A A A A Автор Тема: Справочник по формулам  (Прочитано 4039 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Дмитрий ВибеАвтор темы

  • Обозреватель
  • *****
  • Сообщений: 18 021
  • Рейтинг: +502/-52
  • Дети любят бутерброд с маргарином!
    • Сообщения от Дмитрий Вибе
    • Персональная страница
Справочник по формулам
« : 23.03.2016 [23:50:04] »
Тема создаётся как справочник по формулам для обеспечения возможности оперативно воспользоваться ими в сообщениях. Публикуются только формулы с краткими пояснениям, а также сообщения об опечатках. Всё прочее удаляется без дополнительных пояснений.
Было бы ошибкой думать.

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #1 : 25.01.2017 [13:51:41] »
За основу написания формул будет взят учебник Ландау-Лифшиц , том 2. издания 2003. Буду придерживаться их обозначениям. Индексы обозначения координат 4-х мерного многообразия будут латинские буквы: \( i,j,k... \), а пространственные координаты соответственно греческими: \( \alpha,\beta, \gamma ..\). Также будут использованы монографии Вайнберга ( "Гравитация и Космология"), Толмана, Брумберга, Шмуцера. Поскольку в разных изданиях разные знаки в формулах , буду приводить их в соответствие со значками у Ландау-Лифшица, метрику брать с сигнатурой (+---).
Если формула не проверена, или получена мной, я впереди буду ставить звездочку *. Постоянные \( c,G \) буду выписывать , если нет, то оговаривать, что они равны 1.

Как это работает. Надо выделить нужную формулу , затем правой кнопкой найти опцию Tex Command. Появится окно с формулой , записанной в Латех. Выделить ее и поместить в нужное место вашего сообщения, затем выделить формулу в сообщении и нажать кнопку \( \Sigma \). Если вставлять формулу непосредственно в текст, то надо ограничить ее такими символами: \ ( ..... \ )

Содержание:

1. Основные формулы СТО.
2. Элементы тензорного анализа
3. Уравнения Гильберта-Эйнштейна
4. Тензор Энергии Импульса.
5. Точные решения уравнений Общей теории относительности
   5.1 Вакуумные решения сферически симметричного не вращающегося тела
   5.2 Остальные вакуумные решения
   5.3 Космологические решения
   5.4 Решения внутри вещества при определенном состоянии вещества.
   5.5 Гравитационные волны
6. Уравнения, которые подтверждают правильность ОТО
7. Остальные полезные формулы

Литература:
1. Ландау-Лифшиц, "Теория поля " том 2, издание 2003
2. Вайнберг . "Гравитация и Космология"
3. Брумберг. "Релятивистская небесная механика"
4. Рашевский. "Риманова геометрия и тензорный анализ".
5. Петров. А.З. "Новые методы в Общей Теории Относительности".







Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #2 : 25.01.2017 [13:52:30] »
1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ПО СТО.

Интервал псевдоевклидового пространства (метрика Минковского ) в галилеевых координатах
\[ ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \quad(1.0) \]
Преобразования Лоренца (ЛЛ-2 (4.3)):
\[ x=\frac{x'+Vt'}{\sqrt{1-V^2/c^2}} \quad y=y' \quad z=z' \quad t=\frac{t+(V/c^2)x'}{\sqrt{1-V^2/c^2}} \quad(1.1) \]
\[ l=l_0\sqrt{1-V^2/c^2} \]
\( V \) -  скорость движения одной системы отсчета относительно другой

Преобразование скоростей (ЛЛ-2 , (5.1))
\[ v_x=\frac{v'_x+V}{1+v'_xV/c^2} \quad v_y=\frac{v'_y\sqrt{1-V^2/c^2}}{1+v'_xV/c^2} \quad v_z=\frac{v'_z\sqrt{1-V^2/c^2}}{1+v'_xV/c^2} \quad(1.2) \]

