Структура тензора Риччи

[ulitkanasklone]

Решил еще раз рассмотреть структуру Риччи, чтобы понять, откуда берутся гравитационные волны в уравнениях Гильберта -Эйнштейна и заодно понять, откуда возникает псевдотензор.
Тензор Римана из ЛЛ-2 (92.1)

\[ R_{iklm}=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2{g_{im}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{l}}}+\frac{\partial^2{g_{kl}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{il}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}})+g^{il}g_{np}(\Gamma^n_{kl}\Gamma^p_{im}-\Gamma^n_{km}\Gamma^p_{il}) \quad (1) \]

Имеет линейную часть (вторые производные) и нелинейную (произведение первых).
Тензор Риччи образуется поднятием значка \( i \) и приравниванием \( i=l \).

\[ R_{km}=R_{iklm}g^{il}=g^{il}\frac{1}{2}(\frac{\partial^2{g_{im}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{l}}}+\frac{\partial^2{g_{kl}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{il}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}})+g_{np}g^{il}(\Gamma^n_{kl}\Gamma^p_{im}-\Gamma^n_{km}\Gamma^p_{il}) \quad (2) \]

Также имеет 2 части линейную и нелинейную. В обозначениях Вайнберга:
\[ R_{km}=R_{km}^{(1)}+R_{km}^{(2)} \quad(3) \]

Линейная в свою очередь делится на оператор Даламбера и все остальное.
\[ R_{km}^{(1)}=(-1/2)\Delta^2{g_{km}}+g^{il}\frac{1}{2}(\frac{\partial^2{g_{im}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{l}}}+\frac{\partial^2{g_{kl}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{il}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{m}}})\quad(4) \]

\[ \Delta^2{g_{km}}=g^{il}(\frac{\partial^2{g_{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}}) \]
(Обычно пишут его как квадратик, но тут почему-то не работает).

Теперь можно , как это делал Фок и другие, зафиксировать гармоническую СК, то есть выбрать такие 4 условия:
\[ g^{il}\Gamma^p_{il}=0 \]

То второй член в нелинейной части также зануляется и остается:
\[ R_{km}^{(2)}=g_{np}g^{il}\Gamma^n_{kl}\Gamma^p_{im} \]

Собственно все . Гармонические брать удобно в том плане, что затем , переходя к гравитационным волнам, обычно раскладывают метрику на составляющие: \( g_{il}=h_{il}+\eta_{il} \).  И Минковский \( \eta_{il} \) записывается в галилеевых координатах (1,-1,-1,-1).

Если \( h \) малое по сравнению с \( \eta \) , то многое упрощается.
Например , нелинейную часть отбрасывают , потому что , если асимптотика на бесконечности у метрических компонент идет как \(1+ O(1/r) \), то
вторые производные идут как \( 1/r^3 \), а произведение первых производных как: \( 1/r^4 \).

Плюс условие Гармоничности
По видимому часть из \( R_{km}^{(1)} \) даже не в слабых полях выделяется в псевдотензор гравитационного поля. И получаем волновое уравнение.
Все это пока известно и проделано у Вайнберга и у Фока.
Далее попробую проанализировать частные случаи.

ПС. Сделал исправления. Неправильно написал о приближении и убрал формулу (5). Все таки нельзя пока отбрасывать нелинейный член.  Оставлю вакуумное решение с нелинейным членом:

\[ R_{km}=(-1/2)\Delta^2{g_{km}}+g^{il}\frac{1}{2}(\frac{\partial^2{g_{im}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{l}}}+\frac{\partial^2{g_{kl}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{il}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{m}}})+g_{np}g^{il}\Gamma^n_{kl}\Gamma^p_{im}=0 \quad(5) \]

[bob]

Интересная работа, если не блестящая. Даже если есть не замеченные ошибки (а они завсегда-таки есть), то примите апплодисменты. Так сказать, за общую идею.

[victorpetrov]

Интересная работа, если не блестящая.

Хотелось бы каких-то пояснений и выводов.

[ulitkanasklone]

Интересная работа, если не блестящая. Даже если есть не замеченные ошибки (а они завсегда-таки есть), то примите апплодисменты. Так сказать, за общую идею.

Если есть ошибки , обязательно сообщите. У меня тут далее не все сходится.

Хотелось бы каких-то пояснений и выводов.

Смысл в том, чтобы выделить далее из тензора Риччи псевдотензор , который собственно и будет отвечать за взаимодействие в случае гравитационных волн их с гравитационным полем. И посмотреть, что будет не только на удалении от источника, но и на горизонте в случае ЧД,

[greygreengo]

Формула (1) взята в отсутствии кручений?

[ulitkanasklone]

Формула (1) взята в отсутствии кручений?

