Сила,действующая на равномерно ускоренный заряд.

[george telezhko]

Равновесие гравитации и еще чего-то - это и есть признак движения не по геодезической. За исключением случая отсутствия и того, и другого. )))
Или я сильно отстал...

[yisnep]

Равновесие гравитации и еще чего-то - это и есть признак движения не по геодезической. За исключением случая отсутствия и того, и другого. )))
Или я сильно отстал...

Вы отстали, только от меня.  Догоняйте (готов помочь) и дальше пойдем вместе.

[Хартиков Сергей]

Уравнение геодезической (по определению):

du^k/ds + Г^k_mnu^mn = 0

Уравнение движения заряда в электромагнитном поле:

mc*(du^k/ds + Г^k_mnu^mn) = (e/c)*F^kmu_m

Предположим, заряд, уравновешенный в ЭМ поле, движется по геодезической. Левая часть уравнения движения равна 0 (по определению геодезической). Получаем:

F^kmu_m = 0

F^kmg_nmuⁿ = 0

Так как заряд покоится в пространственных координатах, то u⁰ = 1 и u^a = 0 (символ "а" пробегает индексы 1, 2, 3):

F^kmg_0m = 0

Но мы рассматриваем статический случай, поэтому знак временной координаты не должен влиять на ds, а значит, g_0a = 0:

F^k0g₀₀ = 0

Так как g₀₀ не равно нулю, то

F^k0 = 0,

Вычисляем ковариантные компоненты:

F_m0 = g_mkg_0nF^kn = g_mkg₀₀F^k0 = 0, что по определению означает Ex = 0, Ey = 0, Ez = 0, то есть отсутствие электрического поля, которое по нашему первоначальному предположению должно было уравновесить заряд. Полученное противоречие означает, что наше предположение было неверным, а значит при наличии гравитационного поля уравновешенный заряд не может двигаться по геодезической.

[Хартиков Сергей]

Еще один вариант. Опять предположим, что частица уравновешена и при этом движется по геодезической. Уравнение геодезической:

du^k/ds + Г^k_mnu^mn = 0

Откуда в сопутствующей системе отсчета (шварцшильдова система в статическом случае):

Г^k₀₀u⁰u⁰ = 0, или

Г^k₀₀ = 0

Я не привожу подробный вывод (т.к. он достаточно длинный – при очень большом желании могу привести) того, что в центрально-симметричном поле в веществе Г¹₀₀ всегда отличен от нуля при наличии градиента давления. Снова получаем противоречие, так как в центрально-симметричном случае нельзя обойтись без градиента давления.
Замечу, что в Ландау-Лифшице (в параграфе "Синхронная система отсчета") есть краткое указание на то, что при наличии гравитационного поля неподвижная частица может двигаться по геодезической лишь при нулевом градиенте давления.

[yisnep]

 Георгий,ждал вашего ответа,как ... Понял,что "вмешательство" Хартикова тому замена. Отвечаю.Все "просто до безобразия". В метрике Ш - да (вне тяготеющего тела), в сферических кородинатах Хⁱ, пишем ур - я движ. пробного тела под действием внешней силы. Учитывая,что тело находится в статическом равновесии и единственное слагаемое содержащее связность и входящее в ур - е для радиальной координаты компенсировано внешней силой (весом) получаем d²Xⁱ/dt²=0 . Трудно не узнать в этих ур -х свободное движение в плоском пространстве (если только очень не хотеть этого ). Образно говоря,уравновешенное в 4-х пространстве Ш - да пробное тело никакой кривоты этого пространства не замечает. И спокойно движется во времени также ,как это делает свободное тело в пространстве М - го. И,естественно, не излучает,если заряжено. В НСО заряд не уравновешен, в выше указанном смысле,поскольку внешняя сила там больше,чем соответствующее слагаемое со звязностью (соседнее незаряженное тело о том свидетельствует). Вы видите,Георгий,какой своеобразный,я бы сказал, самодостаточный  "механизм" излучения заряда предоставляет нам ПЭ ? Заряд в НСО излучает потому, что неуравновешен. А неуравновешен потому,что излучает. Причина и следствие в одном лице! Полная симметрия, эквивалентность причины и следствия. Красиво! Не находите?    

[Хартиков Сергей]

     Я не понял, зачем для записи уравнений движения d²Xⁱ/dt²=0 говорить о метрике Шварцшильда? Это же просто условия неподвижности тела. Вы, вроде, говорили, будто это движение по геодезической. Но это не геодезическая.