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #3 : 25.01.2017 [13:53:14] »
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Преобразование контравариантного тензора (ЛЛ-2 83.5):
\[ A^{ik}=\frac{\partial{x^{i}}}{\partial{x'^{l}}}\frac{\partial{x^{k}}}{\partial{x'^{m}}}A'^{lm}   \quad (2.0)  \]
Преобразование ковариантного тензора (ЛЛ-2 83.6):
\[ A_{ik}=\frac{\partial{x'^{l}}}{\partial{x^{i}}}\frac{\partial{x'^{m}}}{\partial{x^{k}}}A'_{lm}  \quad (2.1)   \]
Преобразование смешанного тензора (ЛЛ-2 83.7):
\[ A^{i}_{k}=\frac{\partial{x^{i}}}{\partial{x'^{l}}}\frac{\partial{x'^{m}}}{\partial{x^{k}}}A'^{l}_{m}  \quad (2.2)   \]

Символы Кристоффеля (ЛЛ-2 86.3):
\[ \Gamma^i_{kl}=1/2g^{im}(\frac{\partial{g_{mk}}}{\partial{x^{l}}}+\frac{\partial{g_{ml}}}{\partial{x^{k}}}-\frac{\partial{g_{kl}}}{\partial{x^{m}}}   ) \quad (2.3) \]
Уравнение геодезической (ЛЛ-2 87.3) :
\[ \frac{d^2{x}^i}{ds^2}+\Gamma^i_{kl}\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}=0 \quad (2.4) \]

Тензор кривизны Римана Кристоффеля (ЛЛ-2 92.1):
\[ R_{iklm}=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2{g_{im}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{l}}}+\frac{\partial^2{g_{kl}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{il}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}})+g_{np}(\Gamma^n_{kl}\Gamma^p_{im}-\Gamma^n_{km}\Gamma^p_{il}) \quad (2.5) \]

Тензор Риччи (92.7):
\[ R_{ik}=\frac{\partial{\Gamma^l_{ik}}}{\partial{x^{l}}}-\frac{\partial{\Gamma^l_{il}}}{\partial{x^{k}}} +\Gamma^l_{ik}\Gamma^m_{lm}-\Gamma^m_{il}\Gamma^l_{km} \quad (2.6) \]

Ковариантное дифференцирование  тензора (ЛЛ-2. (86.10)) :
\[ A^{ik}_{;k}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial(\sqrt{-g}A^{ik})}{\partial{x^k}} \]

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #4 : 25.01.2017 [13:53:52] »
3. УРАВНЕНИЕ ГИЛЬБЕРТА-ЭЙНШТЕЙНА

ЛЛ-2 95.5-95.8

\[  R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R=\frac{8{\pi}G}{c^4}T_{ik} \quad(3.0) \]
\[  R_{i}^{k}-\frac{1}{2}{\delta}_{i}^{k}R=\frac{8{\pi}G}{c^4}T_{i}^{k}\quad(3.1) \]
\[  R^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}R=\frac{8{\pi}G}{c^4}T^{ik}\quad(3.2) \]
\[  R_{ik}=\frac{8{\pi}G}{c^4}(T_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}T)\quad(3.3) \]

Уравнение Эйнштейна с космологическим членом
\[  R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R=\frac{8{\pi}G}{c^4}T_{ik}+{\Lambda}g_{ik}\quad(3.4) \]

Скалярная кривизна:
\[ R=-\frac{8{\pi}G}{c^4}T \quad(3.5) \]

Уравнения Гильберта-Эйнштейна в гармонических координатах. Фок (53.15)
\[ R^{km}=(-1/2)g^{il}\frac{\partial^2{g^{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}} +     g^{jk}g^{qm}g_{np}g^{il}\Gamma^n_{jl}\Gamma^p_{iq} \quad(3.6) \]

\[ g^{il}\Gamma^p_{il}=0 \]
« Последнее редактирование: 25.04.2017 [22:15:54] от ulitkanasklone »

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #5 : 25.01.2017 [13:54:53] »
4. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ ИМПУЛЬСА (и Псевдотензор Гравитационного поля).