Разумеется. Из Ландау-Лифшица. Теория с кручением все таки это расширение ОТО или можно сказать альтернативная теория.

[ulitkanasklone]

Bob меня зря перехвалил, нашёл я несколько опечаток и исправил.
Наконец мне удалось сделать расчеты псевдотензора по Вайнбергу.
Но мне его рассуждения в параграфе 7 стр. 183 не всюду понятны и не все нравится.
Если мы ищем решение в вакууме ( то есть ближе к гравитационным волнам или к статическому решению островного типа), то Вайнберг приводит такую формулу:

\[ 8{\pi}Gt_{km}=R_{km}^{(1)}-\frac{1}{2}{\eta}_{km}R^{i(1)}_{i} \quad  c=1 \quad(6) \]


Фактически это выражение напоминает уравнения Гильберта-Эйнштейна, только везде и слева и справа стоят нетензорные выражения. Далее Вайнберг долго рассуждает на эту тему, почему ему нравится такое выражение для
энергии-импульса гравитационного поля.

У меня \( R_{km}^{(1)} \) несколько отличается от его (7.6.2), поскольку он поднимает эту нетензорную конструкцию с помощью плоской метрики \( {\eta} \), а у меня с помощью обычной \( g \) :

\[ R_{km}^{(1)}=g^{il}\frac{1}{2}(\frac{\partial^2{g_{im}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{l}}}+\frac{\partial^2{g_{kl}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{il}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}}) \quad(7) \]

Это хитрый момент, который мне не очень ясен и требует вопросов на профессиональных форумах. Вайнберг пишет, что ему удобно поднимать индексы у таких функций с помощью Минковского. Но мне кажется, что (7) практически эквивалентна его (7.6.2), под дифференциалом можно заменить \( g \) на \( h \)  и значки все таки корректнее поднимать с помощью  \( g \).
Проверяю на простой метрике Шварцшильда для сферического тела в гармонических и прямоугольных координатах.

\[ ds^2=\frac{r-a}{r+a}dt^2- (1+\frac{a}{r})^2(dx^2+dy^2+dz^2)-\frac{r+a}{r-a}\frac{a^2}{r^4}(xdx+ydy+zdz)^2\quad (5.13) \]

(Справочник по формулам)
или Вайнберг (8.2.15). \( a=r_g/2 \)

Для Галилеевой метрики \( \eta \) (1,-1,-1,-1)
Выражение (6) для нулевой компоненты упрощается:

\[ 8{\pi}Gt_{00}=R_{00}^{1}-\frac{R_{00}^{1}-R_{11}^{1}-R_{22}^{1}-R_{33}^{1}}{2}    =\frac{1}{2}(R_{00}^{1}+R_{11}^{1}+R_{22}^{1}+R_{33}^{1}) \quad (8) \]

У меня получилось после долгих упрощений:

\[ 8{\pi}Gt_{00}=\frac{a^2}{(r+a)^4}-\frac{a^2(2r^2-a^2)(2r^2+a^2-2ar)}{r^4(r^2-a^2)^2} \quad(9) \]

По крайней мере видно, что компонента псевдоэнергии имеет особенность на горизонте \( r=a \)
Аналогично было получено для нулевой компоненты псевдоэнергии по Ландау (то есть имеет особенность , а не точность совпадения ответов).

[ulitkanasklone]

Распишу также что получается для гармонической метрики для отдельных членов , входящих в тензор Риччи в форме (5).
Это весьма любопытно.
Даламбартиан:
\[ (-1/2)\Delta^2{g_{km}}=(-1/2)g^{il}(\frac{\partial^2{g_{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}})=\frac{2a^2}{(r+a)^4} \quad (10) \]

Оставшейся линейные члены со второй производной в точности ноль.
\[ g^{il}\frac{1}{2}(\frac{\partial^2{g_{im}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{l}}}+\frac{\partial^2{g_{kl}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{il}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{m}}})=0 \quad(11) \]

Соответственно нелинейны член , как и должно быть:
\[ g_{np}g^{il}\Gamma^n_{kl}\Gamma^p_{im}=-\frac{2a^2}{(r+a)^4}\quad(12) \]

Затем я уже нашел, что у Фока (53.15) как раз в гармонических координатах
\[ g^{il}\Gamma^p_{il}=0 \]
Линейная часть после Даламбертиана также ноль тождественно для гармонических условий и уравнения упрощаются (для конравариантной записи):

\[ R^{km}=(-1/2)g^{il}\frac{\partial^2{g^{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}} +     g^{jk}g^{qm}g_{np}g^{il}\Gamma^n_{jl}\Gamma^p_{iq} \quad(13) \]

[ulitkanasklone]

