Вторая (любая) космическая скорость

[Nazar]

Мне крайне стыдно это не понимать, но еще более стыдно делать вид что понимаю.

Итак, вопрос.

Согласно определению:
"Втора́я косми́ческая ско́рость — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту, масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела, для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания замкнутой орбиты вокруг него."

То есть эта скорость нужна для преодоления гравитационного притяжения тела. Однако, величина гравитационного притяжения обратно квадратично зависит от радиуса тела. Почему же вторая космическая зависит все-таки от радиуса в первой степени?

Вывод формулы второй космической (как и первой и остальных) - понятен, вопросов нет. Но сама формула с радиусом в первой степени торчит из головы и мешает жить))

[xd]

Да, зависит от расстояния до центра:
\( v^2 = \frac{2 G M}{R} \)

[Klapaucius]

То есть эта скорость нужна для преодоления гравитационного притяжения тела. Однако, величина гравитационного притяжения обратно квадратично зависит от радиуса тела. Почему же вторая космическая зависит все-таки от радиуса в первой степени?

Вывод формулы второй космической (как и первой и остальных) - понятен, вопросов нет. Но сама формула с радиусом в первой степени торчит из головы и мешает жить))

Deimos правильную формулу привёл. Но (стоит заметить) зависимость там скорости от квадратного корня из радиуса, а не от первой степени.
Насчёт вопросов  - стыдно не должно быть, никогда. Почти. Если есть желание понять. Меня всегда учили не бояться задавать глупые вопросы. Стыдно только когда не того спрашиваешь, доводишь человека до неадеквата...

[konstkir]

..
Вывод формулы второй космической (как и первой и остальных) - понятен, вопросов нет. Но сама формула с радиусом в первой степени торчит из головы и мешает жить))

Если торчит, то наверняка вывод Вам непонятен? Возьмите учебник для школы..

[e+]

Привет!

То есть эта скорость нужна для преодоления гравитационного притяжения тела. Однако, величина гравитационного притяжения обратно квадратично зависит от радиуса тела. Почему же вторая космическая зависит все-таки от радиуса в первой степени?

1. Самое важное: R - это не радиус тела, а расстояние от нашего аппарата до его центра. Если стартуем с поверхности - то да, он равен радиусу планеты (например);

2. II-я космическая скорость обратно пропорциональна корню радиуса. Потому что:
mV^2 / 2 = GmM/R => V = sqrt(2*GM/R)

Ну а R под корнем и в числителе в первой степени потому, что потенциал обратно пропорционален R.
А обратно пропорционален R он потому что интеграл от 1/R^2 - это -1/R.

3. Можно, конечно записать и как V = sqrt(2*g*R) где g - ускорение свободного падения на расстоянии R от центра. Но в этой формуле мы прячем зависимость g от R и поэтому она в данном  случае не очень наглядна.

[konstkir]

Тема не раскрыта!

[Geen]

То есть эта скорость нужна для преодоления гравитационного притяжения тела.

На самом деле, не скорость нужна, а энергия.

[Aluminium]

Формулы для ускорения свободного падения и n-ной космической скорости можно оценить методом размерностей. Сразу все пропорциональности вылезут.

[konstkir]

То есть эта скорость нужна для преодоления гравитационного притяжения тела.

На самом деле, не скорость нужна, а энергия.

Да, это уже ближе к теме.

[a_babich]

Вывод формулы второй космической (как и первой и остальных) - понятен, вопросов нет.

Увы, не похоже...

То есть эта скорость нужна для преодоления гравитационного притяжения тела. Однако, величина гравитационного притяжения обратно квадратично зависит от радиуса тела. Почему же вторая космическая зависит все-таки от радиуса в первой степени?

Зачем вы сравниваете силу со скоростью?
Только потому, что вы прочитали эту дефиницию ?(не вникнув в суть)

для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела

При этом еще и ошибочно утверждаете, что

вторая космическая зависит все-таки от радиуса в первой степени

а там другая зависимость

А если по сути :

1)вывод второй космической основан на том, что приравниваем потенциальную и кинетическую энергию ("закон сохранения")
2)кинетическая  энергия пропорциональна скорости в квадрате, то есть R в минус первой
3)потенциальная энергия тоже пропорциональна R в минус первой

В чем вопрос?

