Интерференция плоских волн в интерферометре Майкельсона

[Ser100]

Я сейчас смоделировал эксперимент Майкельсона и хочу посмотреть какая при различных скоростях интерферометра должна получиться интерференционная картинка, но тут у меня возникли некоторые вопросы по теории интерференции. Вообще-то, у меня много вопросов и по самому эксперименту, но сейчас я их не рассматриваю. Меня интересует правильно ли я смоделировал сам процесс интерференции двух плоских волн, т.к. некоторые формулы и самого изобретателя этого интерферометра и современных учебников не совсем вяжутся с тем, что я получаю. Так на приведенном скриншоте программы Dopler5 Вы видите на рисунке траектории двух лучей в одном из тестовых вычислительных экспериментов, когда интерферометр двигался вправо, а в правых текстовых окошках результаты, которые при этом получились. Если мы теперь по этим данным смоделируем процесс интерференции двух плоских волн, то мы увидим на верхней узкой картинке интерференционные полосы, где яркость полос будет периодически изменятся от нуля до максимума. В реальном интерферометре мы конечно же этого не увидим, т.к. частота изменения яркости будет на много порядков больше, чем 24 кадра в секунду, и мы будем видеть неморгающие светлые полосы.



Но прежде, чем перейти к теории, я приведу другие интерференционные картинки, т.к. в данном случае у нас получилось очень запутанное для анализа сочетание фаз лучей (первый луч сделал 1473,381 колебание, а второй 1473,062) и координатного времени их солнечных зайчиков на поверхности объектива телескопа (ордината первого луча 0,0127 м, а второго 0,0533 м, что почти равно ширине полосы 0,0573 м). При этом углы падения лучей А1 и А2 так и оставим +/- 1 градус, а фазы лучей и координатное время приведем к нулю. У нас получится верхняя картинка. Теперь изменим фазу первого луча на 1473,2 (у второго будет 1473,0). У нас получится средняя картинка, где мы видим, что полосы сдвинулись на 0,2 расстояния между ними. При этом амплитуды напряженности двух лучей будут по ширине объектива изменятся так, как показано на нижней картинке, где красная кривая это первый луч, а синяя это второй. Как видим, пик напряженности волны 1-го луча сместился на 0,2 периода, что в соответствует 0,4 полосы, но, т.к. суммарная напряженность двух лучей будет посередине между максимумами напряженностей двух волн, то у нас получится, что смещение будет на 0,2 полосы.



Как видим, все вроде бы логично, но тут возможны и другие не менее логичные варианты поэтому я хочу уточнить вопрос сложения векторов напряженности двух лучей. Сейчас я использую формулу (1) для расчета вектора напряженности поля для 1-го луча и аналогичную формулу (2) для вектора напряженности поля 2-го луча, где суммарные фазы Q31 и Q32 рассчитываются по формулам (3) и (4). Я не нашел в Латексе функции взятия знака числа sgn и взятия числа по абсолютной величине abs поэтому написал их так, как они читаются. Здесь Vs/sin(A) это скорость солнечного зайчика, который перемещается по поверхности объектива телескопа со скоростью гораздо больше скорости света Vs, а ордината Yi задается во множестве точек начиная от нижней точки объектива равной -N*m до верхней +N*m (если смотреть по картинке на скриншоте, где объектив обозначен цифрой 6) и из нее вычитается ордината точки, куда пришел луч. Здесь m это расстояние между полосами, а N это количество полос, которое умещается на половине ширины объектива телескопа, в который наблюдают интерференционную картину. При этом расстояние между полосами рассчитывается по формуле (5), которая справедлива только для случая, когда длины волн обоих лучей и их углы падения одинаковые, но пока давайте ограничимся этим простейшим случаем.

\[ E_1=E_0\cos(\omega_1T+Q_{31}) \qquad\mbox{(1)} \]   
\[ E_2=E_0\cos(\omega_2T+Q_{32}) \qquad\mbox{(2)} \]   
\[ Q_{31}=\omega_1 (sgn(A_1)Y_i-Y_1) abs(\sin(A_1))/V_s)+2\pi N_1 \qquad\mbox{(3)}  \]   
\[ Q_{32}=\omega_1 (sgn(A_2)Y_i-Y_2) abs(\sin(A_2))/V_s)+2\pi N_2 \qquad\mbox{(4)}  \]   
\[ m=\lambda/(2\sin(A_1-A_2)) \qquad\mbox{(5)}  \]     

