Одна из ограниченных задач трех тел

[GregSuslov]

Понимаю, что заданный ниже вопрос наверняка разбирался в 19-м веке каким-нибудь Пуанкаре (к этому товарищу никакого негатива, а лишь безмерное уважение), но в доступной мне литературе эта задача не рассматривается. А она вот какая:

В центральном поле тяготения движутся две массы по финитным траекториям так, что в начальный момент времени их вектора моментов импульсов составляют друг с другом небольшой угол. Вроде бы "и козе понятно", что со временем эти вектора должны стать коллинеарными, однако в реальной Солнечной системе мы наблюдаем, что орбиты планет наклонены к плоскости эклиптики под разными углами.

Вопрос: где можно найти материалы по этому вопросу? В принципе задачу трех тел можно решить, но не хочется открывать велосипед и тратить время.

[Инопланетянин]

В принципе задачу трех тел можно решить

Ого! А везде, где это проблема упоминается пишут, что нельзя.

Вопрос: где можно найти материалы по этому вопросу?

Затрудняюсь ответить, но, кажется, их нет, т.к. задача нерешаемая.

Вроде бы "и козе понятно", что со временем эти вектора должны стать коллинеарными, однако в реальной Солнечной системе мы наблюдаем, что орбиты планет наклонены к плоскости эклиптики под разными углами.

А с каким временем? И что значит "козе понятно?" Расчёты этого есть или это интуитивно очевидно?

[Скеп-тик]

Ого! А везде, где это проблема упоминается пишут, что нельзя.

  Нельзя аналитически, группу формул составить. А практически - пожалуйста, гравитационные маневры у планет. "Кассини" крутится в системе многих тел, по его траектории массы спутников Сатурна вычисляют.
  Только без суперкомпьютера - никак. Для двух тел в ОТО - 1000 вычислительных операций на один "комплект" координат. Если убрать последние две малости, и добавить равнозначное остальным двум третье тело, число операций составит полмиллиона на один шаг.
  Англичане вроде считали "галактику" из миллиарда точечных масс, по ОТО, и вроде "темная материя" им не потребовалась, в отличии от вычислений в "ньютоновской гравитации".

[Миллиард]

В центральном поле тяготения движутся две массы по финитным траекториям так, что в начальный момент времени их вектора моментов импульсов составляют друг с другом небольшой угол. Вроде бы "и козе понятно", что со временем эти вектора должны стать коллинеарными, однако в реальной Солнечной системе мы наблюдаем, что орбиты планет наклонены к плоскости эклиптики под разными углами.

Не согласен с вами. В такой системе эксцентриситеты и наклонения масс будут меняться по закону, близкому к периодическому. Посмотреть можно например в "Динамике Солнечной системы" Мюррея и Дермотта (глава "Вековые возмущения", параграф "Юпитер и Сатурн").
Теперь попытаюсь объяснить на пальцах. Силы притяжения, возникающие в системе из трех тел, являются потенциальными (если по Ньютону, без ОТО). Значит система является обратимой во времени.
Предположим, что вы проинтегрировали систему от начального момента t0 до некоторого момента t1, причем в этот момент t1 вектора моментов импульсов стали почти коллинеарными. В этот момент обращаем вектора скоростей тел и интегрируем в обратную сторону, к моменту t0. И видим, что вектора моментов импульсов перестали быть коллинеарными. Отсюда делаем вывод, что ваше предположение является ложным.
(Прошу прощения за сумбурное изложение).

[GregSuslov]

В принципе задачу трех тел можно решить

Ого! А везде, где это проблема упоминается пишут, что нельзя.

Ну, так я имел в виду, что численно для некоторых "характерных" ситуаций.

Вроде бы "и козе понятно", что со временем эти вектора должны стать коллинеарными, однако в реальной Солнечной системе мы наблюдаем, что орбиты планет наклонены к плоскости эклиптики под разными углами.

А с каким временем? И что значит "козе понятно?" Расчёты этого есть или это интуитивно очевидно?

Интуитивно, конечно.