ТЭИ для идеальной жидкости (94.9):
\[ T_{ik}=(p+{\epsilon})u_{i}u_{k}-pg_{ik}\quad(4.0) \]
\( p \)- давление в системе покоя, \(  {\epsilon} \)- плотность в системе покоя, \( u_{i}=\frac{dx_i}{ds} \)

\[ T_{i}^{k}=(p+{\epsilon})u_{i}u^{k}-p{\delta}_{i}^{k} \quad(4.1) \]
\[ T^{ik}=(p+{\epsilon})u^{i}u^{k}-pg^{ik}\quad(4.2) \]

Тензор энергии импульса микрочастиц (в количестве \( N \), суммирование по \( a \) ). (ЛЛ-2 , (106.4)
\[ T^{ik}=\sum_{a=1}^{N}\frac{{m_a}c}{\sqrt{-g}}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^k}{dt}\delta(r-r_a)\quad(4.3) \]


Плотность псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля (пар 96 ЛЛ-2):
\[ \frac{16{\pi}G}{c^4}(-g)t^{ik}=\frac{\partial}{\partial { x^{l}}}\frac{\partial}{\partial { x^{m}}}[(-g)(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km})] \quad(4.5) \]


Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #6 : 25.01.2017 [13:55:56] »
5 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ .
 
5.0 Вакуумные решения

Интервал псевдоевклидового пространства (метрика Минковского ) в галилеевых координатах
\[ ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \quad (5.00) \]
То же в сферических координатах:
\[ ds^2=c^2dt^2-dr^2-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad (5.01) \]


5.1 Вакуумные решения сферически симметричного не вращающегося тела (метрика Шварцшильда).

В стандартных сферических координатах Шварцшильда (ЛЛ-2 пар.100):
\[ ds^2= (1-r_g/r)c^2dt^2-\frac{dr^2}{1-r_g/r}-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (5.10) \]
\[ r_g=2MG/c^2 \]
Метрика Шварцшильда в стандартных прямоугольных координатах (Вайнберг, после 8.2.15):
\[ ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2-\frac{r_g}{r^3(1-r_g/r)}(xdx+ydy+zdz)^2-dx^2-dy^2-dz^2\quad (5.11) \]
\[ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \]
Метрика Шварцшильда в гармонических координатах:
\[ ds^2=\frac{r-r_g/2}{r+r_g/2}c^2dt^2- \frac{r+r_g/2}{r-r_g/2}dr^2-(r+r_g/2)^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (5.12) \]
Метрика Шварцшильда в гармонических прямоугольных координатах (Фок, 58.05, Вайнберг (8.2.15)):
\[ ds^2=\frac{r-r_g/2}{r+r_g/2}c^2dt^2- (1+\frac{r_g}{2r})^2(dx^2+dy^2+dz^2)-\frac{r+r_g/2}{r-r_g/2}\frac{(r_g/2)^2}{r^4}(xdx+ydy+zdz)^2\quad (5.13) \]
Метрика Шварцшильда в изотропных координатах (Вайнберг 8.2.14):

\[ ds^2=\frac{(1-\frac{r_g}{4r})^2}{(1+\frac{r_g}{4r})^2}c^2dt^2- (1+\frac{r_g}{4r})^4(dx^2+dy^2+dz^2)\quad (5.14) \]

Метрика Пенливе (Брумберг (22)):
\[ ds^2=(1-\frac{r_g}{r})c^2dt^2+2\sqrt{\frac{r_g}{r}}c dtdr-dr^2-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (5.15) \]
то же в прямоугольных координатах (Брумберг (23)):

\[ ds^2=(1-\frac{r_g}{r})c^2dt^2+2\sqrt{\frac{r_g}{r}}c dt(xdx+ydy+zdz)- dx^2-dy^2-dz^2 \quad (5.16) \]
Метрика Леметра (ЛЛ-2 , 102.3)

\[ ds^2=c^2d{\tau}^2-\frac{dR^2}{[\frac{3}{2r_g}(R-c{\tau})]^{2/3}}-[(\frac{3}{2}(R-c{\tau})]^{4/3}r_g^{2/3}(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (5.17) \]
« Последнее редактирование: 10.04.2017 [15:50:18] от ulitkanasklone »

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #7 : 25.01.2017 [13:56:50] »
5.2 Остальные вакуумные решения