Так вот. В первую очередь меня интересует формула (6), т.к. я не понимаю по какому правилу здесь суммировались два вектора напряженности поля E1 и E2, чтобы получить суммарную освещенность I при условии что I1=E1^2 и I2=E2^2. В некоторых учебниках пишут, что используют для этого теорему косинусов, но это явно не тот случай, т.к. там формула должна выглядеть как 7, где и знак другой и у косинуса берется разность углов между векторами и суммарным вектором (с разными знаками), а не разность фаз. Нельзя здесь применить и формулу для сложения амплитуд двух колебаний одного направления 8, где косинус берется именно для углов фаз, но там угол между векторами равен нулю или 180 градусам как, например, в механических колебаниях.

\[ I=E_1^2+E_2^2+2\cos(Q_{31}-Q_{32})\sqrt(E_1^2E_2^2) \qquad\mbox{(6)} \]   
\[ I=E_1^2+E_2^2-2\cos(A_1-A_2)E_1E_2 \qquad\mbox{(7)} \]   
\[ I=E_1^2+E_2^2+2\cos(Q_{31}-Q_{32})E_1E_2 \qquad\mbox{(8)} \]   

Здесь надо сказать, что и при применении формул 7 и 8 мы тоже будем наблюдать интерференционную картину, но немного другую и смещения там будут уже другие, поэтому мне и надо выяснить насколько корректно получена формула (6), которой я пользуюсь, т.к. от этого будет зависеть смещение полос, которое я хочу сопоставить с тем, что получил Майкельсон при проведении натурных экспериментов на своей установке.
 
С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[СТРОБОСКОП]

Меня интересует правильно ли я смоделировал сам процесс интерференции двух плоских волн, т.к. некоторые формулы и самого изобретателя этого интерферометра и современных учебников не совсем вяжутся с тем, что я получаю.

Я так понял, что Dopler5 самопальная программа автора, и поэтому, если Вы заложили в алгоритм вычисления "некоторые формулы из современных учебников" , и заложили без ошибок, то Вы должны получать результат, который вяжется с этими формулами! А если Вы заложили что-то свое, то и результат будет вязаться с тем, что Вы заложили!

[Ser100]

Я так понял, что Dopler5 самопальная программа автора, и поэтому, если Вы заложили в алгоритм вычисления "некоторые формулы из современных учебников" , и заложили без ошибок, то Вы должны получать результат, который вяжется с этими формулами! А если Вы заложили что-то свое, то и результат будет вязаться с тем, что Вы заложили!

Ну, это и козе понятно. Меня интересует каким образом была получена формула из учебника (5), т.к. я не привык использовать в своих расчетах формулы, которые я не понимаю откуда взялись. И пусть эта формула из трижды распрекрасного учебника я обязательно ее проверяю сам даже в том случае, когда вроде бы понимаю как она была получена, а здесь я даже не понимаю откуда она взялась. Может быть дело связано с тем, что суммируются уже освещенности двух лучей I, которые будут уже скалярами и тут не важен угол между векторами E. Но хотелось бы услышать чье то авторитетное мнение по этому вопросу, т.е. мнение человека, который занимался этим вопросом.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Gleb1964]

Так вот. В первую очередь меня интересует формула (6), т.к. я не понимаю по какому правилу здесь суммировались два вектора напряженности поля E1 и E2, чтобы получить суммарную освещенность I при условии что I1=E1^2 и I2=E2^2. В некоторых учебниках пишут, что используют для этого теорему косинусов, но это явно не тот случай, т.к. там формула должна выглядеть как 7, где и знак другой и у косинуса берется разность углов между векторами и суммарным вектором (с разными знаками), а не разность фаз. Нельзя здесь применить и формулу для сложения амплитуд двух колебаний одного направления 8, где косинус берется именно для углов фаз, но там угол между векторами равен нулю или 180 градусам как, например, в механических колебаниях.