     Цитата yisnep: "рудно не узнать в этих ур -х свободное движение в плоском пространстве (если только очень не хотеть этого Wink)"

     Причем здесь внешнее сходство? Координаты все равно остались шварцшильдовы.

     Цитата yisnep: "И,естественно, не излучает,если заряжено"

     Откуда этот вывод? Из указанного внешнего сходства?

     Цитата yisnep: "В НСО заряд не уравновешен, в выше указанном смысле,поскольку внешняя сила там больше,чем соответствующее слагаемое со звязностью (соседнее незаряженное тело о том свидетельствует)"

     Я этого вообще не понял. Если мы находимся в НСО (равномерно ускоренной в релятивистском смысле), то там вводится система координат, в которой поле статическое, заряд точно так же покоится и уравнения движения те же самые d²Xⁱ/dt²=0.

[yisnep]

     Я не понял, ...

Раз!

     Цитата yisnep: "рудно не узнать в этих ур -х свободное движение в плоском пространстве (если только очень не хотеть этого Wink)"

 Причем здесь внешнее сходство? Координаты все равно остались шварцшильдовы.

Два!

     Цитата yisnep: "И,естественно, не излучает,если заряжено"

 Откуда этот вывод? Из указанного внешнего сходства?

Три!

     Цитата yisnep: "В НСО заряд не уравновешен, в выше указанном смысле,поскольку внешняя сила там больше,чем соответствующее слагаемое со звязностью (соседнее незаряженное тело о том свидетельствует)"

 Я этого вообще не понял.

Четыре!!!
Констатирую,Вы ничего не поняли. Хотя бы в этом то я не ошибаюсь?

1.Без комм.
2.Координаты - это просто номера точек многообразия. Кто занимается этой нумерацией? Я не знаю. Если Шварцшильд,то пусть они будут шварцшильдовыми. Не возражаю,если Вы перейдете к координатам Хартикова.
3.Это опытный факт,что не излучает. Спросите у Георгия, он подтвердит. Надеюсь.
4.Покоится и те самые же. Но это "другое" тело, у него масса больше. И,выше, говорю поэтому,что смысл этих равновесий разный. И раньше пытался обратить внимание "аудитории",что опыты проводятся в пространствах с разной геометрией. И это следует учесть при истолковании их результатов. А учесть это позволяет ПЭ.

[george telezhko]

И раньше пытался обратить внимание "аудитории",что опыты проводятся в пространствах с разной геометрией. И это следует учесть при истолковании их результатов. А учесть это позволяет ПЭ.

Если бы Вы не упрямились, а рассмотрели поле бесконечно протяженного плоского источника, то Вы бы получили ту же геометрию, что и на ускоренной ракете. Вы апеллируете к локальной плоскости пространства-времени в гравитационном поле - но тогда и оставайтесь в этих рамках! А то сначала Вы говорите о том, что оба случая локально плоские, а потом говорите, что геометрия разная...

[Хартиков Сергей]

     Цитата yisnep: "Констатирую,Вы ничего не поняли. Хотя бы в этом то я не ошибаюсь?"

     Ну так, выражайтесь яснее. Вот, что Вы говорили об уравнениях движения заряда - цитаты yisnep:

     "А заряд подвешенный на Земле движется  в искривленном пространстве,но его мировая линия,как показывают уравнения движения, является геодезической. И, позтому он не излучает."
     "Там (в Ш-де) получается система двух ур-й не независимых. Т.е. решение удовлетворяет,кажется, ур-ю геодезической."
     "Все-таки, заряд,уравновешенный в пространстве Шварцшильда, движется по геодезической."

Георгий несколько раз выразил сомнение в этом. Я Вам привел строгий вывод, что это не так. Чего я не понял?

     Цитата yisnep: "2.Координаты - это просто номера точек многообразия. Кто занимается этой нумерацией? Я не знаю. Если Шварцшильд,то пусть они будут шварцшильдовыми. Не возражаю,если Вы перейдете к координатам Хартикова."

     Это Вы занимаетесь нумерацией: я Вам напоминаю, что именно Вы постоянно настаивали на координатах Шварцшильда: "Георгий,не поленитесь написать уравнения движения заряда в пространстве Ш - да в условиях равновесия... Георгий,примите мой совет и напишите ур-я дви-я в "шварцшильде" в условиях равновесия. Мне кажется, Вы сразу все увидите... В метрике Ш - да (вне тяготеющего тела), в сферических кородинатах Хi, пишем ур - я движ. пробного тела под действием внешней силы..."