[GregSuslov]

Не согласен с вами. В такой системе эксцентриситеты и наклонения масс будут меняться по закону, близкому к периодическому. Посмотреть можно например в "Динамике Солнечной системы" Мюррея и Дермотта (глава "Вековые возмущения", параграф "Юпитер и Сатурн").
Теперь попытаюсь объяснить на пальцах. Силы притяжения, возникающие в системе из трех тел, являются потенциальными (если по Ньютону, без ОТО). Значит система является обратимой во времени.
Предположим, что вы проинтегрировали систему от начального момента t0 до некоторого момента t1, причем в этот момент t1 вектора моментов импульсов стали почти коллинеарными. В этот момент обращаем вектора скоростей тел и интегрируем в обратную сторону, к моменту t0. И видим, что вектора моментов импульсов перестали быть коллинеарными. Отсюда делаем вывод, что ваше предположение является ложным.
(Прошу прощения за сумбурное изложение).

Вот спасибо за ссылку. Постараюсь в ближайшее время подробно посмотреть.

И Ваш довод выглядит "железным", однако есть одно возражение. Обратимо то оно (время) без сомнений, но вот только восстановить орбиты троянцев и греков не удастся никогда! А вроде не должно быть никаких проблем.

[Миллиард]

Обратимо то оно (время) без сомнений, но вот только восстановить орбиты троянцев и греков не удастся никогда! А вроде не должно быть никаких проблем.

С точки зрения математики никаких проблем нет и восстановить орбиты можно. Нельзя только с точки зрения реального положения дел, т.к.:
1. Положения, скорости и массы тел Солнечной системы известны лишь приближенно.
2. Помимо ньютоновских сил на тела действуют силы, вызванные несферичностью планет (при близких прохождениях).
3. Куча других эффектов, перечислять которые нет смысла.
Помимо вышеперечисленного играет свою роль еще и хаотичность. Для некоторых спутников Сатурна время Ляпунова составляет всего лишь несколько лет, т.е. точность вычисления их координат за это время становится сравнимой с величиной координат. Для троянцев время Ляпунова вероятно равно нескольким миллионам лет.

[Инопланетянин]

А практически - пожалуйста, гравитационные маневры у планет. "Кассини" крутится в системе многих тел, по его траектории массы спутников Сатурна вычисляют.

Это система одного доминирующего тела и множества тел пренебрежимой массы. А в задаче трёх или N тел подразумеваются сравнимые массы.

[библиограф]

 Про задачу трех тел и стабильность Солнечной Системы см. "Величайшие математические
задачи" Иана Стюарта, стр. 203
https://depositfiles.com/files/up86doem0
Анимация:
https://www.youtube.com/watch?v=a6eBRYKT3q0
Насколько сложна задача даже для трех одинаковых тел с нулевой начальной скоростью  в вершинах треугольника
 

[GregSuslov]

Не согласен с вами. В такой системе эксцентриситеты и наклонения масс будут меняться по закону, близкому к периодическому. Посмотреть можно например в "Динамике Солнечной системы" Мюррея и Дермотта (глава "Вековые возмущения", параграф "Юпитер и Сатурн").
Теперь попытаюсь объяснить на пальцах. Силы притяжения, возникающие в системе из трех тел, являются потенциальными (если по Ньютону, без ОТО). Значит система является обратимой во времени.

Огромное спасибо Миллиарду! Скачал книгу и с удовольствием почитал.

Однако возник еще один вопрос на засыпку: если задача многих тел, движущихся в центральном поле, плоская (то есть в начальных условиях все радиус-векторы и скорости компланарны), то является ли такое движение устойчивым? Опять же вроде бы и "козе понятно", что устойчиво, однако...

[Миллиард]

Однако возник еще один вопрос на засыпку: если задача многих тел, движущихся в центральном поле, плоская (то есть в начальных условиях все радиус-векторы и скорости компланарны), то является ли такое движение устойчивым? Опять же вроде бы и "козе понятно", что устойчиво, однако...

А как компланарность влияет на устойчивость? Если три тела движутся в одной плоскости, то вполне возможна ситуация, что одно тело будет выкинуто из системы. Причем на плоскости это, на мой взгляд, даже более вероятно, т.к. тесные сближения в плоскости случаются намного чаще, чем в трехмерном пространстве.