Метрика вне вращающегося шара:
Метрика Керра в координатах Бойера-Линдквиста (ЛЛ-2 104.2) (c=1):
\[ ds^2=(1-\frac{rr_g}{\rho^2})dt^2-\frac{\rho^2}{\Delta}dr^2-\rho^2d{\theta}^2-(r^2+a^2+\frac{ra^2r_g}{\rho^2}\sin^2{\theta})\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+\frac{2ra^2r_g}{\rho^2}\sin^2{\theta}d{\varphi}dt  \quad (5.20) \]
\[ \Delta=r^2-r_gr+a^2 , \quad \rho^2=r^2+a^2\cos{\theta} \]

\[ \begin{pmatrix}1-\frac{r_gr}{\rho} & 0 & 0 & \frac{r_gra\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}{{\rho}^{2}}\cr 0 & -\frac{{r}^{2}}{{\rho}^{2}} & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{\rho}^{2} & 0\cr \frac{r_gra\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}{{\rho}^{2}} & 0 & 0 &- {\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\,\left( \frac{{rr_g}{a}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}{{\rho}^{2}}+{r}^{2}+{a}^{2}\right) \end{pmatrix} \]

Эргосфера: \[ r_0=\frac{r_g}{2}+\sqrt{(\frac{r_g}{2})^2-a^2\cos^2(\theta)} \]
Вторая поверхность с сингулярностью: \[ r_{gor}=\frac{r_g}{2}+\sqrt{(\frac{r_g^2}{2})^2-a^2} \]

*Метрика Керра в координатах Керра.
\[ ds^2=(1-\frac{rr_g}{\rho^2})dV^2-2drdV-\rho^2d{\theta}^2-\frac{[(r^2+a^2)^2-{\Delta}a^2\sin^2{\theta}]}{\rho^2}\sin^2{\theta}d{\phi}^2+2a\sin^2{\theta}d{\phi}dr+\frac{2arr_g}{\rho^2}\sin^2{\theta}dVd{\phi} \quad (5.21) \]
Связь между координатами Керра и Бойера-Линдквиста:
\[ \phi=\varphi+\frac{a}{2\delta}ln\frac{r-r_{+}}{r-r_{-}}+\pi/2 \qquad \delta=\sqrt{(r_g/2)^2-a^2} \]
\[ r_{+}=r_g/2+\delta \qquad r_{-}=r_g/2-\delta  \]

Метрика Казнера плоской анизотропной модели. (ЛЛ-2, 117.8) (\( c=1 \) )
\[ ds^2=dt^2- t^{2p_1}dx^2-t^{2p_2}dy^2-t^{2p_3}dz^2  \quad (5.22) \]
\[ p_1+p_2+p_3=1 , \qquad p_1^2+p_2^2+p_3^2=1  \]
\[ p_1=\frac{-u}{1+u+u^2} \qquad p_2=\frac{1+u}{1+u+u^2}\qquad p_1=\frac{u(u+1)}{1+u+u^2}\qquad 0<u<1 \]

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #8 : 25.01.2017 [13:57:43] »
5.3 Космологические решения

Метрика Робертсона-Уокера-Фридмана (Вайнберг 14.2.1). (Однородная расширяющаяся вселенная).
 
\[ ds^2=c^2d{\tau}^2-a(\tau)^2(\frac{dR^2}{1-kR^2}+R^2d{\theta}^2+R^2\sin^2{\theta}d{\varphi}^2) \quad(5.30) \]
\( a(\tau) \)  - масштабный фактор, \( k=0,-1,1 \)

Вселенная де Ситтера (Брумберг (20):
\[ ds^2=c^2dt^2(1-\frac{r^2}{r_0^2})-\frac{dr^2}{1-\frac{r^2}{r_0^2}}-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad(5.31) \]
\( r_0^2=\frac{3}{\Lambda} \) , \( \Lambda \) - космологическая постоянная

Вселенная де Ситтера в другом виде ( нестатическом) (Брумберг (36) :
\[ ds^2=c^2dt^2- e^{2t/r_0}(dr^2+r^2{\sin}^2{\theta}d{\varphi}^2+r^2d{\theta}^2) \quad(5.32) \]
\[ ds^2=c^2dt^2- e^{2t/r_0}(dx^2+dy^2+dz^2) \quad(5.33) \]

Вращающаяся вселенная Гёделя (оригинальная статья Гёделя 1949)
\[ ds^2=4a^2(dt^2-dr^2-dz^2+(sh^4{r}-sh^2{r})d{\varphi}^2+2\sqrt{2}{sh}^2{r}d{\varphi}dt) \quad(5.34) \]
\( 8{\pi}G{\epsilon}=1/a^2 \) , скалярная кривизна : \( R=1/a^2 \), угловая скорость: \( \omega=2\sqrt{{\pi}G{\epsilon}} \), космологический член: \( \Lambda=-4{\pi}G{\epsilon}=-1/2a^2 \), \( a^2 \) - постоянная множитель перед всеми членами в метрике. Область определения координаты \( \varphi \) в статье : \( 0<\varphi<2{\pi} \) .