То есть эта скорость нужна для преодоления гравитационного притяжения тела

если вы под гравитационным притяжением имеете в виду силу, то да- нужна другая сила.
Она приложена к пробному телу. Скорость тела увеличивается под действием этой силы.
В определенный момент скорость тела уже такова, что его кинетическая энергия превышает потенциальную.
И орбита из замкнутой (эллипс) превращается в параболу.
 

[Nazar]

Спасибо за такой адекватный и развернутый ответ!

То есть эта скорость нужна для преодоления гравитационного притяжения тела. Однако, величина гравитационного притяжения обратно квадратично зависит от радиуса тела. Почему же вторая космическая зависит все-таки от радиуса в первой степени?

1. Самое важное: R - это не радиус тела, а расстояние от нашего аппарата до его центра. Если стартуем с поверхности - то да, он равен радиусу планеты (например);

2. II-я космическая скорость обратно пропорциональна корню радиуса. Потому что:
mV^2 / 2 = GmM/R => V = sqrt(2*GM/R)

Ну а R под корнем и в числителе в первой степени потому, что потенциал обратно пропорционален R.
А обратно пропорционален R он потому что интеграл от 1/R^2 - это -1/R.

3. Можно, конечно записать и как V = sqrt(2*g*R) где g - ускорение свободного падения на расстоянии R от центра. Но в этой формуле мы прячем зависимость g от R и поэтому она в данном  случае не очень наглядна.

Вот эта фраза все еще непонятна: "Ну а R под корнем и в числителе в первой степени потому, что потенциал обратно пропорционален R. А обратно пропорционален R он потому что интеграл от 1/R^2 - это -1/R."

[a_babich]

Вот эта фраза все еще непонятна: "Ну а R под корнем и в числителе в первой степени потому, что потенциал обратно пропорционален R. А обратно пропорционален R он потому что интеграл от 1/R^2 - это -1/R."

Господин е+  наверное имел ввиду следующее:

1. В школе учат : работа  (энергия)= сила*расстояние.
2.Так как мы уже выросли из школьного возраста, то все должно быть "по-взрослому"
3.Ну как  взрослые люди вспоминаем : закон обратных квадратов в физике... ну да ... обычная формула для силы гравитации...там в знаменателе R в  квадрате.
4. Как взрослые люди - будем интегрировать. То есть потенциал (работа в поле по перемещению пробной массы из одной точки в другую) -
это интеграл от силы (которая обратно пропорциональна R в квадрате ) по dr (Ну все как в школе, A=F*s, но только по-научному)  ))
5.На выходе получили, что потенциал обратно пропорционален R

[e+]

Вот эта фраза все еще непонятна: "Ну а R под корнем и в числителе в первой степени потому, что потенциал обратно пропорционален R. А обратно пропорционален R он потому что интеграл от 1/R^2 - это -1/R."

Пан a_babich - прав.

Можно записать ещё и по другому:

1. Что-такое II-я космическая скорость? Это скорость, при которой кинетическая энергия тела достаточно велика для того, чтобы уйти в гравитационном поле другого тела в бесконечность. То есть
E_кин + E_пот >= 0

2. Для простоты возьмём случай равенства. В свою очередь E_пот = m*phi(R), где phi(R) - гравитационный потенциал поля, который вычисляется как интеграл от F(r)dr на интервале от R до бесконечности. Где R - расстояние на котором мы находимся (откуда запускаем наше тело в бесконечность). А m, конечно - масса нашего аппарата, который мы запускаем.

То есть phi(R) = S (F(r)dr) | R ... Беск
Но F(r) = G*m*M/r^2.

Получаем, что phi(R) = S ( (G*m*M/R^2) dr ) |  R ... Беск = G*m*M(-1/R)| R ... Беск = - G*m*M/R
Получаем что:

phi(R) = - G*m*M / R.

А тогда, из E_кин + E_пот = 0 получаем m*V^2 / 2 - G*m*M / R = 0
И тогда:
V^2 / 2 = G*M / R => V = sqrt(2*G*M/R).

Всё!

[konstkir]

Осталось понять, что непонятно ТК и почему у него именно "торчит" не та зависимость 2-й космической?

[Monstr]

Еще вариант:

Из равенства энергий кинетической и потенциальной следует, что на бесконечности пробное тело будет иметь нулевую скорость. Поэтому скорость падения пробного тела из бесконечности на тело массой M и есть вторая космическая скорость для данного расстояния r.

[konstkir]

Собственно, так она и вычисляется, только с логикой наоборот.