     Цитата yisnep: "3.Это опытный факт,что не излучает. Спросите у Георгия, он подтвердит. Надеюсь."

     Интересно, а что, как не обяснение причины этого "неизлучения", Вы описывали: "Образно говоря,уравновешенное в 4-х пространстве Ш - да пробное тело никакой кривоты этого пространства не замечает. И спокойно движется во времени  также ,как это делает свободное тело в пространстве М - го. И,естественно, не излучает,если заряжено."?
     И зачем постоянно говорить о внешней схожести неких уравнений, если Вы говорите об опытном факте, а не об объяснении?

     Цитата yisnep: "4.Покоится и те самые же. Но это "другое" тело, у него масса больше. И,выше, говорю поэтому,что смысл этих равновесий разный. И раньше пытался обратить внимание "аудитории",что опыты проводятся в пространствах с разной геометрией. И это следует учесть при истолковании их результатов. А учесть это позволяет ПЭ."

     Вы хотите сказать, что геометрия пространства-времени в равномерно ускоренной ракете и в центрально симметричном поле разная? А кто это отрицал? Вы хотите это учесть при истолковании результатов: так, учитывайте, но где объяснения, кроме констатации этого факта? Про принцип эквивалентности Вы тоже ничего не расшифровали. Напомню, что ПЭ заключается в следующем:
     "Пусть в некоторой точке некоторая СО отличается от ИСО наличием гравитации, а уравнения движения и уравнения остальных явлений U = 0 (1), тогда существует такая неинерциальная НСО, которая получается преобразованием координат из ИСО, при котором интервал становится ds² = g_ikdxⁱdx^k, а уравнения движения и уравнения остальных явлений U = 0 (2), такие что (1) совпадают с (2) в малой окрестности рассматриваемой точки"

     В ПЭ речь идет о малой окрестности, поэтому мне непонятна Ваша ссылка на отличие геометрий пространства-времени: как раз, в малой окрестности они совпадают, как совпадают и все остальные уравнения.

[yisnep]

Если бы Вы не упрямились, а рассмотрели поле бесконечно протяженного плоского источника, то Вы бы получили ту же геометрию, что и на ускоренной ракете.

Георгий,приветствую. Да,надеюсь,что получил бы,но как поется - там хорошо,но мне туда не надо.

[yisnep]

     Цитата yisnep: "Констатирую,Вы ничего не поняли. Хотя бы в этом то я не ошибаюсь?"
Ну так, выражайтесь яснее.

Обещаю,что буду этому учиться.

Чего я не понял?

Чего? Не знаю.Знаю,только,что 4 раза.

 Цитата yisnep: "2.Координаты - это просто номера точек многообразия. Кто занимается этой нумерацией? Я не знаю. Если Шварцшильд,то пусть они будут шварцшильдовыми. Не возражаю,если Вы перейдете к координатам Хартикова."

Вот все,что я смог сказать о координатах.

Это Вы занимаетесь нумерацией: я Вам напоминаю, что именно Вы постоянно настаивали на координатах Шварцшильда: "Георгий,не поленитесь написать уравнения движения заряда в пространстве Ш - да в условиях равновесия... Георгий,примите мой совет и напишите ур-я дви-я в "шварцшильде" в условиях равновесия. Мне кажется, Вы сразу все увидите... В метрике Ш - да (вне тяготеющего тела), в сферических кородинатах Хi, пишем ур - я движ. пробного тела под действием внешней силы..."

Я так и не разглядел,где в этих моих словах речь идел о координатах? Вижу,что речь идет о геометрии 4-х пространства.

 Цитата yisnep: "3.Это опытный факт,что не излучает. Спросите у Георгия, он подтвердит. Надеюсь."

Да,Георгий не подтвердил. Это тоже "опытный факт".

 Вы хотите сказать, что геометрия пространства-времени в равномерно ускоренной ракете и в центрально симметричном поле разная? А кто это отрицал?

Я ни на кого пальцем не указывал.

Про принцип эквивалентности Вы тоже ничего не расшифровали.

Я "расшифровываю" этот принцип так,как и Георгий. Смотрите выше.

