Задача трёх тел

[Cat]

Задача трёх тел

Получается, для 3 и более космических тел вычислить траектории невозможно.

А как же астрономы тогда вычисляют?

Мало того, космические аппараты до Марса и других удалённых планет добираются с очень высокой точностью.

[azimuth]

Численными методами. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B

[Дмитрий Смирнов]

для 3 и более

С чего Вы это решили? 

[Cat]

С чего Вы это решили?

Вики конечно не истина в последней инстанции, но такое утверждение встречалось во многих местах
"В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений."

[Дмитрий Смирнов]

С чего Вы это решили?

Вики конечно не истина в последней инстанции, но такое утверждение встречалось во многих местах
"В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений."

Но ведь задача, не имеющая конечных аналитических выражений (обратите внимание - в будущем может пригодится)  - это задача о трех и более телах трех телах 
Однако есть Гравитационная задача N тел, но это отдельная песня...

[Cat]

Численными методами. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B

Численные - понятно.
Но возьмём тот же полёт на Марс. Здесь будет задача уже не 3-х тел, более 10 (планеты..) + время полёта год.
Это какие же вычислительные мощности нужны для подобных приближённых вычислений, чтобы всё учесть?

[Cat]

Но ведь задача, не имеющая конечных аналитических выражений (обратите внимание - в будущем может пригодится)  - это задача о трех и более телах трех телах 

Задача о трёх телах является частным случаем более общей задачи N и более тел, которая намного сложнее.

[Дмитрий Смирнов]

Вот именно! Частный случай! А вот, например, для Луны и Земли неприменим 3-й закон Кеплера.

В задаче о трех телах, обычно, так:
\[m1=m2=m3\]
В солнечной системе есть центральное тело, превосходящее по массе все остальные, и хоть оно тоже движется вокруг барицентра, эти подвижки незначительны. Задача трех тел - частный случай.

[Astro_Coder]

Но возьмём тот же полёт на Марс. Здесь будет задача уже не 3-х тел, более 10 (планеты..) + время полёта год.
Это какие же вычислительные мощности нужны для подобных приближённых вычислений, чтобы всё учесть?

Обычного настольного компьютера вполне достаточно - Моделирование гравитационных взаимодействий

[Cat]

В солнечной системе есть центральное тело, превосходящее по массе все остальные, и хоть оно тоже движется вокруг барицентра, эти подвижки незначительны. Задача трех тел - частный случай.

Ага, понятно. Массы планет в миллион раз меньше массы солнца, при расчётах где-то на уровне погрешности.

Но в любом случае другие планеты, их спутники и прочие массивные тела своё влияние оказывают. И чем больше временной промежуток, тем больше будет погрешность из-за влияния этих тел.
А скорости там "космические" и ошибка в секунды может привести к промаху космических аппаратов.

Вот именно! Частный случай! А вот, например, для Луны и Земли неприменим 3-й закон Кеплера.
В задаче о трех телах, обычно, так:
\[m1=m2=m3\]

Т.е., если массы не равны, то это уже не задача трёх тел и она легко решается?

[leon10010]

Задач трех тел точно решается только для очень небольшого диапазона исходных данных.
Остальные решения, как и для N тел, решаются численным методом, но только среднестатически.
 То-есть конкретного решения для конкретных тел не существует.
 Например, решается задача поведения звезд в шаровом скоплении. Но получается только примерная динамика испарения звезд и времени распада скопления.

 Можно почитать книги астрофизика Нарликара Д.

[konstkir]

Задач трех тел точно решается только для очень небольшого диапазона исходных данных.
Остальные решения, как и для N тел, решаются численным методом, но только среднестатически.
 То-есть конкретного решения для конкретных тел не существует.
 Например, решается задача поведения звезд в шаровом скоплении. Но получается только примерная динамика испарения звезд и времени распада скопления.

Чушь какая-то. Откуда взяли про только статистику?
Траектория Луны рассчитывается со всеми планетами и еще тысячью параметров.

[leon10010]

Траектория Луны рассчитывается со всеми планетами и еще тысячью параметров.