\[ I=E_1^2+E_2^2+2\cos(Q_{31}-Q_{32})\sqrt(E_1^2E_2^2) \qquad\mbox{(6)} \]   
\[ I=E_1^2+E_2^2-2\cos(A_1-A_2)E_1E_2 \qquad\mbox{(7)} \]   
\[ I=E_1^2+E_2^2+2\cos(Q_{31}-Q_{32})E_1E_2 \qquad\mbox{(8)} \]   

Здесь надо сказать, что и при применении формул 7 и 8 мы тоже будем наблюдать интерференционную картину, но немного другую и смещения там будут уже другие, поэтому мне и надо выяснить насколько корректно получена формула (6), которой я пользуюсь, т.к. от этого будет зависеть смещение полос, которое я хочу сопоставить с тем, что получил Майкельсон при проведении натурных экспериментов на своей установке.
 
С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

В формуле (7) учитывается фактор скачка фазы на \( \pi \) при отражении от оптически более плотной среды, во всем прочем формула (7) идентична остальным.

[СТРОБОСКОП]

Меня интересует каким образом была получена формула из учебника (5), т.к. я не привык использовать в своих расчетах формулы, которые я не понимаю откуда взялись.

Пожалуйста, скажите, что это за учебник, и где там эта формула!? Читать формулы в дурацком виде, который доступен на форуме нет ни какой возможности!

[СТРОБОСКОП]

Сделайте
Профиль -> Настройки профиля ->Изменить профиль -> Внешний вид форума -> Включить рендеринг формул

Спасибо большое! Дожил до седых волос, а все ЮЗЕР!)))

[СТРОБОСКОП]

Ser100? все таки из какого учебника формулы?

[Ser100]

Ser100? все таки из какого учебника формулы?

В одном учебнике все это вместе я нигде не нашел. И вообще интерферометр Майкельсона является устаревшей конструкцией поэтому о нем пишут понемногу только отдавая дань тому, что он был один из первых. Поэтому насобирал в интернете из различных статей и методичек. Например, посмотрите здесь  https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxpbnRlcmNvbW1vZHxneDoyYjZkNjIyYjFlNzIxMzAy

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[СТРОБОСКОП]

Меня интересует каким образом была получена формула из учебника (5), т.к. я не привык использовать в своих расчетах формулы, которые я не понимаю откуда взялись.

Вот и я не понимаю откуда она эта формула взялась! Во первых это Вы ее привели под номером 5, а на вопрос откуда Вы ее взяли, приводите ссылку на текст, в котором ее нет! Да еще предлагаете ответить на вопрос откуда она взялась!)))

[СТРОБОСКОП]

Я ждал ответа в виде, Вот ссылка на учебник такой-то, где на странице такой-то приведена формула (5), объясните как выводилась эта формула!

[Ser100]

Я ждал ответа в виде, Вот ссылка на учебник такой-то, где на странице такой-то приведена формула (5), объясните как выводилась эта формула!

Если бы в каком ни будь учебнике давался полный вывод этой формулы, то я бы и без вас разобрался, как она выводилась. Но в том то и дело, что я нигде не могу найти именно вывод этой формулы.  Кругом пишут, что суммарная интенсивность будет выражаться формулой (5) и все. Так что мне не нужен толмач, который уже по написанному расскажет мне, что там написано. Мне надо, чтобы показали где это написано или написали сами.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[СТРОБОСКОП]

Извиняюсь, я просто хотел убедиться, что Вы ее не с потолка срисовали! Но так как Вы усиленно не желаете сообщить откуда Вы списали эту формулу, то я прихожу к выводу, что действительно с потолка! И тогда нет смысла напрягаться, чтобы объяснять как она выводится!

[Ser100]

Извиняюсь, я просто хотел убедиться, что Вы ее не с потолка срисовали! Но так как Вы усиленно не желаете сообщить откуда Вы списали эту формулу, то я прихожу к выводу, что действительно с потолка! И тогда нет смысла напрягаться, чтобы объяснять как она выводится!

