Задача: Вероятности сближения звезд

[Skipper_NORTON]

Результаты подсчетов показывают, что в окрестностях Солнца плотность звезд составляет около 0,12 звезды на кубический парсек, иными словами, на каждую звезду в среднем приходится объем свыше 8 кубических парсек, среднее же расстояние между звездами — около 2 пс.  Мне привычнее в световых годах,  будем считать что среднее расстояние между звёздами в окрестностях Солнца - 6 световых лет. Средние скорости звезд, относительно друг друга,  20 км/с.    С такой скоростью звезда проходит  1 световой год за  15000  лет. 
 
Рассмотрим изначально идеальную систему,  в которой все звезды,  друг от друга на расстоянии  6 световых лет, как внутри вершин упакованных кубиков, и далее хаотично движутся друг относительно друга.  От Солнца изначально, будет 6 звезд в разных пространственных направлениях, и до каждой звезды расстояние будет равно 6 световых лет.
 
Далее значит, звезды хаотично движутся друг относительно друга с разными скоростями, но средняя скорость случайно выбранной звезды, скажем,  равна 20 км/с,  относительно Солнца.  (и относительно любой другой). 
 
Нужно посчитать, с какой частотой,  (1 раз в сколько сотен тысяч лет) -  будет происходить сближение Солнца со звездой,  в 10 раз ближе среднего,  т.е.  0,6 светового года? 
 

[xd]

Сергей, ты ж вроде программист и с математикой дружишь. Поинтегрируй уравнения движения что ли, только про световую задержку не забывай.

[Skipper_NORTON]

Хотелось бы  чтобы как то понятнее было.  Пока не вижу, как интегрировать.. 

[Valenock]

Надо упростить задачу, все звёзды прибиты гвоздями к пространству, и только Солнце хаотически движется между ними со скоростью 20 км/с. Мне кажется, вероятность сближения будет такой же.

[Skipper_NORTON]

Надо упростить задачу, все звёзды прибиты гвоздями к пространству, и только Солнце хаотически движется между ними со скоростью 20 км/с. Мне кажется, вероятность сближения будет такой же.

 
А ведь и правда!  Отличная мысль. 
Я бы даже еще больше упростил!  Солнце движется прямолинейно.  20 км/с. Кажется вероятность будет тоже точно такой же.

[Skipper_NORTON]

Кажется понял, как решить эту задачу.  Если решаем по этому, упрощенному варианту. (Звёзды неподвижны, летает только Солнце) Около Солнца в каждый момент времени, в среднем находится 6 звезд на расстоянии  6 световых лет. Это значит, что в среднем, при прохождении 1 светового года,  у Солнца будет меняться самая ближайшая звезда.  Со скоростью  20 км/с   1 световой год проходится  за  15000  лет.   Это значит факт такой -
 
в среднем каждые 15000  лет, у Солнца меняется ближайшая звезда.
 
Ну а дальнейшее просто:  чтобы попасть к какой то звезде на расстояние не более 0,6 светового года,  надо чтобы с направлением движения повезло так, чтобы луч направления от Солнца (центр сферы) был нацелен в определенный круг на воображаемой сфере направлений. Если мы сократим требуемое расстояние до звезды  например в 10 раз,  т.е. будем считать 0,06 светового года, то площадь этого круга уменьшится в 100 раз.  Значит вероятность  прохождения зависит от расстояния в квадратической зависимости.  Т.е. Солнцу нужно сменить в 100  раз больше ближайших звезд, чтобы подойти к какой то на   0,06 светового года,  чем в случае, чтобы подойти на расстояние 0,6 светового года.
 
Значит,  по аналогии, даже если все звезды случайно, хаотично движутся -
 
1) каждые 15000  лет в среднем, у Солнца ближайшая звезда на расстоянии менее чем  6 световых лет.
2) каждые 1,5 миллиона лет в среднем,  у Солнца ближайшая звезда на расстоянии менее чем  0,6 световых лет.
3) каждые 150  миллионов лет в среднем, у Солнца ближайшая звезда на расстоянии менее чем  0,06 световых лет.
4) каждые  2,4 миллиарда лет в среднем, у Солнца ближайшая звезда на расстоянии 150 млрд км  (1000  а.е.).
 
Т.к. Солнце существует 4,5 млрд лет, мы можем с большой вероятностью утверждать, что  за всю историю,  ближайшая звезда проходила на расстоянии примерно  150 млрд км  (1000  а.е.)  от Солнца.
 