Траектория Луны до сих пор рассчитана не точно. И Луна рядом с Землёй,  - это именно частный небольшой случай

Если Вы сможете рассчитать любой случай любых трех тел на сколь угодно много периодов вперед... Ну тогда конечно!

[Cat]

Обычного настольного компьютера вполне достаточно - Моделирование гравитационных взаимодействий

Программа не скачивается. Посмотрел описание, точность расчётов 10^-14. Это примерно неск. метров при движении Земли около года.
Это расчётов. А реальная точность тоже будет примерно такого порядка?

[konstkir]

Траектория Луны рассчитывается со всеми планетами и еще тысячью параметров.

Траектория Луны до сих пор рассчитана не точно. И Луна рядом с Землёй,  - это именно частный небольшой случай

Если Вы сможете рассчитать любой случай любых трех тел на сколь угодно много периодов вперед... Ну тогда конечно!

Точно невозможно  измерить и  рассчитать и даже ваш вес и рост. Точность понятие относительное.
А ТК интересуют именно локальные задачи.

[leon10010]

Автора интересует как космические аппараты бороздят просторы при нерешаемости задачи трех тел.
 
А тут как раз задачи про два тела, а не три. Одно большой Солнце, и много образующих  с ним пар мелочи всякой. И эта мелочь весьма слабо возмущает соседние пары, а тем более далекие.

[Astro_Coder]

Программа не скачивается. Посмотрел описание, точность расчётов 10-14. Это примерно неск. метров при движении Земли около года.
Это расчётов. А реальная точность тоже будет примерно такого порядка?

Там в последнем сообщении есть ссылка на последнюю версию, эта должна скачаться...
http://www.mediafire.com/file/kkg3epea4vlxsto/Gravity2.rar

Точность расчётов 10-14 это на одном шаге интегратора, т.е. там это за сутки получается (~0.8 суток), и это составит 1а.е = 150 млн.км = 1,5е11 метров * 1е-14 = 0,0015 м ~ 2 мм - это расчетная погрешность. Реальная будет больше конечно. думаю для полета на Марс можно в 1 км уложиться. Плюс к тому, можно уменьшить шаг интегрирования и получить еще большую точность, но скорее всего это не имеет смысла, т.к. погрешность начальных положений и скоростей (с сайта НАСА) будет больше расчетных погрешностей численного интегрирования.

[ulitkanasklone]

Получается, для 3 и более космических тел вычислить траектории невозможно.

А как же астрономы тогда вычисляют?

Мало того, космические аппараты до Марса и других удалённых планет добираются с очень высокой точностью.

Есть так называемая линеаризованная теория гравитации, которая получается на основе ОТО, но геометрию представляют как фоновую фиксированную плоскую метрику и гравитационную метрику . В этом приближенном случае для случая многих тел можно просто складывать гравитационные потенциалы . Формула есть для первого порядка приближения в статье Турушева, надо поискать где-то была. Если задать координаты тел и их скорости, задача решается. Если точности не хватает, то придется искать формулу для второго порядка разложения.

В случае ОТО для массивных тел даже задача двух тел представляет собой невероятно сложную задачу, потому что тела не только движутся, но и искажают пространство-время. 

[xd]

В задаче о трех телах, обычно, так:
\[m1=m2=m3\]

Учим матчасть прежде чем делать такие заявления. Не так. Совсем.

[xd]

Обычного настольного компьютера вполне достаточно - Моделирование гравитационных взаимодействий

Программа не скачивается. Посмотрел описание, точность расчётов 10^-14. Это примерно неск. метров при движении Земли около года.
Это расчётов. А реальная точность тоже будет примерно такого порядка?

Точность представления данных и точность получаемых результатов - это принципиально разные вещи.
Параметры самих планет известны с погрешностями (массы), их положение тоже. Внешний гравитационный потенциал не учитывается никак (к счастью). Астероиды не учитываются в основном. Уверен, крупные спутники планет (а некоторые сопоставимы с массой небольших планет) тоже не учитываются. Само моделирование имеет конечноразностное ньютоновское приближение скорее всего. В общем точность результатов 10^-14 однозначно недостижимо.