Возникает вопрос, а что из этого простейшего анализа следует?
Если получилась сингулярность на горизонте в псевдотензоре энергии в статическом случае
в метрике Шварцшильда , то можно предположить, что такая же особенность будет и при излучении гравитационных волн
в случае слияния двух Чёрных Дыр. Только обычно рассчитывают слабые волны , а никто не смотрит, что будет
около горизонта в точных решениях.
Однако откуда взялась сингулярность , если по отдельности и линейная часть (выражение (10)) и нелинейная (выражение (12)) такой сингулярности не содержит?
Судя по всему она возникла от такого простого разделения метрики:
\[ g_{ik}=h_{ik}+\eta_{ik} \]
Плоская часть данного разделения в вакуумном решении упирается как раз в горизонт.
Переход к синхронным координатам, как обычно делается, чтобы уйти от особенности в компонентах метрики
 у Шварцшильда, дает тут же особенность в плоской части .
Поэтому полевой подход в ОТО имеет изъяны.

[ulitkanasklone]

Несколько замечаний по своим же расчетам.
Предыдущее сообщение в целом верное (ну по крайней мере у меня сложилось такое мнение на сегодня).
Я не наблюдал статьи в полевой теории или в полевой формулировке ОТО , где бы рассматривалось
скажем задача Оппенгеймера-Снайдера при разложении \( g=h+\eta \) прям до самой сильной сингулярности.
Она решается на мой взгляд только до того, пока вещество не ушло горизонт.
Аналогично, не очень понятно, как собираются вводить такое разложение  под горизонтом в классической Черной дыре в вакуумной части.

Есть правда замечания к самим своим же расчетам по линейной части \( R^{(1)}_{km} \). У Вайнберга все таки правильно
поднимаются индексы у ней с помощью плоской метрики. Тогда:

\[ R^{(1)}_{km}={\eta}^{il}\frac{1}{2}(\frac{\partial^2{g_{im}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{l}}}+\frac{\partial^2{g_{kl}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{il}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}}) \]

А псевдотензор для метрики Шварцшильда в гармонических координатах:
\[ 8{\pi}Gt_{00}=-(R_{00}^{(1)}+R_{11}^{(1)}+R_{22}^{(1)}+R_{33}^{(1)})/2 =\frac{a^2(3r^4+a^4+4ar^3)}{r^4(r^2-a^2)^2}\tag{14} \]

Сингулярность на горизонте по прежнему осталась.

Да, еще забыл. Перекрестные временные члены псевдотензора отсутствуют \( t_{01}=t_{02}=t_{03}=0 \)
То есть потока энергии и соответственно гравитационных волн  для статической Шварцшильдовской метрики нет.

Geen, вопрос, а почему у Вайнберга все таки знак у уравнений Эйнштейна другой, чем у Ландау.
Не легко ли здесь запутаться?

[Geen]

Не легко ли здесь запутаться?

https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_field_equations#Sign_convention
Хуже всего, когда автор внезапно меняет знаки в одной-двух главах....


P.S. а я ещё и аксиальный угол от экватора, а не от полюса отсчитываю 

[ulitkanasklone]

Да, уж. Я уже в шоке и запутался.

[victorpetrov]

Да, уж. Я уже в шоке и запутался.

Прошу Вас аргументировать свой испуг в понятиях, которые несколько более понятны "чайникам".

[ulitkanasklone]

Прошу Вас аргументировать свой испуг в понятиях, которые несколько более понятны "чайникам".

У Вайнберга другой знак в уравнениях:
\[  R^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}R=-\frac{8{\pi}G}{c^4}T^{ik} \]

особенно сбивает другой знак "+" перед последним членом с давлением в ТЭИ, чем у Ландау и МТУ.

\[ T_{ik}=(p+{\epsilon})u_{i}u_{k}+pg_{ik} \]

Лифшиц (и Иваненко) в статьях своих использовал именно такую формулу.
Я думал это связано с тем, что сигнатура метрики часто записывается по другому (-+++) (Иваненко-Сарданашвили).
Но нет, у Вайнберга в метрике все стандартно.

[ulitkanasklone]

Отредактировать я не смог вот эту формулу. Незначительная поправка, что Вместо компонент тензора Риччи , надо поставить компоненты его линейной части. Знак получился плюс, хотя по идее должен быть минус.

\[ 8{\pi}Gt_{00}=-(R_{00}^{(1)}+R_{11}^{(1)}+R_{22}^{(1)}+R_{33}^{(1)})/2 =\frac{a^2(3r^4+a^4+4ar^3)}{r^4(r^2-a^2)^2}\quad (14) \]

[Geen]

Незначительная поправка

Комментарий модератора раздела

поправил в исходном сообщении