Признаться,Сережа,я исчерпал весь запас "препирательских"  аргументов и полемику с Вами мне вести нечем. Сожалею,что Вы не увидели в моем подходе то рациональное,что видится мне. И,может быть,немного Георгию (тешу себя такой надеждой).
Еще добавлю,что условия равновесия для заряда в НСО "ракета" и на "Земле" разные. Мне кажется,Вы все время исходите из посылки,что все должно быть абсолютно одинаково. Если так,то у нас разные посылки, мы "по разные стороны" и обмениваться "соображениями" просто бессмысленно.

[george telezhko]

Если бы Вы не упрямились, а рассмотрели поле бесконечно протяженного плоского источника, то Вы бы получили ту же геометрию, что и на ускоренной ракете.

Георгий,приветствую. Да,надеюсь,что получил бы,но как поется - там хорошо,но мне туда не надо.

Но тогда Вы своими собственными руками вводите неэквивалентность двух опытов. Поскольку Ваш аргумент сводится к тому, что поле Земли неоднородно. А сопоставлять надо однородное гравитационное поле с полем сил инерции равноускоренной ракеты.
Если же локально неоднородностью поля Вы предложите пренебрегать (с чем я соглашусь), то тогда вид метрики перестанет иметь значение. Вы уж либо туда, либо сюда - но результат все одно не в пользу отстаиваемого Вами тезиса.

[yisnep]

Но тогда Вы своими собственными руками вводите неэквивалентность двух опытов. Поскольку Ваш аргумент сводится к тому, что поле Земли неоднородно.

"Поле" вокруг Земли неоднородное. Георгий,Вы,ведь, не с этим спорите? Правильно я понимаю?

А сопоставлять надо однородное гравитационное поле с полем сил инерции равноускоренной ракеты.

Какая необходимость и какой смысл в таком сопоставлении в рассматриваемом случае? Состояние статического равновесия тела в "земном поле" описывается точными ур - ми. Зачем нужна такая апроксимация,о которой Вы говорите? Пожалуйста, объясните мне.

[Хартиков Сергей]

     Цитата yisnep: "Состояние статического равновесия тела в "земном поле" описывается точными ур - ми."

     Да. И в любом поле состояние статического равновесия описывается одними и теми же точными уравнениями

[george telezhko]

Но тогда Вы своими собственными руками вводите неэквивалентность двух опытов. Поскольку Ваш аргумент сводится к тому, что поле Земли неоднородно.

"Поле" вокруг Земли неоднородное. Георгий,Вы,ведь, не с этим спорите? Правильно я понимаю?

Конечно, с этим я не спорю. Также я не спорю и с тем, что можно выбрать достаточно малую область земного поля, в которой поле будет с достаточной точностью однородным. И тогда неважна конфигурация создавшего эту область поля источника.

А сопоставлять надо однородное гравитационное поле с полем сил инерции равноускоренной ракеты.

Какая необходимость и какой смысл в таком сопоставлении в рассматриваемом случае? Состояние статического равновесия тела в "земном поле" описывается точными ур - ми. Зачем нужна такая апроксимация,о которой Вы говорите? Пожалуйста, объясните мне.

Слово "зачем" здесь неуместно, ибо принцип эквивалентности утверждает эквивалентность именно однородного поля тяготения и поля сил инерции в равноускоренной ракете. И именно эта эквивалентность оказывается под угрозой, если равноускоренный заряд теряет энергию на излучение. Даже если Вы и объясните отсутствие излучения в поле с метрикой Шварцшильда тем, что оно искривляет пространство, а поле сил инерции - нет.

[yisnep]

     Цитата yisnep: "Состояние статического равновесия тела в "земном поле" описывается точными ур - ми."

Сережа,зачем Вы выхватываете из контекста? Я,ведь,Георгию не прописную истину открываю (как Вы мне, чуть ниже),а просто предваряю свой вопрос,который идет за этим предложением. Центр тяжести в вопросе,а не в этой наводящей фразе.

Да. И в любом поле состояние статического равновесия описывается одними и теми же точными уравнениями

Это, только усиливает смысл цитированной фразы. Более ничего.