Я же вам написал, что эту формулу я получил скомпилировав подобные формулы из разных источников. А вообще, не понятно, чем это формула 8 из приведенной мною ссылки отличается от того, что я приводил в первом сообщении. Но, если вам этого мало, то могу еще привести максимально похожую формулу (22.2) из Ландсберг Г.С. Оптика 2003г. Кстати, там есть упражнение 20, где учащимся как раз и предлагается вывести эту формулу. Так, что, если не хотите заниматься этой формулой или не можете объяснить откуда она взялась, то так и напишите, а не валите все на то, что эта формула якобы самопальная.

Кстати. По поводу самопальности. Вы писали, что моя программа Dopler5 самопальная и поэтому не стоит ей доверять. А какие программы вы называете не самопальными и какие не самопальные программы вы знаете, где моделируется эксперимент Майкельсона или хотя бы эффект Доплера. 

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[СТРОБОСКОП]

Меня интересует каким образом была получена формула из учебника (5)

Это Вы спросили меня в ответе №2 (в 13-36-33) привожу формулу (5)

m=λ/(2sin(A1−A2))(5)

А вообще, не понятно, чем это формула 8 из приведенной мною ссылки отличается от того, что я приводил в первом сообщении.

а теперь привожу формулу 8 из приведенной вами ссылки

[Ser100]

Это Вы спросили меня в ответе №2 (в 13-36-33) привожу формулу (5)

Извиняюсь. Опечатка. Ведь в первом сообщении я ясно написал, что меня интересует вывод формулы (6).

А по поводу самопальности программ тоже было бы интересно послушать. А то ведь Вы, наверное, в курсе, что многие горячо любимые астрономами программы являются самопальными, т.е. созданы не Микрософтом, а отдельными энтузиастами.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

В формуле (7) учитывается фактор скачка фазы на π при отражении от оптически более плотной среды, во всем прочем формула (7) идентична остальным.

Во-первых, она никак не может быть им идентична, т.к. в ней берется разность углов между векторами напряженности двух волн и вектором суммарной напряженности, а в остальных формулах берется разность углов фаз двух волн. А во-вторых, остальные формулы не идентичны друг другу, т.к. дают разную картинку. Поэтому совсем не понятно как она может быть им идентична.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[j.kepler.ii]

Я ждал ответа в виде, Вот ссылка на учебник такой-то, где на странице такой-то приведена формула (5), объясните как выводилась эта формула!

Если бы в каком ни будь учебнике давался полный вывод этой формулы, то я бы и без вас разобрался, как она выводилась. Но в том то и дело, что я нигде не могу найти именно вывод этой формулы.  Кругом пишут, что суммарная интенсивность будет выражаться формулой (5) и все. Так что мне не нужен толмач, который уже по написанному расскажет мне, что там написано. Мне надо, чтобы показали где это написано

"Интерференционная картина есть фурье преобразование "изображения создаваемого щелями",  производимое устройством называемым коррелятором.

Элементарное по форме и высокопрофессиональное введение в предмет изложено в книге:
Стюард И.Г. Введение в фурье-оптику. 1985.", которую можете найти где скачать щелкнув по ссылке.

[Ser100]

Элементарное по форме и высокопрофессиональное введение в предмет изложено в книге:
Стюард И.Г. Введение в фурье-оптику. 1985.", которую можете найти где скачать щелкнув по ссылке.

Не знаю как насчет высокопрофессионального изложения, но то, что интересующий меня вопрос там не разъяснен, это точно. Книжка сразу начинается с моей формулы 8, которая там имеет номер 1.01, а отсылка к приложению А, где рассматривается вопрос скалярного описания электромагнитных волн и приводится векторная диаграмма для сложения этих скаляров, ничего не объясняет. Да, оно и во всех учебниках дается очень путано. Например, у Иродова И.Е. Волновые процессы. Основные законы, т.4, 1999, который рассматривает амплитуды колебаний, написано, что, если колебания одинакового направления с амплитудами Е1 и Е2 и разностью фаз Q31-Q32, то результирующее колебание будет с амплитудой Е, которую находим с помощью векторной (или фазовой) диаграммы и теоремы косинусов (4.1). У меня это формула 8, где вместо интенсивности I надо написать амплитуду Е. Ну и при чем тут векторная диаграмма, если он рассматривает скаляры, и при чем тут в теореме косинусов разность фаз, если там используется угол между векторами?

