - вектор 4-скорости частицы. Обобщенные импульсы будут
\[p_{i}=\frac{\partial L}{\partial u^{i}}.\]
С физическими энергией и импульсами частицы следует связывать контравариантные импульсы
\[p^{j}=g^{ji}p_{i}=cmu^{i}.\]
Тогда и энергия \( p^{1}\) и импульсы \( p^{k}\), k=2,3,4 будут положительными. Такой подход применяется в ЛЛ2 к движению частицы в пространстве Миньковского. Но для пространства искривленного пространства-времени там предлагается связывать энергию с компонентой ковариантного импульса, что мотивируется необходимостью выполнения сохранения ее энергии. Но это противоречит тому, что в тензорном виде энергия как источник гравитации не сохраняется и часть ее передается гравитационному полю. И хотя в данном случае речь идет о другой энергии, кинетической, она также передается гравитационному полю. Чтобы показать это, запишем уравнения, связывающие динамические параметры движения частицы. Вначале определим обобщенную силу
\[F_{i}=\frac{\partial L }{\partial
x^{i}}.\]
С гравитационной силой будем связывать ассоциированный вектор с верхними индексами
\[F^{l} =cg^{l\lambda } F_{\lambda }=c^2mg^{l\lambda }\frac{\partial g_{ij}}{\partial\lambda}u^{i}u^{j}.(1)\]
Из уравнений Лагранжа находим
\[F^{j} =\frac{dp^{i} }{d\mu } +g^{j \lambda } \frac{dg_{\lambda i} }{d\mu } p^{i}.\]
Это уравнение получено в
https://arxiv.org/abs/0911.0614 , п.7, и
http://technic.itizdat.ru/docs/vbw234/FIL14760957280N841586001/1 . Оно верно как для световых так и для материальных частиц. Второй член в правой части \(\overleftrightarrow{p}\) это производная вектора кинетических энергии и импульса частицы, передаваемых гравитационному полю. При рассмотрении динамики отдельной частицы этот вектор является аналогом используемого в законах сохранения энергии вещества псевдотензора.
Определим теперь гравитационную массу материальной частицы из выражения для силы, используя аналогию с ньютоновской гравитацией. Для метрики Шварцшильда в сферических координатах
\[ds^{2}=\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)dt^{2}-\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{-1}dr^{2}-
r^{2}(d\theta^{2}+{\sin}^{2}\theta d\varphi^{2})\]
имеем следующие решения уравнений геодезических
\[\frac{d(ct)}{ds}=\eta\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{-1},\]
\[\frac{dr}{ds}=\pm\sqrt{\eta^{2}-\left(1+\frac{A^{2}}{r^{2}}\right)\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)}, \]
\[\frac{d\theta}{ds}=0,\] \[\frac{d\varphi}{ds}=\frac{A}{r^{2}},(2)\]
где \(\eta, А \) – постоянные. Для мировых линий с неограниченным r значение\(\eta\) определяется из значения радиальной скорости V на бесконечности
\[\eta=\left(1-\frac{V^{2}}{c^{2}}\right)^{-1/2}.(3)\]
Выражение (1) дает единственную ненулевую компоненту вектора гравитационной силы
\[F_s^{2}
=\frac{c^2m\alpha }{2r^{2}
}\left(\frac{1}{2}-\frac{\eta^{2}}{r-\alpha}
\right)+\frac{cA^{2}}{r^{3}}\left(1-\frac{\alpha }{2r} \right). \]
При слабой гравитации, \(\alpha<<r\), и радиальном дижении, А=0, получаем
\[F_s^{2}
=-\frac{c^2m\alpha }{2r^{2}
}\left(\frac{c^{2}+V^{2}}{c^{2}-V^{2}} \right) . (4)\]
Однако при рассмотрении нерадиального движения \(A\neq 0\) во избежание появления фиктивной составляющей силы, обусловленной сферичностью системы координат, воспользуемся формой метрики Шварцшильда в прямоугольных координатах.
К ней можно перейти с помощью преобразования
\[r=\left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{2} \bar{r}. (5)\]
В результате получаем
\[ds^{2} =c^{2} \left(\frac{1-\frac{\alpha }{4\bar{r}} }{1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} } \right)^{2} dt^{2} -\left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{4} (dx^{2} +dy^{2} +\, {\kern 1pt} dz^{2} ),\]
где \(\bar{r}=\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} }\). Будем рассматривать движение в плоскости z=0 и искать силу, действующую на частицу, в точке (t,x,0,0), что соответствует значению угловой координаты \(\varphi =0\) в сферической системе отсчета. Преобразование (5) приносит
\[dr=\left(1-\frac{\alpha ^{2} }{16\bar{r}^{2} } \right)d\bar{r}.\]
После подстановки этих преобразований в (4) и полученных значений компонент вектора 4-скорости в выражение для силы (1) получаем единственную ненулевую компоненту вектора силы, действующей вдоль координаты х, в прямоугольных координатах
\[F^{2}_{r}=-\frac{1}{2}c^{2}m\frac{\alpha}{\overline{r^{2}}\left(1+\frac{\alpha
}{4\overline{r}}
\right)^{3}}\left( \eta^{2}\left[\left(1-\frac{\alpha
}{4\overline{r}} \right)^{-3}+\left(1-\frac{\alpha
}{4\overline{r}} \right)^{-2}\right]-\left(1+\frac{\alpha
}{4\overline{r}} \right)^{-2}\right)\]
Как видим, это выражение не зависит от постоянной А, которая определяется угловой скоростью. Таким образом, гравитационная сила, действующая на частицу, движущейся по неограниченной по радиусу мировой линии, зависит только от расстояния от центра гравитации и величины скорости на бесконечности. Подробнее в книге
Динамика в общей теории относительности: Вариационные методы.
Полагая гравитацию слабой \(\alpha<<r\), находим
\[F^{2}_{r}=-\frac{c^2m\alpha }{2r^{2}
}\left(\frac{c^{2}+V^{2}}{c^{2}-V^{2}} \right) , \]
что совпадает с выражением для силы в сферических координатах (4) при радиальном движении. Это уравнение дает закон гравитации ньютона при гравитационной массе
\[m_g=m\frac{c^{2}+V^{2}}{c^{2}-V^{2}}.(6)\]
Для сравнения, компонента тензора энергии-импульса вещества с плотностью \(\rho\) при нулевом давлении
\[T^{1}_{1}=c^{2}\rho u^{1}u_{1}\]
при движении вещества со скоростью v в локальной системе отсчета будет
\[T^{1}_{1}=c^{2}\rho \frac{c^{2}+v^{2}}{c^{2}-v^{2}}.\]
В локальной системе отсчета скорости v и V совпадут, и поэтому гравитационная масса (6) согласуется с тензором энергии-импульса вещества.