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #9 : 25.01.2017 [13:58:33] »
5.4 Решения внутри вещества при определенном состоянии вещества.

Внутреннее решение для статического шара при однородной плотности (Вайнберг стр. 356, 11.6.4-11.6.6) \( \epsilon \)=const   \( c=1 \):
\[ ds^2=B(r)dt^2-A(r)dr^2-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad(5.40) \]
\[ A=\frac{1}{1-2MGr^2/R^3} \]
\[ B(r)=\frac{1}{4}[3\sqrt{1-\frac{2MG}{R}}-\sqrt{1-\frac{2MGr^2}{R^3}}]^2 \]
\[ \epsilon=const=\frac{3M}{4{\pi}R^3} \qquad M(R)=\int_{0}^{R}{4{\pi}r^2{\epsilon(r)}dr} \]
\( R \) - граница шара в координатах Шварцшильда, Сингулярность : \[ r_{\infty}=9R^2-\frac{4R^3}{MG}\qquad 9MG/4=\frac{9}{8}r_g<R  \qquad r_g=2MG \]

Внутреннее решение для статического шара при произвольном распределении давления и плотности \( p(r) \quad {\epsilon}(r) \).
Основное уравнение ньютоновской астрофизики (Вайнберг 11.1.13):
\[ -r^2\frac{dp(r)}{dr}=\frac{M(r)G{\epsilon}(r)[1+p/{\epsilon}][1+4{\pi}r^3{\epsilon}/M(r)]}{1-\frac{2M(r)G}{r}} \]
\[ M(r)=\int_{0}^{r}{4{\pi}\bar{r}^2{\epsilon(\bar{r})}d\bar{r}} \quad(5.41) \]

Коллапс пылевидной сферы (пар 103, ЛЛ-2).
\[ ds^2=d{\tau}^2-\frac{r'^2}{f(R)+1}dR^2-r(\tau,R)^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad(5.42)  \]
\[ \dot{r}^2=f(R)+F(R)/r \]
\[ -1<f(R)<0 \quad F(a_0)=r_g \]
\[ 8{\pi}G{\epsilon}=\frac{F'}{r'r^2} \]

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #10 : 25.01.2017 [13:59:38] »
5.5. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

Энергия излучения гравитационных волн в единицу времени по всем направлениям  для слабого гравитационного поля и не релятивистских скоростей (ЛЛ-2 100.16):
\[ -\frac{dE}{dt}=\frac{G}{45c^5}\dot{\ddot{D}}_{{\alpha}{\beta}}^2 \quad(5.50) \]
\[ D_{{\alpha}{\beta}}=\int{{\mu}(3x_{\alpha}x_{\beta}-r^2\delta_{{\alpha}{\beta}})} \quad(5.51) \]
\( {\alpha} {\beta} \) - индексы пространственных координат.
\( {\mu} \)- плотность вещества

Потеря энергии на гравитационное излучение системы двух тел \( m_1 \quad m_2 \), движущихся по круговым орбитам (задача 1 пар 110).
\[ -\frac{dE}{dt}=\frac{32G^4m_1^2m_2^2(m_1+m_2)}{5c^5r^3} \quad(5.52) \]

Скорость их сближения  :
\[ \dot{r}=-\frac{64G^3m_1m_2(m_1+m_2)}{5c^5r^3} \quad(5.53) \]

Средняя потеря энергии на гравитационное излучение за полный оборот при движении по эллиптическим орбитам. (ЛЛ-2 задача 2 после пар 108). ФОрмула Р. С. Peters, J. Mathews :

\[ -\frac{dE}{dt}=\frac{32G^4m_1^2m_2^2(m_1+m_2)}{5c^5a^5}\frac{1}{(1-e^2)^{7/2}}(1+\frac{73}{24}e^2+\frac{37}{96}e^4) \quad(5.54) \]