Да, у Сивухина Д.В. Общий курс физики, т.4, Оптика, 1980, все выглядит более основательно и он рассматривает именно вектора напряженности электрического поля двух лучей, а, чтобы найти суммарную интенсивность света, т.е. мощность излучения, которая пропорциональна напряженности в квадрате, он просто сумму векторов Е1 и Е2 возводит в квадрат и появляется член с двойным произведением векторов напряженностей 2*Е1*Е2 (26.2). А вот дальше все очень туманно. Ведь для суммирования векторов напряженности он использует принцип суперпозиции, но, т.к. интенсивность I=E^2, то кто ему мешает применить этот принцип не к напряженностям полей, а уже к интенсивности света. А в этом случае две скалярные величины (мощности излучения) просто просуммируются и будет I=I1+I2 без дополнительного интерференционного члена.

И что странно, если мы рассматриваем вопрос интенсивности света в какой то точке от двух независимых источников света, то он пишет, что будет действительно I=I1+I2, но, если мы рассматриваем когерентное излучение, то неизвестно откуда должен появится дополнительный интерференционный член. И тут, чтобы найти этот член, он тоже обращается к амплитудам напряженностей (26.3). Причем выражает он их через комплексную амплитуду (26.4) и потом ищет сумму напряженностей через сумму этих амплитуд, где после выделения вещественной амплитуды получает опять таки нашу формулу 8. У него это формула (26.5). На этом вычисления обрываются, не дойдя до вычисления интенсивности света и он быстренько сообщает, что тот же результат можно получить с использованием векторной диаграммы и записывает исходя из (26.5) нашу формулу 6.

В общем, я никак не пойму что мы тут суммируем - вектора напряженности или скаляры интенсивности света, т.е. мощности или яркости. И почему все авторы от векторов напряженности перепрыгивают на амплитуды напряженности и суммируют уже их по правилам колебаний одинакового направления, хотя эти колебания осуществляются хоть и под очень маленьким, но под углом друг к другу. И вообще, у меня складывается такое впечатление, что формула 6 была получена опытным путем, а сейчас в учебниках кто как может стараются подвести научное обоснование этой формулы, исходя из современных теорий, т.е. просто занимаются "подгонкой решения под ответ в конце задачника". Да меня бы устроила и эмпирическая формула без их теоретических наворотов, но я не знаю будет ли эта формула 6 справедлива в том случае, когда два луча будут интерферировать при движении практически навстречу друг другу, т.е. когда угол между ними будет уже близок не к нулю, а к 180 градусам. А для этого надо сначала убедиться, что формула 6 является чисто эмпирической и не перегружать себя разборками их мутных выводов этой формулы, где они меня капитально запутали.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[СТРОБОСКОП]

Здесь надо сказать, что и при применении формулы  8 мы тоже будем наблюдать интерференционную картину, но немного другую и смещения там будут уже другие, поэтому мне и надо выяснить насколько корректно получена формула 6, которой я пользуюсь,

Странная картина получается, если использовать  в программе формулу 8 получается результат, отличающийся от того, который получается при использовании формулы (6). Хотя если знать, что такое квадратный корень, становится видно ,  что 8 и 6 это одна и та же формула, с точностью до запятой. Вот это я и называю самопальной программой!

[Geen]

Ведь для суммирования векторов напряженности он использует принцип суперпозиции, но, т.к. интенсивность I=E^2, то кто ему мешает применить этот принцип не к напряженностям полей, а уже к интенсивности света.

Потому что "принцип суперпозиции" не может быть справедлив сразу для двух величин с квадратичной зависимостью между ними. А природа так устроена (экспериментальный факт), что суммируются поля, а не интенсивности (уравнения теории линейны относительно "напряжённостей").