На расстоянии  300  млрд  км от Солнца, было несколько подобных прохождений звезд.
Ну а прохождения  типа  звезды, Глизе 474 - которая через  427000 лет, будет находиться на расстоянии  0,8  светового года от Солнца - происходят примерно  1 раз в миллион лет. 

[xd]

Если отбросить световую задержку, то уравнения движения описываются как:

\(\displaystyle \ddot{\vec{R_i}} = \sum \limits_{i \ne j} \frac{GM_j (\vec{R_j} - \vec{R_i})}{| \vec{R_j}-\vec{R_i} | ^3} \)
Берём адекватный метод и погнали.

[Aluminium]

Разве там минус впереди? Вектор R_j-R_i направлен в сторону точки j. То есть с минусом получается отталкивание, а не притяжение.

[xd]

Согласен, исправил. Хотел в числителе вектор в другую сторону направить, но забыл.

[Aluminium]

По-моему, без минуса выглядит лучше.

Осталось найти адекватный метод для решения задачи 10¹¹ тел.

[sanches80]

Результаты подсчетов показывают, что в окрестностях Солнца плотность звезд составляет около 0,12 звезды на кубический парсек

Солнце же периодически проходит через рукава галактики. Там плотность звезд не выше?

[Змей Петров]

Солнце же периодически проходит через рукава галактики. Там плотность звезд не выше?

Процентов на 10-20.
Правда гораздо больше массивных звезд, с которыми сближение приводит к заметным последствиям на бОльших расстояниях, чем с карликами. Но поскольку общее их количество относительно общей массы обычных звезд всё равно невелико, я думаю особой разницы не будет.
Кстати, Солнце редко проходит через рукава, т.к. находится вблизи коротационного радиуса.

[Змей Петров]

Если отбросить световую задержку, то уравнения движения описываются как:Ri→¨=∑i≠jGMj(Rj→−Ri→)|Rj→−Ri→|3\displaystyle \ddot{\vec{R_i}} = \sum \limits_{i \ne j} \frac{GM_j (\vec{R_j} - \vec{R_i})}{| \vec{R_j}-\vec{R_i} | ^3} Берём адекватный метод и погнали.

А при чем тут G и M ? Задача чисто кинематическая -
звезды хаотично движутся друг относительно друга с разными скоростями, но средняя скорость случайно выбранной звезды, скажем,  равна 20 км/с,  относительно Солнца.  (и относительно любой другой) (C)
Это вполне решается по простой предложенной ув. Valenock методике.
Достаточно основ школьной геометрии и ТВ.

[was-ja]

А средняя длина свободного пробега не пройдет?


L=1/(sqrt(2)*pi*d*d*n),

d  - диаметр, как хотели 0,6 св.г., n - концентрация, поделим на скорость, получим время...

[Aluminium]

средняя скорость случайно выбранной звезды, скажем,  равна

Почему бы не усреднить скорости движения ближайших звёзд? Это даст более менее реальную цифру.

[Змей Петров]

Aluminium, в данном случае усреднять ближайших можно их вероятность сближения =0.
Вопрос-то в дальних.

[Klapaucius]

только про световую задержку не забывай.

А как она может существенно повлиять на расчёты? Окрестные звёзды движутся (двигаются? В общем летают) на много порядков медленнее скорости света. Берём те же 20 км/сек, разница со скоростью света 4 порядка.

Aluminium, в данном случае усреднять ближайших можно их вероятность сближения =0.
Вопрос-то в дальних.

И нужно тогда не забывать, что Галактика - не сфера, а диск определённой (довольно небольшой) толщины в окрестностях Солнца.

[Valenock]

Интересно было бы сравнить с данными наблюдений. Из N звёзд k сблизились на расстояние менее X. Понятно, что речь идёт о тех звёздах, которые как сошлись, так и разойдутся, а не о двойных. Но я такую статистику не сделаю.

[Змей Петров]

И нужно тогда не забывать, что Галактика - не сфера, а диск определённой (довольно небольшой) толщины в окрестностях Солнца.

Расчет приблизительный, поэтому в первом прилижении хаотичность движения звезд можно считать изотропной.

[Змей Петров]

Итого, воспользовавшись методой Valenock, для сближения двух звезд на расстояние менее 0.6 СГ, при среднем расстоянии между звездами 6 СЛ, средней скорости хаотичного движения 20км/c c вероятностью 0.5 у меня получилось ~2 000 000 лет.