\( a \) - большая полуось, \( e \)  - эксцентриситет

Волновое уравнение гравитационного поля в слабых полях на фиксированной фоновой метрике:


\( g_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}+\eta_{\mu\nu} \)

Где \( \eta_{\mu\nu} \) фиксированная метрика Минковского,
а характеристики гравитационного поля  \( h_{\mu\nu} \) удовлетворяет волновому
уравнению в гармонических координатах и в слабых полях:

\( \Delta^2{h_{\mu\nu}}=-16{\pi}G(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}T)  \quad  (5.55) \)

У Вайнберга в главе 10. (Гравитация и Космология) (10.1.10)
\( \Delta^2 \) - Даламбертиан.
Гармонические координаты дают  4 дополнительных условия:
\( g^{\mu\nu}\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}=0 \)

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #11 : 25.01.2017 [14:00:27] »
6. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ И ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ТЕОРИИ

Геодезические для шварцшильдовской геометрии:

Дифференциальное уравнение движение пробной частицы в общем виде (Рашевский, стр. 651):
\[ (\frac{d{\sigma}}{d{\varphi}})^2=A+(1-\frac{2MG}{c^2}{\sigma})(B-{\sigma}^2) \quad(6.0) \]
\( {\sigma}=1/r \quad A,B \) - постоянные. \( M \) - полная масса системы.

Радиальная геодезическая ( Новиков-Фролов, (2.3.5)):
\[ \frac{dr}{dt}=\pm\frac{(1-r_g/r)((E/mc^2)^2-1+r_g/r)^{1/2}}{E/mc^2}c \quad(6.1) \]
\( E \) - полная энергия частицы , \( m \)-  масса покоя частицы.

Радиальная геодезическая в форме Гильберта (\( c=1 \) ) (Второе основание физики):
\[ (\frac{dr}{dt})^2=(\frac{r-r_g}{r})^2+A(\frac{r-r_g}{r})^3 \quad(6.2) \]
\( 0<A<1 \)  \(A=0 \) для света.

Точная формула для угла отклонения нулевых геодезических около массивного тела в координатах Шварцшильда.
\[ \Delta{\phi}=2\int_{r_0}^{\infty}\frac{r_0dr}{\sqrt{r^2-r_0^2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_g}{rr_0}\frac{r^3-r_0^3}{r^2-r_0^2}}}-\pi  \quad(6.3) \]

\( r_0 \)- минимальная координата на  траектории геодезической до центра шара.
Приближенная формула:
 \[ \Delta{\phi}\approx2\frac{r_g}{r_0} \]

Время задержки радиосигнала при прохождении вблизи массивного тела  в координатах Шварцшильда.
Общее время от \( r_1 \)до \( r_0 \).
\[ t(r_1,r_0)=\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}\int_{r_0}^{r_1}\frac{rdr}{\sqrt{r^2-r_0^2}}\frac{1}{1-\frac{r_g}{r}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0r}\frac{r^3-r_0^3}{r^2-r_0^2}}} \quad(6.4) \]

\( r_0 \) - минимальная координата на  траектории геодезической до центра шара.

* Дополнительная задержка (приближенная формула):
\[ {\Delta}t(r_1,r_0) \approx r_g\ln{\frac{\sqrt{r_1^2-r_0^2}-r_1}{r_0}}+\frac{r_g\sqrt{r_1-r_0}}{2\sqrt{r_1+r_0}}\quad(6.5) \]

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 5 275
  • Рейтинг: +79/-21
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
Re: Справочник по формулам
« Ответ #12 : 25.01.2017 [14:01:24] »
7. ОСТАЛЬНЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ СООТНОШЕНИЯ и ФОРМУЛЫ .

Тензор Риччи (Петров А.З., стр. 31, (5.10)

\( R_{ik}=R^j_{ijk}=\frac{\partial}{\partial{x_j}}{\Gamma^j_{ik}}-\frac{\partial^2}{\partial{x_{i}}\partial{x_{k}}}{\ln{\sqrt{-g}}}-\Gamma^l_{ij}\Gamma^j_{lk} + \Gamma^j_{ik}\frac{\partial}{\partial{x_j}}{\ln{\sqrt{-g}}} \)