Вопрос по квантовой физике

[Wayne]

Не знаю, соответствую ли я тематике форума, но вопрос в следующем. Если ф1(х)- волновая функция одного электрона в одномерной потенциальной яме, ф2(х) - волновая функция другого. Согласно принципу тождественности их общая волновая функция  может быть ф1(х1)ф2(х2)-ф1(х2)ф2(х1) или ф1(х1)ф2(х2)+ф1(х2)ф2(х1). Какова плотность заряда в данной точке ямы?
P.S. имеются в виду координатные части волновых функций, так что с принципом Паули проблем нет

Проблема в том, что считая плотность как квадрат модуля волновой функции умножить на заряд электрона, получается, что для антисимметричной координатной части, эта плотность равна 0! По-моему бессмыслица!

[Stepa]

Я полагаю, что вы забыли спиновую часть. Эту задачу без привлечения спина нельзя решать.
Посмотрите, как рассчитывается атом гелия.

[bob]

так что с принципом Паули проблем нет

Да, возможно, ув. Stepa прав. Это ключевая фраза. С принципом Паули "нет проблем" только при обратных значениях спина. Иначе бы пару разорвало. Интуитивно могу предположить, что в самой потенциальной яме - действительно ноль, относительно любого из электронов, так как электростатика полностью подавлена Паули. На небольшом расстоянии - очевидно: два простых Кулона, относительно третьего удалённого приёмника поля. Однако, и их на большом расстоянии не будет видно, так как яма-то, кажется, протоном образована. А атом в целом нейтрален. Единственное следствие - ван-дер-ваальсова сила, ответственная за химическую связь. Но это зверски сложно. Так что лучше дайте ссылку на то, как считали и формулировали условия. Может, и доползём до чего-нибудь очевидного.

[lvov]

  Wayne: Согласно принципу тождественности их общая волновая функция (двух тождественных частиц-lvov)  может быть ф1(х1)ф2(х2)-ф1(х2)ф2(х1) или ф1(х1)ф2(х2)+ф1(х2)ф2(х1). Какова плотность заряда в данной точке ямы?

   Мне кажется, ответ здесь таков. Приведенные волновые функции (точнее квадрат их модуля M^2) определяют плотность вероятности одновременного обнаружения первой и второй частиц, соответственно в точках x1 и x2. В случае синглетного состояния (первая формула) эта величина равна нулю при одинаковых x1 и x2 по принципу Паули.
  К плотности заряда рассмотренная величина не имеет отношения. Для расчета плотности заряда в точке x1(0) надо, зафиксировав данную точку для ф1, проинтегрировать M^2 по всевозможным значениям x2, затем зафиксировав ф2(x2=x1(0)) проинтегрировать выражение по всем x1, и, наконец, сложить два частичных результата с умножением на e.

      С уважением  О.Львов 

[olenellus]

Да, а если теперь вспомнить, что в стационарном случае одночастичным решением для ямы являются собственные векторы для гамильтониана, которые должны быть ортогональны (а лучше их ещё и нормировать) вследствии эрмитовости этого оператора, то вышеописанная процедура вырождается просто в суммирование плотностей, вычисленных отдельно для каждой частицы.

Пусть вектор состояния первой частицы обозначается как |1>, а второй — |2>, тогда синглетное состояние будет выглядить как (с опусканием символа тензорного произведения):

1/Sqrt(2) (|1>|2> — |2>|1>)

Чтобы найти зарядовую плотность этого состояния в точке x ямы, надо найти среднее значения оператора |x><x| по этому состоянию и умножить его на 2e (полный заряд системы-то 2e, поэтому мы и ожидаем после полного интегрирования найти там именно этот заряд).
Под |x>, как обычно, понимается собственный вектор оператора координаты X, собственное значение которого равно x, т. е. X|x> = x|x> (при этом ф(x) = <x|ф>).
Проделаем эту операцию:

rho(x) = e (<2|<1| — <1|<2|)|x><x|(|1>|2> — |2>|1>) = e (<2|<1|x><x|1>|2> — <2|<1|x><x|2>|1> — <1|<2|x><x|1>|2> + <1|<2|x><x|2>|1>) = e ( <2|2> |ф₁(x)|² + <1|1> |ф₂(x)|² — <2|1> ф₁^*(x) ф₂(x) — <1|2> ф₂^*(x) ф₁(x))

В стационарном случае |1> и |2> являются решением уравнения H|n> = E_n|n>, а так как H эрмитов (гамильтониан одночастичной задачи), то решения удовлетворяют соотношению (при соотв. нормировке): <n|m> = delta(n,m) (это уже было неявно учтено при написании нормировочного множителя в самом начале). Поэтому:

rho(x) = e (|ф₁(x)|² + |ф₂(x)|²)

То же самое получается и для триплетного случая.

Всё это так только для невзаимодействующих электронов.

Если я, конечно, ничего не напутал...

[bob]

Всё это так только для невзаимодействующих электронов.

Вот именно. А автор темы явно хочет конкретики. Так что суперпозиция полей здесь не проходит. Вообще, задача кажется простой только с виду.

[olenellus]

Если бы автора интересовала задача с учётом взаимодействия частиц, то он не стал бы писать двучастичную функцию таким образом, как он это сделал... Просто не имел бы права.

[Stepa]

Межэлектронный Кулон считается слабым, а обменный интеграл немногим более.

Это можно в рамках теории возмущений решить.

[olenellus]

Ну в таком случае потенциал ямы в студию!

[Пенелопа]

Межэлектронный Кулон считается слабым, а обменный интеграл немногим более.

Это можно в рамках теории возмущений решить.

Может быть, но обычно используют для многоэлектронных атомов  Хартли-Фока.
Данная задача - это атом гелия, и распределение электронной плотности можно найти в литературе
Что же касается  первоначального вопроса  - то безусловно  надо учитывать спин. Тогда кроме двух упомянуиых случчаев включая побробно  описанный ниже антисимметричный случай, он же синглет) будет еще два варианта
 ф_1/2(х1) ф_1/2(х2)
 ф_-1/2(х1) ф_-1/2(х2)

[Stepa]

Хартри-Фок - это самосогласованное поле, по-моему.
Тут можно попроще

[Wayne]

Благодарю всех за ответы! Пришел к выводу, плотность действительно получается равной  e(|ф1(x)|^2 + |ф2(x)|^2), причем и для триплетного и для синглетного состояний!

[bob]

Благодарю всех за ответы! Пришел к выводу, плотность действительно получается равной  e(|ф1(x)|^2 + |ф2(x)|^2), причем и для триплетного и для синглетного состояний!

Да. Близко. Добрался до "квантовой теории поля" на средней полке и до Боппа ( который комета Хейла -Боппа и "Ядерная физика") Итак: четыре спиновых состояния по ориентации:
1) фи1фи2,
2) минус они же - это всё неинтересно, так как нестабильно, разлетается из-за Паули,
3) фи1фи2 + фи2фи1 на коэффициент, но это ещё не основной случай, так как спины коллинеарны и складываются 1/2+1/2=1, а функции нет,
4) фи1фи2 - фи2фи1, основной случай, суммарный спин 1/2 - 1/2 = 0 (спины направлены зеркально) - нормальная электронная орбиталь в стабильном состоянии.
Эти случаи не складываются, как Вы исходно предположили. А выбираются как Или-или.
Решение 3) и 4) должно выглядеть близко к тому, что написали, но только в случае простой формы потенциальной ямы.