Если просверлить Землю насквозь, как вычислить атмосферное давление в туннеле?

[Миллиард]

Как вычислять frac, right и left?

если я правильно понимаю все эти странные символы frac, left, right.

Вам нужно включить рендеринг формул в настройках и эти вопросы отпадут.

[Незван]

Профиль->Изменить (столбец слева) Внешний вид форума ->Включить рендеринг формул (внизу страницы)

[Миллиард]

Вы взяли формулу, где берется плотность газа, а не барометрическую? Она точнее?

Для идеального газа она абсолютно точная.

[Миллиард]

При устремлении dH к 0, кроме 1 будет только одно слагаемое, не стремящееся к 0:
Z*R*dH (оно будет взято из каждого сомножителя и умножено на 1 из остальных сомножителей)
Т.о. их будет (R-r)/dH штук и
ZR⋅dHR−rdH=ZR(R−r)

Итого, P(r)=P0⋅(1+Z⋅R⋅(R−r))

Так, с Миллиардом разошлись, интересно, где.

Интуитивно мне кажется, что при устремлении dH к нулю произведение сомножителей должно превратиться во второй замечательный предел, т.е. появится экспонента, которой тут не хватает.

[Незван]

При устремлении dH к 0, кроме 1 будет только одно слагаемое, не стремящееся к 0:
Z*R*dH (оно будет взято из каждого сомножителя и умножено на 1 из остальных сомножителей)
Т.о. их будет (R-r)/dH штук и
ZR⋅dHR−rdH=ZR(R−r)

Итого, P(r)=P0⋅(1+Z⋅R⋅(R−r))

Так, с Миллиардом разошлись, интересно, где.

Интуитивно мне кажется, что при устремлении dH к нулю произведение сомножителей должно превратиться во второй замечательный предел, т.е. появится экспонента, которой тут не хватает.

Да, похоже на то.
\[ P(r) = P_0 \prod_{i=0}^{\frac{R-r}{dH}}(1+Z(R - i \cdot dH)dH) = P_0 \prod_{i=0}^{\frac{R-r}{dH}}(1+Z \cdot R \cdot dH - i \cdot dH^2)) \]
квадрат отбрасываем
\[ P_0 \prod_{i=0}^{N}(1+Z \cdot R (R-r)\frac{1}{N}) \]
при \(N \to \infty\)
дает \( P(r) = P_0 \exp {Z \cdot R (R-r)} \)

[dob]

То есть, ваши две формулы идентичны?
Извините, плохо соображаю сейчас, спать пора уже.

[Ремвер]

До глубины 2500 км   g с точностью до 10 % равно  на уровне океана, так что до этой глубины давление возрастает примерно по тому же закону, что и в атмосфере - удваивается каждые 5,5 км.

По этому поводу в Википедии пишут, что согласно рассчётам (чьим-то), в конце миоцена, когда Средиземное море пересыхало, оно распадалось на пару-тройку солёных озёр, лежащих на 4000 м ниже уровня моря. Так вот, атмосферное давление там было то ли 1,45, то ли 1,71 атм. А температура была выше на 40 град., чем на уровне моря. Т.е. градиент температуры был больше, чем при подъёме в горы (6 град./км)

[Streamflow]

Вам нужно включить рендеринг формул в настройках и эти вопросы отпадут.

Ну, собственно, вопросов и не было. Ясно, что это что-то вроде LaTex. Неясно было только, как эти формулы правильно отображать.
После рендеринга они стали выглядеть гораздо лучше, и Ваши совпали с моими с точностью до тождественных преобразований.Только я забыл перевернуть дробь в выражении для характерной длины атмосферы, но величину указал правильную

Но, впрочем, эта формула имеет малое отношение к реальности, так как в ней мы быстро выходим за границы применимости модели идеального газа, в отличие от случая, когда мы движемся не вглубь Земли, а вверх. Экспоненциальное нарастания давления с показателем в десятки и сотни единиц даром не проходит, в отличие от экспоненциального падения. Так что эта формула хоть и абсолютно точная, но только для сферического коня в вакууме, и считать по ней давления где-нибудь в около центра Земли не стоит.