[Хартиков Сергей]

     Я процитировал эту фразу, потому что недавно Вы ссылались на нее в качестве причины, что заряд не излучает:

     "Учитывая,что тело находится в статическом равновесии и единственное слагаемое содержащее связность и входящее в ур - е для радиальной координаты компенсировано внешней силой (весом) получаем d2Xi/dt2=0 . Трудно не узнать в этих ур -х свободное движение в плоском пространстве (если только очень не хотеть этого Wink). Образно говоря,уравновешенное в 4-х пространстве Ш - да пробное тело никакой кривоты этого пространства не замечает. И спокойно движется во времени  также ,как это делает свободное тело в пространстве М - го. И,естественно, не излучает,если заряжено."

     В любой системе отсчета, в пространстве любой геометрии к неподвижному заряду применимы эти уравнения. Так в чем состоит Ваш аргумент?

[yisnep]

А сопоставлять надо однородное гравитационное поле с полем сил инерции равноускоренной ракеты.

Какая необходимость и какой смысл в таком сопоставлении в рассматриваемом случае? Состояние статического равновесия тела в "земном поле" описывается точными ур - ми. Зачем нужна такая апроксимация,о которой Вы говорите? Пожалуйста, объясните мне.

Слово "зачем" здесь неуместно, ибо принцип эквивалентности утверждает эквивалентность именно однородного поля тяготения и поля сил инерции в равноускоренной ракете. И именно эта эквивалентность оказывается под угрозой, если равноускоренный заряд теряет энергию на излучение. Даже если Вы и объясните отсутствие излучения в поле с метрикой Шварцшильда тем, что оно искривляет пространство, а поле сил инерции - нет.

У Вас получается,что любое объяснение,почему заряд в ракете излучает,а на Земле нет,угрожает ПЭ. И единственно допустимый вариант - поставить под сомнение возможность излучения в ракете. Так? Я правильно Вас понял?

[yisnep]

     Я процитировал эту фразу, потому что недавно Вы ссылались на нее в качестве причины, что заряд не излучает:

Фраза не может быть причиной того,что заряд не излучает. Выражайтесь яснее,пожалуйста.

   

 "Учитывая,что тело находится в статическом равновесии и единственное слагаемое содержащее связность и входящее в ур - е для радиальной координаты компенсировано внешней силой (весом) получаем d2Xi/dt2=0 . Трудно не узнать в этих ур -х свободное движение в плоском пространстве (если только очень не хотеть этого Wink). Образно говоря,уравновешенное в 4-х пространстве Ш - да пробное тело никакой кривоты этого пространства не замечает. И спокойно движется во времени  также ,как это делает свободное тело в пространстве М - го. И,естественно, не излучает,если заряжено."

     В любой системе отсчета, в пространстве любой геометрии к неподвижному заряду применимы эти уравнения. Так в чем состоит Ваш аргумент?

Мой аргумент состоит в вашем жирном его выделении. Я ясно выразился? Берите пример!

[george telezhko]

А сопоставлять надо однородное гравитационное поле с полем сил инерции равноускоренной ракеты.

Какая необходимость и какой смысл в таком сопоставлении в рассматриваемом случае? Состояние статического равновесия тела в "земном поле" описывается точными ур - ми. Зачем нужна такая апроксимация,о которой Вы говорите? Пожалуйста, объясните мне.

Слово "зачем" здесь неуместно, ибо принцип эквивалентности утверждает эквивалентность именно однородного поля тяготения и поля сил инерции в равноускоренной ракете. И именно эта эквивалентность оказывается под угрозой, если равноускоренный заряд теряет энергию на излучение. Даже если Вы и объясните отсутствие излучения в поле с метрикой Шварцшильда тем, что оно искривляет пространство, а поле сил инерции - нет.

У Вас получается,что любое объяснение,почему заряд в ракете излучает,а на Земле нет,угрожает ПЭ. И единственно допустимый вариант - поставить под сомнение возможность излучения в ракете. Так? Я правильно Вас понял?

Неправильно.
Наличие излучения релятивистски равноускоренного заряда и отсутствие точно такого же излучения заряда, неподвижного в однородном поле тяготения означает неэквивалентность гравитационного поля и поля сил инерции в смысле, заложенном основателями ОТО.
Спасти принцип эквивалентности можно,
- либо показав, что излучение не регистрируется ни от неподвижного заряда, ни от ускоренного (при одинаковом относительном расположении и движении регистраторов и зарядов);
- либо показав, что излучение регистрируется и там, и там при тех же условиях;
- либо переписав принцип эквивалентности в форме, не затрагивающей электромагнитные явления (пусть себе заряды излучают как хотят, а в остальном все гравитационно эквивалентно).