[Змей Петров]

А в туннеле солнечного света не будет.Распределение температуры в длинном туннеле будет определяться прежде всего температурой стенок. В условиях постановки задачи об этом ничего не сказано, видимо, нужно принимать распределение температур такое же, как у недр Земли

Давайте для начала считать, что весь объем шара имеет температуру поверхности, ибо и так уже всё упростили - чего уж там
Собственно, если весь шар твердый и несжимаемый, то так оно и будет(в пределе по времени).

[Миллиард]

Так что эта формула хоть и абсолютно точная, но только для сферического коня в вакууме, и считать по ней давления где-нибудь в около центра Земли не стоит.

Полностью согласен. Если считать по формуле для идеального газа, то давление и плотность в центре Земли оказываются на сотни порядков побольше, чем в центре нейтронной звезды.

[Змей Петров]

Да, действительно...
Забавная получилась задачка. Шарик д.б. ну ОЧЕНЬ СВЕРХПРОЧНЫМ, а то разорвет 
Экспонента коварная штука

Собсно в центре должна образоваться ЧД 

Правда если рассмотреть процесс в динамике, то газ сжимаясь будет нагреваться, и получится что-то вроде звезды.

[dob]

Так вот, атмосферное давление там было то ли 1,45, то ли 1,71 атм. А температура была выше на 40 град., чем на уровне моря. Т.е. градиент температуры был больше, чем при подъёме в горы (6 град./км)

Так это температурное распределение "на открытом воздухе", в условиях доступа солнечного излучения, которое играет не последнюю роль. А в туннеле солнечного света не будет.
Распределение температуры в длинном туннеле будет определяться прежде всего температурой стенок. В условиях постановки задачи об этом ничего не сказано, видимо, нужно принимать распределение температур такое же, как у недр Земли

Написано, что Земля однородная и холодная. Давайте примем 20 С.

[dob]

При устремлении dH к 0, кроме 1 будет только одно слагаемое, не стремящееся к 0:
Z*R*dH (оно будет взято из каждого сомножителя и умножено на 1 из остальных сомножителей)
Т.о. их будет (R-r)/dH штук и
ZR⋅dHR−rdH=ZR(R−r)

Итого, P(r)=P0⋅(1+Z⋅R⋅(R−r))

Так, с Миллиардом разошлись, интересно, где.

Интуитивно мне кажется, что при устремлении dH к нулю произведение сомножителей должно превратиться во второй замечательный предел, т.е. появится экспонента, которой тут не хватает.

Да, похоже на то.
\[ P(r) = P_0 \prod_{i=0}^{\frac{R-r}{dH}}(1+Z(R - i \cdot dH)dH) = P_0 \prod_{i=0}^{\frac{R-r}{dH}}(1+Z \cdot R \cdot dH - i \cdot dH^2)) \]
квадрат отбрасываем
\[ P_0 \prod_{i=0}^{N}(1+Z \cdot R (R-r)\frac{1}{N}) \]
при \(N \to \infty\)
дает \( P(r) = P_0 \exp {Z \cdot R (R-r)} \)

Пытаюсь проверить идентичность формул, вашей и Миллиарда. Я правильно понимаю, что у вас в число множителей константы Z входит и плотность материала Земли?

[dob]

Так что эта формула хоть и абсолютно точная, но только для сферического коня в вакууме, и считать по ней давления где-нибудь в около центра Земли не стоит.

Полностью согласен. Если считать по формуле для идеального газа, то давление и плотность в центре Земли оказываются на сотни порядков побольше, чем в центре нейтронной звезды.

А возможно вывести формулу для реального газа в данном случае?

[Gleb1964]

Правда если рассмотреть процесс в динамике, то газ сжимаясь будет нагреваться

зачем Вам еще и динамика заполнения шахты воздухом? В статике хотя бы разберитесь. А в статике распределение температур будет как у окружающих недр.
У реального газа есть такое расстояние между атомами (молекулами), которое соответствует минимуму внутренней энергии (типа конденсации). Реальный газ нагревается только до сжатия до такого состояния (при достаточно медленном сжатии, чтобы успевало устанавливаться термодинамическое равновесие, иначе температура не имеет физического смысла). При дальнейшем сжатии, газ нагреваться не будет, а будет наоборот охлаждаться, потому как минимум потенциальной энергии будет пройден и энергия будет тратиться на преодоление резко возрастающего отталкивания атомов (молекул) газа. Далее газ будет практически несжимаем и плотность будет нарастать существенно медленнее, чем у идеального газа

[dob]

Правда если рассмотреть процесс в динамике, то газ сжимаясь будет нагреваться

зачем Вам еще и динамика заполнения шахты воздухом? В статике хотя бы разберитесь. А в статике распределение температур будет как у окружающих недр.
У реального газа есть такое расстояние между атомами (молекулами), которое соответствует минимуму внутренней энергии (типа конденсации). Реальный газ нагревается только до сжатия до такого состояния (при достаточно медленном сжатии, чтобы успевало устанавливаться термодинамическое равновесие, иначе температура не имеет физического смысла). При дальнейшем сжатии, газ нагреваться не будет, а будет наоборот охлаждаться, потому как минимум потенциальной энергии будет пройден и энергия будет тратиться на преодоление резко возрастающего отталкивания атомов (молекул) газа. Далее газ будет практически несжимаем и плотность будет нарастать существенно медленнее, чем у идеального газа

А можно это условие в нашу формулу запихнуть?

[Змей Петров]

зачем Вам еще и динамика заполнения шахты воздухом? В статике хотя бы разберитесь.

Статику ещё получить надо. А процессе будет происходить разогрев, который будет препятствовать сжатию.

А в статике распределение температур будет как у окружающих недр.У реального газа есть такое расстояние между атомами (молекулами), которое соответствует минимуму внутренней энергии (типа конденсации). Реальный газ нагревается только до сжатия до такого состояния

Мы пока говорили про идеальный.
А с реальным воздухом - чего-то уж совсем сложно. Надо учитывать еще в каком состоянии азот, кислород - молекулярном, атомарном, каком-то промежуточном? Т.е. не факт что воздух просто будет молекулярной квазижидкостью.

[insector]

Почитал тему, сразу вспомнил фильм, где капсула доставляла пассажиров через центр земли =)

https://youtu.be/MW5k_lA8RDE

[Streamflow]

А возможно вывести формулу для реального газа в данном случае?

А при росте давления там уже и не газ будет. Молекулы упакуются максимально плотно, плотность перестанет зависеть от давления, и экспоненциальный рост давления превратится в линейный или близкий к нему. Выведеная формула перестанет работать после нескольких десятков километров глубины, а в этом диапазоне она практически не будет отличаться от барометрической с "отрицательной высотой".

P. S. Но причём здесь астрономия?

[dob]

А возможно вывести формулу для реального газа в данном случае?

А при росте давления там уже и не газ будет. Молекулы упакуются максимально плотно, плотность перестанет зависеть от давления, и экспоненциальный рост давления превратится в линейный или близкий к нему. Выведеная формула перестанет работать после нескольких десятков километров глубины, а в этом диапазоне она практически не будет отличаться от барометрической с "отрицательной высотой".

P. S. Но причём здесь астрономия?

То есть, реальный газ превратится в жидкость? А можно вычислить, на какой глубине?

Просто здесь уже обсуждался вопрос: "если просверлить Землю", только не в смысле атмосферного давления, а в смысле падения тела в туннель. По этому запросу он собственно говоря и ищется Яндексом.